Analysis of Precision According to Converging Angle in Close-Range Digital Photogrammetry

한국지리정보학회지 8권 4호 : 123∼133(2005)

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서 론

측량을 실시하는 가장 큰 목적은 적합한 장

비와 기법 등을 이용하여 우리가 요구하는 정도 를 만족하는 것이다. 그런데 현대의 측량은 과 학의 발달과 더불어 발전한 측량 장비 및 기법

근접수치사진측량의 수렴각변화에 따른 정밀도 해석

서동주^1※․김진수²

Analysis of Precision According to Converging Angle in Close-Range Digital Photogrammetry

Dong-Ju SEO^1※․Jin-Su KIM²

요 약

본 연구는 측량용 디지털 카메라인 d7 metric⁵를 이용하여 수렴각을 변화시켜가면서 촬영을 실시 하였으며, 표정 시 발생하는 오차를 최소화하기 위해 프로그램 상에서 자동적으로 상호표정 되는 원 형표지를 이용하였다. 그리고 사진의조정기법은 해석적 방법 중에서 현재 가장 좋은 정도를 얻을 수 있는 광속조정법(bundle adjustment)를 이용하였다. 또한 대상물과 수렴각간의 기하학적 형태변하에 따른 함수모형화를 통해 최적촬영식을 제시한다. 이러한 연구는 향후 근거리수치사진측량에서 요구하 는 정도의 사진촬영과 예상되는 정도를 판단하는데 중요한 자료로 이용될 것으로 판단된다.

주요어 : 수렴각, 광속조정법, 회귀분석, 근거리수치사진측량

ABSTRACT

This study has made photographing respectively by changing the converging angle by use of d7 metric5 that is a measurement digital camera. And also in order to minimize the errors happened at the relative orientation, we have sorted out the round target that the relative orientation is automatically on the programming and have calculated RMSE by carrying out the bundle adjustment. We think that such a study could be used as very important basic data necessary in deriving the optimal photographic conditions by the close-range digital photogrammetry and in judging such a degree.

KEYWORDS : Converging Angle, Bundle Adjustment, Regression Analysis Close-Range Digital Photogrammetry

2005년 10월 25일 접수 Recieved on October 25, 2005 / 2005년 11월 25일 심사완료 Accepted on November 25, 2005 1 동의대학교 토목공학과 Department of Civil Engineering, Dong-Eui University

2 부경대학교 토목공학과 Department of Civil Engineering, Pukyong National University

※ 연락저자 E-mail : [email protected]

Analysis of Precision According to Converging Angle in Close-Range Digital Photogrammetry

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들이 여러 분야에 다방면으로 응용되어 정확도, 경제성 그리고 신속성 등을 향상시키고 있다.

특히 사진측량의 기법으로 인하여 기계, 의학, 문화재 측정 등 정밀을 요구하는 분야의 응용은 더욱더 그 범위가 증대되어 가고 있는 실정이다 (유복모, 2001; 서동주와 이종출, 2003).

과거 필름을 이용한 사진측량의 경우, 촬영 위치에 따른 정도변화에 대한 실험분석과 이론 적 예측모델에 대한 다수의 연구가 이루어져 왔 으나, 근접수치사진측량에 대해서는 아직 미비 한 실정이다(손덕재, 1989).

근접수치사진측량의 촬영방법에는 직교수평 촬영(normal case)과 수렴촬영(convergent case)이 주로 사용되고 있으나, 수렴촬영이 촬 영방향을 설정하기가 용이하고 같은 기선거리비 에 대하여 최대의 모델 중복면적을 얻을 수 있 고, 높은 정확도를 얻을 수 있다(Abdel-Aziz, 1974).

본 연구에서는 이와 같은 점을 고려하여 측량 용 디지털 카메라인 d7 metric⁵를 이용하여 촬영 거리는 4m, 촬영방향은 대상물 중심방향을 유지 하면서 수렴각을 변화시켜가며 촬영을 실시하였 으며, 표정 시 발생하는 오차를 최소화하기 위해 프로그램 상에서 자동적으로 상호표정 되는 원형 표지를 이용하였다. 그리고 자료처리체계로는 해 석적 방법 중에서 현재 가장 좋은 정도를 얻을 수 있는 광속조정법(bundle adjustment)을 이용 하였다. 또한 회귀분석을 이용하여 대상물과 수 렴각간의 기하학적 형태변화에 따른 영향을 함수 모형으로 분석하여 최적촬영조건식을 제시한다.

