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A Study on Mathematical Structures of Major and Minor Triads using Geometrical Model

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기하학적 모델을 이용한 장,단3화음의 수학적 구조 연구

문 준 희 (광주과학고등학교) 박 종 률 (전남대학교)

음악과 수학은 구조적인 유사성이 많다. 음악에서 중요하게 사용하는 장,단3화음은 서로 음정의 순서가 뒤바뀐 전회 (Inversion)관계가 되는데 이는 수학적으로 반사(reflection)에 해당한다. 기하학적인 표현은 수학에서뿐만 아니라 음 악에서도 그 구조를 이해하는데 도움이 되는데 음악에서 조성관계를 나타낸 도표를 톤네츠(Tonnetz)라고 한다. 톤네 츠를 활용하면 장,단3화음의 반사 관계를 쉽게 파악할 수 있고 또한 이도(transposition)를 평행이동(translation)으로 나타낼 수 있다. 본 연구에서는 기존의 톤네츠를 살펴보고 수학적 원리로 새롭게 구성한 S-Tonnetz를 소개한다.

1)2)

Ⅰ. 서론

최근 들어 다양한 지식을 어떻게 활용할 것인지와 관련하여 융합교육에 대한 관심이 급증하고 있다. Yakman 은 STEM에다가 예술(Arts)까지 통합하는 STEAM교육을 제안하였는데 우리나라는 예술의 중요성을 인식하여 STEAM 교육정책을 추진하고 있으며 이를 통해 다양한 교과목을 통합하는 전인적 교육을 실시하고 있다. 특히 예술 분야는 창의적인 생각과 표현활동을 통해 상상하고 표현하는 창조의 기술을 연마하는데 중요한 위치를 차 지한다. 예술 중에서도 순수예술에 속하는 음악교과에 대해서 태진미(2010)는 음악적 표현(감상, 연주, 창작)의 과정에서 창조과정에 필수적인 직관적 상상의 기술을 가르칠 수 있는데 이러한 특성을 통해 상호 맥락과 개성 적 표현을 고려한 자신만의 독창적 소통능력을 촉진할 수 있다고 하였다.

특히 음악은 수학과 구조적 유사성이 많다. 고대 그리스의 피타고라스는 조화로운 화음을 간단한 정수비로 나타내었으며 또한 피타고라스 음계에서 콤마(comma)의 존재에 대한 문제점을 무리수를 사용한 평균율을 통해 해결한 것이 하나의 예가 된다. 수학자 라이프니츠(G. W. Leibniz)는 ‘음악은 사람이 셈을 하고 있다는 사실을 인지하지 못하면서 셈을 즐기는 것이다’라 하며 음악에 깃들어 있는 수학에 주목하였고(신현용 외, 2014 재인용), 프랑스 작곡가 라모(J.P. Rameau)도 ‘음악과 그토록 오래 함께해 왔음에도 불구하고 음악에 대한 지식을 진정으 로 이해하게 된 것은 수학의 도움에 의해서였다’라고 하였다(이규봉, 2012 재인용). 특히 현대음악에서는 많은 수 학적인 구조를 찾을 수 있는데 바르톡(B. Bartox)은 황금분할을 작곡에 적용시킨 작곡가로 형식과 화성, 다이나 믹 등의 여러 측면에서 황금분할과 피보나치 수열을 활용하였고, 쇤베르크는 12음기법을 창시하여 12음이 동등 하게 다른 음들과 관계를 맺으며 사용되는 작곡방식에서 모든 음에 동등성을 부여하고 12음이 이루는 음렬과 변형 가능한 음렬의 구성 원리에서 음소재의 수학적 측면을 보여주고 있다(성언순, 2010). 또한 20세기 중반 미 국에서 쇤베르크의 음렬 기법을 체계화한 배빗(M. Babbitt)은 1938년 프린스턴 대학의 음악교수가 되었으나 후

* 접수일(2014년 3월 25일), 심사(수정)일(2014년 5월 2일), 게재 확정일(2014년 5월 2일)

* ZDM 분류 : M80

* MSC2000 분류 : 97B99

* 주제어 : 톤네츠, 장화음, 단화음, 반음, 반사

✝ 교신저자 : parkjy@chonnam.ac.kr

(2)

에 음악보다는 수학연구에 전념하며 1943년부터 45년까지 동대학의 수학과 교수로 재직하였다(김연, 2006).

이처럼 수학과 음악은 고대부터 현재까지 밀접한 관계를 가지고 있으므로 통합 교수 학습 지도에 대한 좋은 자료가 되며 자연스러운 전개가 가능하다. 그러나 주미경 등(2012)이 1980-2012년에 발행된 논문 중 ‘수학(교과)’,

‘통합(교육)’을 주제어로 포함하면서 수학과 타 교과와의 통합을 다루고 있는 논문을 확인한 결과 총 174편의 연 구 중에서 중고등학생을 대상으로 한 연구는 32편에 불과하며, 이 중 과학교과와 통합을 다룬 것이 13편인 것에 비해 예체능은 3편에 불과하였고 또한 이 3편의 연구는 모두 미술과의 통합으로 음악과의 통합을 다룬 연구는 찾기 어려웠다. 수학과 음악의 통합 교육을 넘어서 STEAM 교육과 관련된 국내 학계의 연구 동향을 살펴 본 결과 융합 및 통합 관련 연구 논문 110편 중에서 언어를 포함한 예술분야(국어, 사회, 미술, 체육, 종합예술)에 대한 연계 연구는 31편이 소개되었으나 liberal arts 분야를 제외한 순수 예술 부분은 소수에 불과하였다(권난주 외, 2012).

