무질서한 퍼텐셜 안의 전자 상태 국소화에 대한 간략한 소개

Vol. 71, No. 7, July 2021, pp. 563∼567 http://dx.doi.org/10.3938/NPSM.71.563

A Short Introduction on the Localization of Electronic States in Disordered Potentials

Jeongwoon Hwang

Department of Physics Education, Chonnam National University, Gwangju 61186, Korea (Received 26 April 2021 : accepted 17 May 2021)

In this short review, we will introduce disorder-induced localization of electronic states, which is known as Anderson localization. Also, we will introduce the concept of a mobility edge, which is the boundary between localized states and extended states in energy space, by using amorphous semiconductors as a typical example of disordered potentials. By employing the non-equilibrium Green’s function method, we investigate the quantum transport property of a 1-dimensional chain of quantum dots with a size distribution. Finally, we will introduce a way to identify the mobility edge in an electronic structure perspective.

Keywords: Disordered potential, Anderson localization, Mobility edge

무질서한 퍼텐셜 안의 전자 상태 국소화에 대한 간략한 소개

황정운

전남대학교 물리교육과, 광주 61186, 대한민국 (2021년 4월 26일 받음, 2021년 5월 17일 게재 확정)

본 리뷰에서는 무질서한 퍼텐셜에 의해 전자 상태가 공간적으로 국소화되는 현상인 앤더슨 국소화에 대하여 간단히 소개한다. 또한 무질서한 퍼텐셜의 전형으로 생각할 수 있는 비정질 반도체를 예로 들어 에너지 공간에서 국소화된 상태와 비국소화된 상태를 나누는 이동도 경계를 소개한다. 비평형 그린함수 방법을 이용하여 크기가 균일하지 않은 양자점으로 이루어진 1차원 시스템의 양자수송 특성을 조사하고 여기서 나타나는 전자 상태 국소화에 대하여 이야기한다. 마지막으로 전자구조계산 관점에서 비정질 반도체의 이동도 경계를 추정하는 방법에 대하여 소개한다.

Keywords: 무질서한 퍼텐셜, 앤더슨 국소화, 이동도 경계

I. 서 론

1960년대 말 본격적으로 시작된 비정질 물질에 대한 연구 는 그에 대한 많은 관심에도 불구하고 학부 수준의 고체물리

∗E-mail: [email protected]

수업에서는 거의 다루어지지 않으며 교과서의 한 챕터에서 [1] 간단하게 언급되는 정도이다. 자성 물질 및 무질서계의 전자구조에 대한 이론적 연구 공로로 1977년 노벨 물리학 상을 수상한 필립 워런 앤더슨(P. W. Anderson)이 제안한 무질서한 퍼텐셜에 의한 전자 상태의 국소화 현상은 [2] 이제 막 양자역학과 고체물리를 공부한 학부생들에게도 충분히

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흥미로울 수 있는 주제이므로, 본 리뷰에서는 무질서한 퍼 텐셜 안의 전자 상태 국소화에 대하여 그 현상을 중심으로 아주 간단하게 소개하고자 한다.

II. 전자 상태 국소화에 대한 소개

1. 앤더슨 국소화 (Anderson localization)

전기 전도에 대한 고전적 이론인 드루드 (Drude) 이론은 간단히 말해 전기저항의 원인을 물질 내 자유전자가 무거운 양이온에 부딪혀서 지그재그 운동을 하기 때문으로 기술 한다. 양자역학이 나오고 나서야 규칙적인 원자핵의 배열 에 의해서는 전자가 산란되지 않는다는 사실을 이해하게 되었는데, 학부 고체물리 수업에서는 1차원 격자가 주는 주기적인 퍼텐셜에 놓인 전자들의 단일 입자 에너지 고유 상태를 퍼텐셜에 의해 변조된 평면파인 블로흐 전자(Bloch electron) 들로 기술할 수 있다는 것을 배운다. 격자의 차 원이 늘어나고 구조가 복잡해져도 주기적 퍼텐셜 안에서 전자의 에너지 고유 상태는 여전히 블로흐 전자들로 기술할 수 있고, 이러한 고유 상태의 원인이 된 주기적인 퍼텐셜 에 의해서는 그 움직임에 영향을 받지 않는다. 하지만, 불 순물 (impurity) 이나 격자 결함 (imperfection), 격자 진동 (lattice vibration, or phonon) 등에 의해 주기적 퍼텐셜에 서 벗어난 무질서(disorder)가 들어온다면 그것은 전자들의 운동에 영향을 준다.

