내용 : 행렬과 벡터를 이용한 선형연립방정식의 해법

EE ngineering Mathematics I ngineering Mathematics I

Prof. Dr. Yong-Su Na g

(32-206, ysna@snu.ac.kr, Tel. 880-7204)

Text book: Erwin Kreyszig, Advanced Engineering Mathematics, 9^th Edition, Wiley (2006)

Ch 4 Systems of ODEs Phase Plane Ch 4 Systems of ODEs Phase Plane Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane.

Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane.

Qualitative Methods Qualitative Methods

4.0 Basics of Matrices and Vectors 4 1 Systems of ODEs as Models 4.1 Systems of ODEs as Models

4.2 Basic Theory of Systems of ODEs

4.3 Constant-Coefficient Systems. Phase Plane Method 4.4 Criteria for Critical Points. Stability

4.5 Qualitative Methods for Nonlinear Systems 4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs 4.6 Nonhomogeneous Linear Systems of ODEs

2

Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane.

Ch. 4 Systems of ODEs. Phase Plane.

Q lit ti M th d Q lit ti M th d Qualitative Methods Qualitative Methods

((연립상미분방정식연립상미분방정식. . 상평면상평면 및및 정성법정성법))

z

내용 : 행렬과 벡터를 이용한 선형연립방정식의 해법

4

4.0 .0 Basics of Matrices and Vectors00 as cs oBasics of Matrices and Vectorsas cs o a ces a d ec o sa ces a d ec o s

((행렬과행렬과 벡터벡터))

z Systems of Differential Equations (연립미분방정식):

두 개 이상의 미지함수를 갖는 두 개 이상의 상미분방정식 Ex.

, '

, '

2 22 1

21 2

2 12 1

11 1

y a y a y

y a y a y

+

=

+

=

, '

, '

2 2

22 1

21 2

1 2

12 1

11 1

n n

n n

y a y

a y a y

y a y

a y a y

+ + +

=

+ + +

=

#

"

"

z 미분:

, '

_{n1 1 n2 2 nn n}

n a y a y a y

y

= + + " +

#

요소(또는 성분)가 변수인 행렬(또는 벡터)의 도함수는 각각의 요소를 미분함.

Ex. ( ) ( )

( ) ( ) ( )

( )

^{⎥ ⎤}

⎢ ⎡

=

⎥ ⇒

⎢ ⎤

= ⎡

y t

t t

t y

'

'

¹

1 y

y

Ex.

( )

^⎢ _⎣

^y₂( )^t

^⎥ _⎦

y ( )

^⎢ _⎣

^y₂

'

( )^t

^⎥ _⎦

y

⎥ ⎤

⎢ ⎡

⎥ ⎤

⎢ ⎡

=

⎥ =

⎢ ⎤

= ⎡ + ⇒

=

_{11 1 12 2 1 11 12 1}

1

'

'

,

'

a y a y y a a y

y y Ay

⎥

⎢ ⎦

⎥ ⎣

⎢ ⎦

⎥ ⎣

⎢ ⎦ + ⎣

=

_{21 1 22 2 2 21 22 2}

2

'

a y a y

,

y

'

a a y

y y y

4

4.0 .0 Basics of Matrices and Vectors00 as cs oBasics of Matrices and Vectorsas cs o a ces a d ec o sa ces a d ec o s

((행렬과행렬과 벡터벡터))

z Eigenvalue (고유값) Eigenvector (고유벡터) z Eigenvalue (고유값), Eigenvector (고유벡터)

[ ]^{을 주어진 행렬이라 하고,어떤벡터 x 0에대하여식 Ax x}

A= a_jk n×n ≠ =λ

함.

라 대응하는

에 를 벡터 때의 이 하며, 이라

의 를 스칼라 하는

성립하게 가

or) (Eigenvect

x e)

(Eigenvalu 고유벡터

고유값 λ

λ

™ ^{임의의 λ에대하여영벡터 x =0은 방정식 Ax=λx의해이다.}

™ ( )

연립방정식 1차

대수적인 관한

성분)에 의

벡터 미지수

개의 x

0 x A

0 x Ax x

Ax

( , , n

1 xn

x

I

"

⇒

=

−

⇒

=

−

⇒

= λ λ λ

™

( ) ⁰

det

⇔ − =

−

≠

=

I A

I A 0

x x Ax

λ

λ λ

않는다.

