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제7장 최적화 경제행동

7.1 1변수 함수의 극대-극소

1. y=f(x)의 극대[극소]조건

1) 1계 필요조건 dy/dx = f’(x) = 0.

해를 x*라 하자.

2) 2계 충분조건 d²y/dx² = f”(x*) < 0 (오목 성)

극소의 2계 충분조건: d²y/dx² = f”(x*) > 0 (볼록성)

[예 7-1] y= 3x ⁵ – 5x ³

-3 -2 -1 0 1 2 3

-1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5

x=-1: 극대점 x=1: 극소점

2. 필요조건 vs 충분조건 구분

• (1) 필요조건은 “필수적, 필수불가결한, 반 드시 성립해야 하는” 조건

• (2) 충분조건은 “반드시 성립해야 하는 것”

은 아니다. -> 극대화의 충분조건으로서

“4계 충분조건”, “6계 충분조건” 등이 있음.

7.2 경쟁기업의 단기 이윤극대화 (Cobb-Douglas 생산함수 예)

단기 생산함수 Q = F(L,K₀) =f(L) ≡ 2L^0.5 단기 이윤

π^s = pQ – wL = 2pL^0.5 –wL ≡ π^s(L) 기업의 단기 경제 문제

극대화 π^s(L) = 2pL^0.5 –wL {L}

<풀이>

1계 필요조건

dπ^s /dL = (2)0.5pL^-0.5 - w = 0 L* = (p/w)².

2계 충분조건

d²π^s /dL² = -0.5pL^-1.5 < 0 for all L>0

<해의 경제학적 해석>

(1) L* = (p/w)². 기업의 단기 노동수요함수 임금 상승 -> 노동수요량 감소

(2) Q = f(L*) = 2(L*)^0.5 = 2p/w 기업의 단기 (제품, 재화) 공급함수

제품가격(p) 상승 -> 공급량 증가

(3) 노동수요, 제품 공급 함수:

“p와 w에 관해 0차 동차”

L* = (p/w)² ≡ L*(p,w)로 두면

L*(θp, θw) = θ⁰ L*(p,w) for all θ

가 성립함. 즉 p와 w가 동시에 θ배 되면, L*는

“θ⁰=(θ의 0제곱)=1배” 된다. (L*값은 불변).

왜?

L* = (p/w)² ≡ L*(p,w)이므로 L*(θp, θw) = [(θp)/(θw)]²

= (p/w)² = L*(p,w)

이 때 기업은 “화폐착각을 하지 않는다(no money illusion)”고 말함.

7.3 일반적 생산함수 하의 단기 이윤극대화

단기 생산함수 Q = f(L,K₀)

가정 f_L(L,K₀) > 0 [MP_L은 양], f_LL(L,K₀) > 0 [MP_L 체감]

단기 이윤

π^s = pQ – wL = pf(L,K₀) –wL - rK₀≡ π^s(L) 기업의 단기 경제 문제

극대화 π^s(L) {L}

<풀이>

1계 필요조건

∂π^s / ∂ L = pf_L(L,K₀) - w = 0 풀면 음함수 L* = L*(p,w).

2계 충분조건

∂²π^s / ∂L² = pf_LL(L,K₀) < 0 for all L>0

비교정학 분석

1계 항등식

pf_L(L*(p,w),K₀) - w ≡ 0 W(또는 p)로 미분하여

∂L*(p,w)/∂w, ∂L*(p,w)/∂p 를 구하면 된다.

7.4 2변수 함수의 극대조건

y = f(x₁, x₂)

1계 필요조건?

2계 충분조건?

1. 1계 필요조건

(1) 1변수 함수 y=f(x)의 극대조건의 확장 1계 필요조건

dy/dx = f’(x) = 0

(기하학적 의미: 그 점에서 접선이 수평임)

↔ dy = f’(x) dx = (0) dx = 0 for all dx≠0 (y의 1계 미분 dy가 0)

(2) y = f(x₁, x₂)의 1계 전미분 dy:

dy = f₁(x₁, x₂) dx₁ + f₂(x₁, x₂) dx₂ = 0 for all (dx₁,dx₂) ≠ (0,0)

[3차원 곡면 y = f(x₁, x₂)의 한 점에 접하는 접평면이 수평을 이룸]

↔ f₁(x₁, x₂) = 0, f₂(x₁, x₂) = 0

[예 1] 함수 y = f(x₁, x₂)= 10 – (x₁-3)² - (x₂-3)² 의 극대점은? [예 6-3] 참조

1계 필요조건

f₁(x₁, x₂) = -2(x₁-3) = 0 f₂(x₁, x₂) = -2(x₂-3) = 0 따라서 (x₁⁰, x₂⁰) = (3,3)

(a) 이 1계 필요조건을 충족하지 않는 점, (x₁, x₂) = (2,2) 의 예시

점 (x ₁ , x ₂ )=(2,2)에서 접하는 접평면

은 수평이 아님!

