A Hybrid Error Generation Algorithm Using Confidence Intervals on Signal Constellation

(1)

논문 2014-51-11-3

신호 성상도 상의 신뢰구간을 활용한 하이브리드 오차 발생 알고리즘

( A Hybrid Error Generation Algorithm Using Confidence Intervals on Signal Constellation )

오 길 남^*^*

( Kil Nam Oh

^ⓒ

)

요 약

효과적인 블라인드 등화기 갱신을 위해, 등화 초기에 요구되는 빠른 수렴 속도와 정상상태에서 요구되는 낮은 오차 레벨을 만족하면서, 또한 등화 초기와 정상상태 간의 완만하면서도 가역적인 전환 특성을 가지는 적응 알고리즘을 제안한다. 제안 방 법에서는 신호의 등화 상태를 구분하는 세 기준을 제시하고, 이 기준에 따라 세 오차 중 하나를 발생시키는 하이브리드 오차 발생 알고리즘을 사용하여 등화기를 차등적으로 갱신한다. 이때 신호의 등화 상태를 판단하는 기준으로 신호 성상도 상의 신 뢰구간을 이용하였으며, 등화기 출력이 놓이는 신뢰구간에 따라 오차를 다르게 발생시켜 등화기를 갱신함으로써 빠르게 그리 고 낮은 오차 레벨에 수렴할 수 있음을 보였다. 제안 아이디어의 유용성을 검증하기 위해 모의실험을 통해 기존 방법의 성능 과 비교하였다.

Abstract

For effective updating a blind equalizer, we propose the adaptive algorithm having faster convergence speed required for initial equalization and satisfying low error level required in steady-state while having a gradual and reversible switching characteristics between initial stage and steady-state. The proposed method presents three criteria to distinguish the state of equalized signal, according to the criteria, differently updates the equalizer by using the hybrid error generation algorithm generating one of the three errors. Wherein as the criteria to determine the state of the equalized signal the confidence intervals on the signal constellation are used, an error is generated alternatively according to the confidence interval where equalizer output lies, and the equalizer is updated by, we got convergence quickly and to lower error level.

In order to verify the usefulness of the proposed idea, simulation results were compared to the performance of conventional methods.

Keywords^:Hybrid error generation, Confidence interval, Signal constellation, QAM

* 평생회원, 광주대학교 광통신공학과

(Dept. of Optical Communications Engineering, Gwangju University)

※ 이 연구는 2013년도 광주대학교 대학 연구비의 지 원을 받아 수행되었음.

접수일자: 2014년08월18일, 수정일자: 2014년09월30일 게재확정: 2014년10월31일

I. 서 론

블라인드 등화기를 최적 갱신하기 위해서는 신호 등 화 단계에 적합한 오차 발생이 관건이다. 이것은 신호 의 등화 단계를 판단하는 것과 등화 단계에 최적한 오 차를 발생시키는 것으로 이루어진다. 신호의 등화 단계 를 파악하는 데는 등화기 출력 신호의 MSE(mean

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square error)나 잔류 ISI(intersymbol interference), 또 는 출력 신호가 형성하는 신호점의 분산(variance) 등을 활용할 수 있다.

신호의 등화 상태에 따른 오차 발생 또는 신호 판정 에는, 우선 등화 초기에 출력 신호의 군집이 형성되지 못한 상태에서는 축소 신호점(reduced constellation)이 나 단일 모듈러스(single modulus: SM) 또는 일정 모듈 러스(constant modulus: CM)를 사용한 대략적인 판정 신호 판정이나 연판정(soft decision) 등이 효과적이고, 상대적으로 보다 세밀한 판정은 신호 판정의 오류 확률 이 커서 효과적이지 않다. 신호 판정의 오류는 등화기 의 오조정으로 이어지며, 등화기의 발산을 가져오거나 수렴을 방해 또는 지연시킨다. 그러므로 등화 초기에는 올바른 신호 판정 확률을 높이는 것을 우선해야 한다.