이러한 연구는 향후 근거리수치사진측량에서 요구하는 정도의 사진촬영과 예상되는 정도를 판단하는데 중요한 자료로 이용될 것으로 판단 된다.

이론적 고찰

1. 광속조정법

다중사진의 좌표해석 시 조정기본단위의 종

류에 의해 다항식법, 독립입체모형법, 광속조정 법 등이 있는데, 이중 광속 조정법은 사진좌표 를 기본단위로 하여 절대좌표를 구한다. 이 경 우 상좌표를 사진좌표로 변환시킨 다음 사진좌 표로부터 직접절대좌표를 구한다. 블록내의 각 사진상에 관측된 기준점, 접합점의 사진좌표를 이용하여 최소제곱법으로 각 사진의 외부표정요 소 및 접합점의 최확값을 결정하는 방법이다.

각 점의 사진좌표가 관측값으로 이용되며 세가 지 방법 중 정확도가 가장 양호하며 조정능력이 높은 방법이다(연상호, 2000).

광속 조정법에는 각 사진상에서 관측된 기준 점과 종․횡접합점의 사진좌표를 관측값으로 취급하며, 이들 좌표값에 대해 잔차의 제곱을 최소화하여 각 사진의 외부 표정요소 ( X0, Y0, Z0, Κ, Ψ, ω) 및 종․횡접합점의 사진좌표(X, Y, Z)를 해석한다. 광속 조정법의 기본적인 수학적 모델은 다음과 같은 공선조건 식으로 나타낼 수 있다(kraus, 1997; pratt, 1991).

Fxij = F[ xij , ( X0, Y0, Z0, Ω, Φ, κ)i

, ( X, Y, Z)_j]

Gyij = G[ yij , ( X0, Y0, Z0, Ω, Φ, κ)i

, ( X, Y, Z)j] (1)

여기서,

( x_ij , y_ij) : 사진 I의 점 j의 좌표.

(X_0,Y_0,Z_0,Ω,Φ,κ)_i : 사진 I의 외부표정요소 (X, Y, Z)_j : 점 j의 절대좌표이다.

식(1)을 미지의 외부표정요소 및 절대좌표값 에 대하여 Taylor급수를 이용하여 선형화하고, 2차원 이상을 무시하면 식(2)과 같다.

F⁰x_ij+ Vx_ij- ∂Fx

∂X₀ δX₀- ∂Fx

∂Y₀ δY₀-

∂Fx

∂Z0 δZ0- ∂Fx

∂Ω δΩ - ∂Fx

∂Φ δΦ - ∂Fx

∂κ δ κ

근접수치사진측량의 수렴각변화에 따른 정밀도 해석 / 서동주․김진수

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- ∂Fx

∂X △X - ∂Fx

∂Y △Y - ∂Fx

∂Z △Z = 0

G⁰y_ij+ Vy_ij-∂Gy

∂X₀ δX₀-∂Gy

∂Y₀ δY₀-

∂Gy

∂Z0 δZ0-∂Gy

∂Ω δΩ -∂Gy

∂Φ δΦ - ∂Gy

∂κ δ κ -

∂Gy

∂X △X - ∂Gy

∂Y △Y - ∂Gy

∂Z △Z = 0 (2)

여기서,

Vx, Vy : 사진좌표의 근사값 x₀, y₀ 의 잔차

F⁰x_ij= Fx_ij( x⁰_ij, X⁰_0i, Y⁰_0i, Z⁰_0i, Ω⁰_i, Φ⁰_i κ⁰_i, X⁰_j, Y⁰_j, Z⁰_j)

G⁰yij= Gyij( y⁰ij, X⁰0i, Y⁰0i, Z⁰0i, Ω⁰i,

_Φ⁰_iκ⁰_{i, X}⁰_{j, Y}⁰_{j, Z}⁰_j)

식 (2)를 행렬형태로 간단히 나타내면, 식(3) 이 된다.

