Lecture Note: Velocity Analysis I
소가 없으면 구유는 깨끗하려니와 소의 힘으로 얻는 것이 많으니라
(잠언 14 장 4 절)
속도의 정의
이전 강의에서 우리는 변위의 정의에 대해 학습하였다. 속도는 변위를 매개로 다음과 같이 정의된다. 즉, 임의 점
P
점의 변위R
PR
PR
P
라고 하면,t V
PR
P
*
평균속도
dt R d t
V R
P Pt P
lim
순간속도이미 변위를 정의할 때 언급되었듯이, 변위는 위치와 달리 관찰자가 위치한 기준틀에 따라 달라진다. 따라서 변위를 시간이라는 스칼라 양으로 나누어 얻어지게 되는 속도도 당연히 관찰자가 위치한 기준틀에 따라 달리 관찰될 것이다.
강체의 회전과 각속도
변위와 속도는 모두 벡터의 성질을 만족하며 (예를 들어, 교환 법칙
x i ˆ y j ˆ y j ˆ x i ˆ
)그러므로 벡터로 표시하였다. 변위를
x
방향으로 먼저 일으키고 나중에y
방향으로 일으킨결과와 거꾸로
y
방향으로 먼저 일으키고 나중에x
방향으로 일으킨 결과는 서로 같다는 것이다. 이러한 병진운동에 의한 변위와 비교하여 회전운동에 의한 각 변위는 과연 벡터의 성질을 가질까 하는 점이 본 절에서 우선 논의할 점이다. 만일 각 변위가 벡터라면, 변위를 이용하여 속도를 정의하듯이 각 변위를 이용하여 각속도를 정의할 수 있을 것이기 때문이다.유감스럽게도 각 변위는 벡터가 아니다. 각 변위의 시간에 따른 변화는 각속도와 연관되어 있지만 각 변위를 미분하여 각속도를 얻을 수는 없다. 각속도는 별도의 방법으로 정의되게 된다. 강체 동역학 분야의 이론상 어려움은 각 변위의 비 벡터성에 기인한다고 할 수 있다.
만일 각 변위가 벡터라면, 그것은 방향과 크기를 가져야 한다. 예를 들어 공간의
X
축에 대해
1만큼 회전을 한다면
1iˆ
로 표시될 수 있을 것이며Y
축에 대해
2만큼 회전한다면2
jˆ
로 표시될 수 있을 것이다. 벡터는 교환법칙이 (Commutative law) 성립해야 하므로 두 각 변위의 합은 더하는 순서에 상관없이 동일해야 한다. 이를 수식으로 표시하면,i j j
i ˆ ˆ ˆ ˆ
1 2 2
1
그러나 아래 그림의 왼쪽과 오른쪽의 두 그림은 그 결과가 서로 달라진다는 사실을 잘 보여주는 예이다 (
1 90
,
2 90
). 이 결과는 각 변위가 벡터가 아니라는 것을 증명하는 것이며, 따라서 각 변위는 위 식과 같이 벡터를 이용해 표기할 수 없다.각 변위는 벡터가 아니라는 것이 이상에서 증명되었다. 그러면 미소 각 변위는 어떠할까?
만일 미소 각 변위가 벡터라면 다음과 같이 표시할 수 있을 것이다.
k j
i ˆ ˆ ˆ
3 2
1
여기서
i는 O 에 가까운 아주 작은 각도들이다. 이제
가 vector 임을 증명하려면, 대표적으로 다음 수식이 성립함을 보여야 한다.i k
j k
j
i ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ
1 3
2 3
2
1
--- (*)공간에 고정된 좌표계를
i ˆ , ˆ j , k ˆ
라고 하고 강체B
에 고정된 좌표계를b ˆ
1, b ˆ
2, b ˆ
3라고 하자.두 좌표계는 강체의 미소 각변위 운동이 일어나기 전에는 서로 일치하고 있다. 이제 강체
B
를 X축, Y축, Z축을 중심으로 미소 각변위 회전을 하면 두 좌표계간 방향 코사인 표는 아래와 같이 된다.(참고문헌 “Spacecraft Dynamics” by Kane 참조)
b
1b
2b
3iˆ c
2c
3s
1s
2c
3-s
3c
1c
1s
2c
3+s
1s
3jˆ c
2s
3s
1s
2s
3+c
1c
3c
1s
2s
3-c
3s
1kˆ
-s
2s
1c
2c
1c
2미소 각 변위의 경우에는
i 0
이므로,c
i cos
i 1
,s
isin
i
i 이다.따라서 방향코사인 표는 다음과 같이 나타낼 수 있다.
