Analysis of Three-dimensional Earthquake Responses of a Floating Offshores Structure with an Axisymmetric Floating Structure

(1)

2015년 7월 http://dx.doi.org/10.5000/EESK.2015.19.4.145

축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차 원 지진응답 해석기법 개발

Analysis of Three-dimensional Earthquake Responses of a Floating Offshores Structure with an Axisymmetric Floating Structure

이진호¹⁾* ･ 김재관²⁾

Jin Ho Lee¹⁾* ･ Jae Kwan Kim²⁾

1)한국철도기술연구원 자기부상철도연구팀, ²⁾서울대학교 건설환경공학부

1)Korea Railroad Research Institute, Maglev Train Research Team, ²⁾Seoul National University, Department Civil and Environmental Engineering

/ A B S T R A C T /

A seismic response analysis method for three-dimensional floating offshore structures due to seaquakes is developed. The hydrodynamic pressure exerted on the structure is calculated taking into account the compressibility of the sea water, the fluid-structure interaction, the energy absorption by the seabed, and the energy radiation into infinity. To validate developed method, the hydrodynamic pressure induced by the vibration of a floating massless rigid circular disk is calculated and compared with an exact analytical solution. The developed method is applied to seismic analysis of a support structure for a floating offshore wind turbine subjected to the hydrodynamic pressures induced from a seaquake. Analysis results show that earthquake response of a floating offshore structure can be greatly influenced by the compressibility of fluid, the depth (natural frequencies) of the fluid domain, and the energy absorption capacity of the seabed.

Key words: Floating offshore structure; Floating offshore wind turbine; Fluid-structure interaction; Seaquake; Compressible fluid;

Flexible ground

*Corresponding author: Jin Ho Lee E-mail: [email protected])

(Received March 24, 2015; Revised May 11, 2015; Accepted May 18, 2015)

1. 서 론

인류에게 해양은 다양한 가능성이 열려있는 미개척 공간이다. 해양에너 지, 풍력에너지와 같은 청정에너지의 활용이 활발히 연구되고 있고, 초대형 부유식 구조물을 이용하여 인류의 활동 공간을 해양으로까지 확대하려고 하고 있다. 이로 인해 다양한 형식의 해양구조물에 대한 수요가 계속적으로 증가하고 있다. 한편, 해양구조물에는 다양한 환경하중이 가해지고 있다.

여기에는 풍하중, 파랑하중, 해류하중과 같은 상시 하중과 지진하중, 태풍 하중과 같은 일시적 하중이 있다. 이러한 다양한 환경하중 조건 하에서의 해 양구조물의 안전성 확보는 꾸준히 연구되어 온 주제이다.

고정식 해양구조물은 지진하중을 반드시 고려하여야 한다. 그러나 부유 식 해양구조물은 지반의 진동이 구조물에 직접적으로 전달되지 않는다고 보기 때문에 지진의 영향에 대해서 충분한 연구가 이루어지지 않았다. 해저

지진의 위험은 과도한 동수압, 지진해일, landslide로 요약할 수 있다[1]. 이 중 과도한 동수압은 해저면과 해수가 상호작용하여 발생하게 되는데, 선박 과 해양구조물의 파괴를 충분히 유발시킬 수 있음이 실제 사례 보고를 통해 확인되었다[2]. 그러므로, 지진이 발생할 수 있는 지역에 해양구조물을 건 설할 때는 이러한 사실을 인지하고 있어야 한다. 특히, 유체의 압축성으로 인해 동수압이 더욱 증폭될 가능성이 있음이 기존의 유체-구조물 상호작 용에 관한 연구에서 확인되었고[3-5], 최근에 이러한 물리적 현상을 고려 하여 해저지진의 수직운동에 의해 발생한 동수압이 작용하는 부유식 해양 구조물의 동적 응답해석기법이 개발되었고 그 거동 특성 분석에 사용되었 다[6, 7].

이 연구에서는 해저지진에 의한 부유식 해양구조물의 축대칭 거동만 고 려할 수 있는 기존의 개발된 해석기법[6, 7]을 확장하여 구조물의 일반적인 3차원 거동까지 모사할 수 있는 지진응답 해석기법을 개발하고자 한다.