따라서 본 연구에서는 음악과 수학의 통합 교수학습에 대한 기초 자료로서 수학적으로 분석할 수 있는 음악 의 구조에 대하여 살펴본 후 특히 장,단3화음을 설명할 수 있는 기하학적인 모델을 제시한다. 장,단3화음은 음악 에서 중요하게 다루는 화음이며 그 구성이 서로 전회관계, 즉 수학에서의 반사관계를 이룬다는 특징이 있다. 또 한 음악에서는 화음의 구조를 쉽게 이해할 수 있도록 기하학적인 모델인 톤네츠를 사용하는데 톤네츠를 통해 화음을 이루는 음들을 쉽게 찾을 수 있을 뿐만 아니라 장,단3화음의 반사 관계를 시각적으로 확인할 수 있다. 이 논문에서는 톤네츠의 구성원리를 수학적으로 살펴보고, 수학적으로 분석이 용이하도록 새롭게 구성한 톤네츠를 소개한다.

Ⅱ. 음악의 수학적인 구조

1. 음고류 공간(pitch-class space)과 생성원(generator)

Dmitry Tymoczko(2011)는 기하학이 음악 구조를 모델링하는데 강력한 도구를 제공한다고 보았다. 특히 음악 구조의 기하학적 모델로 반음계(chromatic scale)1)에서의 각 음고(pitch)2)를 직선 위의 점으로 보는 음고 공간 (pitch space)과 원 위의 점으로 보는 음고류 공간(pitch-class space)을 제시하였는데 음고류 공간은 옥타브 차 이가 나는 음을 모두 동등하게 보기 때문에 어떤 옥타브 위치인지 표시할 필요가 없다. 이때 각 옥타브 위치는

와 같이 숫자를 이용하여 나타내는데 ‘가온 다(middle

)’ 음은

이며 숫자가 하나씩 커질수록 한 옥타 브 위 음이 된다.

<그림Ⅱ-1> 음고 공간과 음고류 공간

1) 12개의 반음정으로 이루어진 음계로 온음계(diatonic scale) 중에서 온음의 간격을 반음으로 메워 1옥타브를 12단계로 한 음 계. 본 논문에서 사용하는 모든 음계체계는 반음계를 기본으로 함.

2) 음높이라고도 하며 물리적으로는 진동수가 많은 음을 높은음, 적은 음을 낮은 음이라고 함.

(3)

음고류 공간에서 음정의 합은 12를 법으로 하는 법 연산(modular arithmetic)이 된다. 예를 들어 ‘완전5도3)+완 전5도’는 ‘옥타브+2반음’이 되므로 옥타브 동등성에 의하여 2반음이 되고 이를 법연산으로 나타내면

‘  ≡  ≡  mod’가 된다. 따라서 음고류 공간에서의 12개의 음표는

의 원소를 이용하여 다음과 같 이 나타낼 수 있다.

<표1> 음고류 공간에서 음표들의

 표현

음표 ♯ ♯ ♯ ♯ ♯

            

의 생성원(generater) ∈

 은 와 서로소인 , 즉 gcd   을 만족하는 원소이다. 따라서

   

의 생성원이 되며 이때 은 1반음씩 더해 나가는 것으로 <그림Ⅱ-1>의 음고류 공간과 동일한 순서로

를 생성한다. 이 중에서 생성원 을 이용한 경우는 음악에서 특별한 의미를 갖는데 7반음, 즉 완전5도를 쌓아올려 만든 원형 순환도를 5도권(circle of fifth)이라고 한다. 이러한 5도권은 음악 이론의 형식 에서 자주 사용하는데 본 연구에서도 장,단3화음의 이해를 위한 기하학적인 모형에서 완전5도로 만들어진 음고 류를 사용한다.

<그림Ⅱ-2> 5도권 2. 피타고라스 음계와 순정률 음계

조화로운 화음에 대하여 최초로 언급한 피타고라스 학파는 정수    가 각각 점, 선, 면, 입체를 상징한 다고 하였는데 이 수들을 모두 합하면 우주를 나타내는 완전하고 성스로운 수 (decad)이 나온다. 그리고 이 정수들의 비율로서 완전 협화음정을 설명하였는데   는 옥타브(12반음),   은 완전5도(7반음),   는 완전4 도(5반음)이다. 후에 짜를리노는 불완전 협화음정인 장,단3도와 장,단6도를 정당화하기 위해 피타고라스의

   를 확장시켜  까지를 기본적인 정수로 보았고 이때   가 장3도(4반음)이다(김연, 2006).4) 피타고라 3) 두 음 사이의 음높이의 간격을 음정(interval)이라고 하는데 그 중 어느 음에서 그 음을 포함하여 다섯 번째 음까지의 간격

으로 사이에 하나의 반음만 포함하는 경우 완전5도 음정임, 즉 완전5도는 7반음정.