b
1b
2b
3iˆ
1 -
3
2jˆ
3 1 -
1kˆ
-
2
1 1이번에는 (*)식의 우변과 같이 강체
B
를 Y축, Z축, X축을 중심으로 미소 각변위 회전을 하면 두 좌표계간 방향 코사인 표는 아래와 같이 된다.b
1b
2b
3iˆ c
2c
3 -s
3s
2c
3jˆ c
2s
3c
1+s
1s
2c
1c
3c
1s
2s
3-c
2s
1kˆ c
2s
3s
1-c
1s
2s
1c
3s
1s
2s
3+c
1c
2※ 주의) “Spacecraft Dynamics”의 부록에 나온 공간 2-3-1 축 회전에 의한 결과는
1jˆ
+
2kˆ
+
3iˆ
에 해당하므로 위 결과를 얻을 때 주의해야 한다.따라서
i 0
일 때 방향 코사인 표는 다음과 같다.
b
1b
2b
3iˆ
1 -
3
2jˆ
3 1 -
1kˆ
-
2
1 1앞의 결과와 비교해 보면, 회전의 순서와 상관없이 두 결과가 같으며 따라서
는 벡터의주요 성질인 교환법칙을 만족하는 것을 알 수 있다.
미소 각 변위가 벡터이므로 이제 각속도를 다음과 같이 정의하여 나타낼 수 있다.
Lim t
t
0
앞에서 증명하였듯이
가 벡터이므로 그것을 t
로 나눈 양도 벡터가 된다. 그러므로 각속도도 벡터이다.위 식에 등장한 각속도의 정의는 그러나 실제로는 적용이 매우 불편하여 잘 사용하지 않는다. 각속도의 정의는 학부과정에서는 다루지 않고 대학원 교과과정인 고등동역학에서 다룬다.
강체에 고정된 두 점의 속도 차이
강체의 운동에 의해 발생하는 강체에 고정된 두 점간 변위 차이는 위의 그림과 같이 나타낼 수 있다. 이 변위 차이의 크기는 그림 (b)의 삼각형으로부터 다음과 같이 구해질 수 있다.
sin 2
2
R
PQR
PQ또한
가 0 으로 접근할 때R
PQ
의 방향은 R
PQ
와 같아진다. 따라서 이제 두 점간 속도 차이를 구해보면,PQ PQ
t
PQ PQ PQ
t PQ t
PQ PQ
R R t
R R t
R t
R dt
R V d
2 sin 2
sin 2 2
lim
lim lim
0
0 0
그런데
V
PQV
PV
Q
임을 쉽게 알 수 있으므로, 위 식과 연계하여 다음 식을 얻을 수 있다.PQ Q
P
V R
V
(동역학에 등장하는 2 점 정리 속도공식)속도 다각형을 이용한 도해적 속도해석 방법
도해적 방법은 위치 해석에서 평면 운동을 하는 기구에 대해 유용하게 사용된 것 같이 속도 해석을 위해서도 유용하고 효과적으로 사용될 수 있다.
우선 간단한 속도 해석 예로 위 그림 (a)를 살펴보자. 만일 두 점
A
와B
의 속도를 알고 있을 때 점C
의 속도와 각속도를 구하기를 원한다고 하자. 속도 해석은 물론 언제나 위치 해석이 완료되었다는 가정하에 수행된다. 두 점A
와B
의 속도 차를 우선 구하면, 그림 (b)로부터 쉽게 구할 수 있다. 다음은V
BA R
BA
이므로V
AB R
BA
이다. 따라서BA BA
R
V
위 식에서는 각속도의 크기만 결정되면 그 방향은 그림 (c)로부터 반시계 방향인 것을 확인할 수 있다.
