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2010학년도 대학수학능력시험 대비
2009년도 10월 고3 전국연합학력평가 정답 및 해설
• 수리 영역 •
수리‘가’형 정답
1 ④ 2 ② 3 ① 4 ② 5 ③
6 ③ 7 ④ 8 ④ 9 ⑤ 10 ⑤
11 ① 12 ② 13 ⑤ 14 ③ 15 ③
16 ① 17 ⑤ 18 19 20
21 22 23 24 25
해 설
1. [출제의도] 로그 계산을 할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
log log log
2. [출제의도] 행렬의 곱셈을 할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
따라서 행렬 의 모든 성분의 합은 이다.3. [출제의도] 함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(주어진 식)lim
→
4. [출제의도] 삼차함수의 극값을 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
는 에서 극솟값 , 에서 극댓값 을 갖는다. 따라서 구하는 직선의 기울기는 이다.
5. [출제의도] 분수부등식을 풀 수 있는가를 묻는 문제 이다.
(ⅰ) ≦ ∴ , ≦ ≦ (ⅱ)
에서 자연수인 해를 가지려면
이다.
∴
6. [출제의도] 연속과 미분가능성을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
함수 가 ±에서 미분가능해야 하므로
, ′ 이고
, ′ 이다.
∴
7. [출제의도] 역함수의 성질을 알고 정적분을 이용하 여 넓이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
이므로
8. [출제의도] 이차곡선의 성질을 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
PF PF′ 이므로 이다.
× 이므로 AF 이다.
AF′ FF′ 이므로 AF′ FF′ 이다.
9. [출제의도] 공간도형의 성질을 알고 이를 이용하여 선분의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
MQ가 최대가 되려면 점 B를 지나야 하므로 (최댓값) MB
10. [출제의도] 함수의 연속성을 이해하고 있는가를 묻 는 문제이다.
ㄱ. lim
→ ∘ , ∘ ∴ 불연속 ㄴ. lim
→
∘ ∘ ∴ 연속
ㄷ. lim
→ ∘ ∘
∴ 연속
11. [출제의도] 벡터의 내적에 관한 성질을 알고 선분 의 길이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
로 놓고 평면의 방정식에 대입하면
∴ A
OA· OP OP· OP에서 OP · AP 이다.
따라서 점 P는 선분 OA를 지름으로 하는 구 위의 점이고, 이 구의 중심의 좌표는 , 반지름의 길이는 이므로 구하는 최댓값은
12. [출제의도] 상용로그의 가수의 뜻을 이해하고 이를 활용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ. log log의 가수가 이므로 (참) ㄴ. ㄱ에서 를 대입하면 이므로
으로 개이다. (참) ㄷ. 을 만족시키는 순서쌍 는
, 으로 개 이다. (거짓)
13. [출제의도] 조합의 성질을 이용하여 증명할 수 있 는가를 묻는 문제이다.
,
⋯
C,CC⋯ C C
14. [출제의도] 로그함수와 등차수열을 이해하고 이를 활용하여 공차를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
등차수열 의 공차를 라 하면
에서 ,
∴
15. [출제의도] 행렬의 곱셈에 대한 성질과 역행렬의 존재성을 이해하고 옳은 성질을 찾는 문제이다.
ㄱ. ∴ (참)
ㄴ. (반례)
일 때
이므로≠ ∴ (거짓)
ㄷ. 이므로 이고,
≠ 이다.
∴ (참)
16. [출제의도] 도형의 넓이를 무한등비급수의 합으로 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
정육각형 H의 한 변의 길이를 이라 하면
cos°
∴
∞
17. [출제의도] 주어진 수열의 일반항을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
ㄱ. (참) ㄴ. 이므로
(참)
ㄷ. 제 행의 수의 합을 라 하면
∴ ⋯
(참)
18. [출제의도] 이항정리를 이해하고 이를 활용하여 이 항계수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
C
C 이므로의 계수는 C 이다.
19. [출제의도] 벡터의 내적을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
AD AE ED이므로 EDAD AE 따라서 AD AD· AEAE 이므로
AD · AE
20. [출제의도] 분수방정식을 이용하여 실생활과 관련 된 문제를 해결할 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴ (km/시)
21. [출제의도] 회전체의 부피를 구할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
접선의 방정식은 ± 이고, 두 접점 P, Q의 좌표는 각각 , 이다.