출력 신호의 군집이 형성되기 시작하면 경판정 등 세 밀한 판정이 효과적이다. 등화 초기에 효과적이었던 연 판정이나 대략적인 판정 등은 정상상태를 향해 빠르게 수렴하거나 정상상태에서의 오차 레벨을 낮추는 데는 더 이상 효과적이지 못하다. 그러므로 이 단계에서는 신호 판정의 정확도를 높이는 것이 필요하며 세밀한 판 정이 요구된다. 세밀한 판정에는 원신호점이나 다중 모 듈러스(multilevel modulus: MM)가 사용된다.

이와 같이 천이상태에서는 빠르게 군집을 형성하는 축소 신호점/일정 모듈러스를 사용한 신호 판정이나 연 판정 등의 초기화 알고리즘이 가장 효과적이다. 한편 정상상태에서는 군집을 더욱 또렷하게 형성하는, 즉 등 화기 출력의 오차 레벨을 낮추는 원신호점/다중 모듈러 스 알고리즘이나 경판정(hard decision) 알고리즘 등이 최소 MSE를 보장한다. 그러나 초기화 알고리즘은 정상 상태 성능이 만족스럽지 못하며, 정상상태 알고리즘은 채널 추적 특성을 가지나 초기 수렴을 보장하지 못한 다. 그러므로 이들 중 어떤 한 알고리즘을 가지고 등화 초기에서 정상상태까지 진행하는 것은 불합리하다. 두 특성을 적절하게 이용하면서 빠르고 정확한 수렴 특성 을 얻는 것이 필요하다.

기존 방법들은 위에서 언급한 초기 상태와 정상상태 에서 각각 효과적인 두 부류의 알고리즘을 사용하여 등 화기 성능을 개선하는 여러 아이디어를 제시하였다. 즉 두 알고리즘 간을 전환, 선택, 결합하는 방법들이 제안 되었다. 그러나 두 동작 알고리즘 간의 전환이나 알고 리즘 선택이 만족스럽지 못하고, 특히 신호점 수가 커

짐에 따라 계산이 매우 복잡하거나 알고리즘이 동작하 지 않는 것으로 알려져 있다^[1].

이것은 두 알고리즘에서 발생된 오차가 서로 상반되 는 특성을 가지므로 하나의 알고리즘에서 동시에 구현 되기 어렵기 때문이다. 그러므로 등화 상태에 최적한 하이브리드 오차 발생 방법으로 접근하는 것이 유용할 것이다.

본 논문에서는 등화기 출력 신호가 놓이는 신호 성상 도 상의 신뢰구간(confidence interval)에 따라 각각 다 른 오차를 사용하는 등화 방법을 제안한다. 특히 신뢰 구간에 따라 SM(single modulus) 오차와 MM (multilevel modulus) 오차, 그리고 두 오차를 결합한 오차 등 세 오차 모드를 혼용하는 방법을 제안한다. 이 방법은 SM 오차와 MM 오차의 특성을 최대로 이용하 면서 두 동작 모드 간의 전환을 완만하게 달성한다.

II 장에서 기존 방식의 오차 발생을 기술하고, III 장 에서 하이브리드 오차 발생을 제안한다. IV 장과 V 장 에서 모의실험 결과와 결론을 요약한다.

Ⅱ. 기존 방식의 오차 발생

등화기의 최적화는 흔히 LMS(least mean square) 알고리즘을 이용하여 추정 오차를 최소화하는 것으로 달성된다. LMS 알고리즘에서는 등화기 출력을 판단할 원하는 응답(desired response)을 설정하고 매 iteration 에서 등화기 출력과 원하는 응답 간의 차이를 오차로 산출하여 필터를 갱신한다. 그러므로 정확한 오차 발생 이 등화기 갱신에 중요하며 이를 위해 적절한 원하는 응답 설정이 등화기의 최적화에 관건이 된다.