점 (x ₁ , x ₂ )=(2,2)에서 계산한 전미분

= 그 점에 접하는 접평면(수식)

f₁(2, 2) = 2, f₂(2, 2) = 2이므로

dy = f₁(x₁, x₂) dx₁ + f₂(x₁, x₂) dx₂

= 2dx₁ + 2dx₂

• (dx₁, dx₂)=(1,1)일 때 dy=4,

• (dx₁, dx₂)=(-1,-1)일 때 dy=-4,

• (dx₁, dx₂)=(1,-1)일 때 dy=0, 등등

(b) 1계 필요조건을 충족하는 점, (x

, x

)

= (3,3)에서의 접평면과 전미분

어떤 (dx₁, dx₂)에 대해서도 접평면 을 따라 계산한 dy=0

2. 2계 충분조건

(1) 1변수 함수 y=f(x)의 극대조건의 확장

2계 충분조건

d²y/dx² = f’’(x*) < 0

(기하학적 의미: 그 점에서 곡선이 오목함)

↔ d²y = f”(x*) dx² < (0) dx² = 0 for all dx≠0 (y의 2계 미분 dy²이 음일 것)

(복습)

(2) y = f(x₁, x₂)의 2계 전미분 d²y:

d²y =d[dy] = d[df(x₁, x₂)]

=d[f₁(x₁, x₂) dx₁ + f₂(x₁, x₂) dx₂ ]

= [df₁(x₁, x₂)] dx₁ + [df₂(x₁, x₂) ]dx₂ 그런데

df₁(x₁, x₂) = f₁₁(x₁, x₂)dx₁ + f₁₂(x₁, x₂) dx₂ df₂(x₁, x₂) = f₂₁(x₁, x₂)dx₁ + f₂₂(x₁, x₂) dx₂

점 (x ⁰ )=(x ₁ ⁰ , x ₁ ⁰ )에서 계산

d²y = [f₁₁(x⁰)dx₁ + f₁₂(x⁰) dx₂] dx₁ + [f₂₁(x⁰)dx₁ + f₂₂(x⁰) dx₂] dx₂

= f₁₁(x⁰)dx₁² + 2f₁₂(x⁰) dx₁dx₂ +f₂₂(x⁰)dx₂²

= f₁₁⁰ dx₁² + 2f₁₂⁰ dx₁dx₂ +f₂₂⁰dx₂² 단, f_ij⁰ =f_ij(x⁰) , i,j=1,2

극대점의 2계 충분조건

d²y= f₁₁⁰ dx₁² + 2f₁₂⁰ dx₁dx₂ +f₂₂⁰dx₂²

< 0 for all (dx₁,dx₂) ≠ (0,0)

어떤 조건이 성립하면 이렇게 될까?

기법:

d²y = f₁₁⁰

dx

+ 2f

dx

dx

= f₁₁⁰ [dx₁² + 2(f₁₂⁰/f₁₁⁰)dx₁dx₂] +f₂₂⁰ dx₂²

= f₁₁⁰ [dx₁² + 2(f₁₂⁰/f₁₁⁰)dx₁dx₂

+(f

/f

)

dx

- (f

/f

)

dx

= f₁₁⁰

[dx

+(f

/f

)dx

]

– [(f₁₂⁰)²/f₁₁⁰] dx₂² +f₂₂⁰dx₂²

= f₁₁⁰ [dx₁+(f₁₂⁰/f₁₁⁰)dx₂] ²

+ [(f₁₁⁰f₂₂⁰ – f₁₂⁰² )/f₁₁⁰]dx₂²

2계 충분조건

< 0 for all (dx₁,dx₂) ≠ (0,0)

여기서

[dx₁+(f₁₂/f₁₁)dx₂] ² >0 및 dx₂² ≥ 0 for all (dx₁,dx₂) ≠ (0,0)!

따라서 그 계수들이 음이면 된다. 즉

(42a) f₁₁< 0, (42b) (f₁₁f₂₂ – f₁₂² )/f₁₁ < 0.

(42a)를 (42b)에 적용하면, 이 조건들은 (42a) f₁₁< 0, (42b’) f₁₁f₂₂ – f₁₂² > 0.

극대점의 2계 충분조건: 요약

(42a) f₁₁⁰< 0,

(42b’) f₁₁⁰ f₂₂⁰ – (f₁₂⁰) ² > 0.

편리한 기억법을

위해

(a) 함수 f(x

, x

)의 헤세(Hesse) 행렬 또 는 헤시안(Hessian)

--

단, f_ij⁰ =f_ij(x⁰) , i,j=1,2

• k계 순차 주소행렬식(順次 主小行列式:

successive principal minor) = 정방행렬에 서 우하향 하는 주대각선을 따라 (제1행- 제1열의 원소로부터) 제 k행-제 k열의 원 소까지 포함하는 좌상의 부분 행렬식= |H^k|

극대점의 2계 충분조건: 요약

(42a) |H₁| = f₁₁⁰< 0,

(42b’) |H₂|= f₁₁⁰ f₂₂⁰ – (f₁₂⁰) ² > 0.

3. 극소점의 2계 충분조건

(1) 1변수 함수 y=f(x)의 극소조건의 확장

2계 충분조건

d²y/dx² = f’’(x*) > 0

(기하학적 의미: 그 점에서 곡선이

볼록함)

↔ d²y = f”(x*) dx² > (0) dx² = 0 for all dx≠0 (y의 2계 미분 dy²이 양일 것)

(2) y=f(x

, x

)의 극소점의 2계 충분조건

>

(43a) f₁₁ > 0, (43b) (f₁₁f₂₂ – f₁₂² )/f₁₁ > 0.

(43a)를 (43b)에 적용하면, 이 조건들은 (43a) |H₁| = f₁₁> 0,

(43b’) |H₂| = f₁₁f₂₂ – f₁₂² > 0.

4. [예 7-9]

y=f(x ₁ ,x ₂ )=10-(x ₁ -5) ² – 3(x ₂ -1) ²

1계 필요조건

정상점은 (x₁⁰,x₂⁰)=(5,1)

2계 충분조건