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면)2011학년도 중등교사신규임용후보자선정경쟁시험
수 학
2차 시험 1교시 2문항 50점 시험 시간 120분
수험생 유의 사항
1. 문제지(초안 작성 용지 포함)와 답안지의 전체 면 수와 인쇄 상태를 확인하시오. 답안지는 문항당 2쪽(교시당 4쪽), 초안 작성 용지는 교시당 4쪽입니다. 답안은 문항당 2쪽 이내로만 작성하시오.
2. 답안지 모든 면의 상단에 컴퓨터용 사인펜을 사용하여 성명과 수험 번호를 기재하고, 수험 번호, 문항별 답안지 쪽 번호를 해당란에 ‘●’ 로 표기하시오. ‘●’ 로 표기한 부분을 수정하고자 할 경우에는 반드시 수정 테이프를 사용하시오.
(예시) 1번 문항, 2번째 답안지 표기
문항 1 전용 답안지
쪽 번호 표기란
①
●
3. 답안은 지워지거나 번지지 않는 동일한 종류의 검정색 펜을 사용하여 작성하시오(연필이나 사인펜 종류는 사용할 수 없음.).
4. 수학, 과학 과목 등 필요한 경우 답안지 가운데 선을 그어 좌우의 2단으로 나누어 답안을 작성해도 됩니다.
5. 답안지에는 문항 내용을 일절 옮겨 적지 마시오. 단, 하위 문항이 있을 경우, 하위 문항의 번호(1-1, 1-2)를 답안지 앞부분에 쓰고 답안을 작성 하시오.
6. 각 문항 답안 작성 후 마지막 문장 뒤에는 반드시‘끝’자를 쓰시오.
7. 답안 초안 작성은 문제지의 맨 뒷부분에 있는 초안 작성 용지를 활용하시오.
8. 답안 수정 시 삭제하고자 하는 부분에 두 줄(〓)을 그으시오.
9. 다음에 해당하는 답안은 채점하지 않으니 유의하시오.
∙ 문항당 답안지 2쪽을 초과하여 작성한 부분
∙ 답안란 이외에(뒷면 등) 작성한 부분
∙ 지워지거나 번지는 등 식별이 불가능한 부분
∙ 수정 테이프나 수정액을 사용하여 수정한 부분
∙ 답안란에 개인 정보를 노출한 답안지 전체
∙ 답안란에 개인 정보를 암시하는 표시가 있는 답안지 전체
10. 시험 종료 전까지 답안 작성을 완료해야 합니다. 시험 종료 후 답안 작성은 부정 행위로 간주됩니다.
11. 답안을 작성하지 않은 빈 답안지도 성명, 수험 번호, 문항별 답안지 쪽 번호를 기재ㆍ표기한 후, 4쪽 모두 제출하시오.
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면)1.
다음은 고등학교 1학년 수학 수업에서 명제의 필요충분 조건을 지도하는 장면의 일부이다. 다음을 읽고 물음에 답하시오.【30점】정 교사 : 중학교에서 마름모를 어떻게 정의했었죠?
다 래 : ‘네 변의 길이가 같은 사각형’입니다.
정 교사 : 마름모의 성질을 모두 말해 볼까요?
다 래 : 마주보는 두 변이 평행합니다, 마주보는 두 각의 크기가 같습니다, 두 대각선이 서로 수직입니다.
정 교사 : 그렇다면 ‘두 대각선이 서로 수직인 사각형은 마름모이다.’가 참일까요?
다 래 : 예, 모든 마름모의 두 대각선이 서로 수직이므로 참일 것 같습니다.
서 우 : 아닙니다. 두 대각선이 서로 수직이지만 마름모가 아닌 사각형이 있습니다.
정 교사 : 그렇군요. 두 대각선이 서로 수직 이지만 마름모가 아닌 사각형이
있네요. 이것은 어떤 명제가 참이지만 그 명제의 역은 참이 아닌 예가 됩니다. 그러면 이런 반례를 제외시키기 위해서는 ‘두 대각선이 서로 수직 이다.’는 조건을 어떻게 바꿔야 할까요?
서 우 : 아! 알았습니다. 제가 제시한 반례에서는 두 대각선이 서로 다른 것을 이등분하지 않습니다.
조건을 ‘두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분 한다.’로 바꾸면 될 것 같습니다.
정 교사 : 그러면 명제 ‘두 대각선이 서로 다른 것을 수직 이등분하는 사각형은 마름모이다.’가 됩니다.
이 명제는 참일까요?
서 우 : 예, 그럴 것 같습니다.
정 교사 : 누가 증명해 볼까요?
승 호 : 제가 증명해 보겠습니다.
도달해야 할 결론은 사각형 ABCD에서 네 변의 길이가 같다는 것입니다.