기존 방법들의 특징은 등화 초기에 빠른 수렴을 위해 축소 신호점이나 일정 모듈러스 등을 원하는 응답으로 사용하여 오차 추정의 정확도를 높인다. 이후에는 임계 판정 장치에 의한 송신 신호 판정과 등화기 출력 간의 차이를 오차로 추정함으로써 정상상태로 수렴을 가속하 고 MSE 레벨을 낮춘다. 그러나 이때 두 동작 모드간의 선택 또는 전환 시 등화 과정의 불연속과 알고리즘간의 이질성 등에 의한 성능 저하가 초래된다.

기존 방법 중 등화기 초기화에 대표적인 것으로 Sato 알고리즘^[2], 축소 신호점 알고리즘(RCA)^[3], 일정 모듈러 스 알고리즘(CMA)^[4], 변형된 CMA(MCMA)^[5], 단일 모 듈러스 알고리즘(SMA)^[6] 등이 있다. 이 알고리즘들은

(3)

대략적인 신호 판정을 통해 판정의 정확도를 높이는 것 을 목표로 한다. 즉 등화기 탭 계수를 올바른 방향으로 갱신함으로써 초기 수렴을 달성하는 것을 추구한다.

오차 추정의 정확도를 보다 높이기 위해 2-필터 구 조와 두 원하는 응답을 사용하여 두 오차를 산출하고 일정 조건에 따라 필터 갱신을 멈추는 방법으로 Stop-and-Go 알고리즘^[7]이 있다. 또한 CMA-DD 동시 등화^[8]에서는 오차 추정의 정확도를 높이기 위해 두 알 고리즘, 즉 CMA와 DD에 의해 갱신되는 두 필터에 의 해 각각 오차를 발생시키고 두 오차의 부호가 일치하는 가에 따라 필터의 갱신 여부를 결정한다.

한편 등화기가 수렴을 달성한 후 출력 MSE 레벨을 낮추기 위한 판정의거 알고리즘, 다중 모듈러스 알고리 즘(MMA)^{[6, 9]}, constellation matched error (CME) 알고 리즘^[10], alphabet matched algorithm (AMA)^[11] 등 정 상상태 성능을 개선하는 방식이 제안되었다.

III. 하이브리드 오차 발생

수렴 특성이 다른 두 알고리즘 간의 선택, 전환, 결합 등의 방식이 갖는 등화 과정의 불연속으로 인한 성능 저하 문제를 해결하고 완만하면서도 가역적인 전환 특 성을 얻기 위한 동기에서, 등화 상태에 따라 최적한 오 차를 발생하는 하이브리드 오차 발생 알고리즘을 제안 한다. 등화 상태를 초기-천이-정상상태의 3 단계로 구 분하면, 각 상태에 최적한 오차를 발생할 수 있다. 제안 하는 하이브리드 오차 발생 알고리즘은 등화 초기와 그 이후에 각각 효과적인 두 오차를 발생시키고 오차의 특 성을 최대로 활용하면서 두 알고리즘 간의 선택, 전환, 결합을 효과적으로 달성하는 방법이다.

SM

y

n

MM

y

n

y

n

x

n

MM MM n

e

n

ρ

SM SM n

e

n

ρ

SM, MM

n n

e e

그림 1. 하이브리드 오차 발생 등화 구조 Fig. 1. Hybrid error generation equalizer structure.

제안한 하이브리드 오차 발생을 포함한 등화 구조는 그림 1과 같다. 두 필터와 신뢰구간 판정, 오차 발생 및 기여도 발생 등을 사용한 구조이다. 두 필터 출력의 합 이 등화기 출력을 형성하므로 등화기 출력 은

_ _^ _^

(1)

이다. 여기서 _^ 과 _^은 각각 두 필터의 출력을 나 타낸다. 두 필터 출력의 합, 즉 등화기 출력에 대해 신뢰 구간 판정부에 의해 구간이 파악되고 두 오차가 발생된 다. 또한 신뢰구간과 두 오차로부터 신호 판정의 정확도 를 추정하고 해당 필터 탭 계수 갱신을 위한 오차의 기여 도가 산출된다. 그러면 기여도가 반영된 오차를 사용하 여 LMS 알고리즘 (2)에 의해 두 필터를 갱신한다.

