Journal of Institute of Control, Robotics and Systems (2014) 20(12):1238-1245 http://dx.doi.org/10.5302/J.ICROS.2014.14.0107 ISSN:1976-5622 eISSN:2233-4335
불확실한 이동 로봇에 대한
RBFN 기반 적응 추종 제어기의 설계
Design of an RBFN-based Adaptive Tracking Controller for an Uncertain Mobile Robot
신 진 호*, 백 운 보 (Jin-Ho Shin1,* and Woon-Bo Baek1)
1Department of Mechatronics Engineering, Dong-eui University
Abstract: This paper proposes an RBFN-based adaptive tracking controller for an electrically driven mobile robot with parametric uncertainties and external disturbances. A mobile robot model considered in this paper includes all models of the robot body and actuators with uncertain kinematic and dynamic parameters, and uncertain frictions and external disturbances. The proposed controller consists of an RBFN(Radial Basis Function Network) and a robust adaptive controller. The presented RBFN is used to approximate unknown nonlinear robot dynamic functions. The proposed controller is adjusted by the adaptation laws obtained through the Lyapunov stability analysis. The proposed control scheme does not a priori need the accurate knowledge of all parameters in the robot kinematics, robot dynamics and actuator dynamics. Also, nominal parameter values are not required in the controller. The global stability of the closed-loop robot control system is guaranteed using the Lyapunov stability theory. Simulation results show the validity and robustness of the proposed control scheme.
Keywords: mobile robot, radial basis function network, adaptive tracking control, actuator dynamics, uncertainties
I. 서론
이동 로봇은 자동화용, 서비스용 및 여러 특수 목적용으로 많이 이용되고 있다. 이동 로봇의 경로 추종 제어는 이동 로 봇 주행의 기본적인 중요한 요소이다.
이동 로봇의 제어는 기구학적 특성만 고려하는 제어 기법 [1-5]에서 동역학적 특성까지 고려하는 제어 기법[6-11]으로 발전되어 왔다. 또한 로봇 몸체의 동역학뿐만이 아니라 구동기 동역학까지 포함하여 제어기 설계가 이루어지고 있다[12-20].
기존에 제안된 구동기 동역학과 로봇 몸체 동역학을 모두 고려한 제어 기법에서는 구동기 회로에서 인덕턴스를 고려 하지 않거나[12-14], 구동기 자체의 기계적 특성을 고려하지 않거나[12-16,18-20], 구동기 파라미터와 로봇의 기구적 파라 미터의 정확한 값을 요구하거나[13,14], 로봇의 공칭 파라미 터 설정이 필요하거나 공칭 파라미터와 실제 파라미터와의 관계에 대한 제한 조건이 있거나[12,17,20], 제어 시스템에서 실제로 알기 어려운 근사화 오차와 외란에 대한 상한 경계값 을 요구하거나[15], 제어기 설계에서 모델의 선형 매개 변수 화가 필요[16,18]하는 등 제어기 설계와 적용에 있어 여러 제 한 요소가 있었다.
이러한 제한 요소를 보완하면서 구동기 동역학, 로봇 기구 학 및 로봇 동역학에서 나타나는 모든 모델 파라미터의 불확 실성과 모델링 되지 않는 외란을 극복할 필요가 있다.
본 논문에서는 구동기 동역학, 모든 모델 불확실성 및 외 란을 포함한 이동 로봇 시스템에 대한 적응 신경망 제어 기 법을 제안한다. 제안된 제어기는 비선형 동역학 방정식을 근 사하는 RBFN 신경망을 이용한다. 로봇의 기구적 파라미터에 대한 적응 법칙을 통해 기구적 파라미터의 정확한 사전 지식 을 요구하지 않으며, 오로지 로봇 몸체의 기구적 파라미터의 하한 경계값과 상한 경계값에 대해서만 필요하다. 제어기 설 계에서 여러 공칭 파라미터를 설정할 필요가 없다. 로봇 동 역학과 구동기 동역학에서 나타나는 마찰력, 토크 외란 및 전압 외란이 모두 고려되며 제어기에서 극복된다. 리아푸노 프 안정도 이론에 기반하여 적응 법칙이 유도되고 입력 떨림 이 완화된 제어 법칙이 제시되며 전체 폐루프 제어 시스템의 안정도가 보장된다. 제안된 제어 기법의 타당성과 강인성을 검증하기 위해 이동 로봇에 대한 시뮬레이션 결과를 보인다.