먼저 AB AD임을 보이려면 각각을 한 변으로 가지는 두 삼각형이 합동이면 됩니다. 즉,
∆AO B ≡ ∆AO D여야 하지요. 그런데 주어진 조건에서 두 대각선이 서로 수직이등분하므로
BO D O이고 AO는 공통, 그리고 끼인각이 90°로 같습니다. 따라서 ∆AO B ≡ ∆AO D이므로
AB AD가 됩니다. 이와 같은 방법으로 AB,
AD, CB, CD가 모두 같다는 것을 증명할 수 있습니다.
정 교사 : 훌륭합니다. 방금 승호가 증명한 명제를 조건
와 를 써서 나타내 봅시다.
: 사각형은 네 변의 길이가 같다.
: 사각형은 두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분한다.
승호가 증명한 명제는 무엇이죠?
다 래 : → 입니다.
정 교사 : 그렇다면 → 는 어떤 명제입니까?
서 우 : ‘마름모의 두 대각선은 서로 다른 것을 수직 이등분한다.’입니다.
정 교사 : 그것은 참인가요?
서 우 : 예, 중학교에서 참임을 증명했습니다.
정 교사 : 이처럼 명제 → 와 → 가 동시에 참일 때
와 는 서로 ‘필요충분조건’이라고 합니다.
이것은 두 명제가 논리적으로 서로 같다는 뜻 입니다. 이 사실을 마름모의 정의에 적용하면 어떻게 될까요?
다 래 : 마름모의 정의를 ‘두 대각선이 서로 다른 것을 수직이등분하는 사각형’으로 대체할 수 있다는 뜻입니다.
승 호 : ㉠ 선생님, 너무 헷갈립니다. 중학교에서 ‘네 변의 길이가 같은 사각형’은 마름모의 정의, ‘두 대각 선이 서로 다른 것을 수직이등분한다.’는 마름모의 성질이라고 배웠는데, 이 성질이 정의가 될 수 있다는 것을 이해할 수 없습니다.
정 교사 : 좋은 질문입니다. 마름모의 정의를 바꿔도 되는 논리적인 이유가 무엇일까요?
학 생 들 : …….
정 교사 : 지난 시간에 진리집합을 배웠죠? 의 진리집합 은 무엇인가요?
서 우 : 마름모 전체의 집합입니다.
정 교사 : 의 진리집합은 무엇인가요?
다 래 : → 가 참이고 → 도 참이기 때문에 그것 또한 마름모 전체의 집합입니다.
승 호 : 아! 그렇군요. 와 의 진리집합이 마름모 전체의 집합으로 서로 같기 때문에 를 마름모의 정의로 대체해도 되겠네요.
정 교사 : 그렇습니다. 와 가 서로 필요충분조건이라는 말은 와 의 진리집합이 서로 같다는 말과 같게 되고, 따라서 를 마름모의 정의로 대체할 수 있게 됩니다.
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면)수고하셨습니다
1-1. ㉠에서 승호가 겪는 혼란을 잘 설명할 수 있는 개념을 브루소(G. Brousseau)의 수학 교수학적 상황론(Theory of Didactical Situations in Mathematics)에서 찾아 그 뜻을 쓰고, 이 개념을 사용하여 승호의 혼란을 설명하시오.
[10점]
1-2. 위에 제시된 정 교사의 수업은 ‘발생적 원리’와 ‘대화와 토론 방법’을 따라 설계되고 실행되었다. 여기서 발생적 원리란, 완성된 최종 산물을 제시하는 방식으로 수학을 가르치는 것이 아니라 그 완성품까지 만들어가는 과정을 경험시키는 방식으 로 가르쳐야 한다는 것을 말한다. 이러한 수업을 설계하는 과정에서 교사가 수행해야 할 준비 활동에 대하여 서술하시오.
그리고 다음 <논점>을 중심으로 정 교사의 교수․학습 방법과 소크라테스의 산파법과의 차이점을 설명하시오. 이때, 정 교사의 교수․학습 방법에 대한 설명에서는 그 근거를 위의 수업 장면에서 찾아 함께 제시하시오. [20점]
<논 점>
(가) 수업의 주도권 (나) 추측과 반박
2.
유한체 … (는 소수) 위의 다항식환 에 속하는 다항식 (≠)에 대하여
는 의 위에서의 분해체(splitting field),
는 의 위에서의 갈루아 군(Galois group) 이라 하자.의 한 근 와 모든 ∈
에 대하여 일 때, 다음 세 명제가 참임을 증명하시오.
【20점】
<명 제>
(Ⅰ) ∈이고 이다.
(Ⅱ) 함수
→
는 군 동형사상이다.(단, 는 덧셈군이다.)
(Ⅲ) 의 두 근 , 에 대하여 이다.