4) 피타고라스가 말한 정수 비율은 현의 길이에 관한 것으로 이때 한 옥타브 위는 현의 길이가 절반이 되어   로 표현해야 한다. 음정을 주파수(frequency)비율과 관련하여 생각하는 것은 17세기 이후에 등장하지만, 편의상 본 논문에서는 주파수 비율로 표기하도록 한다.

(4)

스는 이 음정들 중에서 옥타브 다음으로 가장 조화로운 완전5도의 비   만을 사용하여 다른 모든 음정들을 산출하였다. 이처럼 한 가지 음정만으로 모든 12음을 표현하는 것이 가능한 이유는 완전5도는 7반음이고 은

의 생성원이기 때문이다. 아래의 표는 피타고라스의 방식을 통해 12음들의 정수비를 구한 것이다.5)

<표2> 피타고라스 음계 (Pythagorean Scale)

음표 ♯ ♯ ♯ ♯ ♯

정수비 





























단선율 성악이 음악의 주류를 이루다가 다성음악이 점차 발달하면서 피타고라스 조율 외의 다른 조율 체계를 사용할 필요성이 대두되었고 무엇보다도 조율 체계의 변화를 촉진하는 요인이 되었던 것은 협화음정의 변화이 다. 즉 이전에는 부수적인 협화음정으로 여겼던 3도, 6도가 더 자주, 더 중요하게 음악의 실제에서 사용되면서 이 음정들을 정확하고 순수하지 않게 조율하는 체계는 더 이상 받아들여지기 어렵게 되었다(김연, 2006). 짜를리 노에 의한 순수 협화음정인 장3도는   이지만 피타고라스 음계에서의 장3도는   이 되어 미세한 음정 차 이가 발생한다. 이에 16세기에는 완전5도와 장3도의 비율, 즉   과   를 사용하여 조율하는 순정률(just intonation)이 사용되기 시작한다.

3. OPTIC 연산에 의한 화음 동치류

집합

에서의 동치관계 ‘∼’에 의해

를 동치류(equivalence class)들의 집합인 상집합(quotient set)으로 표 현할 수 있다. 음악에서도 이와 비슷하게 음악적 대상을 일정한 방식으로 분류하여 다양한 상황을 대표하는 동 치류의 집합으로 나타낼 수 있다. 예를 들어 아래의 두 화음을 생각하자.

<그림Ⅱ-3>

장3화음

두 화음을 구성하는 음들을 낮은음부터 나타내면 각각

,

가 되어 구성요소가 다르 다. 그러나 음악에서는 이 두 화음을 서로 다른 것으로 보지 않고 모두

장3화음6)이라 한다. 음악에서도 일정 한 방식에 의해 범주화하지 않고 모든 경우를 다 살펴본다는 것은 불가능하므로 몇 가지 음악적 연산에 대한 동치류로 분류하여 대상을 다룬다. 이때 수학에서의 연산과 비슷하게 음악에서는 OPTIC 연산이 있는데 이는 2008년 Science에 실린 Clifton Callendar, Ian Quinn, Dmitri Tymoczko의 ‘일반화된 성부진행 공간(Generalized

5) 5도권 상의 를 중심으로 시계방향으로 완전5도를 올려주고, 반대로 에서 시계반대방향으로 완전5도를 내려주는 방식으 로 각 음의 정수비를 구하면 ♯의 정수비는 와  두 가지가 나오고 이 두 수의 비를 ‘피타고라스 콤마 (comma of Pythagoras)’라 한다. <표2>에서는 이 중 더 간단한 정수비 로 기록하였다.

6) 밑음에서부터 ‘장3도(4반음)+단3도(3반음)’로 구성된 화음은 장3화음이고 음정 순서가 바뀌어서 ‘단3도(3반음)+장3도(4반음)’

로 쌓아올린 화음은 단3화음이다. 이때 를 밑음으로 하면 장3화음, 단3화음과 같이 나타낸다.

(5)

Voice-Leading Space)’에서 등장한 개념이다(박정미, 2010). 본 연구에서는 Dmitri Tymoczko(2011)를 참고하여 OPTIC 연산을 살펴보고 수학에서 어떤 개념과 유사한지 비교하고자 한다.