본 논문은 다음과 같이 구성된다. II 장에서는 이륜 구동 이동 로봇의 기구학, 몸체 동역학, 구동기 동역학을 모두 포 함하는 통합 동역학 모델을 보인다. III 장에서는 RBFN 기반 적응 추종 제어기가 제안된다. IV 장에서는 전체 제어 시스 템의 안정도가 증명된다. V 장에서는 제어기의 검증을 위한 시뮬레이션 결과가 주어지며, VI 장에서 결론을 맺는다.
II. 이륜 구동 이동 로봇 시스템의 모델
이동 로봇과 좌표계는 그림 1과 같으며, 전역 기준 좌표계
{O X Y 에서 이동 로봇의 위치와 자세는 G, G, G} q=[x y θ]T 에 의해 나타낼 수 있다. 여기서 x 와 y 는 전역 기준 좌표계 에 대하여 질량 중심점 OL의 위치 좌표를 나타내고, θ 는 로 봇 플랫폼의 방향각 또는 조향각을 나타낸다.
속도 관계를 나타내는 기구학적 방정식은 다음과 같이 나 Copyright© ICROS 2014
* Corresponding Author
Manuscript received October 1, 2014 / revised October 20, 2014 / accepted November 3, 2014
신진호, 백운보: 동의대학교 ICT공과대학 메카트로닉스공학과 ([email protected]/[email protected])
※ 이 논문은 2013학년도 동의대학교 교내연구비에 의해 연구되었음 (과제번호 2013AA135).
타낼 수 있다.
cos sin ( ) sin cos
0 1
l a
x d
q y S q v d v
w
θ θ
θ θ
θ
⎡ ⎤ ⎡ − ⎤
⎢ ⎥ ⎢ ⎥⎡ ⎤
=⎢ ⎥⎢ ⎥⎣ ⎦= ⋅ =⎢⎢⎣ ⎥ ⎣ ⎦⎥⎦⎢ ⎥
(1)
여기서 v 과 l w 는 로봇의 중심축을 따라 P 점에서의 각각 a
로봇의 선속도와 각속도를 나타낸다.
한편, 이동 로봇의 속도와 바퀴의 각속도의 관계는 아래와 같다.
1 1
R r r
v X v v
R
r r
ω
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= = ⎢ ⎥
⎢ − ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
(2)
여기서 vω=[vωr vωl]T =[ω ωr l]T 는 바퀴의 각속도 벡터, ωr과 ωl은 각각 오른쪽 바퀴와 왼쪽 바퀴의 각속도이다. 그 림 1에서 보여지듯이 r 은 바퀴의 반지름이며, R 은 P 점에 서 바퀴 중심점까지의 거리이고, r >0, R > 다. 이 때, 행렬 0
X−1은 항상 존재한다.
식 (1)과 (2)의 기구학식을 이용하여 논홀로노믹 이동 로봇 의 동역학 방정식[12,17]에 적용하면, 이동 로봇 몸체의 동역 학 방정식은 다음과 같이 변환할 수 있다.
m d
Mvω+V vω+ +F τ =Bτ τ= (3) 여기서 τ=[τ τr l]T 는 바퀴의 토크 벡터, τr과 τl 은 각각
오른쪽과 왼쪽 바퀴의 토크이다. 식 (3)에서 나타나는 행렬과 벡터들은 [17]에서 보여진 것과 같다.
