(1)Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭 Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭, 직교행렬

Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭 Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭, 직교행렬)

• Square matrix (정방행렬) 에 대하여

– Symmetric:

 

 A

A A^T 

Symmetric:

– Skew-Symmetric:

O h l

A A

A A^T  

– Orthogonal:

• 실수 정방행렬 A는 대칭행렬 R과 반대칭행렬 S의

1

 A A^T

실수 정방행렬 는 대칭행렬 과 반대칭행렬 의 합으로 표현할 수 있다.









R 1 1

– Ex. 2









R    

2 1

2 , 1











9 5 2 9 0 3 5 3 5 0 1 5 1 5







































































0 0

. 6 5 . 1

0 . 6 0

5 . 1

5 . 1 5

. 1 0

0 . 3 0 . 2 5

. 3

0 . 2 0

. 3 5 . 3

5 . 3 5

. 3 0 . 9 3

4 5

8 3

2

2 5 9

S R A

Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭 Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭, 직교행렬)

• Eigenvalues of Symmetric and Skew-Symmetric Matrices (8.5)

– 대칭행렬의 고유값은 실수 (8.2 Ex. 1)

– 반대칭행렬의 고유값은 순 허수이거나 영 ^{0, 25i 25, i}

0 20 12

20 0

9

12 9

0



























• Orthogonal Transformation (직교변환): y  Ax A^{는 직교행렬}

E ) 각 θ 만큼의 평면회전은 직 변환이다 





 



 y₁ cos sin x₁





내적값

Ex) 각도 θ 만큼의 평면회전은 직교변환이다. 

 



 

 







2 1 2

1

cos

sin x

y  

y b1





• 내적값 ^{a b aTb}  1 2 _n ²





b a b a

a





 











  

– 길이 또는 노름(Norm) : ^{b n}

a a a

a

a    ^T

Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭 Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭, 직교행렬)

• Invariance of Inner Product

– 직교변환은 벡터의 내적값을 보존,

– 또한 벡터의 길이 또는 노름(norm)도 보존함.

b a b a Ib a Ab A a Ab (Aa) v

u v

u  ^T  ^T  ^{T T}  ^T  ^T  

• Orthonormality of Column and Row Vectors

실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터 a a

( )

– 실수 정방행렬이 직교일 필요충분조건은 열벡터

(또한 행벡터들)이 정규직교계(Orthonormal System)를 형성하는 것임.

an

a₁, ,

 

 





 _T 0 j k a

a a

a ^{AT  A1}

 

 





 ^{k j k} j k

j a a a 1 a

a a a

a a a a

a ^T ₁ ^T ₂ ^T _n

T T

1 1

1 1





















 A A

 

a a a

a a a a

a a a A a A A A I

n T 2

T 1 T n

2 1 T T

1 -

n n

n n

2





 













 

















 



Symmetric, Skew-Symmetric, and Orthogonal Matrices (대칭 반대칭 Orthogonal Matrices (대칭, 반대칭, 직교행렬)

• Determinant of an Orthogonal Matrix

– 직교행렬의 행렬식의 값은 +1 또는 -1직교행렬의 행렬식의 값은 1 또는 1

2 T

T

-1) det (AA ) det A det A (det A) (AA

det I

det

1    

• Eigenvalues of an Orthogonal Matrix

– 직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고직교행렬의 고유값은 실수 또는 공액복소수이고 절대값은 1

2 1

2 



6 / ) 11 (5

, 6 / ) 11 (5

1, -

3 1 3

2 3 2

3 3

3

i

i 



 











3 2 3

2 3

1 

 



 

Eigenbases. Diagonalization.

Quadratic Forms Quadratic Forms

• Basis of Eigenvectors

, 가지면 고유값을

다른 서로

개의 가

행렬

만일 nn A n

된다.