먼저 옥타브 이동(Octave shift)을 의미하는 연산 O는 음들을 새로운 옥타브 위치로 옮기는 것이다. 앞서 살 펴본 음고류 공간이 옥타브 이동 O에 의한 동치류 집합이 된다. 치환(Permutation)을 의미하는 연산 P는 각 음 들의 순서를 재배열 하는 것이고 이도(Transposition)에 해당하는 연산 T는 대상, 즉 화음을 구성하는 각 음들 을 모두 일정한 방향과 크기만큼 이동하는 것이다. 따라서 이도는 수학에서 평행이동(translation)에 해당하는데 예를 들어

장3화음

의 각 음들을 7반음 올리면

장3화음

가 된다. 전회(Inversion) 를 의미하는 연산 I는 각 음들을 하나의 기준에 의하여 위, 아래를 뒤집는 것을 의미하고 수학에서 반사 (reflection)에 해당한다. 예를 들어 아래의

장3화음을 ‘

’음을 대칭축으로 하여(혹은

에 대해 점대칭) 반사 하면

단3화음이 된다.

<그림Ⅱ-4>

장3화음의 ‘

’ 반사에 의한

단3화음

위의 <그림Ⅱ-4>와 같이 전회에 의해 음고들의 내용은 바뀌지만 포함된 음정은 바뀌지 않고 그 순서만 바뀐 다. 즉 전회는 장3화음을 단3화음으로, 단3화음을 장3화음으로 바꾸는 기능을 한다. 만약 옥타브 이동 O에 대한 동치류인 음고류 공간에서 ‘

’에 대한 반사를 생각한다면 다음과 같이 간단하게 나타낼 수 있다. 이때 반사에 의해 ‘

’는 고정점이 된다.

<그림Ⅱ-5> 음고류 공간에서

장3화음의 ‘

’에 대한 반사

마지막으로 카디널리티 변화(Cardinality change)인 연산 C는 음표 중복(note duplication)이라고도 하는데 음 들을 중복해서 추가하는 것을 말한다. 즉 카디널리티 변화에 의한 동치류는 집합의 원소가 중복될 경우 한 번만 쓰는 것에 해당한다.

이 다섯 개의 OPTIC 연산 중 O,P,C 연산에 의하여 모든 3화음을 동치류로 분류하면 각각의 동치류는

장3 화음,

장3화음,

단3화음,⋯과 같은 3화음이 된다. <그림Ⅱ-3>의 두 화음이 어떻게

장3화음으로서 같은 동 치류가 되는지 동치관계를 ‘∼’로 나타내어 살펴보면 다음과 같다.

(6)

⋯⋯옥타브 이동 (O)

⋯⋯치환 (P)

⋯⋯카디널리티 변화 (C)

위의 연산에 이도, 즉 연산 T를 추가하면 ‘장3화음’, ‘단3화음’과 같은 화음유형에 대한 동치류를 형성한다. 예 를 들어

장3화음을 나타내는 

의 각 음을 7반음 올리면 

가 되어

장3화음이 되는데 이때 이도, 즉 평행이동에 의하여 장3화음의 밑음은 달라지지만 포함된 음정의 순서는 달라지지 않으므로 여전 히 장3화음이 된다. 따라서 연산 O,P,T,C 에 의하여

장3화음,

장3화음,

장3화음,⋯ 등은 모두 장3화음 이라는 하나의 동치류로 분류할 수 있다. 또한 전회에 의한 두 화음은 많은 공통점이 있고 따라서 음향적으로 유사하게 들리므로 OPTIC 연산 모두에 의한 동치류를 생각할 수 있는데 이때 장3화음과 단3화음은 전회관계에 있으므로 동일한 동치류로 분류된다.

본 연구에서는 장,단3화음의 기하학적 모델을 살펴보고 평행이동으로 음악의 이도를 표현할 것이므로 O,P,C 연산에 의한 동치류만 고려하도록 한다.

Ⅲ. 음악의 기하학적인 표현

시각적인 자료는 원리를 이해하는데 도움이 되는 경우가 많다. NCTM(2007)에서도 ‘기하 아이디어는 수학의 다른 영역과 실세계 상황의 문제를 표현하고 해석하는데 유용하기 때문에 가능할 때마다 다른 영역과 통합되어 야 한다’고 하였다. 수학에서 뿐만 아니라 음악에서도 기하학적 표현은 음악의 구조 및 원리를 쉽게 이해하는데 도움이 된다. 장,단3화음의 기하학적 모델을 수학적으로 분석하기 전에 음악에서 사용하는 몇 가지 기하학적 표 현의 예를 살펴보도록 하자.

1. 톤네츠에서의 장,단3화음

독일의 음악이론가 리만(H. Riemann)은 조성 혹은 화성진행을 시각적으로 보여주고 공간적으로 설명하는 톤 네츠(Tonnetz)를 만들었는데 톤네츠란 조성의 네트워크로 조성관계를 공간적으로 나타낸 도표이다(김규태, 2005). 오일러(L. Euler)는 순정률을 이용하여  ×  매트릭스에 12개의 음고류를 나타내었고 이때 두 축은 완전 5도(  )와 장3도(  )이다(R. Cohn, 1997).

<그림Ⅲ-1> 오일러의 톤네츠

다음은 19세기 독일 이론가 오팅겐(Oettingen)과 리만에 의한 톤네츠이다. 이 오팅겐-리만 톤네츠에서 각 숫 자는 음을 나타내며 세로선 하나로 연결된 두 음은 장3도, 가로선 하나로 연결된 두 음은 단3도, 대각선 하나로

(7)

연결된 두 음은 완전5도를 나타낸다(신현용 외, 2014).