고전적 관점에서 전기 전도도는 전자가 불순물과 충돌하 기 전에 이동할 수 있는 평균거리인 평균자유거리 (mean- free-path)에 비례한다. 낮은 온도에서 불순물이 많아지면, 즉 무질서가 커지면, 전자의 평균자유거리가 짧아져서 전기 전도도가 짧아진다고 이해할 수 있겠으나, 이러한 고전적 관점에서는 전기 전도도가 줄어들 수 있는 한계치가 존재 한다. 즉, 평균자유거리가 아무리 짧아져도 고체 내 원자핵 사이의 거리 정도까지만 줄어들 것이므로 전기 전도도는 작지만 0이 아닌 값을 가질 것으로 기대할 수 있다. 하지만 무질서의 정도가 점점 높아질 때 전기 전도도가 작지만 유한 한 크기를 가지는 것이 아니라 아예 사라지게 된다는 것, 즉 전기 전도도에 정성적인 변화가 생긴다는 것이 바로 앤더슨 국소화 현상이다. [3] 앤더슨은 1958년 논문에서 전자간 상호작용이 없을 때 무작위적인 퍼텐셜에 의해 전자 상태가 불순물 근방의 좁은 공간에 국소화된다는 것을 보였다. [2]

핵심만 말하자면 앤더슨 국소화는 전자의 파동성에서 비 롯된 특성으로, 불순물들에 의해 다중 산란된 전자 파동의 양자 간섭 (quantum interference) 의 결과이다. 3차원에서 는 충분히 강한 무질서가 있어야만 국소화 현상이 생기고

그에 따라 금속-절연체 전이 (Metal-Insulator Transition) 가 나타나지만, 1차원과 2차원에서는 작은 무질서만 있어도 전자 상태가 국소화된다. 무질서에 의한 앤더슨 국소화는 전자간 상호작용에 의한 모트 전이와는 차이가 있으며, 이 러한 국소화 현상은 처음 제안되었던 전자 파동뿐만 아니라 빛, 그리고 탄성파(elastic wave)와 같은 고전적 파동에서도 관측되었다.

2. 눈금바꿈이론 (scaling theory)

