71
Self-propelled particle의 상 분리와 그에 대한 leader 및 seed입자의 영향 조영수,1 노찬우, 정연준*
1서울시 관악구 신림동 관악로 599 서울대학교 대학원 화학부, 151-747 E-mail: annie1029@snu.ac.kr
Active matter는 스스로 에너지를 가지고 움직이는 개체들이 서로 상호작용을 하여 집 단적인 움직임을 보이는 물질이다. Rotational noise model은 반발 상호작용과 rotational noise를 가지고 있는 self-propelled particle로 active matter를 설명한다. 이 연구에서는 rotational noise model에서의 상 도표와 클러스터 형성을 알아보고 입자들의 집단적인 운동을 도와주거나 방해할 수 있는 leader 입자와 seed가 클러스터의 운동에 어떠한 영 향을 주는지 알아본다.
핵심어 : Active matter, Self-propelled particle, 상 분리
서론
새와 물고기부터 박테리아와 세포까지 비슷 한 크기의 유기체 집단의 운동은 흥미로운 현 상을 보인다.1,2 이들 각각은 임의의 방향으로 움직이나 전체적으로는 특정 방향으로 움직이 는 한 집단의 형태를 보인다. 이와 같이 각 개 체가 스스로 속력을 가지고 운동하는 active matter의 운동을 설명하기 위해 self-propelled particle(SPP)을 이용한 여러 가지 모델이 제안 되어 왔다.3 Active matter중에서도 새나 물고 기와 같이 동물들이 무리 지어 움직일 때는 집단이 움직일 때 모든 개체가 같은 양의 정 보를 가지고 있는 것이 아님에도 집단은 항상 목적지에 도착한다. 따라서 집단을 목적지에 대한 정보를 가지고 있는 개체(leader)와 그렇 지 않은 개체(follower)로 나눈 leader-follower 모델이 제안되었다.4,5 이 모델에서 각 개체는 서로 어느 개체가 leader 혹은 follower인지 구 별하지 못하지만 집단은 결과적으로 leader가 의도한 방향으로 움직인다. 이 연구에서는 active matter의 모델 중 하나인 rotational noise model의 상 도표를 통해 leader의 영향
을 알아봄과 동시에 그와 반대의 영향을 준다 고 볼 수 있는 멈춰있는 개체(seed)의 영향을 알아본다.
이론 및 계산방법
SPP는 일정한 속력을 가지고 운동하는 입자 로, 임의의 perturbation에 반응하며 입자들 간 의 상호작용을 가진다. Perturbation과 상호작 용의 종류와 형태에 따라 다양한 모델이 제안 되어 왔다.6 그 중 rotational noise model에서 perturbation은 rotational noise 뿐이고 상호작 용은 부드러운 반발력만 가지고 있는 간단한 모델로 기존에 나와 있는 복잡한 상호작용을 가진 모델과 같이 입자들이 하나의 무리로 뭉 치는 상 분리를 보인다는 것이 알려져 있다.7, 8
2차원 상에서 한 변의 길이가 L인 정사각형 상자에 periodic boundary condition을 적용했 다. 상자 안에는 반지름 인 입자 N개가 들어 있으며 밀도는 ϕ =로 정의했다. 번째 입 자는 일정한 속력 로 = (cos , sin ) 의 방향으로 운동하려는 자기 추진력을 가짐과
72
동시에 다른 입자 사이의 반발력 를 받아
= + �와 같이 움직인다. 이때
는 mobility이다. 운동 방향 에는 rotational noise가 rotational diffusion rate 로 작용하 여 = (), �()(′)�= 2( − )와 같이 된다. 입자 와 입자 사이에 작용하는 반발력은 = (− )/, = − 일 때
< 2 이면 = −(2 − ) 이고 그 외에는 = 0이다. 이 때 는 반발 계수로 와 는 상 도표에 큰 영향을 주지 않으므로 각각 1과 10으로 고정하여 계산했다.8, 9 밀도 는 낮을수록 클러스터를 형성하기 힘들어 상 이 액체 상태에 가까워지고 높을수록 유리상 혹은 고체 상이 된다. 이 연구에서는 그 경계 부분이라 할 수 있는 밀도 ϕ = 0.4, 0.5, 0.6 에 대해 계산했다. 반지름 = 0.5 의 입자 N = 2000 개에 대해 = 10 의 시간 동안 시 뮬레이션을 실행했으며 모든 물리량은 세 개 의 trajectory에 대해 평균값을 구했다.
본 연구 결과는 크게 두 가지 부분으로 나 누어 생각할 수 있다. 첫 번째로 계의 밀도와 입자의 속력, 그리고 rotational diffusion rate이 order parameter를 어떻게 변화시키는지 상 도 표를 그려 이들이 계의 상태에 미치는 영향을 살펴본다. 이 때 order parameter로는 최대 클
러스터 크기 와 입자들이 육각 구조를 이 루는 정도에 대한 ||를 정의하였다. 두 번째 로 leader 입자와 seed 입자가 계의 동역학적 성질과 상에 어떤 영향을 미치는지 살펴 보았 다.