Fig. 1(a)는 이 연구에서 대상으로 하는 3차원 부유식 해양구조물 시스템을 묘사하고 있다. 부유식 해양구조물은 상부구조물과 이를 부유시키기 위한 바지(barge) 등과 같은 구조물로 이루어져 있다. 단, 이 연구에서는 해수와 접하고 있는 바지는 축대칭 형상을 가지고 있다고 가정한다. 한편, 해수는

(2)

압축성 비점성 이상 유체로 가정한다. 단, 해수면에서 표면파의 영향은 무 시하고, 유체로부터 유연한 해저 지반으로 입사되는 파가 흡수되는 것을 고 려한다. 이와 같은 가정 하에 해수에 의해서 구조물에 가해지는 유체의 동수 압을 유체 원역으로의 에너지 방사를 고려하여 산정한다. 이와 같이 산정한 동수압을 부유식 해양구조물에 가하여 전체 시스템의 지진 응답 해석을 수 행한다. 이와 같이 개발된 해석 기법을 활용하여 해저지진에 대한 부유식 해 양구조물의 3차원 지진 응답의 특성을 분석하고자 한다. 특히, 유체의 압축 성, 유연한 해저지반의 에너지 흡수 능력 등이 부유식 해양구조물의 지진응 답 특성에 어떠한 영향을 미치는지 파악하고자 한다.

2. 부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 지배 방정식

부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 지배 방정식과 구조물에 가해 지는 유체의 동수압에 대해 2장과 3장에서 상술한 후, 이를 결합하여 전체 시스템의 지배 운동방정식을 4장에서 유도한다.

Fig. 1(a)의 부유식 해양구조물의 3차원 운동에 대한 방정식은 일반적인 유한요소기법[8]을 사용하여 주파수영역에서 식 (1)과 같이 표현할 수 있다.

⎭⎬

⎫

⎩⎨ +⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

=⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎟⎧

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

+ + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

− ⎡

hyd w eq w eq s

w s hys ww ww hys ws ws

hys sw sw hys ss ss

ww ws

sw ss

ww ws

sw

ss i

f 0 f f

u u K K K K

K K K K C C

C C M

M M

M ω

ω²

(1)

여기서 아래첨자 w는 구조물의 절점 중 유체와 접하고 있는 부분에 위치한 절점을 의미하고, 아래첨자

s

는 나머지 구조물의 절점을 의미한다. M, C, K는 각각 구조물의 질량행렬, 감쇠행렬, 강성행렬을 의미하고, u(ω⁾는 해 저지진의 지반운동에 대한 구조물의 상대변위를 나타낸다. 식 (1)에서 K^hys 은 구조물에 작용하는 정수압에 의해 발생하는 유체 정역학 강성행렬[9]을 나타내고, f^eq(ω⁾와 f^hyd(ω⁾는 각각 구조물에 작용하는 유효 지진력과 유 체의 동수압 절점력을 의미한다. 유효 지진력 f^eq(ω^{) =-}ω²M(r^xugx+r^yugy

+r^zugz)로 주어지는데, u^gx(ω^{), u}^gy⁽ω^{), u}^gz⁽ω⁾는 각각 해저지진 지반운동 의 x축, y축, z축 방향 성분을 의미하고, r^x, r^y, r^z는 이에 해당하는 영향벡터 (influence vector)를 나타낸다.

3. 구조물에 작용하는 유체의 동수압

압축성 비점성 이상유체로 가정한 해수에 의해 구조물에 작용하는 동수 압 절점력 f^hyd을 도출한다. 이 연구에서는 구조물이 유체와 접하고 있는 부 분은 축대칭 형태를 가지고 있다고 가정한다. 그러므로, 유체의 운동은 원 통형 좌표계에서 서술이 가능하다. 원통형 좌표계에서 모든 물리량은 θ⁼⁰ 인 평면에 대하여 대칭인 성분과 반대칭 성분으로 분리할 수 있고, 각 성분 은 θ방향으로 cosnθ 또는 sinnθ로 변동하는 n차 조화함수(harmonic)의 조합으로 표현할 수 있다[8]. 여기서 n=0,1,2,… 인 정수이다. 각각의 조화

함수는 연계되어 있지 않으므로, 여기서는 n차 조화함수만 사용하여 운동 방정식을 서술할 것이다. 또한, n차 조화함수의 대칭 성분과 반대칭 성분은 동일한 시스템 행렬을 가지므로 대칭 성분의 영향만 고려할 것이다. 해저지 진에 의해 지반운동이 발생하면, x축, y축, z축 방향으로 각각 n = 1인 대칭 성분, n = 1인 반대칭 성분, n = 0인 대칭 성분만 생겨난다.