기저가 의

은 ,

, 고유벡터 의

행렬 이

, 가지면 유값을

다른 서

개의 가

행렬 만일

n

n R

n n

n

x x

A

A

1 

c c

c x x x

x  _{1 1}  _{2 2} 

n n n

n

c c

c

c c

c

A A

A

) x x

x A(

Ax y

x x

x x

2 2 1

1 2 2 1

1

























n n n

n n

c c

c

c c

c

x x

x

Ax Ax

Ax

2 2 2 1

1 1

2 2

1 1



















 임의의 x에 대한 A의 연산 (복잡!)

 스칼라의 곱의 합 (간단!)

• Basis (기저):

– 벡터공간내의 최대로 가능한 수의 일차독립인 벡터로 구성되는 집합이며, 기저가 되는 벡터의 수는 차원

Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Ex.1 Eigenbasis, Nondistinct Eigenvalues.

Nonexistence

5 3 3 5

 

  

 

A

2 2 3

2 1 6

 

 

 

  

A 2 1 6

1 2 0

  

  

 

A

0 1 0 0

 

  

 

A 0 0

Eigenbases. Diagonalization.

Quadratic Forms Quadratic Forms

• Symmetric Matrices

– 대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.대칭행렬은 고유벡터로 구성된 정규직교 기저를 가짐.







 1 1



 





5 3

3 5

















 

















2 1 2 1 , 2 1

2 1

Eigenbases. Diagonalization.

Quadratic Forms Quadratic Forms

• Similarity Transformation (상사변환)

 ^P 

AP P

A ˆ 

n  n 정칙행렬

• Eigenvalues and Eigenvectors of similar matrices

 

갖는다.

고유값을 같은

와 는 상사이면 에

가 A A A

Aˆ ˆ

된다.

고유벡터가 의

대응되는 고유값에

같은 는

고유벡터이면 의

가 A y P x A

x  ^1 ˆ

x P x)

(P Aˆ x

APP P

AIx P

Ax

P^1  ^1  ^{1 1}  ^1   ^1 Ax  x  P^1Ax  P^1x

• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

) (

Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

AX X D n A

n

1

 ^

 행렬 가 고유벡터의기저를 가지면 만일

X A X D

X

A

m m  1

또한

행렬이다.

하는 열벡터로

고유벡터들을 이들

는 여기서

된다.

원소가 주대각선의

고유값들이 의

되고, 대각행렬이

는

Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Ex.







 1 3

3 P - A 6









 

 

 

0 ˆ 3

4 P 1

1 , - A 4



 



 

 0 2

0 A 3

Eigenbases. Diagonalization.

Quadratic Forms Quadratic Forms

• Diagonalization of a matrix (행렬의 대각화)

AX X

D n A

n

1

 ^

 행렬 가 고유벡터의기저를 가지면

만일

X A X D

X

A

m

m 1

또한

행렬이다.

하는 열벡터로

고유벡터들을 이들

는 여기서

된다.

원소가 주대각선의

고유값들이 의

되고, 대각행렬이

는

X A X

D^m  ^m

또한

Eigenbases. Diagonalization.

Quadratic Forms Quadratic Forms

• Ex.4 Diagonalize













 11.5 1.0 5.5 7 . 3 2

. 0 3

. 7 A



 



 17.7 1.8  39.















 













 







































 1.3 0.2 0.7

3 . 0 2

. 0 7 . 0 ,

1 1 3

2 1 1 1

2 1

1 3

1

0 4

3

0 12

1 2

3

X , X

- , -

, λ - , λ λ

: 고유벡터

: 고유값 -

:

특성방정식   



 



 



 









 



 



 



 



 







2 . 0 2

. 0 8

. 0

7 . 0 2 . 0 3

. 1

, 4 3 1

1 1 3

4 1 3

1 1

3 , , X X

- 고유벡터











 0 7 0 2 0 3 3 4 0 3 0 0







































































 ^

0 0 0

0 4 0

0 0 3 0

12 3

0 4

9

0 4 3

2 . 0 2

. 0 8

. 0

7 . 0 2 . 0 3

. 1

3 . 0 2

. 0 7 . 0

1AX X

D













Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Quadratic Forms (2차 형식).