<그림Ⅲ-2>7) 오팅겐-리만 톤네츠

오팅겐-리만 톤네츠를 사용하면 장,단3화음의 반사관계를 쉽게 확인할 수 있다. 톤네츠에서 직각삼각형은 3화 음을 나타내는데 예를 들어 다음과 같이

장3화음과

단3화음을 나타낼 수 있다. 이때 장화음은 대문자

단화음은 소문자 으로 표기하도록 한다.

<그림Ⅲ-3>8)

장3화음과

단3화음

즉, 과 의 중간인 에 해당하는 음에 대하여

장3화음의 각 음에 해당하는   을 점대칭하면 은

로, 은 으로, 그리고 는 에 대응하므로    즉

단3화음이 된다. 대칭점 는 음악적으로 표현하였 을 때 ‘

’과 ‘

’의 한 가운데 음에 해당한다.

2. 다차원 공간을 이용한 기하학적 모델

Dmitri Tymoczko(2011)는 효과적인 성부진행(voice-leading)9)의 구조를 설명하기 위하여 기하학적 모델을 사 용하였다. 이때 각 점을 하나의 음고가 아닌 화음을 나타내는데 사용하였는데 이 방법에 의하면 단선율의 경우 1차원 직선 위에 간단히 나타낼 수 있지만 2개의 음으로 이루어진 화음(2화음, dyad)은 첫 번째 음표와 두 번째 음표의 순서쌍, 즉 2차원 평면에서의 점으로 표현이 된다.

7) 신현용 외 (2014), p.110.

8) 신현용 외 (2014), p.110.

9) 코드 진행에 있어서 코드 구성음의 화음을 이루는 성부들의 기본적인 연결 방향

(8)

<그림Ⅲ-2>10) Dmitri Tymoczko의 1차원과 2차원 모델

본 연구에서는 장,단3화음의 기하학적 모델을 살펴보기로 하였는데 Dmitri Tymoczko의 방법에 의하면 장,단3 화음은 세 개의 음으로 구성된 화음(3화음, triad)이므로 3차원 공간에서의 점으로 나타난다.

<그림Ⅲ-3>11)Dmitri Tymoczko의 3차원 모델

이 모델은 하나의 화음을 점으로 나타내므로 화음 진행을 효율적으로 살펴 볼 수 있다는 장점이 있지만 화음 을 이루는 음들의 개수가 늘어남에 따라 차원이 높아지기 때문에 모델을 사용하기 어려워지는 단점이 있다. 4개 의 음으로 이루어지는 화음의 경우 4차원으로 확장되므로 우리가 인식할 수 있는 범위를 넘어선다. 또한 주로 논의하게 될 장,단3화음의 경우에도 3차원 공간상의 점으로 나타나므로 기하학적 표현에 의해 음악의 구조를 쉽 게 이해하려는 본 연구의 목표에는 부합하지 않는다. 음악에서의 성부진행을 분석하는 것은 연구의 목적을 벗어 나므로 다음 장에서는 2차원 톤네츠에 기반한 기하학적 모델을 논의하도록 하겠다.

10) Dmitri Tymoczko (2011), p.66.

11) Dmitri Tymoczko (2011), p.86.

(9)

3. 피타고라스 정리를 활용한 톤네츠

앞에서 살펴본 오팅겐-리만 톤네츠는 특히 장,단3화음이 서로 반사관계에 있다는 것을 시각적으로 보여주고 이도, 즉 평행이동에 의하여 화음을 구성하는 음들이 어떻게 바뀌는지 쉽게 볼 수 있게 한다. 그러나 이때 두 음 정축, 완전5도와 장3도는 서로 다른 크기이지만 같은 간격으로 표현해야 하는 한계가 발생한다. 박정미(2010)는 이 부분을 보완하여 새로운 톤네츠를 재구성하고 이를 P-Tonnetz라고 하였다. P-Tonnetz는 오팅겐-리만 톤네 츠와 같이 가로축을 단3도, 세로축을 장3도 간격으로 나눈 후 완전5도를 대각선으로 나타내었다. 이때 각 간격을 일정하게 하지 않고 세 변의 길이의 비가     인 직각삼각형을 이용한 것으로 <그림Ⅲ-4>와 같은 기하학적 모델을 사용하였다.

<그림Ⅲ-4>12)P-Tonnetz

위의 그림에서 가로축의 한 간격은 단3도(3반음)이고 세로축의 한 간격은 장3도(4반음)이다. 피타고라스 정리 에 의하면 직각삼각형의 빗변의 길이는 5가 되어야 하는데  ≡  mod이므로 빗변에 해당하는 대각선을 완전5도(7반음)로 표현하는 것은 논리적으로 자연스럽다. 그러나 P-Tonnetz를 이용하여 1반음 이도에 의해 장, 단3화음을 구성하는 음들이 어떻게 바뀌는지 확인하려면 직각삼각형을 가로축과 세로축으로 모두 이동해야한다.