성질 1: M 는 대칭 양한정 행렬이다.
성질 2: 다음을 만족하는 미지의 양의 상수 Xmax, Mmax,
max,
V F1max, F2max 가 존재한다: X ≤Xmax, M ≤Mmax,
max ,
Vm ≤V θ F ≤F1max+F2max vω .
구동기 전압을 제어기 입력으로 이용하는 것이 더욱 실질 적이므로 아래 구동기 동역학을 고려한다. 구동기의 전기적 특성과 기계적 특성을 모두 나타내는 DC 모터 기전방정식들 은 다음과 같이 얻을 수 있다.
1 2
m K IT a Jm m Bm m md N
τ = = θ + θ +τ + −τ∈ℜ (4)
a a a a b m d 2
U L I= +R I +Kθ + ∈ℜu (5) 여기서 τm는 모터 토크, KT는 모터의 토크 상수, Ia는 모
터 전기 회로에 흐르는 전류, Jm은 모터의 관성 모멘트, B 은 모터의 마찰 및 감쇠 계수, m τ 는 미지의 모터 토크 md
외란, N 는 기어비, La는 인덕턴스, Ra는 전기 저항, Kb는 역기전력 상수, θ 는 모터의 각속도, m θ 는 모터의 각가속도, m
u 는 미지의 전압 외란, U 은 구동기 입력 전압이다. d
위의 모든 구동기 파라미터 행렬 KT, Jm, Bm, N, La, R a, Kb는 양의 상수 대각 행렬로서 모두 미리 정확히 알려지지 않는다.
그림 1. 이동 로봇과 좌표계.
Fig. 1. A mobile robot and the coordinate frames.
구동기 모터의 각속도와 이동 로봇 플랫폼의 속도와의 관 계를 아래와 같이 나타낼 수 있다.
m NXv Nvω
θ = = (6)
앞에서 얻어진 구동기 동역학 관계식 (4)~(5)를 로봇의 동 역학 (3)에 대입하면 구동기 동역학을 포함한 전기 구동 이 동 로봇의 동역학 모델을 구할 수 있다.
결론적으로 로봇 몸체의 기구학, 동역학 및 구동기 동역학 을 포함한 이동 로봇의 전체 동역학 모델은 다음과 같다.
n n n n a
M vω+B vω+C +D =I (7)
a a a a b d
L I +R I +K Nvω+u =U (8) 여기서
( )
( ) 1 ,
n T m
M = NK − M NJ N+ Bn=(NKT)−1
(
Vm+NB Nm)
,( )1 ,
n T
C = NK − F Dn=(NKT) (−1 Nτmd+τd).
이 때, M 은 성질 1로부터 양한정 행렬이 됨을 쉽게 알 수 n 있으며, 모터의 기어비( N )와 모터의 토크 상수(K )가 양쪽 T
모터가 서로 같다고 가정하면, M 는 대칭 행렬이 된다. 본 n
제어기 설계에서는 다른 모터 파라미터 ( ,Jm Bm, La, R a,
b)
K 들은 양쪽 모터가 달라도 된다.
가정 1: 다음과 같이 모든 외란의 노옴은 미지의 양의 상 수 τdmax,τdmax,τmd, udmax에 의해 상한 경계된다. :
max,
d d
τ ≤τ τd ≤τdmax, τmd ≤τmd, ud ≤udmax. 위의 성질 2, 가정 1, 식 (7)로부터 다음 성질이 만족된다.
성질 3: 다음을 만족하는 미지의 양의 상수 Mnmax, Bn1max,
2max,
Bn Cn1max, Cn2max, D 가 존재한다.: nmax Mn ≤Mnmax, B ≤ n
max max
1 2 ,
n n
B +B θ
max max
1 2 ,
n n n
C ≤C +C vω Dn ≤Dnmax.