“Gang of four”라고도 알려진 Abrahams, Anderson, Licciardello, 그리고 Ramakrishnan이 1979년 발표한 국 소화에 대한 눈금바꿈이론 논문은 앤더슨 국소화에 대한 정 성적인 설명을 제공했다. [4] 특히 3차원에서 국소화 전이 가 있다는 것을 눈금바꿈이론 (scaling theory) 에 근거하여 예측하였는데, 이 이론의 가설은 시스템의 크기 L 이 바뀔 때 전기 전도도 (g(L): ensemble-averaged dimensionless conductance) 의 변화가 오직 전기 전도도 자체에만 의존 한다는 것이다. (Fig. 1(a) 에서처럼 시스템의 길이 L 을 b 배 증가시킨다. 이 경우 b = 2 이다.) 이를 β(g) = ^{d ln g(L)}_{d ln L} 형태로 쓸 수 있고, 이러한 함수 β(g) 를 universal scaling function 또는 one-parameter scaling function이라고 부른 다. 함수 β(g) 는 시스템의 크기를 증가시킴에 따라 전기 전도도가 어떻게 변하는지를 기술한다. β(g)값이 양수라면 시스템의 크기가 증가할 때 전기 전도도가 함께 증가한다는 것을 나타내고, 반대로 β(g)값이 음수라면 시스템의 크기가 증가할 때 전기 전도도가 감소한다는 것으로 전자 상태가 국소화된다는 것을 의미한다. g ≪ 1일 때는 시스템의 크 기가 증가함에 따라 전기 전도도가 지수적으로 감소하는 강한 국소화를 나타내는데, 이때 g(L) = e^−αL이라고 하면 (α 는 양수), ^{d ln g(L)}_{d ln L} = ^{d ln g(L)}_dL ·_{d ln L}^dL =−αL이 된다. 한 편, g≫ 1일 때는 옴의 법칙을 따르는데 이때 β(g)의 값은 d–2(시스템의 차원 d = 1,2,3) 에 접근한다. 3차원의 경우 β(g)가 음수에서 양수가 되는 전이가 있지만 1차원이나 2 차원에서는 β(g) 가 늘 음수로 나타나는데, 이는 임의의 크 기의 disorder가 있을 때 시스템의 크기가 충분히 크다면 전자 상태가 국소화된다는 것을 의미한다. 1차원 (d = 1) 의 예로 Fig. 1(b) 와 같이 크기가 균일하지 않은 양자점들 의 사슬을 생각해보자. 양자점 크기의 불균일성에서 오는 에너지 레벨의 불균일성 때문에 이러한 시스템 안에 있는 전자의 상태는 국소화되고, 양자수송계산을 [5] 통해 β(g) 의 값을 구해보면 Fig. 1(c) 와 같이 g 가 클 때 d–2 인 -1에 접근하는 것을 확인할 수 있다. [6] 한편, 2차원의 예로 그래 핀에서 전자 상태 국소화를 탐구한 연구를 소개하고자 한다.

[7,8] 2차원 물질인 그래핀의 표면에 무작위적으로 수소를 흡착시킴으로써 (그래핀의 동등한 A, B 부분격자 모두에 무작위적으로 흡착된 경우) 전자 상태 국소화를 일으킬 수 있는데, 이 경우 함수 β(g) 는 Fig. 1(c) 의 그래프를 y 축 방향으로 +1만큼 평행이동시킨 것과 비슷하다. 이러한 두 가지 예에서 1차원 양자점 사슬의 경우 서로 다른 불균일 성 정도 (양자점 크기의 표준편차 σ 로 정량화 할 수 있다.) 에서 계산한 결과들이, 그리고 2차원 그래핀의 경우 서로 다른 흡착 농도에서 계산한 결과들이 각각 같은 β(g) 로 나 타내진다는 점에서 “universal” scaling function의 의미를 생각해볼 수 있다.

3. 이동도 경계 (mobility edge)

무질서에 의한 앤더슨 국소화를 이야기하면서 비정질 반도체에서 나타나는 이동도 경계 (mobility edge) 를 빠뜨 릴 수 없다. d-차원 사각격자 위에서 앤더슨 국소화 모델 해밀토니안은 이차 양자화 (second quantization) 형태로 다음과 같이 쓸 수 있는데,

H =

∑N i=1

ϵ_ic^†_ic_i+ t∑

⟨i,j⟩

c^†_ic_j (1)

여기에서 i와 j 는 격자점, ϵi는 전자가 i번째 격자점에 있을 때 가지는 에너지, t는 두 격자점 사이의 건너뜀 상수,∑

⟨i,j⟩

는 i 와 j 가 가장 가까운 이웃일 때에만 연산을 수행한다는 것을 나타낸다. 이때 on-site 에너지 ϵi가 어떤 분포 w(ϵ) 를 따르고, 그 분포의 너비 (width) 가 W 라고 하면, W /t 의 값이 어떤 임계값보다 클 때 밴드의 모든 전자 상태가 국소화 된다. 한편, W /t 의 값이 그 임계값보다 작을 때 에너지 밴드 안에 임계 에너지 Ec가 존재하여 그보다 작은 에너지에는 국소화된 상태들이, 그 보다 높은 에너지에서는 비국소화된 상태들이 존재하는데, 이 둘의 경계를 나누는 에너지 Ec를 이동도 경계라고 부른다. [9,10] 따라서 페르미 레벨이 이동도 경계 아래에 놓이게 되면 온도가 절대 영도 에 가까워질 때 전기 전도도가 0으로 수렴하며, 열 활성화 (thermal activation) 가 없다면 전기 전도가 일어나지 않 는다. 한편, 낮은 온도에서는 전자간 상호작용이나 포논에 의해 전자 상태의 국소화가 깨지지 않는다고 알려져 있다.