[ ]

-

[

]

ꀎ

ꀚ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳ ꀏ

ꀛ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳ δX₀ δY₀ δZ0

δΩ δΦ

δκ _i

+

[

]

ꀎ ꀚ

︳︳

︳ ꀏ ꀛ

︳︳

︳

△X

△Y

△Z j

= -

[ ]

(3)

식 (3)를 간단히 표시하면, (4)식이 된다.

Vij - αij δi + βij △j = Fij 0 (4) ( 2×1) ( 2×6) ( 6×1) ( 2×3) ( 3×1) ( 2×1)

(3)식 및 (4)식은 각 사진상의 점의 관측값에 대하여 선형화된 관측방정식이다.

Vij=

[ ]

αij =

[

]

δ1 = ꀎ

ꀚ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳ ꀏ

ꀛ

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳︳

︳ δX0

δY0

δZ0

δΩ δΦ δκ i

βij =

[

]

△j = ꀎ ꀚ

︳︳

︳ ꀏ ꀛ

︳︳

︳

△X

△Y

△Z j

Fij0

=

[ ]

즉, 식(4)에서 δ_i와 △_j를 구하여 대상물 의 3차원공간좌표와 공간후방교회법요소 X0,

Y0, Z0, κ, Φ, Ω 를 계산 할 수 있다.

따라서 외부표정 요소 뿐만 아니라 주점거리, 주점위치변위, 렌즈왜곡 및 필림 신축 등에 관련 된 내부표정요소를 미지수로 조정하는 방법을 자체조정에 의한 광속조정법 또는 부가변수에 의한 광속조정법이라 한다. 자체검정을 한 광속 조정법은 정확도를 향상시킨다. m매의 사진으로 지상의 n개 측점을 포함하는 블록조정에서의 미 지변수는 (6m＋3n)×(6m＋3n) 크기의 계수행렬 을 위하여 (6m×6m)크기의 축약정규방정식으로 만들어 일반적으로 Gaussian Elimination 또는 Choleski Elimination에 의해 해를 구한다.

2. 자체검증

자체검정(self-calibration)은 카메라의 초점 거리와 주점의 결정, 정오차를 보정하기 위한 부가매개변수의 취득에 이용된다.

FIGURE 1. Radial optical distortion

A

A Optical Axis

Incident Rays

Emergent Rays

Principal Distance LENS

Image Plane

The Magnitude of Radial Distortion

Analysis of Precision According to Converging Angle in Close-Range Digital Photogrammetry

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이론적으로 이상적인 카메라는 그림 1에서 나타난 바와 같이, 대상물 공간 속에서 카메라 에 입사하는 빛이 렌즈 중심을 통하여 입사각과 같은 각으로 내부에서 직진하지만, 실제 카메라 는 이와 같이 작용하지 않고 두 개의 투영중심 이 생기는데 이 점들을 내부 및 외부의 투영중 심이라 한다(Gohsh, 1979), (Ayeni, 1982). 그러 나 그 차이는 무시할 정도로 매우 미소하므로 기하학적 모델에서는 하나의 투영 중심만을 사 용한다.

렌즈의 특성으로 인하여 대상물 공간상에서 카메라에 들어오는 입사각과 카메라 내부에서 렌즈의 중심을 통해 굴절하는 굴절각이 일정하 지 않기 때문에 생기는 렌즈 왜곡수차는 방사방 향 왜곡수차와 편심방향 왜곡수차가 있으며, 그 림 2.에서 나타낸 것과 같다(서동주, 2003; 이창 헌과 최철웅,2004).

일반적으로, 편심방향 왜곡수차는 극히 미세 하여 특수한 경우를 제외하고는 고려하지 않으 며, 방사방향 왜곡수차는 식(5)로 보정한다.

DR = A₁R(R²- R²₀)+A₂R(R⁴- R⁴₀) (5) 여기서,

DR : Radial Distortion A1 : 1차 왜곡상수 A₂ : 2차 왜곡상수 R : 반지름

R₀ : 왜곡수차가 0이되는 주점으로부터 반경 3. 회귀분석

회귀분석은 변수들 간의 함수관계를 분석하 고 모형화하는 통계적 기법이다. 회귀분석의 응 용분야에는 공학, 자연과학, 경제학, 경영학, 생 명과학, 사회과학 등 여러 분야에 적용되고 있 으며, 최근에는 컴퓨터 통계 소프트웨어(SAS, SPSS, MINITAB, BMPD 등)의 활용으로 변수 들 사이의 복잡한 함수관계 추정하는데 가장 널 리 사용되어지는 자료분석 기법이다.