V ˆ
BA ˆ R ˆ
BA이므로 ˆ R ˆ
BA V ˆ
BA임을 이용할 수도 된다.벡터 표시를 그림 (a, b, c)와 같이 그리는 것은 정밀한 도해적 해석 결과를 얻기 위해서는 적당치 않을 것이다. 따라서 그림 (d)와 같이 제도용 가는 펜을 이용하여 속도를 표시한다.
그림에서
O
V는 속도가 0 이 되는 점을 나타내고A
와B
는 각각 두 점의 속도를 나타낸다.이러한 그림을 속도 다각형이라 (Velocity polygon) 부른다.
이제 각속도
가 구해졌으므로 점C
의 속도를 속도 다각형을 이용하여 구하기로 하자.그림 (e)에서 알 수 있듯이
V
CA는
R
CA에 수직하며
V
CB는
R
CB에 수직하게 그릴 수 있다.
따라서 두 벡터가 만나는 점을 구하여 두 벡터의 크기를 결정할 수 있으며, 그들의 크기가 결정되면 속도
V
C를 구할 수 있다. 이것을 속도 다각형을 이용하여 그리면 그림 (g)와 같이 그려질 수 있다. 이제
O
V부터C
까지의 크기와 방향이 점C
의 속도를 의미한다.예제
위 그림의 4 절 기구가 입력 링크 2 의 각속도가
2 900
rev/min 의 크기로 반 시계 방향으로 주어졌다고 할 때, 현 위치에서 점E
와F
의 속도와 링크 3 과 4 의 각속도를 구하라.<풀이>
BA A
B
V R
V
2 이므로V
B
2R
BA 31 . 4
ft/sCD D CB B
C
V V V V
V
이제 속도 다각형을 그리면, 먼저
O
V 의 위치를 잡은 후B
점의 위치를 그린다. 다음B
점으로부터R
CB에 수직한 방향으로 선을 긋고 다시 점
O
V 로부터R
CD에 수직한 방향으로 선을 그어 만나는 점을 구하면 그 점이 점
C
의 속도를 나타내는 점이 된다. 이제 점B
로부터R
EB에 수직한 선을 긋고 점
C
로부터R
EC에 수직한 선을 그어 만나는 점이 점
E
가 된다. 이와 동일한 방법으로 점F
의 위치도 구한다. 이제O
V 부터 두 점E
와F
까지의 크기와 방향으로 두 점의 속도가 구해지며 아울러 속도다각형에 그려진BC
와CD
의 크기를R
CB와R
CD 로 나누면
3와
4 를 구할 수 있다. 아울러 두 각속도의 방향은 ˆ
3 R ˆ
CB V ˆ
CB와 ˆ
4 R ˆ
CD V ˆ
CD로부터 모두 반시계 방향임을 확인할 수 있다.예제
위 그림은 편심 슬라이더 크랭크 기구를 나타낸다. 현 위치에서 슬라이더의 속도
V
C가 좌측방향으로 10m/s 로 주어졌을 때, 링크 2 와 3 의 각속도와 점
D
의 속도를 구하라.<풀이>
우선 영 속도점
O
V 의 위치를 정한 후 (그 점이A
점임) 그 좌측 수평 위치에C
점을잡는다. 다음
A
점으로부터R
BA에 수직인 방향으로 선을 긋고
C
점에서R
CB에 수직인
방향으로 선을 그어 만나는 점이
B
점이 된다. 이제B
점에서R
DB에 수직으로 선을 긋고
C
점에서R
CD에 수직인 선을 그어 만나는 점을 두 선이 만나는 점이
D
점이 된다. 이제링크 2 와 3 의 각속도의 크기는 다음과 같이 구한다.
BA
B
R
V
2 에서BA B
R
V
2CB
CB
R
V
3 에서CB CB
R
V
3이 경우 각속도의 회전 방향은 명확하게 확인된다. 그러나 그 방향이 확실치 않을 때는, 예를 들어,
2와
3의 경우의 방향은 각각 다음 벡터계산 결과들과 동일하다.BA BA
V R ˆ ˆ ˆ
2
반시계방향CB CB
V R ˆ ˆ ˆ
3
시계방향움직이는 기준틀 상 점의 관찰 속도
2 장에서 관찰 변위와 관련하여 다음과 같은 식을 구하였다.