하지

존재 역행렬이 의

계수행렬 위해서는

갖기 해를

인 이

방정식

4

4.0 .0 Basics of Matrices and Vectors00 as cs oBasics of Matrices and Vectorsas cs o a ces a d ec o sa ces a d ec o s

((행렬과행렬과 벡터벡터))

Ex. ⎥ 이면

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

22 21

12 11

a a

a A a

( ) ( ₁₁ )( ₂₂ ) _{12 21} ² ( _{11 22}) _{11 22 12 21}

22 21

12

det 11 a a a a a a a a a a

a a

a

a = − − − = − + + −

−

= −

− λ λ λ λ

λ λI λ

A

( )

z Characteristic Equation (특성방정식): 2

• 행렬 A의 고유값: 특성방정식의 해

• x가 행렬 A의 고유벡터이면 임의의 스칼라 에 대하여 도 고유벡터임

( _{11 22}) _{11 22 12 21} ⁰

2 − a + a λ + a a − a a =

λ

≠ 0

k kx

• x가 행렬 A의 고유벡터이면 임의의 스칼라 k ≠ 0 에 대하여 kx 도 고유벡터임 Ex. 1 Eigenvalue Problem

Find the eigenvalue and eigenvectors of the matrix Find the eigenvalue and eigenvectors of the matrix

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡−

2 1 6 1

0 . 4 0 .

A 4 ⎥

⎢ ⎦

⎣−1.6 1.2

4

4.0 .0 Basics of Matrices and Vectors00 as cs oBasics of Matrices and Vectorsas cs o a ces a d ec o sa ces a d ec o s

((행렬과행렬과 벡터벡터))

Ex. ⎥ 이면

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

22 21

12 11

a a

a A a

( ) ( ₁₁ )( ₂₂ ) _{12 21} ² ( _{11 22}) _{11 22 12 21}

22 21

12

det 11 a a a a a a a a a a

a a

a

a = − − − = − + + −

−

= −

− λ λ λ λ

λ λI λ

A

( )

z Characteristic Equation (특성방정식): 2

• 행렬 A의 고유값: 특성방정식의 해

• x가 행렬 A의 고유벡터이면 임의의 스칼라 에 대하여 도 고유벡터임

( _{11 22}) _{11 22 12 21} ⁰

2 − a + a λ + a a − a a =

λ

≠ 0

k kx

• x가 행렬 A의 고유벡터이면 임의의 스칼라 k ≠ 0 에 대하여 kx 도 고유벡터임 Ex. 1 Eigenvalue Problem

Find the eigenvalue and eigenvectors of the matrix Find the eigenvalue and eigenvectors of the matrix

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡−

2 1 6 1

0 . 4 0 .

A 4 ^{( ) ( )} ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

=

−

= 0 8

1 1 , 2

8 . 0

,

2 ₂ ^{1 2}

1 λ x x

⎥ λ

⎢ ⎦

⎣−1.6 1.2 ⎥

⎢ ⎦

⎥ ⎣

⎢ ⎦

⎣1 0.8

4

4.0 .0 Basics of Matrices and Vectors00 as cs oBasics of Matrices and Vectorsas cs o a ces a d ec o sa ces a d ec o s

((행렬과행렬과 벡터벡터))

z Eigenvalue와 Eigenvector의 기하학적 의미:

z Eigenvalue와 Eigenvector의 기하학적 의미:

행렬의 고유값은 영벡터가 아닌 벡터 x에 행렬 A를 곱하여 벡터 x의 변화가 원래 자신의 상수배-고유값만큼 길이가 길어진다는 것을 나타냄.

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

Ex 1 Mixing Problem Involving Two Tanks Ex. 1 Mixing Problem Involving Two Tanks

• Tank T₁ : pure water 100 gal

• Tank T₂ : water 100 gal (fertilizer 150 lb dissolved)

( ) f f ili i T ( ) f f ili i T

2

• By circulating liquid at a rate of 2 gal/min and stirring (to keep the mixture uniform)

y₁(t): amount of fertilizer in T₁, y₂(t): amount of fertilizer in T₂

How long should we let the liquid circulate so that T₁ will contain at least half as much fertilizer as there will be left in T₂?