4. 1차원 양자점 사슬의 전자 수송 특성

Figure 1(b) 에서 보인 것처럼 다섯 개의 양자점으로 이 루어진 사슬(5-quantum-dot chain)을 생각하고 이러한 시

스템의 모델 해밀토니안을 식 (1) 처럼 썼을 때 (t = 0.5 eV 로 두었다.), 양자점의 on-site 에너지의 분포에 따라 각각의 양자점에 투영한 전자 상태 밀도가 달라진다는 것은 쉽게 확인할 수 있다. Figure 2의 (a)와 (b)는 각각 양자점의 에 너지가 0 eV로 균일할 때와 평균값이 0 eV이고 표준편차가 0.1 (eV)인 가우시안 분포를 따르는 어느 한 경우에 계산한 전자 상태 밀도다. 에너지가 균일할 때는 각각의 양자점에 투영한 전자 상태 밀도들이 모든 에너지 영역에서 겹쳐 있고 대칭적이지만 에너지에 분포가 있을 때는 이러한 대칭성이 사라진다. 또한 특별히 1 eV 근방에서 세 개의 양자점에 투영한 전자 상태 밀도가 많이 겹쳐 있는데, 양자점 사슬의 길이가 길어지면 전체 사슬 중 일부 서로 근접해있는 양자 점에서만 이러한 겹침이 나타나게 되고, 이는 전자 상태가 그러한 몇 개의 양자점들에만 국소화되어 있음을 나타낸다.

비평형 그린함수 방법을 [5] 이용하여 전자가 양자점 사슬을 통과하여 한 전극에서 다른 전극으로 흘러갈 투과 확률 (혹 은 전도도) 을 계산해보면 양자점의 에너지가 균일할 때에 비하여 분포를 가질 때 투과 확률이 줄어든다는 것을 확인할 수 있다 (Fig. 2(c)). 사슬의 길이 (N ) 가 길수록 그리고 에 너지 분포의 표준편차 (σ) 가 클수록 전도도가 줄어드는데, 흥미롭게도 전기 전도도를 단일 변수 N σ²의 해석적 함수로 쓸 수 있다. [6]

III. 전자 상태 국소화와 이동도 경계의 추정

실험적으로 앤더슨 국소화 현상은 빛, [11–14] 음파, [15]

전자 기체, [16] 보즈 아인슈타인 응축체 [17] 등에서 보고되 었는데, 앤더슨 국소화나 이동도 경계를 실험적으로 관측 하기는 상당히 어렵다고 알려져 있다. 전자구조계산 방법 에서는 전자 파동함수의 inverse participation ratio를 계 산하여 전자 상태가 얼마나 국소화되었는지를 정량화함으 로써 이동도 경계를 추정해볼 수 있다. [18] 이를 위해서는 먼저 비정질 물질의 원자구조를 모델링해야 하는데, 충분히 높은 온도에서 충분히 오랜 시간 동안 (> 1 ps) 분자 동역 학 시뮬레이션 (classical molecular dynamics or ab-initio molecular dynamics) 을 수행함으로써 얻을 수 있고, 보다 신뢰할 수 있는 비정질 구조를 모사하기 위하여 실험에서 사용한 녹는점이나 냉각률 등의 조건을 일정부분 사용하 기도 한다. [19,20] 원자구조가 잘 얻어졌는지는 하나의 원자를 기준으로 다른 원자들의 위치에 대한 방사형 분포 함수(radial distribution function)를 계산함으로써 확인할 수 있다. 이렇게 얻은 원자구조를 가지고 전자구조계산을 수행하여 전자의 파동함수 ({ψα(r)}) 및 전자 상태 밀도를 계산한다.

Fig. 1. (Color online) (a) Schematic for scaling of the conductance as the size of the system is scaled by a factor b.