이러한 회귀분석을 사용하는 목적은 크게 세 가지로 분류할 수 있는데, 첫째는 종속변수와 독립변수들 사이의 함수관계가 어떠한 형태(선 형 또는 비선형)를 가지고 있는지를 파악하는 것이고, 둘째는 종속변수에 영향을 미치는 중요 한 독립변수들의 영향을 추정, 검정하는 것이며, 셋째는 추정된 회귀함수를 인용하여 주어진 독 립변수의 값에서 종속변수의 평균변화를 추정 FIGURE 2. Radial and decentring distortion

Radial Distortion Decentring Distortion

근접수치사진측량의 수렴각변화에 따른 정밀도 해석 / 서동주․김진수

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혹은 예측하는 것이다.(허문열, 1998)

Yi= β0+ β1Xi+ εi (6) 여기서,

Yi: i번째 Y의 값 Xi: i번째 X의 값 β0: Y절편

β₁: 회귀직선의 기울기

ε_i: i번째 측정된 Y의 오차량

식(6)에서 보면 산점도로부터 함수관계가 선 형이라면 단순회계모형 Yi= β0+ β1Xi+ εi을 설정 n개의 이변량 자료 ( X_i,Y_i), i = 1, 2,…n 를 이용하여 미지의 모수인 회귀계수 β₀, β₁를 추정하여 추정회귀직선 ˆY_{i= β}^ˆ_{0+ βˆXi}을 구할 수 있다. 여기서 ˆβ_0,ˆβ_{1는 β}

0,β₁의 추정량이고, Y_i

ˆ는 E( Y_i)의 추정량이다. 회귀계수를 추정 하는 방법은 최소제곱법과 최우추정법이 있는데 본 절에서는 가장 많이 사용되는 최소제곱법 (least squares method)에 의한 추정 절차에 대 하여 설명하고자 한다. 이 방법은 표본 자료에 의하여 신뢰성 있는 회귀직선을 추정하기 위하 여 오차제곱의 합을 최소로 하는 회귀계수 β0,β1를 추정하는 방법이다. i번째 추정된 오 차는 _{εi= Yi+ β0+ βiXi}이므로 오차제곱합을

S로 표시하면 식(7)와 같다.

S= ∑

n

i = 1ε ²i= ∑

n

i = 1(Yi-β0- β1Xi)² (7) S를 최소로 하는 _β0,β1를 구하기 위해서 는 우선 S^를 β0,β1에 대하여 각각 편미분하 면 식(8)과 같다.

∂S

∂β0 =-2∑^{( Y}i-β₀-β1 X_i)

∂S

∂β1 =-2∑^Xi( Y_i-β0-β1 Xi) (8)

위에서 ∑^는 ∑ⁿ

i = 1을 의미한다. 식(8)의 편

미분 값을 영(0)으로 하는 _β0와 _β1의 값을 각 각 ˆ_β0와 ˆ_β1으로 대입하여 정리하면 식(9)와 같은 정규 방정식(normal equation)을 얻는다.

n βˆ0_{+ β}ˆ∑₁ ^Xi=∑^Yi

β0

ˆ∑^Xi+ βˆ∑1 ^X2i=∑^XiYi (9) 식(9)인 정규방정식을 ˆ_β0와 ˆ_{β1에 대하여} 풀면 그 결과는 식(10)와 같다.

β1

ˆ₌ ∑^{( X}i- X)( Y_i- Y)

∑( Xi- X)²

= ∑^XiY_i-(∑^Xi∑^Yi)/n

∑^X2i-(∑^Xi)²/n

β₀

ˆ_{= Y - β}

ˆ1_X (10)

수치영상 획득

1. 관측장비

본 연구에서 수치영상을 획득하는데 사용된 카메라는 Rollei사에서 제조한 d7 metric⁵로 카 메라의 형상과 제원은 그림 3과 표 1과 같다.

FIGURE 3. Shape of digital camera