III. RBFN 기반 적응 추종 제어기의 설계
이동 로봇의 출력 Y 를 다음과 같이 정의할 수 있다[15,19].
cos sin Y x
y
α θ
α θ
⎡ + ⎤
= ⎢⎣ + ⎥⎦ (9)
여기서 α > 이며, 주어지는 상수이다. 0
신 진 호, 백 운 보 1240
출력 추종 오차 e 를 다음과 같이 정의한다.
e Y Y= d− (10)
이 때, Yd는 목표 출력 궤적 벡터이다.
로봇의 출력 벡터 (9)를 시간에 대해 미분하면,
Y= ΛX v−1ω= ΛXvω (11) 여기서 간편히 표시하기 위해 X−1=X 라고 놓으며, 다음의
행렬 Λ 는 항상 역행렬이 존재한다.
[ 1 2] ⎡cossinθ αθ −αcossinθθ⎤
Λ = Λ Λ = ⎢ ⎥
⎣ ⎦ (12)
이 때, 목표 각속도 vωd를 다음과 같이 정의할 수 있다.
ˆ 1
( ) ( )
d d e
vω = ΛX − Y +K e (13)
여기서 ˆX 은 X−1의 추정치로서 적응 법칙에 의해 갱신되 며 항상 역행렬이 존재하도록 갱신한다. 또한 Ke는 양의 대 각 이득 상수이다.
이 때, 출력 추종 오차 e 에 대한 동적 방정식은 다음과 같 이 얻을 수 있다.
1 ˆ 1 1
d d e d
e Y Y Y= − = − ΛX v− ω= −K e+ ΛX v− ω − ΛX v− ω (14) 여기서 Yd = −K ee + ΛX vˆ−1ωd이다.
로봇의 기구학적 행렬 X 와 추정치 ˆX 의 오차를 다음과 같이 정의한다.
X ˆ
e = − (15) X X
위 (14)식은 다음과 같이 쓸 수 있다.
1 1 ˆ
e ˆ d e X
e= −K e+ ΛX v− ω − ΛX v− ω = −K e+ ΛXeω+ Λe vω (16) 여기서 각속도 오차를 다음과 같이 정의한다.
eω =vωd−vω (17)
각속도 오차 eω에 대한 동적 방정식을 구하면,
( )
n n d n n n d i
M eω =M vω +B vω+C +D − I −e (18) 이 때, 전류 추종 오차 ei는 다음과 같이 정의된다.
i d a
e =I − (19) I
여기서 Id는 보조 전류 제어 입력이며, 이것은 나중에 설계 된다.
전류 추종 오차 ei에 대한 동적 방정식은 다음과 같다.
a i a i a d a d b d
L e = −R e L I+ +R I +K Nvω+u −U (20) 출력 추종 오차 e, 각속도 오차 eω와 전류 추종 오차 ei에 대한 동적 방정식을 통해 제어기를 설계할 수 있다.
시스템의 안정도를 보장하는 제어 법칙과 적응 법칙을 얻 기 위해 다음과 같은 리아푸노프 함수 후보를 정의한다.
1 1 1 1
2 2 2
T T T
n i a i
V = e e+ e M eω ω+ e L e (21)
시간에 대해 V1 을 미분하면,
1 1
2
T T T T
n n i a i
V e e e M e= + ω ω+ e M eω ω+e L e
위 식에 각 오차 동역학을 나타내는 식 (16), (18)과 (20)을 대입하여 정리하면 다음과 같다.
( )
1 ˆ
1 2
T T T
e X
T T T
n n d n n n d
T T T T
i i a i a d a d b i d i
V e K e e Xe e e v
e M e M v B v C e D e I e e e R e L I R I K Nv e u e U
ω ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
=− + Λ + Λ
⎛ ⎞
+ ⎜⎝ + + + ⎟⎠+ −
+ + − + + + + −
(22)
여기서 비선형 로봇 동적 함수들을 다음과 같이 나타낸다.
