sT )( sT )(

모든 문제의 계산과정을 답안지에 자세히 명시할 것!!!

1 . 2 개 성분에 대한 혼합공정 (blending process) 의 조성제어에 대한 다음 그림을 보고 답하시오 (40).

이 그림은 x1 의 조성을 갖는 질량유속 (w1) 의 유입흐름에서 순수한 질량유속 (x2=1, w2) 을 조절하여 혼합공정내 조성 (x) 를 일정하게 유지하는 조성제어를 보여준다. 유입되는 질량유속 (w1) 은 일정하다.

1) 이 혼합공정은 질량에 대하여 정상상태라고 가정하면, 시간에 따른 공정내 질량변화는 없다. 즉,

 0 dt dm

.

총괄물질 수지식를 구하시오.

2) 그림에서 제어변수, 조절변수, 그리고 외부교란변수가 무엇입니까?

3) 출력변수와 입력변수를 구분하여 명시하시오.

4) 유출되는 흐름의 조성 x 를 제어하기 위한 feedback 블록선도를 그림을 보면서 완성하시오. 단, 원하는 조성 (설정치) 은 xsp 라고 한다.

5) 상기의 혼합공정에서 조성에 대한 물질수지식 (성분물질수지식) 을 세우세요. 단, 탱크내 전제질량 (m) 은 일정하고, 위1) 번의 총괄물질수지식의 결과를 이용하 세요.

6) 위 5) 에서 구한 성분물질수지식을 선형화하고, 표준화하여 라플라스 변환하시오. 단, x(t), x1(t), w2(t) 의 t=0 에서 초기상태를 xs, x1s, w2s 라고 각각 정의한다. 또한 두 변수의 곱 xy 의 선형화된 식은 각각의 선형화의 합과 같으므로, 초기값 xs, ys 에서 선형화된 식은

xy  y

_s

( x  x

_s

)  x

_s

y

_s

 x

_s

( y  y

_s

)  x

_s

y

_s

이다.

7) 출력변수 (x) 와 입력변수 (w2, x1) 와 전달함수를 구하고, 블록선도를 그리시오. 단, 여기에서 전달함수는 편차변수를 이용하여 표준화한 후의 함수를 말한다.

8) 상기의 결과를 종합하여 혼합공정 제어시스템에 관하여 분석하세요.

2. 질량 mb 인 쇠공이 원형 벽으로 싸여 있으며, 쇠공과 원형 벽 사이에는 기체가 채워져 있다.

그림에서, T 는 온도, m 은 질량, Cw (or Cb) 는 비열, A 는 단면적, kg 는 기체 열전도도, d 는 가스층의 두께를 의미한다. ho 는 공기와 원형벽사이의 총괄열전달 계수이다. 외부 공기 의 온도는 Ta 이다. 단, 공의 표면적 (Ai) 은 원형 벽의 내부면적과 같다고 가정하고, 원형 벽 의 외부면적은 Ao 이며, 내부에 있는 공의 온도가 주변 온도 보다 높다. 또한 공의 온도, 원 형벽의 온도, 그리고 공기의 온도만 시간에 따른 변수라고 가정한다. 다음 질문에 답하시오 (30).

1) 공의 온도 (Tb) 와 원형벽의 온도 (Tw)에 대하여 시간에 따른 에너지 수지식을 세우시오.

세운 모델식의 각 항마다의 모든 문자간 단위를 사용하여 최종 단위를 명시하시오.

2) 편차변수 T_b

(

t

) 

T_b

(

t

) 

T_bs

)

, T_w

(

t

) 

T_w

(

t

) 

T_ws

)

, T_a

(

t

) 

T_a

(

t

) 

T_as 를 이용하여 위에서 구한 두 식에 대하여 표준화 하시오.

3) 표준화된 두 식에 대하여 라플라스 변환을 하시오. 단,

 

1







i g

b b

A k

d C

m

,

 

₂







i g

w w

A k

d C

m

,

k

A k

d A h

i g

o

o









라고 치환하여 식을 간략화 하시오.

4) 위에서 구한 두 라플라스 변환식을 정리하여 공 온도, T_b

(s )

, 에 대한 한 개의 식으로 표현하시오.

5) 위에서 구한 식을 이용하여 블록선도를 그리고, 출력변수와 입력변수를 명시하시오.