2
3/
2
3 P P
P
R R
R
위 식을
t
로 나눈 후 t
의 값을 0 으로 보내면 다음의 식을 얻을 수 있다.2
3/
2
3 P P
P
V V
V
우변의 두 번째 항은 2 번 링크에서 관찰한
P
3점의 속도이며, 위 식은 동역학에 등장하는 1 점 정리의 속도공식과 동일하고 관찰 속도 방정식이라 부르기도 한다. 이 식이 유용하게 사용될 수 있는 경우는 우변 두 번째 항을 쉽게 파악할 수 있을 때이다.일반적으로 위 방정식은 링크에 홈이 파져 있어 어떤 점들이 그 홈을 따라서 운동을 하게 만들어져 있을 때 유용하게 사용될 수 있다. 예로 아래와 같은 제네바 기구의 경우가 그것이다.
예제
위 그림의 기구에서 2 번 링크의 각속도가 시계방향으로 36 rad/s 로 주어질 때, 링크 4 의 각속도를 구하라.
<풀이>
우선 영 속도점
O
V 를 잡는다. 이 점은 당연히D
점 혹은E
점의 속도 점도 된다. 다음에A
점을O
V 부터의 거리가
2R
AE가 되고 방향은R
AE에 수직한 방향으로 잡는다. 이제
B
3 점은 링크 3 에 그리고B
4 점은 링크 4 에 고정된 점이라면,B
4 점의 위치를O
V 점으로부터R
BD에 수직인 선을 긋고
A
점으로부터R
BA에 수직인 선을 그어 만나는 점에 선정한다. 다음에
4의 크기를 다음 공식을 이용하여 구한다.BD D B
R V
44
이제
3
4 이므로B
3점의 위치를 식V
BA 3R
BA3
를 이용해 구한다. 이제F
점의위치도
V
F
4R
FD를 이용하여 구한다.A
4점의 위치도 동일하게 구할 수 있다. 이상의 과정을 종합한 속도 다각형의 모습은 아래와 같다.Comment)
B
4점의 위치를 구할 때,A
점으로부터R
BA에 수직인 선을 그어 만나는 점으로 할 수 있는 것은
B
3와B
4의 속도 차이가R
BA에 수직인 까닭이다.
2
3 관찰 각속도
링크 2 에서 링크 3 의 각속도를 관찰하여 얻어진 각속도를
3/2 로 표시하고 이를 관찰 각속도라 부른다. 이 때 두 링크의 절대 각속도는 다음의 관계를 갖는다.2 / 3 2
3
이 식을 동역학에서는 각속도 덧셈 정리라고 부르기도 한다.
미끄럼 접촉과 구름 접촉 1) 미끄럼 접촉
서로 닿고 있는 두 링크 2 와 3 이 그 접촉점에서 상대속도가 0 이 아니면 미끄럼 접촉이라 부른다. 이제 이 순간 서로 일치하는 링크 2 와 3 에 고정된 접촉점을
P
2와P
3로 부르면 링크 2 에서 관찰한P
3점의 속도, 즉 관찰 속도 /2P3
V
는 오직 접선 방향 성분만을 갖는다.
따라서 속도 다각형은
O
V 점을 (A
와B
점) 잡은 후P
2점의 위치를O
V 로부터 거리가R
PB
2 되는 위치에R
PB에 수직인 방향에 잡은 후, 두 링크의 접선 방향으로
P
2점으로부터 선을 긋고A
점으로부터R
PA에 수직인 방향으로 선을 그어 만나는 점이
P
3점이 된다.