_{  }^ _^ ^_^_^_^

_{  }^ _^ ^_^_^_^

(2)

여기서 _^과 _^ 은 SM 필터의 탭 계수와 수렴상수 를, 

과 

은 MM 필터의 탭 계수와 수렴상수를 나타낸다. 또한 _^과 _^, _^ 과 _^ 는 각각 두 오차와 탭 계수 갱신에 대한 기여도를 나타낸다. 

은 필터의 입력 신호 벡터에 대한 복소 공액(complex conjugate)을 나타낸다.

두 필터는 신호점 성상도 상, 즉 신호점 평면상에서 등화기 출력이 위치하는 구간에 따라 서로 다르게 갱신 된다. 예를 들어, 두 필터는 본 논문에서 적용한 바와 같이 단일 모듈러스(SM)와 다중 모듈러스(MM) 알고 리즘에 의해 발생된 SM 오차와 MM 오차에 의해 각각 갱신될 수 있다. 이 경우 두 오차는 다음으로 주어진다.

먼저 SM 오차는

_^  __^ _   __^ _

(3)

이다. 여기서 _과 _는 각각 등화기 출력의 실수 성 분과 허수 성분이며, 과 _는 송신 신호점 의 실수 성분과 허수 성분에 대한 단일 모듈러스로서 각각 아래와 같이 정의된다.

_  _^ 

 _^ 

 _  _^ 

 _^ 

(4)

 ∙는 기댓값을 나타낸다.

(4)

그림 2. 실수 성분에 대한 신호점 성상도 상의 세 신뢰 구간

Fig. 2. Three confidence intervals for real component on signal constellation.

다음 MM 오차는

_^  __^  _^    __^  _^ 

(5)

이다. 여기서 _^ 과 _^ 는 다중 모듈러스로서, _

과 _는 등화기 출력의 실수 성분과 허수 성분에 대한 최인접 신호(nearest symbol) 판정으로 정의된다. 즉

_ dec_ _ dec_

(6)

이며, dec∙는 임계판정 장치에 의한 판정을 의미한다.

두 필터는 등화기 출력에 대해 각각 SM 및 MM 알 고리즘에 따라 산출한 오차에 의해 갱신되나, 이때 오 차를 0에서 1사이의 기여도로 반영하였다. 즉 출력 신 호가 놓이는 구간을 이용한 기여도에 따라 SM 필터만 갱신되거나, MM 필터만 갱신되거나, 또는 두 필터가 모두 갱신되는 세 신뢰구간 모드를 갖는다.

제안 방법에서는 그림 2에 나타낸 바와 같이 신호점 을 포함하는 두 인접 신호점의 경계와 경계 사이를 판 정 구간으로 보고, 판정구간을 세 구간, 즉 초기-천이- 정상상태에 대응하는, (i) SM 오차 구간, (ii) 결합 오차 구간, (iii) MM 오차 구간으로 구분하여 등화기 출력이 위치하는 각각의 구간에서 적용할 오차와 기여도를 산 출하였다.

제안 방식의 동작은 다음과 같다. 먼저 매 iteration 마다 등화기 출력 신호의 구간 판단은, 등화기 출력 신 호가 신호점 평면상에서 놓이는 위치, 즉 거리 을 활 용한다. _은 등화기 출력 _에 대한 최인접 신호 _, 즉 등화기 출력의 경판정 값 사이의 거리,

_



^ _

 (7)

로 정의된다. 이때 _의 순시값에 따른 변동을 완화하기 위해 현재 값과 이전 수 개의 값을 평균하여 사용하였다.

거리 은 등화기 출력이 신호점을 중심으로 집중될수록 작아지고 퍼지면 커질 것이며,  ≤ _ ≤ 의 범위에 분 포한다. 실험 관찰을 통해 구간 I의 범위를 크게 할수록 초기 수렴 속도가 증가하고, 구간 III의 범위를 크게 할수 록 정상상태 수렴속도가 증가하였다. 그러나 수렴속도의 증가는 잔류 오차 레벨을 크게 하므로 절충이 필요하다.