Leader인 입자는 임의로 선택되어 = 0(그 림 상에서 오른쪽 수평 방향)으로 고정하여 leader 입자의 개수 가 클러스터의 운동 에 주는 영향을 알아보았다. 멈춰있는 입자의 무리인 seed는 최대로 밀집되어 있는 육각형 의 형태로 system의 중간에 위치하도록 했고 육각형의 한 변의 길이인 seed의 크기가 클러 스터의 운동에 주는 영향을 알아보았다.
결론 및 토의
1. 상 도표 분석
입자들의 상은 크게 다음과 같이 세 가지 로 구분할 수 있다.
그림 1에서 첫 번째 상 (a)는 입자들이 전혀 뭉치지 않는 상태로 액체 상태와 같다고 할 수 있다. 입자들이 점점 뭉치기 시작하면 여러 개의 작은 집합체를 형성하며 (b) 와 같이 되 지만 시간이 아무리 지나도 하나의 클러스터
그림 1. (a) 액체 상태( = . , = . , = . ) (b) 작은 집합체를 형성한 상태( = . , = . , =
. ) (c) 상 분리 현상이 일어난 상태( = . , = . , = . )
(a) (b) (c)
73
를 형성하지는 않는다. 입자들이 완전히 하나 의 클러스터를 형성하여 (c)처럼 되면 고체 상 태와 유사한 클러스터와 기체 상태와 유사한 빈 공간으로 분리되는 상 분리가 일어나게 된 다.
그림 2는 그림 1의 각 조건에서의 radial distribution function이다. 그림 1의 (c)에서와 같이 고체에 가까운 상태에서는 육각 결정 구 조를 형성해 이 각각 1, �3, 2 … 에서 높은 peak을 보인다. 한 입자에서 가장 가까운 입자 까지의 거리는 1.1 이하라고 볼 수 있으므로 입자 와의 거리 < 1.1인 입자 를 인접 입 자로 정의했다. 또한 입자들이 서로 인접 입자 고 각 입자들의 인접 입자 개수가 4개 이상일 때 하나의 클러스터로 정의했으며 가장 큰 클 러스터를 이루고 있는 입자의 개수를 로 정의했다. 그림 4는 를 order parameter 로 사용하여 과 를 변화시켜가며 계산한 상 도표를 보여주고 있다.
그림 2. Radial distribution function
클러스터가 안정적으로 형성되면 육각 구조 로 밀집되기 때문에 그 안정성을 알아보기 위 해 || 를 계산했다. 는 입자 위치의 규칙 성을 알아보는 함수로 입자 와 그의 인접 입 자인 입자 를 잇는 직선이 x축과 이루는 각도 를 (그림 4), 입자 의 인접 입자의 개수를
,라고 하면 (수식 1)과 같이 정의된다. 입
자 의 인접 입자가 규칙적으로 배열될수록
가 π/3씩 차이가 나므로 클러스터가 규칙성 이 높을수록 ||가 1에 가까워진다.
= �1
1
, exp(6)
� (수식1)
Rotational noise model에서 입자들 간에 인 력이 작용하지 않음에도 클러스터를 형성하는 이유는 다음과 같이 설명할 수 있다. 그림 6에 서 어떤 클러스터에 들어가는 입자의 속력을
, 클러스터에서 나가는 입자의 속력을
이라고 하면 은 × 에 비례하고 은
에 비례하게 된다. 이 때 과 가 적절하 게 균형을 이루어 > 이 되면 입자들 이 클러스터를 형성하게 된다.
그림 4와 그림 5로부터 밀도가 높을수록 더 크고 안정적인 클러스터를 형성한다는 것을 알 수 있다. 상 도표는 그림 7과 같이 세 가지 영역으로 구분하여 생각할 수 있다. 1번 영역 은 이 크고 가 작은 부분으로 입자들이 충 분히 모이기 전에 확산되어 클러스터가 형성 되지 않는다. 2, 3번 영역은 입자가 확산되는 속도보다 모이는 속도가 커 클러스터가 형성 된다. 2번 영역은 클러스터가 오랜 시간 동안 안정적으로 유지된다. 3번 영역은 가 커서 부드러운 반발력으로 작용하는 다른 입자들을 뚫고 지나가기 때문에 클러스터가 비교적 작 게 형성되며 불안정하다.
그림 3.
74
그림 6. 클러스터 형성 과정. 화살표는 입 자의 속도 벡터를 의미한다.
그림 4. 밀도 별 최대 클러스터 크기. 오른쪽의 색깔이 를 의미한다.
그림 5. 밀도 별 ||. 오른쪽의 색깔이 ||를 의미한다.
1
2
3
그림 7. 상도표의 구분
2. Leader 입자와 seed 입자의 영향
Leader 입자와 seed 입자의 영향을 알아보 기 위해 최대 클러스터의 크기를 알아보았다.
그림 8. 그래프. = . , = . . none은 일반적인 입자만 있는 계이다. Seed 그래프는 seed의 크기가 6이다. Seed와 leader 를 구성하는 입자의 개수가 같도록 leader 그 래프에서의 는 127로 두었다.