이때, 점 A, P, Q를 지나는 원의 방정식은
이다.
∴
22. [출제의도] 정규분포를 이해하고 이를 활용하여 확 률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
사건 가 일어나는 횟수를 확률변수 라 하면 는 이항분포 B
을 따르므로E , V
이때 시행횟수가 충분히 크므로 는 근사적으로 정 규분포 N 을 따른다.
P ≦ P ≦
∴
23. [출제의도] 확률의 곱셈정리와 조건부확률을 이용 하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
A팀이 우승하였을 때 (가)에서 이겼을 확률은
∴
24. [출제의도] 공간도형의 성질을 이용하여 두 구의 중심 사이의 거리를 구할 수 있는가를 묻는 문제 이다.
그림과 같이 세 평면과 두 구 의 평면 위로의 정사영을 생각하자. 오른쪽 그림에서
∠OAD ∠OBE 이므로 OD
, OE
이다.
따라서 DE BC
이므로 AB
이다.
이므로 이다.
25. [출제의도] 순열의 뜻을 이해하여 조건에 맞는 경 우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
맨 위 가로줄에 모자를 거는 방법의 수는 이다.
맨 위에 A B C D의 순서로 배열할 때 A의 아래에 B 가 오는 경우는 다음과 같이 가지 경우가 있다.
2
맨 위 A B C D
가운데
B A D C
B C D A
B D A C
위의 경우 중에서
맨 위 A B C D
가운데 B A D C
인 경우 맨 아래 줄에 배열하는 방법이 가지이고, 나머지 경우는 각각 가지씩 있으므로 구하는 방법 의 수는 × × 이다.
[미분과 적분]
26 ③ 27 ① 28 ② 29 ④ 30
26. [출제의도] 삼각함수의 극한을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(주어진 식)lim
→
sin
cos
27. [출제의도] 정적분을 이용하여 두 곡선 사이의 넓 이를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
ln ∴
28. [출제의도] 삼각함수의 덧셈정리를 이용하여 방정 식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
AB 라 하면 AE cos∘
cos sin
AD cos∘
cos sin
sin sin 이므로 sin
29. [출제의도] 미분과 적분을 이용하여 속도, 가속도, 운동거리를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
ㄱ.
일 때 ⋅
≠ (거짓) ㄴ.
(참)ㄷ.
≧
(참)
30. [출제의도] 미분을 이용하여 속력을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
초 후에 P cos sin이고, 직선의 방정식은
cos
sin 이므로 점 Q의 좌표는
cot
∴
cosec ∴
[확률과 통계]
26 ④ 27 ① 28 ③ 29 ② 30
26. [출제의도] 줄기와 잎 그림을 이해하고 대푯값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
이므로 중앙값은
이다.
27. [출제의도] 독립시행의 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
≧ 이고, 이때 한 번의 시행에서 사건 가 일어날 확률은
이므로 C
28. [출제의도] 배반사건과 독립사건을 이해하고 있는 가를 묻는 문제이다.
ㄱ. (반례) 표본공간이 일 때,
, ,
ㄴ. (반례) 표본공간이 일 때,
, ,
ㄷ. 는 배반이므로 는 종속이다. (참) 29. [출제의도] 모비율을 추정할 수 있는가를 묻는 문
제이다.
×
에서 표본비율 는 정규 분포 N 를 따른다.
라 하면
P
≧
P≧ P
≧
∴
30. [출제의도] 이산확률변수의 평균을 구할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
E ×
×
×
×
×
E E ×
[이산수학]
26 ② 27 ④ 28 ⑤ 29 ① 30
26. [출제의도] 경우의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
빨간색, 파란색 구슬을 각각 , 개씩 택한다고 하면
, 일 때 , , 일 때
, 일 때 , , 일 때 따라서 구하는 방법의 수는 (가지) 27. [출제의도] 그래프와 인접행렬을 이해하고 있는가
를 묻는 문제이다.
ㄱ. 그래프 는 그림과 같으므로 평면그래프이다. (참) ㄴ. 그래프 의 변의 수가 이므 로 개의 변을 추가해야한다. (거짓)
ㄷ. 구하는 합은 각 꼭짓점의 차수의 합과 같다.