6) 만일 외부 온도가 단위 2의 크기로 갑작스런 변화가 있을 때, 즉, T_a

(

s

)  2 /

s 일때, T_b

(s )

의 최종값은 무엇인가?

3. 본 과목에 있어서 수업내용 ( 난이도 , 교재의 적절성 ), 수업방법 ( 질문 , 과제 , 퀴즈 , 시험 등 ), 수업태도 ( 휴강 , 보강 , 강의시간 등 ) 등에 담당교수가 보완할 점이 있다 면

무엇입니까 (5) ?

Wall: h_o[W/m²/K],

T_w[K], m_w[kg], C_w[J/K/kg], A_o[m²]

Gas:

k_g[W/K/m], d[m]

C_w[J/K/kg], A₀[m²]

Ball:

T_b[K], m_b[kg], C_b[J/K/kg], A_b[m²]

Air: T_a[K]

모든 문제의 계산과정을 답안지에 자세히 명시할 것!!!

1 . 2 개 성분에 대한 혼합공정 (blending process) 의 조성제어에 대한 다음 그림을 보고 답하시오 (30).

이 그림은 x1의 조성을 갖는 질량유속 (w1) 의 유입흐름에서 순수한 질량유속 (x2=1, w2) 을 조 절하여 혼합공정내 조성 (x) 를 일정하게 유지하는 조성제어를 보여준다. 유입되는 질량유속

(w1) 은 일정하다.

1) 이 혼합공정은 질량에 대하여 정상상태라고 가정하면, 시간에 따른 공정내 질량변화는 없

다. 즉,

 0 dt

dm

. 총괄물질 수지식를 구하시오.



2 1

2

0

1

w w w

w w w











2) 그림에서 제어변수, 조절변수, 그리고 외부교란변수가 무엇인지 찾으시오.

 제어변수: x 조절변수: w2

외부교란변수: x1 (w1 은 일정 값을 갖는 상수이고, w 는 총괄물질수지식으로부터 정해짐) 3) 출력변수와 입력변수를 구분하여 명시하시오.

 출력변수는 제어변수로서, x 이다.

입력변수는 조절변수와 외부교란변수로서 w2 와 x1 이다.

4) 유출되는 흐름의 조성 x 를 제어하기 위한 feedback 블록선도를 그림을 보면서 완성하시오. 단, 원하는 조성 (설정치) 은 xsp 라고 한다.

5) 상기의 혼합공정에서 조성에 대한 물질수지식 (성분물질수지식) 을 세우세요. 단, 탱크내 전제질량 (m) 은 일정하고, 위1) 번의 총괄물질수지식 의 결과를 이용하세요.

 탱크내 성분 A 에 대한 질량의 시간에 따른 변화 (

dt

m dx

) 는 유입질량 유속 (

x

₁

w

₁

 x

₂

w

₂) 과 유출 질량유속 (

xw

) 과의 차로서 구할 수

있다.

) (

_{1 2}

2 2 1

1

w x w x w w

dt x

m dx     

(식1)

여기에서, x2=1 이므로, (식1) 은 다음과 같이 정리된다.

2 2 1

1

2 1 2

1 1

) (

) (

xw w x x w

w w x w w dt x m dx





















(식2)

6) 위 5) 에서 구한 성분물질수지식을 선형화하고, 표준화하여 라플라스 변환하시오. 단, x(t), x1(t), w2(t) 의 t=0 에서 초기상태를 xs, x1s, w2s 라고 각 각 정의한다. 또한 두 변수의 곱 xy 의 선형화된 식은 각각의 선형화의 합과 같으므로, 초기값 xs, ys 에서 선형화된 식은

s s s s

s s s

s

x x x y x y y x y

y

xy  (  )   (  ) 

이다.

 (식2) 의 마지막 항 xw2 은 두 변수의 곱으로 비선형성을 갖는다. 따라서, 각각의 변수에 대하여 다음과 같이 선형화한다.

혼합공정

x

AT

조성센서

Control valve + AC

- Set point

x

_sp

x

₁

w

₂

s s s s

s s

s s s s

s s s s

w x w

w x x x w

w x w w x w x x x w w x

2 2

2 2

2 2

2 2

2 2

2 ) (

) (

) (

) (

























(식3)

(식3) 을 (식2) 에 대입하면, 다음과 같다.