세 신뢰구간을 활용한 하이브리드 오차 발생 및 등화 기 갱신은 구간에 따라 다음과 같이 진행된다.

(i) 구간 I(SM 오차 구간): ^  범위의 구간 으로 출력 신호점이 퍼져있고 군집을 형성하지 못한 상 태로서, 초기 수렴 전 상태이다. 이 구간에서는 두 신호 의 경계에서의 올바른 판정이 초기 수렴에 매우 중요하 므로 신호 판정의 성공 확률을 높이기 위해 대략적인 추정을 사용한다. 이 구간에서 다중 모듈러스(MM)를 사용한 신호 판정은 오류 확률이 크다. 따라서 MM 오 차에 의한 갱신은 이루어지지 않는다. 즉 두 오차의 기 여도는

_^ 

_^ 

(8)

가 된다. 위의 기여도를 활용한 등화기 갱신은 다음과 같이 진행된다.

_{  }^  _^ ^_^_^

_{  }^  _^

(9)

즉 SM 오차 구간에서는 _^만 갱신된다.

(ii) 구간 II(결합 오차 구간):  ≤≤ 

범위의 구간으로서 초기 수렴 후 정상상태로 진행해가 는 과정이다. 오차의 기여도를 반영한 새로운 두 오차 를 발생시키며, 오차의 기여도는 두 오차 제곱의 상대 적 비로 정해진다. 두 오차의 기여도는 다음으로 주어 진다. 이때 오차의 순시값에 따른 변동을 완화하기 위 해 오차의 현재 값과 이전 값을 평균하여 사용하였다.

(5)

_^ 



^



^^



^



^



_^



^

_^  



^



^^



^



^



_^



^

(10)

결합 오차 구간에서는  과 이 모두 갱신되며, 각각 SM 오차와 MM 오차에 의해서 갱신된다.

_{  }^ _^ ^_^_^_^

_{  }^ _^ ^_^_^_^

(11)

(iii) 구간 III(MM 오차 구간): ^  범위의 구간으로 출력 신호점이 군집을 형성하는 상태로서 정 상상태 진입 구간이다. 이 구간에서는 다중 모듈러스를 사용한 신호 판정으로 수렴을 가속하고 오차 레벨을 더 욱 낮출 수 있다. MM 오차에 의해서만 갱신되고 SM 오차에 의한 갱신은 이루어지지 않는다. 따라서 두 오 차의 기여도는

_^ 

_^  

(12)

가 된다. MM 오차 구간에서 등화기 갱신은 다음과 같 이 진행된다.

_{  }^ _^

_{  }^ _^ ^_^_^

(13)

Ⅳ. 모의실험 결과

제안한 하이브리드 오차 발생의 유용성과 성능을 확 인하기 위해 그림 1 구조의 등화기를 구현하고 시뮬레 이션 하였다. 두 필터를 갱신하는 알고리즘으로는 단일/

다중 모듈러스(SM/MM) 알고리즘을 적용하였다. 모의 실험은 가우시안 잡음이 부가된 다중경로 간섭 하에서 16-QAM 신호점에 대해 진행하였다. 실험에 사용한 다 중경로 채널은 22개의 임펄스 응답으로 이루어진 주파 수 선택성 채널 특성을 가지고 있다^[12]. 아울러 부가 잡 음의 비트당 에너지대 잡음비는 __  ∼  dB 범위로 하였다.

제안 알고리즘의 성능 검증을 위해 수렴속도와 ISI 제거 능력, ISI와 부가 잡음을 함께 고려한 오차 성능을

볼 수 있는 MSE 성능, 등화기 출력 신호의 성상도, 그 리고 비트 오율(bit error rate: BER) 성능 등을 조사하 였다. 벤치마킹을 위해 CMA와 CMA+DD 동시 등화 알고리즘^[8]과 비교하였다. 비교에 사용된 모든 알고리즘 의 수렴 속도가 유사한 기울기를 보이도록 수렴 상수를 조절하였다.