그림 8에서 leader 입자는 클러스터의 형성 자체에 크게 영향을 주지 않는 것을 볼 수 있 다. Seed를 넣은 경우 입자의 속력이 클 때에 는 더 큰 클러스터를 형성하는 것을 볼 수 있 다. 입자의 속력이 큰 이 부분은 그림 7의 3번 영역에 해당한다고 볼 수 있는데 속도가 빠른
입자들에 의해 클러스터가 뚫리는 다른 두 계 와 달리 seed가 있을 경우에는 입자가 클러스 터를 밀치는 것을 seed가 방해하기 때문에 더 큰 클러스터를 형성한다.
Leader 입자를 넣었을 때 클러스터의 형성 에는 도움을 주지 않지만 입자들의 전체적인 방향성에서 차이가 나는데 이는 시간 에서 입자 의 단위 시간당 변위 () 를 이용한 parameter 를 통해 알 수 있다. 는 �� |()
()|
�로 정의되며 그 값이 1에 가 까울수록 입자들이 같은 방향으로 움직이고 0 에 가까울수록 무작위로 움직인다.9 이 때 leader 입자는 제외하고 계산했다.
그림 9. 밀도 . , = . 에 대해 plot한 .
76
그림 9로부터 leader 입자의 개수가 많을수 록 입자들이 같은 방향으로 움직인다는 것을 알 수 있다. 또한 20%의 leader 입자
( = 400)만으로도 클러스터 운동이 어느
정도 일정한 방향성을 확보한다. Leader가 없 는 경우( = 0)라 하더라도 구조가 규칙적 이고 안정한 클러스터를 형성했으면(= 0.01) 클러스터가 같은 방향으로 움직인다. 그러나 그림 10에서 알 수 있듯이 leader 입자가 없으 면 안정한 클러스터를 형성했어도 클러스터 내에 운동 방향이 다른 입자들이 존재한다. (왼 쪽 그림에서 원으로 표시되어 있는 부분) Leader 입자가 있을 경우 클러스터 내 입자의 운동 방향이 모두 같고 속도 벡터의 크기 또 한 커진다.
그림 11. 밀도 . , = . 에 대해 멈 춰있는 입자의 비율
계에 Seed를 넣으면 입자들이 서로 밀치며 끼어 있기 때문에 클러스터를 형성한 채 멈춰 있는 입자가 생긴다. 멈춰 있는 입자의 비율을 계산해보면 그림 11과 같다. 이 때 seed를 형 성하고 있는 입자는 제외하고 계산했다. Seed 의 크기가 클수록 멈춰있는 입자의 비율이 높 아지며 이로부터 큰 seed가 클러스터의 운동 을 더 효과적으로 방해한다는 것을 알 수 있 다. 입자의 속도가 느릴 때에는 일반적인 입자 도 다른 입자들의 운동을 방해하여 seed의 역 할을 하기 때문에 seed의 크기에 따른 차이가
그림 12. 밀도 0.5 , = 0.01, = 0.0001 . seed 크기 12. 빨간색 육각형이 seed이다.
거의 없다.
결론
SPP가 rotational noise와 입자간 반발력만을 가지고 있는 rotational noise 모델에서도 입자 의 속력과 rotational diffusion rate이 적절하다 면 상 분리가 일어나 클러스터를 형성한다는 것을 알아보았다. 이 모델에 운동 방향이 일정 한 leader 입자를 넣으면 그 비율이 20%만 되 어도 전체 클러스터가 leader 입자의 고정된 방향으로 움직인다. 그와는 반대로 멈춰있는 입자들의 덩어리인 seed를 넣으면 클러스터를 형성하되 움직이지는 않게 된다.
이 연구에서는 periodic boundary condition을 적용하여 상을 관찰했지만 실제 active matter가 놓여있는 상황은 open boundary condition이 더 적합한 경우가 많다.
이후의 연구에서는 open boundary condition 에서의 상 도표에 대해 알아보고자 한다.
77
감사의글
본 논문은 2015년도 정부(미래창조과학부)의 재원으로 한국연구재단 첨단 사이언스·교육 허 브 개발 사업의 지원을 받아 수행된 연구임 (No. NRF-2012-M3C1A6035357)
참고문헌
1. Ballerini, M.; Cabibbo, N.
Proc. Natl. Acad.
Sci.
2008,105
, 4.2. Woods, M. L.; Carmona-Fontaine, C.
PloS one
, 2014,9
, e104969.3. Vicsek, T.; Czirok, A.
Phys. Rev. Lett
. 1995,75
, 1226.4. Couzin, I. D.; Krause, J.
Nature
. 2005,7025
, 433.5. Wynn, M. L.; Kulesa, P. M.
J. R. Soc. Interface
. 2012,9,
1576.6. Yates, C. A.; Baker, R. E.
Canadian Applied Mathematics Quarterly
. 2010,18
, 3.7. Fily, Y.; Marchetti, M. C.
Phys. Rev. Lett
. 2012,108
, 235702.8. Fily, Y.; Henkes, S.
Soft Matter
. 2014,10
, 2132.9. Szabo, B.; Szollosi, G. J.