] 2 ) (

) ( [ )

(

_{1 2 2 2 2 2}

1

x x w w

s

x x

s

x

s

w w

s

x

s

w

s

dt w

m dx         

(식4)

(식4) 의 초기상태에서의 식은 다음과 같이 표현된다.

] 2 ) (

) (

[ )

(

_{1 2 2 2 2 2}

1 s s s s s s s s s s s

s

w x x w w x x x w w x w

dt

m dx         

(식5)

(식4) 에서 (식5) 를 빼고, 편차변수를

x ( t )  x  x

_s,

x

₁

( t )  x

₁

 x

_1s,

w

₂

( t )  w

₂

 w

_2s라고 정의하여 정리하면, 다음과 같다.

x w w w x x

w

w x x w w x x dt w

x m d

s s

s s

) (

) 1 (

) (

1 2 2 1

1

2 2

2 1

1





















(식6)

(식6) 을 라플라스 변환하여 정리하면 다음과 같다.

) ( ) (

) ( ) 1 ( ) ( )

( s w

₁

x

₁

s x w

₂

s w

₂

w

₁

x s x

ms   

_s



_s



 ( )  ( ) ( 1 ) ( )

)

( s ms w

₂

w

₁

w

₁

x

₁

s x w

₂

s

x 

_s

   

_s

   ( )  ^{( )}

) 1 ) (

) ( ) (

(

₂

1 2 1

1 2

1

w s

w w ms s x w x w ms s w x

s s

s

 

 



 

(식7)

7) 출력변수 (x) 와 입력변수 (w2, x1) 와 전달함수를 구하고, 블록선도를 그리시오. 단, 여기에서 전달함수는 편차변수를 이용하여 표준화한 후의 함수를 말한다.

 출력변수 (x) 와 입력변수 (w2, 조절변수) 와의 전달함수를

 (

_{2 1}

) 

1

1

ms w w

G w

s



 

이라고 하고, 출력변수 (x) 와 입력변수 (x1, 교란변수)

와의 전달함수를 라고

 ( ) 

) 1 (

1 2

2

ms w w

G x

s s





 

하면, (식7) 로부터 전달함수는 다음과 같이 표현된다.

) ( )

( )

( s G

₁

x

₁

s G

₂

w

₂

s

x  

따라서, 블록선도는 다음과 같다.

8) 상기의 결과를 종합하여 혼합공정 제어시스템에 관하여 분석하세요.

이 제어 시스템은 교란변수 x1 (유입흐름의 질량분율) 에 의하여 탱크내 조성이 변하는 2성분계 혼합공정에서 조절변수 w2 (조절 밸브를 통하여 유 입되는 질량 유속) 를 조절하여 제어변수 x (탱크로부터 유출되는 유체의 질량분율) 를 제어하는 구조로 되어 있다. 교란변수 x1 (유입흐름의 질량

분율) 은 공정에 1차전달함수 (

 (

_{2 1}

) 

1

1

ms w w

G w

s



 

) 로 영향을 주고, 조절변수 또한 공정에 1차전달함수 (

 ( ) 

) 1 (

1 2

2

ms w w

G x

s s





 

)

로 영향을 미친다. 두 변수는 서로 선형적 (혹은 독립적) 으로 영향을 준다.

2. 질량 mb 인 쇠공이 원형 벽으로 싸여 있으며, 쇠공과 원형 벽 사이에는 기체가 채워져 있다.

G

₁

G

₂

+ +

)

1 ( s x

)

2 ( s w

)

(s

x

그림에서, T 는 온도, m 은 질량, Cw (or Cb) 는 비열, A 는 단면적, kg 는 기체 열 전도도, d 는 가스층의 두께를 의미한다. ho 는 공기와 원형벽사이의 총괄열전달 계수이다. 외부 공기의 온도는 Ta 이다. 단, 공의 표면적 (Ai) 은 원형 벽의 내부면 적과 같다고 가정하고, 원형 벽의 외부면적은 Ao 이며, 내부에 있는 공의 온도가 주변 온도 보다 높다. 또한 공의 온도, 원형벽의 온도, 그리고 공기의 온도만 시 간에 따른 변수라고 가정한다. 다음 질문에 답하시오 (30).