( ) 1
2 n n d n n
f xω ω = M e ω+M vω +B vω+C (23)
i( )i a d a d b
f x =L I +R I +K Nvω+eω (24) 이 때, Mn는 주행 중 부하 변동 등 동적 파라미터 변동이
있을 수 있으므로, 일반적으로 0이 되지 않는다고 놓는다.
위의 비선형 함수 fω (23)와 fi (24)는 다음의 신경회로망 RBFN [21]을 사용하여 근사화될 수 있다.
( ) T ( ) ( )
f xω ω ≅WωΦω xω +εω xω (25)
1 2 2
[ ] N ,
Wω= Wω Wω ∈ℜ ω× Wω1∈ℜNω, Wω2∈ℜNω, (26)
2
( ) exp 2 ,
2 x c N
x ω ω ω
ω ω
σω
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
Φ = ⎜⎝− ⎟⎠∈ℜ
(27) ( ) T ( ) ( )
i i i i i i i
f x ≅W Φ x +ε x (28)
2
1 2
[ ] Ni ,
i i i
W = W W ∈ℜ × W ∈ℜ i1 Ni, W ∈ℜ (29) i2 Ni,
2
( ) exp 2 ,
2 i
i i N
i i
i
x x c
σ
⎛ − ⎞
⎜ ⎟
Φ = ⎜⎝− ⎟⎠∈ℜ
(30)
여기서 Φω( )xω 과 Φi( )xi 는 각각 방사형 기저 함수(radial basis function)이며, 일반적인 가우시안 함수(gaussian function) 를 이용한다. Nω 과 N 는 각각 i f xω( )ω 와 ( )f x 의 방사형 i i
기저 함수의 개수, cω와 ci는 각각 Nω과 Ni개의 가우시안 함 수의 중심이며, σω와 σi는 각각 Nω과 Ni개의 가우시안 함수 의 폭을 나타낸다. 또한, xω=(eωT νωTd νωT θ)T∈ℜ7 과
( T T T T T) 8
i d d
x = I I νω eω ∈ℜ 는 각 RBFN의 입력 변수, Wω과 Wi는 각 비선형 함수를 근사하기 위해 결정되는 미지 의 목표 파라미터 벡터들, 그리고 εω( )xω 과 ( )εi xi 는 근사 화 오차 벡터들이다.
위의 식 V (22)를 다시 정리하면, 1
( )
( ) ( )
( )
1 ˆ
( ) ( ) ( ) ( ) + ˆ
T T T
e X
T T T T T
n d i
T T T T T
i a i i i i i i i i d i
T T T T T T
e X d
T T T T
n i a i i i i
iT i d
V e K e e Xe e e v
e W x x e D e I e e
e R e e W x x e u e U e K e e e v e W X e I
e D e R e e W e U
e u
ω ω
ω ω ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω
ω ω ω
ε ε
ε ε
= − + Λ + Λ
⎡ ⎤
+ ⎣ Φ + ⎦+ − +
⎡ ⎤
− + ⎣ Φ + ⎦+ −
= − + Λ Φ + Λ −
+ + − + Φ + −
+ +
(31)
성질 4: 가정 1, 성질 3, 식 (23), (24), RBFN (25)~(30)의 구 조로부터 다음을 만족하는 미지의 양의 상수 벡터 Θω 과
Θi가 존재한다. :
( )
1 2 3 4 5
, , ,
n d
T
d
D e v v v
e v v
ω ω ω ω ω ω ω ω ω ω
ω ω ω ω ω ω
ε θ θ θ θ θ θ
ρ θ
+ ≤ + + + +
= = Θ Ψ
(32)
( )
1 2 3 4 5
, , ,
i d i i d i d i i
T
i i i d d
u I I v e
I I v e
ω ω
ω ω
ε θ θ θ θ θ
ρ
+ ≤ + + + +
= = Θ Ψ
(33)
정리 1: 다음의 제어 법칙과 적응 법칙 (34)~(50)이 이동 로봇 시스템 (7)~(8)에 적용된다면, 추종 오차 ,e eω, ei 는 UUB (Uniformly Ultimately Bounded)가 보장된다.