예를 들어 ‘

♯ 

’의 각 음을 1반음씩 올려 ‘

’와 같은 화음을 얻으려면 직각삼각형을 왼쪽으로 한 칸, 아래쪽으로 두 칸 이동해야 한다. 이것은   · ≡  ≡  mod이므로 <그림Ⅲ-5>의 화 살표 방향이 1반음 올리는 것을 의미하기 때문이다. 오팅겐-리만 톤네츠와 P-Tonnetz는 모두 1반음, 즉 단2도가 상대적으로 멀리 떨어져 있으므로 일정한 음정 크기만큼 평행이동이 되었을 때 화음 변화를 시각화 하는 데에 는 어려움이 있다.

<그림Ⅲ-5> P-Tonnetz상의

장3화음에서

장3화음으로의 평행이동 12) 박정미 (2010), p.73.

(10)

Ⅳ. 톤네츠의 수학적 분석 및 S-Tonnetz의 구성

오일러의 톤네츠는 완전5도와 장3도 2개의 축으로 이루어져 있다. 이

를 생성하므로 완전5도를 한 축 으로 하면 이 축 위에 모든 12음을 표현할 수 있어서 이러한 방식으로 만들어진 톤네츠는 수학적으로도 타당하 며 또한 음악에서 중요한 음정인 완전5도, 장3도를 이용한다는 점에서 의미가 있다. 오일러의 톤네츠에서는 두 축에 의하여 단3도에 해당하는 새로운 축이 파생이 되는데 오팅겐-리만 톤네츠 역시 단3도와 장3도를 각각 가 로축과 세로축으로 놓았을 때 완전5도에 해당하는 대각선 축이 만들어진다. 이 장에서는 먼저 기본 두 축에 의 하여 어떠한 축이 새롭게 만들어지는지 수학적으로 분석해 보도록 한다. 그 중 완전5도와 장3도를 기본 축으로 사용하는 오일러의 톤네츠를 바탕으로 살펴보도록 하겠다.

1. 오일러 톤네츠의 수학적 분석

오일러의 톤네츠를 수학적으로 쉽게 분석할 수 있도록 각 음표를 <표1>과 같이 숫자   ⋯ 로 나 타내면 다음과 같다. 이때 한 옥타브 내의 12개의 음고류는 굵은 네모로 표시된 것과 같다.

<그림Ⅳ-1> 오일러의 톤네츠에서 음고류

오일러 톤네츠에서 가로축은 완전5도를 나타내므로

에서 을 더해주면 되고, 세로축은 장3도를 나타내 므로 를 더하면 된다.13) 이때 ‘북동-남서’ 방향의 대각선은 1반음(semitone), 즉 단2도가 되고, ‘북서-남동’ 방 향의 대각선은 3반음이므로 단3도에 해당한다. 이는 완전5도를 

, 장3도를 

, 단3도를 , 단2도를 와 같이 나타내어 해당 음정에 대한 반음 개수를 mod 12에 의한 법연산으로 나타내면 알 수 있다. 즉 벡터의 합으로 표 현하되 이때 벡터의 크기는 각 음정에 대한 반음 개수라 하고 두 벡터의 합, 차에 의한 벡터의 크기를 각 반음 의 mod 12에서의 합, 차로 정의하여 나타내어 보자.

<그림Ⅳ-2> 오일러 톤네츠의 단3도, 단2도

13) <그림Ⅲ-1>의 오일러 톤네츠는 세로축 아래 방향이 장3도가 되지만 <그림Ⅳ-1>에서는 오팅겐-리만 톤네츠, P-Tonnetz 와 동일하게 세로축 위 방향으로 장3도를 나타낸다.

(11)



와 

의 크기는 각각  이므로 두 벡터를 합하면 크기가   ≡  ≡ mod이 된다. 크기가 마이너스인 경우 방향을 바꾸어 생각하면 <그림Ⅳ-2>에서와 같이 ‘북동-남서’ 방향의 단2도 벡터 를 얻을 수 있다. 또한 

와  

을 합하면    ≡  mod이므로 크기가 3인 단3도 벡터 은 ‘북서-남동’방향 이 된다.

오일러 톤네츠에서도 오팅겐-리만 톤네츠와 유사하게 장,단3화음은 직각삼각형 형태로 나타난다. 다음은 오일 러 톤네츠에서의

장3화음과

단3화음을 나타낸 것이다.

<그림Ⅳ-3> 오일러 톤네츠의

장,단3화음

톤네츠를 이용하면 서로 다른 밑음에 대한 장,단3화음을 쉽게 구할 수 있다. 예를 들어 밑음이 인 경우 장 3화음은   로 이루어지고 이를 다시 음으로 바꿔주면 ‘

’가 되어

장3화음의 구성음을 쉽게 구할 수 있다. 이때

장3화음은

장3화음의 모든 음을 완전5도 위로 이도한 것이다. 음악에서의 이도는 수학 에서의 평행이동에 대응하는 것으로 모든 음들에 을 더한 것으로 생각할 수 있다. 따라서 오일러 톤네츠를 이용하여 모든 12음에 대한 장,단3화음을 구하려면 각 직각삼각형을 의 크기와 방향만큼 평행이동하면 된다.