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

Ex 1 Mixing Problem Involving Two Tanks Ex. 1 Mixing Problem Involving Two Tanks

• Tank T₁ : pure water 100 gal

• Tank T₂ : water 100 gal (fertilizer 150 lb dissolved)

( ) f f ili i T ( ) f f ili i T

2

• By circulating liquid at a rate of 2 gal/min and stirring (to keep the mixture uniform)

y₁(t): amount of fertilizer in T₁, y₂(t): amount of fertilizer in T₂

How long should we let the liquid circulate so that T₁ will contain at least half as much fertilizer as there will be left in T₂?

Step 1 Setting up the model

( ₁) _{1 1 2}

1 2

1 ' 0.02 0.02

100 2 100

2 -

' y y T y y y

y = 분당 유입량 분당 유출량 = − 탱크 ⇒ = − +

( ₂) _{2 1 2}

2 1

2 ' 0.02 0.02

100 2 100

2 -

' y y T y y y

y = 분당 유입량 분당 유출량 = − 탱크 ⇒ = −

⎤

⎡−0 02 0 02

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= −

=

∴ 0.02 0.02

02 . 0 02 . 0

, '

y Ay A

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

and both

for y y

e^λt

Step 2 General Solution

Idea: t 에 대한 지수함수로 시도 _''^'' ₍⁽ ₎^{) '}_' ⁽₍ ⁾₎ ⁰₀

2 21 12 22 11 2

22 11 2

1 21 12 22 11 1

22 11 1

=

− +

+

−

=

− +

+

−

y a a a a y a a y

y a a a a y a a y

2 1 and both

for y y

e

⇒

=

⇒

=

=

⇒

= x y' x Ax Ax x

y e^λt λ e^λt e^λt λ 행렬 A의 고유값과 고유벡터 계산

특성방정식: _{( ) ( ) 0}

21 12 22 11 22

11

2 − a +a λ+ a a −a a =

λ

( ) (

0 . 02

)

0 . 02

(

0 . 04

)

0

02 . 0 02

. 0

02 . 0 02

.

det 0 = − −

²

−

²

= + =

−

−

−

= −

−

λ λ λ

λ λ^I λ

A

⎤

⎡

⎤

⎡

0 ) (

)

(a₁₁+a₂₂ λ+ a₁₁a₂₂ a₁₂a₂₁ λ

중첩의 원리 적용

( ) ( )

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

−

=

=

⇒ 1

1 1 , 1

04 . 0

, 0

고유값 : λ₁ λ₂ 고유벡터 : x¹ x ² 중첩의 원리 적용

( ) ( ) ( ^{과 는 임의의 상수})

1 1 1

1

1 1

04 . 0 2

1 2

2 1

1 e ¹ c e ² c c e c c

c ^{t t} ⎥ ^{− t}

⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ +

= x ^λ x ^λ

y 1 1⎥

⎢ ⎦

⎥ ⎣−

⎢ ⎦

⎣

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

Step 3 Use of initial conditions

초기조건 : ^y₁( )^{0 = 0, y}₂( )^{0 =150}

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

⎡

⎤

( ) ⎡ ^{c c}

c c

c c c

c _{1 2}

2 1

2 1 2

1

1 1

75

, 75

150 0 1

1 1

0 1

⎤

⎡

⎤

⎡

−

=

=

⎥ ⇒

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

−

= +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ y

S

e ^0.04t

1 75 1 1

75 1

⎥ ⁻

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⇒ y

Step 4 Answer

탱크 T₁ 이 50파운드의 비료를 포함하면, 탱크 T₁ 이 포함한 비료의 양이 탱크 T₂ 가 포함한 비료 양의 반

5 . 04 27

. 30 ln

3 1

50 75

75 ^{0.04 0.04}

1 = − e⁻ = ⇒ e⁻ = ⇒ t = =

y ^{t t}

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

E 2 El i l N k

Find the currents, and in the network.

Ex. 2 Electrical Network

( )^t

I₁ ^I₂( )^t

Assume all currents and charges to be zero at , the instant when switch is closed. t =0

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

E 2 El i l N k

Find the currents, and in the network.