( )
ˆ 1( )d d e
vω X Y K e
= Λ − + (34)
ˆ ( ) ˆ ˆ ,
ˆ ˆ ,
T T T
d T
I W x K e X e e
e ω
ω ω ω ω ω ω
ω ω
ω ω ω
ρ δ
ρ
= Φ + + Λ +
+
= Θ Ψ
(35)
ˆi i i N , 1, 2
Wω = Γ Φω ω ωe ∈ℜ ω i= (36)
2
ˆ e ˆ 5,
e e
ω
ω
ω ω ω ω ω
ω ω
δ γ
Θ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
Θ = Γ ⎜⎝Ψ + − Θ ∈ℜ⎟⎠
(37)
(
1 e vd v v)
T 5,ω ω ω θ ω ω
Ψ = ∈ℜ (38)
ˆiT i( )i i i ˆi i , ˆi ˆiT i,
i i
U W x K e e
ρ e ρ
= Φ + + δ = Θ Ψ
+ (39)
ˆij ij i ij Ni, 1, 2
W = Γ Φ ∈ℜe j= (40)
2
ˆi i i i i i ˆi 5,
i i
e e
e γ
Θ δ
⎛ ⎞
⎜ ⎟
Θ = Γ ⎜⎝Ψ + − Θ ∈ℜ⎟⎠
(41)
(
1)
T 5,i Id Id vω eω
Ψ = ∈ℜ (42)
ˆi Xi Ti 2, 1,2, X = −Γ vωΛ ∈ℜe i=
(43) 여기서 Wˆω=⎡⎣Wˆω1 Wˆω2⎤⎦∈ ℜNω×2, Wˆi=⎡⎣Wˆi1 Wˆi2⎤⎦∈ ℜNi×2,
1 2
ˆ ˆ ˆ ,
X= ⎢⎡⎣X X ⎤⎥⎦ Xˆ1= ⎢⎡⎣Xˆ11 Xˆ12⎤⎥⎦T, Xˆ2= ⎢⎡⎣Xˆ21 Xˆ22⎤⎥⎦T, Λ = 1 [cosθ sin ] ,θ T Λ = −2 [ αsinθ αcos ]θ T 이며, 파라미터 추 정 벡터 ˆΘω( )t 과 ˆΘi( )t 의 초기값은 ˆΘω(0) 0≥ 과 ˆ (0) 0Θi ≥ 인 값으로 설정한다. δω, γω, δi, γi는 양의 작은 상수로 정 의되며, Kω, Ki, Γω1, Γω2,Γi1, Γi2, ΓΘω, ΓΘi,ΓX1, ΓX2는 모 두 양의 대각 이득 상수 행렬이다.
위의 제어기에서 ˆX 의 역행렬이 항상 존재하여야 한다.
이것을 만족하기 위해서 적응 법칙 (43)을 다음의 적응 법칙 (45)~(50)으로 변경하며, 다음의 합당한 가정을 이용한다.