이때 평행이동을 시각적으로 간단히 나타내기 위해 단2도가 하나의 기본축이 되는 톤네츠를 생각해 볼 수 있다.

오일러 톤네츠를 활용하여 단2도를 가로축으로 갖는 새로운 톤네츠를 구성해 보고 이 톤네츠의 의의에 대하여 살펴보도록 하자.

2. 단2도를 기본축으로 갖는 S-Tonnetz 구성

오일러의 톤네츠에서 대각선으로 나타나는 단2도 축과 단3도 축은 서로 수직이다. 따라서 이 두 축을 각각 가로와 세로의 기본축으로 놓으면 다음과 같은 톤네츠를 얻을 수 있고 음고류는 굵은 네모로 표시된 부분이다.

<그림Ⅳ-4> 단2도를 축으로 갖는 톤네츠

이 톤네츠에서도   

, 

  

임을 이용하여 각 음정을 벡터로 나타내면 다음과 같다. 단2도를 하나의 축으로 하여 각 12음을 순서대로 가로축에 나타내는 톤네츠이므로 본 연구에서는 이를 반음 semitone의 첫 알파벳을 따서 S-Tonnetz라 하겠다.

(12)

<그림Ⅳ-5> S-Tonnetz 의 음정 벡터

S-Tonnetz 에서는 가로축의 간격이 반음씩 커지므로 12를 법으로 하는 덧셈을 하지 않고도 톤네츠를 작성하 기 편리하다는 장점이 있다. 또한 일정한 반음 간격이기 때문에 12개의 음에 대한 장,단3화음을 순서대로 구하기 쉽고 따라서 각 화음들이 몇 개의 반음만큼 이도되었는지, 즉 평행이동이 어떻게 되었는지 시각적으로 보다 쉽 게 표현할 수 있다. 특히 3화음의 표현에 필요한 단3도, 장3도, 완전5도 음정벡터의 시각적인 화살표 길이가 실 제 음정 크기와 유사하게 점점 길게 표현이 되어 각 화음을 밑음에서부터 3도, 5도 순서로 구분하기 쉽다. 즉 각 톤네츠의 가로, 세로 간격을 모두 1로 일정하게 한다고 하였을 때 오일러 톤네츠는 장3도와 완전5도 벡터의 화 살표 길이가 1이 되고 단3도 벡터의 화살표가

만큼의 길이로 표현된다. 또한 오팅겐-리만 톤네츠 역시 단3 도와 장3도가 같은 길이 1로 표현된다. 하지만 S-Tonnetz에서는 단3도가 1, 장3도가

, 완전5도가

의 길 이로 표현이 되어 피타고라스 정리를 활용한 P-Tonnetz만큼 그 길이를 음정과 정확히 맞게 표현할 수 없지만 음정 크기에 따라 서로 다른 길이를 갖는 벡터의 시각적인 표현이 가능하다.

예를 들어 을 밑음으로 하는 장,단3화음은 다음과 같다. 밑음에서 완전5도의 벡터를 장3도와 단3도 두 벡 터의 합으로 생각할 때 단3도 벡터를 먼저 지나면 단3화음이 되고, 장3도 벡터를 먼저 지나면 장3화음이 됨을 쉽게 알 수 있다.

<그림Ⅳ-6> S-Tonnetz 의

장,단3화음

S-Tonnetz는 오일러 톤네츠, 오팅겐-리만 톤네츠와 마찬가지로 장,단3화음의 반사관계 또한 쉽게 확인할 수 있다. 먼저 두 장,단화음이 2개의 음을 공유하려면 삼각형의 변을 공유해야 한다. 다음 <그림Ⅳ-7>과 같이

3화음을 각각 (

♯ 

중심), (

중심), (

)에 대해 점대칭시키면

단3화음,

단3화음,

단3화음을 얻는다.

(13)

<그림Ⅳ-7> S-Tonnetz 의 2음공유 반사

한 음을 공유하는 반사 또한 표현이 가능하다.

장3화음에 대하여 한 음을 공유하려면 삼각형의 꼭짓점을 공유해야 하므로 각 꼭짓점 (

), (

), 

에 대해 점대칭시키면

단3화음,

단3화음,

단3화음을 얻는다.

<그림Ⅳ-8> S-Tonnetz 의 1음공유 반사

마지막으로

장3화음의 각 음을 완전4도와 완전5도 음정만큼 올린 이도에 대하여 생각해 보자. 수학적으로 이도는 평행이동에 해당하는데 이를 쉽게 확인하기 위해 가로축으로의 평행이동으로 나타내면 다음 <그림Ⅳ -9>와 같다. 각각 5반음, 7반음만큼 평행이동한 것으로 이 두 화음은

장조의 버금딸림화음(Ⅳ), 딸림화음(Ⅴ) 에 해당한다.

