확률및통계 (2)
제 1절 표본공간과 사상
표본공간과 사상을 설명한다
사상의 연산과 연산법칙
동전 2번 던지는 실험
동전을 두 번 던졌을 때 나타나는 현상들 을 모두 나열해 봅시 다
} ,
, ,
{ HH HT TH TT
앞면을 H 로 뒷면을 T 로 표시 하면 다음의 표본공간 을 얻는다
여기서 얻어진 표본공간은 4개의 원소로 이루 어진 집합이다.
표본공간의 한 부분집합을 사상(event) 이라고 정의한다.
head tail
}, ,
, {
}, ,
, {
}, ,
, {
}, ,
, {
}, ,
{ }, ,
{
}, ,
{ }, ,
{ }, ,
{ }, ,
{
}, {
}, {
}, {
}, {
,
) (
TT TH
HT
TT TH
HH TT
HT HH
TH HT
HH
TT TH
TT HT
TH HT
TT HH
TH HH
HT HH
TT TH
HT HH
P
멱집합 의
생각하면 를
집합 부분집합의
의 ( )
P사상
.
} ,
{
}
, {
이다 등
경우 같은
동전표면이 번째
두 첫번째와
사상 앞면인
동전이 첫번째
들면 예를
그러므로
TTHH
HT HH
주사위 두 개 던지기
주사위 두 개의 표면에 나타날 수 있는 모든 경 우를 조사해 보면 다음과 같은 표본공간을 얻 게 된다.
6
4
(6,4)
이 때 나타나는 표본공간은
} 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1 ,
| ) ,
{(
i j i j
여기서 i 는 첫 번째 주사위의 표면에 나타난 숫 자이고 j 는 두 번째 주사위의 표면에 나타난
숫자를 나타낸다
} 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
| ) ,
1
{(
j j
A
다음과 같은 사상을 생각해보자
사상 B는 두 번째 주사위가 3을 나타내는 사건 을 의미한다
} 6 , 5 , 4 , 3 , 2 , 1
| ) 3 ,
{(
i i
B
사상 A는 첫 번째 주사위가 1을 나타내는 사건 이다
사상의 연산
1. 합사상
2. 곱사상
3. 여사상
4. 공사상
5. 배반사상
1. 합사상
표본공간 의 임의 의 두 사상 A 와 B 의 적어도 한쪽이 일어 나는 사상을 합사상 (union event)이라 한 다.
}
|
{ A B
B
A 또는
B A
A B
2. 곱사상
표본공간 의 임의의 두 사상 A 와 B 가 함께 일어나는 사상을 곱사상(intersection event)이 라 하며, 다음과 같이 표현한다.
}
|
{ A B
B
A 그리고
A B
B A
3. 여사상
사상 A가 일어나지 않는 사상을 여사상
(complement event)이라 하며 다음과 같이 표 현한다.
}
|
{ A
A
c
A Ac
4. 공사상
사건 A 가 어떠한 결과도 포함하지 않는 경우, 이러한 사상 을 공사상(null event or empty event)이라 하고 라고 표
현한다.
Empty set
5. 배반사상
A B
B A
.
없다 교집합이
와 B 는
A
예제 4
.
) (
), (
,
} {
},
{
}, {
},
{
2 1
4 3
2
3 2
1 1
4 3
2 1
구하시오 를
확률 의
사상 다음
때 할
라
시행에서 던지는
번 두
동전을
E P
E P
A A
E
A A
A E
TT A
TH A
HT A
HH A
가정한다 . 라
16 ) 9
(
16 , ) 3
(
16 ) 3
(
16 , ) 1
(
여기서
4 3
2 1
A P
A P
A P
A
P
16 0 7
0 0
16 0 3 16
3 16
1
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
3 2
1
3 2
3 1
2 1
3 2
1
3 2
1 1
A A
A P
A A
P A
A P
A A
P
A P
A P
A P
A A
A P
E P
풀이
1(1,2, A
2k
1, , k
2) | k
1, , k
23 , , n
A
n
n
,
2 , 1
) 2
(
1 2사상이므로 위치하는
자리에
번째 두
가 첫번째
이
A
A
.
) 1 (
1
!
)!
2 ) (
(
2 1
이다
확률은 구하는
n n n
A n A
P
이므로 )!
2 (
|
| A
1 A
2 n
.
) (
) (
) (
) (
) 3
( 1 2 1 2 1 2
이용한다 을
A A
P A
P A
P A
A
P
) 1 (
3 2
) 1 (
1 1
) 1 ( 1 2
n n
n
n n n
A n A
P
따라서
사상은 않으려면
있지 번호에
제 숫자도
어느
) 4 (
.
,
한다 아니어야
이 자리도
째
번 n
n
), ,
(
1
자리도 이 아니고 즉
A1c첫번째
), (
2
자리도 가 아니고
A2c번째
두
.
,
2 1
것이다 구하는
확률을 의
즉
c n c
c
A A
A
.
) (
1 22 1
것이다 구하는
확률을 의
그런데
c n c n c
c
A A
A
A A
A
,
배운 확률계산법을 이용하면 위에서
.
,
의미한다
을 즉
여사상
의 A
A
A
1
2
n,
) (
1
2 1
이고
확률은 하는
구하고자 그러므로
An
A A
P
.
)}
( )
1 (
) (
) (
) (
{ 1
) (
1
1 1
1
이다
n n
k j i
k j
i
j i
j i
i
i n
A A
P
A A
A P
A A
P A
P A A
P