Ex. 2 Electrical Network

( )^t

I₁ ^I₂( )^t

Assume all currents and charges to be zero at , the instant when switch is closed. t =0

Step 1 Setting up the mathematical model: Kirchhoff의 전압법칙 적용 왼쪽 루프 :

오른쪽 루프 :

12 4

4 '

12 )

( 4

' _{1 2 1 1 2}

1 + I − I = ⇒ I = − I + I +

I

( ) ^{4 0 ' 0.4 ' 0.4 0}

4

6^I₂ + ^I₂ − ^I₁ + ∫ ^I₂^dt = ⇒ ^I₂ − ^I₁ + ^I₂ =

⎤

⎡

⎤

⎡−

⎤

⎡I₁ 4.0 4.0 12.0

( )

8 . 4 2

. 1 6

. 1 '

_{2 1 2}

2 1

2 2

1 2 2

+ +

−

=

⇒

∫

I I

I

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ +

=

∴ , 4.8

2 . 1 6 . 1

,

, '

2

1 A g

J g

J

J A I

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

Step 2 General Solution

제차 연립방정식 J'= AJ 에 J = xe^λt 를 대입하면 Ax = λx이므로 A의 고유값과 고유벡터 계산

고유값 λ₁ = −2 일 때, 고유벡터 ^{( )} _⎥ ;

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 1

1 2 x

고유값 λ₂ = −0.8 일 때, 고유벡터 ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 8 . 0

2 1 x

제차 연립미분방정식의 일반해 : _h c₁ e ^2t c₂ e ^0.8t 8

. 0

1 1

2 _{− −}

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ J

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

비제차 연립미분방정식의 특수해 구하기

라 하면, 이므로

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡a¹

Jp ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ 0 ' 0

Jp ⎥ + g = 0

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡a₁ A

일반해 :

⎥⎦

⎢⎣a²

p ⎥

⎢ ⎦

p ⎣0 ⎥

⎢ ⎦

⎣a²

⎥⎤

⎢⎡

=

∴

=

=

= ⇒ +

+

⇒ − 3

0 0 3

0 . 12 0

. 4 0

.

4 _{1 2}

a a a

a J ⎥

⎢ ⎦

= ⎣

∴

=

=

= ⇒ +

+

⇒ −

0 0

, 3

0 8 . 4 2

. 1 6

.

1 _{1 2}

2 1

a p

a a

a J

t t t

t ₀₈ I₁ c₁e ² c₂e ^0.8

2 1 3 2 3

2⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤ = ⁻ + ⁻ +

⎡

t t

t t

e c e

c I

e c e

c e I

c e

c 0.8

2 2

1 2

2 1

8 1 . 0 2

2

1 0.8

3 2

0

8 . 0

1 ^{− −}

−

−

+

=

+

⇒ +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡ J

초기조건 적용

( ) I e ^t e ^t

c c c

c

I_{1 1 2 1} 8 ² 5 ^0.8 3

5 0 4

3 2

0

= − ⁻ + ⁻ +

∴

=

=

= ⇒ +

+

( )= c c I e ^t e ^t

c c

I_{2 1 2} ¹ 4, ² 5 ₂ 4 ² 4 ^0.8

0 8

. 0

0 ⇒ = − = ∴ = − ⁻ + ⁻

= +

=

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

• 그림 79a는 I₁( )t 과I₂( )t 의 곡선을 개별적으로 나타낸 것

• 그림 79b는 평면에서 하나의 곡선 을

그린 것 ⇒ t 를 parameter(매개변수)로 하는 매개변수표현식

1( ) ₂( )

2 −

1I

I [^I₁( ) ( )^{t ,I}₂ ^t ]

• 평면을 방정식 의 phase plane

(상평면)이라 함

2 −

1I

I (A −λI)x = 0

• 상편면에서의 곡선을 Trajectory(궤적)라 한다.

• 상평면의 궤적이 전체 해집합의 일반적인 양상을 잘 표현할 수 있음

잘 표현할 수 있음

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

z Conversion of an n th-Order ODE to a System

• nⁿ 계 상미분방정식: ( )^{계 상미분방정식: y n = F}

(

^{t y y' " y}( )ⁿ⁻¹

)

• 1계 연립상미분방정식으로의 변환

(

^{t, y, y , , y}

)

F y

y y

y y

' '

3 2

2 1

=

=

( )

n n

n n

y y

y y

y y

y y

y y

y y

'

, , ''

, '