1) 공의 온도 (Tb) 와 원형벽의 온도 (Tw)에 대하여 시간에 따른 에너지 수지식을 세우시오. 세운 모델식의 각 항마다의 모든 문자간 단위를 사용하여 최종 단위를 명시하시오 (5).

 _{b b} ^b _g ⁱ

( T

_b

T

_w

) d

k A dt C dT

m   

^{; J/s}

) (

)

(

_{b w o o w a}

g i w w

w

T T h A T T

d k A dt

C dT

m     

^{; J/s}

2) 편차변수 T_b

(

t

) 

T_b

(

t

) 

T_bs

( 0 )

, T_w

(

t

) 

T_w

(

t

) 

T_ws

( 0 )

, T_a

(

t

) 

T_a

(

t

) 

T_as

( 0 )

를 이용하여 위에서 구한 두 식에 대 하여 표준화 하시오 (5).

 _{b b} ^b _g ⁱ

( T

_b

T

_w

) d

k A dt

T C d

m   

) (

)

(

_{b w o o w a}

g i w w

w

T T h A T T

d k A dt

T C d

m     

3) 표준화된 두 식에 대하여 라플라스 변환을 하시오. 단,

 

1







i g

b b

A k

d C

m

,

 

2







i g

w w

A k

d C

m

,

k

A k

d A h

i g

o

o









라고 치환하여 식을 간략화

하시오 (5).

 주어진 상수들을 이용하여 치환하면 위식들은 다음과 같이 간략히 표현된다.

₁ ^b

( T

_b

T

_w

) dt

T

d   



) (

)

2 w

( T

b

T

w

k T

w

T

a

dt T

d     



라플라스 변환을 취하면,

) ( ) ( )

1sT_b

(

s

 

T_b s



T_w s



(식1)

) ( )

( )

( ) ( )

2sT_w

(

s

 

T_b s



T_w s



kT_w s



kT_a s



(식2)

4) 위에서 구한 두 라플라스 변환식을 정리하여 공 온도, T_b

(s )

, 에 대한 한 개의 식으로 표현하시오 (5).

 (식2) 를 T_w

(s )

에 대하여 정리하면,

 

 ^{s s k T k}  ^s

s T T

s T k s T k s

s T

a w b

a b

w







 











1 ) ( )

) ( (

) ( )

( 1

) (

2 2





(식3)

(식3) 을 (식1) 에 대입하여 정리하면,

Wall: h_o[W/m²/K],

T_w[K], m_w[kg], C_w[J/K/kg], A_o[m²]

Gas:

k_g[W/K/m], d[m]

C_w[J/K/kg], A₀[m²]

Ball:

T_b[K], m_b[kg], C_b[J/K/kg], A_b[m²]

Air: T_a[K]

 

  

  

1 ) 1 )(

1 (

) ) (

(

1 1

) ( )

1 )(

1 ( 1 1 ) (

1 1

) ( ) ) (

(

1 ) ) (

(

1 2

1 2

1 2

1 2

1







 







 

 

 









 







 

 

s k s

s T s k

T

s k s

s T k s

k s s

T

s k s

s T k s s T

T

s s s T

T

b a b a

a b b

b w



















5) 위에서 구한 식을 이용하여 블록선도를 그리고, 출력변수와 입력변수를 명시하시오 (5).

여기에서

1 ) 1 )(

1

(

₂

 

₁

 

 s k s

G k





이고, 출력변수는 T_b

(s )

이고, 입력변수는 T_a

(s )

이다.

6) 만일 외부 온도가 단위 2의 크기로 갑작스런 변화가 있을 때, 즉,

s s T

_a

2

)

( 

일때, T_b

(s )

의 최종값은 무엇인가 (5)?



s k s s

s k

T

_b

2

1 ) 1 )(

1 ) (

(

1 2

 





 





^{이고, 최종값은}

1 2 ) 1 (

2 1

) 1 )(

1 lim (

) ( lim

1 0 2

0





 







 





k

k s

k s

s k T

s

b s

s

 

^이다.

3. 본 과목에 있어서 수업내용 ( 난이도 , 교재의 적절성 ), 수업방법 ( 질문 , 과제 , 퀴즈 , 시험 등 ), 수업태도 ( 휴강 , 보강 , 강의시간 등 ) 등에 담당교수가 보완할 점이 있다면 무엇입니까 (5) ?

G T

b

(s)

T

a

(s)