: 2

n n

T a x x

Q x

x ^ ^{x Ax} 



x의 성분 으로구성된 차형식

벡터

2

1 1 2

1 12 2

1 11

1 1

1

: 2

n n j k

k j jk n

x x a x

x a x

a

x x a Q

, x ,

x















 

 Ax

x

x의 성분 으로구성된 차형식

벡터

2 2

2 1

1

2 2 2

2 22 1

2 21

n nn n

n n

n

n n

x a x

x a x x a

x x a x

a x x a















































• Principal Axes Theorem (주축정리)

– 치환 에 의하여 2차 형식은 주축형식 또는 표준형으로 변환될 수 있음

2 2 1

1 n n n nn n

n x x a x x a x

a Xy

x  있음.

고유값 의

대칭행렬 행렬

표준형

) (

:

Q ^T ₁y₁² ₂y₂²  _ny_n² A

Dy y











   





직교행렬 하는

열벡터로 을

고유벡터 대응하는

고유값에

고유값 의

대칭행렬 행렬

, , ,

:

) (

:

, , ,

2 1 2

1

n n

x x

x 

 X

 A





Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Ex.5 Quadratic form. Symmetric Coefficient Matrix

  ₁² _{1 2 2}²

2 1 2

1 3 10 2

2 6

4

3 x x x x

x x x

T x    



 







 



  Ax x















2 1

5 5 10 6

4 이므로 c_jk a_jk a_kj 로 하는행렬A에 대응하는 대칭행렬



 



 

2 5

5 3

2 C

  ₁² _{1 2 2}²

2 1 2

1 3 10 2

2 5

5

3 x x x x

x x x

T x    



 







 



  Cx x

2





Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Ex.6 Transformation to Principal Axes. Conic Sections

– Find out what type of conic section (원뿔곡선) the following quadratic form represents and

transform it to principal axes:

128 17

30

17 ₁²  _{1 2}  ₂² 

 x x x x

Q

 

  ₁

2 2

17 15

, 15 17

x x

  

 

      

A x

 

2 2

1 2

: 17 15 0

: 2, 32 2 32

-

Q y y





 

    

특성방정식 고유값

Parabola Circle or H b l

2 2

1 2

2 2

1

8 2

y y

  

Parabola

(포물선) Circle or Ellipse (원 혹은 타원)

Hyperbola (쌍곡선)

http://en.wikipedia.org/wiki/Conic_section

Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Definiteness

–

Q x ( )  x Ax

N i d fi i if Q( ) 0 f ll 0

Q x ( ) x Ax

– Negative definite if Q(x)<0 for all x≠0

– Indefinite if Q(x)>0 and Q(x)<0 for all x≠0

• Positive Definiteness

All th i i l i iti ^{a11 a12 ... a1n } – All the principal minors are positive

11 0

a 

21 22 ... 2

. . ... .

a a a n

 

 

 

 

11 12

a a 0



11 12 13

21 22 23 0

a a a

a a a  det A 0

11

1 2 ...

n n nn

a a a

 

 

21 22

a a 0 _{21 22 23}

31 32 33

a a a 0

a a a



Eigenbases. Diagonalization.

Q d ti F

Quadratic Forms

• Example) compliance matrix of elastic material

– Positive strains energy requires the PositivePositive strains energy requires the Positive definiteness of matrix.  constraints of elastic parameters (elastic modulus and Poisson’s ratio)

1 0 0 0

1

E E E

 

 

   

 

 

 1 

0 0 0

1 0 0 0

x x

y y

z z

E E E

E E E

 

 

   

 

  

     

     

      

     

     

E  0 1

2

W   TS

0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 1 0

yz yz

xz xz

xy xy

G

 

 

 



     

     

     

     

   

     

1 1

 2

  

2

W: strain energy intensity S: compliance matrix

0 0 0 0 0

0 0 0 0 0 1

xy xy

G G

     

 

 

 

 

 