<그림Ⅳ-9> S-Tonnetz에서

장3화음의 평행이동

(14)

음악에서는 반음 간격의 음정이 큰 의미를 갖지 못하므로 완전5도와 장3도, 혹은 단3도의 간격을 기본축으로 하여 톤네츠를 구성하는 것이 음악을 분석하는데 더 효과적일 수 있다. 그러나 수학적인 관점에서 톤네츠를 구 성한다면 자연스럽게 각 12음의 기본 단위, 즉 1반음 간격을 기본축으로 설정해 보는 것을 생각할 수 있으며 이 방식을 이용하면 음악의 이론 및 법연산에 익숙하지 않은 경우에도 보다 쉽게 톤네츠를 구성할 수 있다. 또한 이렇게 구성한 S-Tonnetz는 격자점을 가로, 세로 일정한 간격으로 표현하더라도 각 음정의 크기에 따라 음정을 나타내는 벡터의 화살표 길이가 길어지므로 시각적으로 보다 유용한 기하학적 모델을 제공한다고 볼 수 있다.

의 원소를 하나의 축 위에 나타낸 후 화음의 이도를 평행이동 관점에서 살펴보는 것도 음악을 수학적으로 보다 쉽게 분석하는 방법이 될 것이다.

Ⅴ. 결론

본 연구에서는 음악의 구조를 수학적으로 표현해보고 특히 장,단3화음을 기하학적인 모델인 톤네츠를 사용하 여 분석해 보았다. 음악은 수학과 밀접한 관계를 맺으며 발전해 왔고 따라서 음악과 수학을 통합하려는 시도는 그 전개가 매우 자연스러우며 수학이 어떻게 활용될 수 있는지 다양한 분야에 걸쳐 확인해 볼 수 있다는 점에 서 의의가 있다.

음악의 수학적인 구조를 살펴본 2장에서는 반음계의 각 음계를 음고 공간과 음고류 공간으로 나누어 생각했 는데 음고류 공간에서는 각 음계들을

의 원소로 보고 각 음정의 합을 12를 법으로 하는 법연산을 통해 나타 내었다. 또한 이

의 생성원이 되므로 완전5도만을 이용하여 모든 음계를 나타낸 피타고라스 음계의 타당 성을 수학적으로 뒷받침 하였으며 O,P,C연산을 통해 실제 음악에서 다양하게 표현될 수 있는 화음을 화음 동치 류로 간단히 나타낼 수 있음을 보았다. 이어서 음악의 구조를 쉽게 이해하기 위한 기하학적인 모델로서 2차원 톤네츠와 다차원 공간을 이용한 Dmitri Tymoczko의 기하학적 모델, 그리고 2차원 톤네츠에 각 음정의 크기를 고려한 P-Tonnetz에 대해 살펴보았다. 이러한 선행연구를 기반으로 하여 4장에서는 2차원 톤네츠를 수학적으로 분석해 보고 단2도를 축으로 갖는 새로운 톤네츠를 구성하였고 이를 S-Tonnetz라 하였다. S-Tonnetz는 다른 톤네츠와 마찬가지로 각 화음을 기하학적으로 쉽게 파악할 수 있으며 특히 장,단3화음의 반사관계를 잘 드러내 준다. 또한 12반음계의 가장 작은 단위인 반음 간격으로 가로축이 표현되므로 톤네츠를 만들기에 편리하고 각 음정의 화살표 길이가 실제 음정의 크기와 유사하게 주어진다는 점에서 좀 더 적절한 시각적 표현을 제공한다.

한 가지 제한점으로는 S-Tonnetz은 수학적인 관점에서 구성한 것이므로 이 톤네츠를 이용하여 실제 곡에서 사용된 다양한 화음을 분석하거나 효율적인 화음 진행을 이용하는 작곡에 응용할 때에는 그다지 실용적이지 않 을 수 있다. 그러나 중등학교에서 장,단3화음이 어떤 음정으로 구성되었는지 이해하고 조옮김에 따른 장,단3화음 의 구성음들을 쉽게 파악하는 수준으로는 충분히 활용 가능할 것이며 음악에서의 전회관계와 이도를 수학에서 의 반사와 평행이동의 관점에서 생각할 수 있는 좋은 예가 될 것이다.

(15)

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(16)

A Study on Mathematical Structures of Major and Minor Triads using Geometrical Model

14)

Mun, Jun Hee

Gwangju Science Highschool E-mail : jewelmjh@hanmail.net

Park, Jong Youll

Chonnam National University E-mail : parkjy@chonnam.ac.kr

Music and mathematics have a lot of structural similarities. Major and minor triads used importantly in music are in a relationship of inversion in which the sequence of the intervals is reversed, which is equivalent to reflection in mathematics. Geometrical expressions help understand structures in music as well as mathematics, and a diagram that shows tonal relationships in music is called Tonnetz. Relationships of reflection between major and minor triads can easily be understood by using Tonnetz, and also, transpositions can be expressed in translation. This study looks into existing Tonnetz and introduces S-Tonnetz newly formed by a mathematical principle.

* ZDM Classification : M80

* 2000 Mathematics Subject Classification : 97B99

* Key Words : tonnetz, major triad, minor triad, semitone, reflection

✝ Corresponding author

참조

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