2) 구름 접촉
순간 서로 일치하는 링크 2 와 3 에 고정된 접촉점을
P
2와P
3라고 부를 때, 두 링크가 접촉 점에서 상대 속도를 갖지 않는 것을 미끄럼이 없다고 말하고, 이 때 두 물체는 구름 접촉을 한다고 말한다. 서로 상대속도가 없으므로 /20
3
V
P이 되며, 따라서 1 점 정리의 관찰속도 방정식으로부터
2
3 P
P
V
V
속도 다각형은
O
V 점을 (A
와B
점) 잡은 후P
2 점의 위치를O
V 로부터 거리가R
PB
2 되는 위치에R
PB에 수직인 방향에 잡는다. 구름 접촉이면 이 점이
P
3점도 된다.이제
C
점을 구하기 위해O
V 로부터R
CA에 수직인 선을 그리고
P
3로부터R
CP에 수직인 선을 그려 만나는 점이
C
3 점이 (혹은C
4 점) 된다. 이제O
V 로부터R
CB에 수직인 방향으로
2R
CB거리만큼 그리면C
2 점이 구해진다. 위 예제를 통해 관찰할 수 있듯이 속도 다각형에 나타나는 어떤 삼각형의 모양은 기구 상의 점들로 구성된 어떤 삼각형과 서로 닮은 꼴을 종종 형성한다.이제 속도 다각형으로 구한
V
C와V
CP로부터CP CP
R
V
3 ˆ
3 R ˆ
CP V ˆ
CPCA C
R
V
4 ˆ
4 R ˆ
CA V ˆ
C해석적 속도 해석 방법 슬라이더-크랭크 기구 예제
위 예제에서 링크 2 의 각속도가
로 주어질 때, 슬라이더의 속도를 구하라.그림으로부터,
sin
sin l
r
cos
cos l
r
x
위 두 번째 식에서 우변 두 번째 항을 첫 번째 식을 이용하여 변환시키면,
2 1 2 2 2
sin 1
cos
l l r r
x
이제 위 식을 시간에 대해 미분하면,
2 1 2 2
2
sin 2 1
2
sin sin
l
r l
r r x
스콧치-요크 기구 예제
위 그림에서
x r cos
의 관계식이 성립하므로 이 식을 미분하면x r sin
복소 대수 속도 해석 방법
위치 벡터는 복소수를 이용하여 일반적으로 아래와 같이 나타낼 수 있다.
e
jR R
따라서 속도 벡터는 위 식을 미분하여 다음과 같이 구할 수 있다.
jj
jR e
e R
R
속도 해석 시 위 식을 이용하는데 많은 기구에서 종종
R
이나
가 0 이 되는 경우가 발생한다.역 슬라이더-크랭크 기구 예제
위 그림에서
4 2
1
r r
r
위 식을 복소수로 표시한 후 미분하면
r
1 0
이므로
4 4
2 2
4 4 4
2 2 2
j j
jj
jr e r e jr e
e
r
2
2
,
4
4로 표기하고 위 식을 실수부와 허수부로 방정식을 나누어 표기하면,4 4 4 4 4 2 2
2
sin r cos r sin
r
r
2
2cos
2 r
4sin
4 r
4
4cos
4위 식에서 속도 해석 시 미지수는
r
4 과
4 뿐이다. 위 식은 두 미지수에 대해 선형 방정식이므로 그 해는 쉽게 구할 수 있으며, 다음과 같다.
4 2
2 2
4
r sin
r
--- (1)
4 2
4 2 2
4
cos
r
r
--- (2)이제 링크 4 에 고정된 임의의 점
P
의 속도를 구하려면,4
j PB
P
R e
R
위 식을 미분하면,
4
4
j PBP
jR e
V
이제 위의 (2)식을 대입하면
4 2
44 2
2
cos
jPB
P
e
r jR r
V
4 절 기구 예제
<문제> 링크 3 과 4 의 각속도를 구하라.
<풀이>
위 그림에서
4
0
3 2
1
r r r r
위 식을 복소수로 표시하고 미분하면 (
r
1 0
이므로)
0
4 3
2
4 4 3
3 2
2
e
j jr e
j jr e
j
jr
위 식을 실수부와 허수부로 나누어 표시하면,
0 cos cos
cos
2 3 3 3 4 4 42
2
r r
r
0 sin sin
sin
2 3 3 3 4 4 42
2
r r
r
위 두 식은
3와
4에 대한 선형 대수 방정식이므로 쉽게 풀이할 수 있다.
4 3
23
4 2 2
3
sin
sin
r r
4 3
24
3 2 2
4