(참)
28. [출제의도] 생성수형도를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
내부의 변을 개 삭제하는 경우 : (개) 내부의 변을 개 삭제하는 경우 : (개) 내부의 변을 삭제하지 않는 경우 : (개)
∴ (개)
29. [출제의도] 선거에 대한 영향력을 구할 수 있는가 를 묻는 문제이다.
30. [출제의도] 평면그래프를 이해하고 있는가를 묻는 문제이다.
, , , ⋯이므로 ×
수리‘나’형 정답
1 ④ 2 ② 3 ① 4 ⑤ 5 ④
6 ③ 7 ③ 8 ④ 9 ② 10 ②
11 ④ 12 ② 13 ⑤ 14 ③ 15 ③
16 ① 17 ⑤ 18 19 20
21 22 23 24 25
26 ② 27 ① 28 ⑤ 29 ① 30 41
해 설
1～2. ‘가’형과 같음.
3. [출제의도] 무한등비수열의 극한값을 구할 수 있는 가를 묻는 문제이다.
lim
→∞
⋅
4. [출제의도] 등차수열의 일반항을 이해하고 이를 활 용할 수 있는가를 묻는 문제이다.
, 공차를 라 하면
, ∴
∴
5. [출제의도] 원과 직선의 위치관계를 이해하여 행렬 을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
원의 중심에서 직선까지의 거리는
이다.
∴
6. [출제의도] 수열의 극한의 성질을 이용하여 극한값 을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→ ∞
로 놓으면 ∴
7. [출제의도] 독립과 종속의 뜻을 이해하고 이를 활용 하여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
P ∪
이므로
P∪∪ P∪ P
8. [출제의도] 거듭제곱근의 뜻을 이해하고 이를 활용 하여 수열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
(ⅰ) (는 자연수)일 때
⋯
(ⅱ) (는 자연수)일 때
⋯
이때
이므로 ∴ 9. [출제의도] 이항분포를 따르는 확률변수의 평균을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
는 이항분포 B
을 따르므로E
P ×
∴
P 10. [출제의도] 로그의 성질을 이해하고 이를 활용하여 지수방정식을 풀 수 있는가를 묻는 문제이다.
∴ ,
이때, 이므로 이다.
11. [출제의도] 등비수열의 뜻과 일반항을 이용하여 원 리합계를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
회( ⋯ ) 입금액의 원리합계는
⋅ ⋅⋅
⋅⋅
3
이므로 구하는 원리합계는
⋅⋅⋅ (만 원) 12～18. ‘가’형과 같음.
19. [출제의도] 등비수열의 성질을 이해하여 무한등비 급수의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
, 이므로
∴
∞
20. [출제의도] 원순열의 수를 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
구하는 방법의 수는
가지이다.
21. [출제의도] 연립방정식이 해를 갖지 않을 조건을 행렬을 이용하여 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
방정식이 해를 갖지 않으려면
≠
이 성립하여야 한다.
따라서 순서쌍 는 , ,
, , 으로 개이다.
22～23. ‘가’형과 같음.
24. [출제의도] 지수함수의 그래프를 이해하고 등차수 열의 합을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
그림에서 수열 은 ⋯이므로 첫째항이
, 공차가 인 등차수열을 이룬다.
∴
25. ‘가’형과 같음.
26. [출제의도] 원의 성질을 이해하고 극한의 성질을 이용하여 극한값을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
lim
→ ∞
lim
→ ∞
27. [출제의도] 행렬의 곱셈을 활용할 수 있는가를 묻 는 문제이다.
차 조사에서 찬성한 사원의 비율과 반대한 사원의 비율을 나타내는 행렬이 일 때, 차 조사 에서 찬성한 사원의 비율은 로 행렬
의 성분과 같다.
28. [출제의도] 수열의 규칙성을 발견할 수 있는가를 묻는 문제이다.
로그의 성질에 의해 이므로 수열 은
이 반복되어 나타난다.
ㄱ. × 이므로
(참)
ㄴ.
×
(참) ㄷ. lim
→ ∞
이다. (참)
29. [출제의도] 신뢰구간을 구할 수 있는가를 묻는 문 제이다.
×
≦ ≦ ×
∴ ≦ ≦
30. [출제의도] 이항계수의 성질과 확률의 뜻을 이해하
여 확률을 구할 수 있는가를 묻는 문제이다.
CCCCC 이므로 구하는 확률은
C
이다.
∴