MSE 성능을 조사 시 CMA는 위상 회전된 신호점에 수렴하기 때문에 MSE를 구하기 전에 반송파 위상 복 원 회로(carrier phase recovery)를 거쳤다. 그러나 제안 방식과 동시 등화 방식에서는 위상 회전이 복원된 신호 점에 수렴하기 때문에 불필요하였다. ISI와 MSE 성능 을 그림으로 나타내기 위해 50회의 독립적인 수행을 통 해 얻어진 결과를 앙상블 평균하였다.

먼저 그림 3에 나타낸 ISI 성능에서, 세 방식은 모두

0 2 4 6 8 10

x 10⁴ -35

-30 -25 -20 -15 -10 -5 0 5

Number of Iterations

ISI (dB)

1 2

3 1 CMA

2 CMA+DD Concurrent 3 SM+MM Hybrid

그림 3. 심볼간 간섭 성능, _  dB Fig. 3. ISI performance, _  dB.

0 2 4 6 8 10

x 10⁴ -20

-15 -10 -5 0 5

Number of Iterations

MSE (dB)

1 2 3

1 CMA

2 CMA+DD Concurrent 3 SM+MM Hybrid

그림 4. 평균 제곱 오차 성능, _  dB Fig. 4. MSE performance, _  dB.

(6)

-10 0 10 -10

-5 0 5 10

Re

Im

Received Signal

-5 0 5

Re

Im

CMA

-5 0 5

Re

Im

CMA+DD Concurrent

-5 0 5

Re

Im

SM+MM Hybrid

그림 5. 신호점 성상도, _  dB Fig. 5. Signal constellation, _  dB.

10 15 20 25 30 35

10^-9 10^-8 10^-7 10^-6 10^-5 10^-4 10^-3 10^-2 10^-1

Eb/No (dB)

Bit Error Rate (BER)

CMA

CMA+DD Concurrent SM+MM Hybrid

그림 6. 비트 오율 성능 Fig. 6. BER performance.

유사한 수렴 속도를 보이나, 잔류 ISI는 제안 방식이 CMA에 비해 약  dB , CMA+DD 동시 등화에 비해 약  dB 정도 개선하였다. 그림 4에 보인 MSE 성능 에서 제안 방식은 CMA와 CMA+DD 동시 등화에 비해

∼  dB 정도 성능 개선을 보였다.

그림 5에 보인 신호점 성상도 성능에서 CMA는 충분 한 등화가 이루어지지 못한 상태로, 채널 영향에 의해 위상 회전된 신호점에 수렴하였다. 반면 CMA+DD 동 시 등화와 제안 방식은 위상 회전을 복원한 신호점에 수렴하였으며, 제안 방식이 CMA+DD 동시 등화에 비 해 또렷한 신호점을 형성하였다.

그림 6에 보인 BER 성능에서 CMA와 CMA+DD 동 시 등화는 __가 증가함에 따라 BER이 수렴하는 특성을 보였다. 반면 제안 방식은 __의 증가에 따 라 BER을 급격히 개선하였다.

V. 결 론

신호점 평면상의 세 신뢰구간을 이용한 하이브리드 오차 발생 알고리즘에 의한 등화기 갱신 알고리즘을 제 안하였다. 제안한 방법은 등화기 출력 신호의 신호점 성상도 상의 위치에 따라 산출된 오차와 오차의 정확도 를 바탕으로 한 기여도를 활용해 두 필터를 각각 갱신 하도록 하였다. 특히 신뢰구간에 따라 오차의 정확도가 낮다고 판단되는 필터의 갱신을 멈춤으로써 등화기 갱 신의 정확도를 개선하였다. 제안 방법이 신호 등화 상 태에 최적한 등화기 갱신으로 빠른 수렴 속도와 낮은 정상상태 오차 레벨을 달성할 수 있음을 모의실험을 통 한 다양한 성능 평가에 의해 확인하였다.

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저 자 소 개 오 길 남(평생회원)

대한전자공학회 논문지 제 50 권 TC 편 제 7 호 참조