가정 2: 다음의 상수 X1min, X1max, X2min, X2max는 알려진 다고 가정한다.:
1min 1 1max,
X ≤X ≤X X2min≤X2≤X2max (44)
위 가정 2에 따라 적응 법칙 식 (43)을 변경하면, if X1min≤Xˆ1≤X1max, ˆ1 1 1T
X = −ΓXvωΛ e
(45) if Xˆ1<X1min, 1 1 1 1
1
if 0
ˆ 0 if 0
T T
X
T
v e v e
X v e
ω ω
ω
⎧−Γ Λ Λ <
= ⎨⎪⎪⎩ Λ ≥
(46)
if Xˆ1>X1max, 1 1
1 1 1
0 if 0
ˆ if 0
T
T T
X
v e
X v e v e
ω
ω ω
⎧ Λ <
= ⎨⎪⎪⎩−Γ Λ Λ ≥
(47)
if X2min≤Xˆ2≤X2max, ˆ2 2 2T
X = −ΓXvωΛ e
(48) if Xˆ2<X2min, 2 2 2 2
2
if 0
ˆ 0 if 0
T T
X
T
v e v e
X v e
ω ω
ω
⎧−Γ Λ Λ <
= ⎨⎪⎪⎩ Λ ≥
(49)
if Xˆ2>X2max, 2 2
2 2 2
0 if 0
ˆ if 0
T
T T
X
v e
X v e v e
ω
ω ω
⎧ Λ <
= ⎨⎪⎪⎩−Γ Λ Λ ≥
(50)
□ IV. 안정도 증명
제안한 로봇 제어 시스템의 안정도를 증명하기 위해 다음 과 같은 리아푸노프 함수 후보를 고려해보자.
1 2 3 1
2
V V V V= + + = z PzT (51)
1 1 1 1
2 2 2
T T T
n i a i
V = e e+ e M eω ω+ e L e (52)
(
1) (
1) (
1)
2 1 1 1
2 2 2
T T T
i i i X X X
V = tr WωΓω−Wω + tr W Γ−W + tr e Γ−e (53)
1 1
3 1 1
2 2 i
T T
i i
V = Θ Γ Θ + Θ Γ Θω θ−ωω θ− (54) 여기서 파라미터 오차 벡터는 Wω=W Wˆω− ω, W W Wi= ˆi− i,
ˆ ,
eX= −X X Θ = Θ − Θω ˆω ω, Θ = Θ − Θi ˆi i이다. tr A 는 행( )
렬 A 의 trace 값을 나타낸다. 위 식 (51)에 나타나는 벡터 z 와 양한정 행렬 P 는 아래와 같다.
(
1 2 1 2 1 2)
(2( ) 20)
, , , , , , , , , ,
i
T T T T T T T T T T T
i i i X X i
N N
z e e e W W W W e e
ω
ω ω ω ω
+ +
= Θ Θ
∈ℜ
이다.
1 2
1 3
2 3
1 2
3
,
P P
PT P
T T
P P
P O O
P O P O
O O P
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 2 2
1 2 2
2 2
n ,
a
I O O
P O M O
O O L
⎡ ⎤
⎢ ⎥
= ⎢ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
2 2 2
I ∈ℜ×
는 단위 행렬,
21 22
21 23
22 23
1 2 1
1
,
P P
PT i P
T T
P P X
O O
P O O
O O
ω
−
−
−
⎡Γ ⎤
⎢ ⎥
=⎢ Γ ⎥
⎢ Γ ⎥
⎢ ⎥
⎣ ⎦
1 5
3 1
5 i
P O O
θω θ
−
−
⎡Γ ⎤
= ⎢ ⎥
⎢ Γ ⎥
⎣ ⎦이다.
다음 영행렬들은 위에 나타나는 영행렬들의 차원을 나타낸 다. O2∈ℜ2 2×, O5∈ℜ5 5×, 1
6 2(N Ni 2),
OP∈ℜ× ω+ + OP2∈ℜ6 10× , O P3 2(Nω+ + ×Ni 2) 10,
∈ℜ OP21∈ℜ2Nω×2Ni, OP22∈ℜ2Nω×4, OP23∈ℜ2Ni×4. 이러한 영행렬들은 아래의 안정도 해석에서도 나타나는 행 렬이다.
또한, 식 (51)에서 1 min( ) 2 1 max( ) 2 2λ P z ≤ ≤V 2λ P z 과 같 이 놓을 수 있다. 이 때, λmin( )⋅ 과 λmax( )⋅ 은 각각 행렬의 최