(b) 1-dimensional chain of quantum dots with size distribution in contact with electrodes. Different colors represent different energy levels. (c) Calculated β(g) for the quantum dot chain systems as shown in Fig. 1(b). Non-equilibrium Green’s function method is employed for quantum transport calculations.

Fig. 2. (Color online) Calculated electron density of states of 5-QDC (a) when quantum dot energy levels are the same (i.e., uniformly sized quantum dots), and (b) when there is Gaussian energy distribution with a mean value of 0 eV and a standard deviation of 0.1 (eV). QD2, QD3, and QD4 represent quantum dots that do not come into direct contact with electrodes. (c) Calculated quantum transport property of 5-QDC. Unlike the transmission probability of the uniform 5-QDC (red solid line), that of the 5-QDCs with size distribution (overlapped gray solid lines) show much lower transmission probability within a wide energy range.

국소화된 상태와 비국소 상태는 전자 상태의 공간적 분 포를 inverse participation ratio를 이용하여 정량화함으로 써 구별할 수 있다. 전자의 파동함수 ψα(r)는 원자들 사 이의 거리보다 훨씬 촘촘하게 잡은 그리드 (grid) i 위에서 ψ_α(r) =∑

iψ_αiδ(r− ri)와 같이 불연속적으로 나타낼 수 있는데, ψαi는 그리드 포인트 i에서 ψα(r)의 진폭으로 볼 수 있다. 이때 어떤 전자 상태 ψα(r)의 inverse participation ratio는 다음과 같이 정의된다.

IPR =

∑

i|ψαi|⁴ (∑

i|ψαi|²)² (2)

하나의 그리드 포인트에 전자 상태가 완전히 국소화되어 있다면 IPR은 1이라는 값을 가지고, 완전히 균일하게 퍼져 있을 경우 그리드 포인트의 개수가 N 이라면 IPR은 1/N 의 값을 가지게 되어 그리드가 충분히 촘촘하다면 0에 가까워 진다. 이때 국소화된 상태와 비국소 상태를 나누는 경계값 은 시스템에 의존한다. IPR 대신 이것의 역수를 사용하면 이는 전자 상태가 얼마나 퍼져 있는가 (delocality) 를 나타

내는 양이 되며, IPR과 마찬가지로 그리드 위에서 다음과 같이 정의할 수 있다.

D = 1 V

∫ dv|ψα|²

∫ dv|ψα|⁴ = 1 N

∑N i=1|ψαi|²

∑N

i=1|ψαi|⁴ (3) 이 경우, 전자가 한 점에 완전히 국소화 되어있다면 1/N , 완전히 균일하게 퍼져 있다면 1의 값을 가진다.

앞서 설명한 IPR 또는 delocality가 전자 상태의 국소화 정도를 잘 기술하는지 다음 두 시스템에서 계산한 결과를 비교함으로써 확인해보자. Figure 3(a) 는 ZnO 양자점 (노 란색 육각형)과 양자점이 비정질 ZnO(회색 배경)에 박혀있 는 구조를 도식적으로 나타낸 것이고, Fig. 3(b) 는 각각의 경우에 대해 식 (3)의 방법으로 구한 delocality를 나타낸다.

전자구조계산에서 ZnO 양자점은 three-layer planar ZnO 구조로 모델링하였고, 양자점이 박혀있는 비정질 물질의 경 우 커다란 셀(8x8 ZnO unitcell)안에 양자점 하나와 비정질 영역이 공존하도록 모델링하였다. Figure 3(b)에서 가로선 은 2차원 three-layer planar ZnO의 전도띠끝 (conduction band edge)상태의 delocality를 나타내는데, 이를 기준으로

Fig. 3. (Color online) (a) Schematic representation of quantum dots (yellow hexagons) embedded in amor- phous region (gray background). (b) Delocalities cal- culated from electronic structure calculations for an iso- lated ZnO quantum dot (red cross) and for a combined system of ZnO quantum dots and amorphous ZnO (blue dot).