,

1

3 2

1 3

2

1 " #

=

⇒

=

=

=

= ⁻

( _n)

n

n n

y y

y t F y

y y

, , , ,

' _{1 2}

1

"

=

−

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

Ex. 3 Mass on a Spring

앞에서 다룬 용수철에 달린 물체의 자유진동을 모델화하는 문제에 변환방법을 적용

0 '

''+cy +ky = my

2 1

2

2 1

'

'

c y k y

y

y y

−

−

=

'

=

,

₂

1 y y y

y

= =

2 1

2 y

y m y m

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

= ⎡

2 1

y y y

⎤

⎤ ⎡

⎡ 0 1

⎦

⎣

y²

⎥ ⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

⎥ ⎥

⎦

⎤

⎢ ⎢

⎣

⎡

−

= −

=

2

1

1

0

'

y

y m

c m

Ay k y

(

⁻

)

⁼ ₋ ⁻ ₋ ¹ ₋ ^{= + + = 0 ⇒}

det

²

m k m

c m

c m

k λ λ λ

λI λ

A 2.4 절의 특성방정식과 일치

m m

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

m = 1, c = 2, and k = 0.75

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

m = 1, c = 2, and k = 0.75

고유값 λ₁ = −0.5 일 때, 고유벡터 ^{( )} _⎥ ;

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= − 1

1 2 x

고유값 λ_{2 =−1.5} 일 때, 고유벡터 ^{( )} _⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

5 . 1

2 1 x

제차 연립미분방정식의 일반해 : y c₁ e ^0.5t c₂ e ^1.5t 5

1 1 1

2 _{− −}

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡ + −

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

= −

5 . 1

1⎦ ⎣− ⎦

⎣−

4

4.1 Systems of ODEs as Models.1 Systems of ODEs as ModelsSys e s o OSys e s o O s as ode ss as ode s

((연립상미분방정식연립상미분방정식 모델모델))

PROBLEM SET 4.1

HW 16 HW: 16

4

4.2 Basic Theory of Systems of ODEs .2 Basic Theory of Systems of ODEs as cas c eo y o Sys e s o Oeo y o Sys e s o O ss

((연립상미분방정식에연립상미분방정식에 대한대한 기본기본 이론이론))

z Systems of ODEs

(^{t y y} )

f

y '₁ = _{1 1} " _⎥^⎥

⎤

⎢⎢

⎡

⎥ =

⎥⎤

⎢⎢

⎡

=

f y

#

#

1 1

y , f

( )

(t y yⁿ_n)

f y

y y

t f y

, , , '

, , ,

1 2

2

1 1

1

#

"

= ^⎥

⎥

⎢ ⎦

⎢

⎥ ⎣

⎥

⎢ ⎦

⎢

⎣yⁿ fⁿ y ,

( )y f

y

' =

t

,

z Solution Vector (벡터해):

( _n)

n

n f t y y

y '= , ₁,",

Solution Vector (벡터해):

어떤 구간 에서 연립상미분방정식을 만족하는

미분가능한 n개의 함수들 의 집합.

z I iti l C diti

b t a < <

( )^{t y h} ( )^t

h

y₁ = ₁ , ", _n = _n

z Initial Conditions

( )^{t K y} ( )^{t K y}_n( )^{t K}_n

y_{1 0} = ₁, _{2 0} = ₂, ", ₀ = ( )

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

=

=

K K

t #

1

0 K

y

⎥⎦

⎢⎣Kⁿ

4

4.2 Basic Theory of Systems of ODEs .2 Basic Theory of Systems of ODEs as cas c eo y o Sys e s o Oeo y o Sys e s o O ss

((연립상미분방정식에연립상미분방정식에 대한대한 기본기본 이론이론))

z Existence and Uniqueness Theorem

연립상미분방정식의 f₁, ", fn 이 점 (t₀, K₁, ", K_n) 을 포함하는 공간 내의 어떤 영역 R에서 연속인 함수이고, 이 영역에서 연속인 편도함수

를 갖는다고 하자.

f y f y

f y

∂ ∂

∂ ∂

∂ ∂ _n

, ,

,

, ¹

1

1 " "

그러면 연립상미분방정식은 어떤 구간 에서 초기조건을

만족하는 해를 가지며 이 해는 유일하다.

n

n y

y

y ∂ ∂

∂ ₁

α α < < +

− ₀

0 t t

t