전자 상태가 나노미터 크기의 양자점 안에만 완전히 국소 화된 경우 delocality가 상대적으로 매우 작다는 것을 쉽게 확인할 수 있다. (에너지가 1.5 eV 이상인 경우 전자 상태의 국소화 정도가 에너지에 따라 크게 변하지 않는다. 그보다 낮은 에너지에서 나타나는 delocality가 0에 가까운 상태 들은 양자점 모서리의 매달린 결합(dangling bond)상태들 이다.) 한편, Fig. 3(b) 처럼 양자점이 비정질 영역과 함께 있을 때도 에너지가 낮은 영역에서의 delocality는 결정구 조를 가지는 ZnO에 비하여 작은데, 에너지가 높아짐에 따 라 전자 상태의 delocality가 증가하고 그 값이 기준치보다 높아지기 시작한 임계 에너지를 이동도 경계라고 이해할 수 있다. 참고로, 비정질 물질로만 이루어진 시스템과 비교하 여 비정질 물질과 양자점이 섞여있는 시스템에서는 이동도 경계에서 각각의 전자구조적 특성에서 비롯되는 흥미로운 현상이 나타날 수 있다. [21]

IV. 요 약

본 리뷰에서는 무질서한 퍼텐셜이 있을 때 나타나는 전자 상태의 국소화와 이동도 경계에 대하여 소개하였고, 1차원 양자점 사슬 시스템을 예로 들어 에너지가 균일할 때와 가 우시안 분포를 가질 때 전자 상태 밀도 및 전자수송 특성이 달라진다는 것을 모델 계산을 통해 보였다. 또한 ZnO 시스 템을 예로 들어 전자구조계산에서 이동도 경계를 추정하는 방법을 소개하였다.

감사의 글

이 논문은 정부 (과학기술정보통신부) 의 재원으로 한국연구재단의 지원을 받아 수행된 연구입니다 (No.

2019R1G1A1099345).

REFERENCES

[1] C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (Wiley, New York, 1976), Ch. 17..

[2] P. W. Anderson, Phys. Rev. 109, 1492 (1958).

[3] A. Lagendijk, B. van Tiggelen, and D. S. Wiersma, Phys. Today 62, 24 (2009).

[4] E. Abrahams, P. W. Anderson, D. C. Licciardello, and T. V Ramakrishnan, Phys. Rev. Lett. 42, 673 (1979).

[5] D. A. Ryndyk, R. Gutiérrez, B. Song, and G. Cu- niberti, arXiv:0805.0628v2.

[6] M.-H. Cha and J. Hwang, Sci. Rep. 10, 16701 (2020).

[7] J. Bang and K. J. Chang, Phys. Rev. B 81, 193412 (2010).

[8] D. H. Choe, J. Bang, and K. J. Chang, New J.

Phys. 12, 125005 (2010).

[9] S. Nevill Mott, Phys. Today 31, 42 (1978).

[10] N. Mott, J. Phys. C Solid State Phys. 20, 3075 (1987).

[11] D. S. Wiersma, P. Bartolini, A. Lagendijk, and R.

Righini, Nature 390, 671 (1997).

[12] F. Scheffold, R. Lenke, R. Tweer, and G. Maret, Nature 398, 206 (1999).

[13] M. Störzer, P. Gross, C. M. Aegerter, and G. Maret, Phys. Rev. Lett. 96, 63904 (2006).

[14] T. Schwartz, G. Bartal, S. Fishman, and M. Segev, Nature 446, 52 (2007).

[15] R. L. Weaver, Wave Motion 12, 129 (1990).

[16] E. Akkermans and G. Montambaux, Mesoscopic Physics of Electrons and Photons (Cambridge Uni- versity Press, Cambridge, 2007).

[17] J. Billy et al., Nature 453, 891 (2008).

[18] M. Unge and T. Christen, Chem. Phys. Lett. 613, 15 (2014).

[19] E. Chagarov and A. C. Kummel, ECS Trans. 16, 773 (2019).

[20] G. Gutiérrez and B. Johansson, Phys. Rev. B 65, 104202 (2002).

[21] L. Lee et al., Nat. Commun. 10, 1998 (2019).