해수의 동수압을 산정할 때, 해수면에서 표면파의 영향은 무시하고, 회 절파(diffraction wave)와 방사파(radiation wave)의 합으로 표현되는 유 체로부터의 입사파가 유연한 해저지반에 의해 흡수되는 것을 고려한다. 이 와 같은 가정 하에 유체 영역을 근역과 원역의 두 부분으로 분리하여 유체의 동수압을 산정한다.

3.1 유체 근역의 운동방정식

Fig. 1(b)와 같이 유체의 근역은 구조물과 인접하여 불규칙한 기하학적 형상을 가진다. θ방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 근역의 동수압 에 대한 지배방정식은 주파수영역에서 식 (2)와 같이 주어진다[10,11].

1 0

2 2 2 2 2 2 2

2

+ =

∂ + ∂

∂ − + ∂

∂

∂ p

C z p p r n r p r r

p

w

ω

in

Ω

ⁿ ⁽²⁾

여기서 p(r, z, w)는 해수 근역의 동수압, C^w는 해수에서의 압축파 속도, Ωⁿ 은 유체 근역의 영역을 의미한다. 유체 근역의 동수압에 대한 경계조건은 다 음과 같이 주어진다.

ij

p δ

σ = −

on

∂ Ω

ⁿ_w ^(3a)

tn w

u n

q p

2 ˆ

ˆ = ω ρ

∂

= ∂

^on

∂ Ω

ⁿw ^(3b)

n = 0 또는 n = 1인 성분에 대하여

n g w

u cp

n i

q p

2 ˆ

ˆ = − ω + ω ρ

∂

= ∂

^on

∂ Ω

ⁿg ^(3c)

나머지 성분에 대하여

cp n i

q p = − ω

∂

= ∂

ˆ

^on

n

Ω

g

∂

^(3d)

pf

p = ^on ∂Ωⁿf (3e)

0 = + q

^f

q

^on ∂Ωⁿf (3f)

0

=

p ^on ∂Ωⁿ₀ ^(3g)

식 (3a)는 경계면 ∂Ωⁿw에서 구조물 응력 σ^ij와 유체 동수압 p의 평형조건 을 의미하고, 식 (3b)는 유체 선다발(flux) q와 구조물 운동 un^tˆ 간의 관계를 의미한다. 이 식에서 변위의 위첨자 t는 전체 변위를 나타내고, 아래첨자 ^ 은 유체 근역의 외향 법선 방향을 의미한다. 식 (3c)와 (3d)는 해저지반에

(3)

의한 에너지 흡수를 고려할 때 해저지반면 ∂Ωⁿ^g에서 유체 선다발(flux)과 유체 동수압 및 해저지진에 의한 지반운동 간의 관계를 의미한다. 이 식에서 c는 에너지 흡수에 의한 감쇠 계수를 의미하는데, 다음과 같이 표현된다.

b b

w

C

c C

ρ ρ α α ₌ +

= − 1 1

1

(4)

여기서, α는 반사 계수, ρ^b와 C^b는 각각 유연한 해저지반의 밀도와 압축파 속도를 의미한다[12]. 계수 α는 입사파를 모두 반사하는 강체 지반에 대해 서는 1의 값을 가지고, 입사파를 모두 흡수하는 경우에는 0의 값을 가진다.

비압축성 유체에 대해서 압축파 속도 C^w는 무한대의 값을 가지므로, 이 경 우에 대해 감쇠 계수 c는 0이 된다. 그러므로, 해수의 압축성을 무시하면 유 연한 해저지반에 의한 에너지 흡수는 해수의 동수압에 아무런 영향을 주지 않게 된다. 한편, 식 (3c)에서 ugn_ˆ(

ω

)은 외향 법선 방향으로의 지반운동 을 나타낸다. 식 (3e)와 (3f)는 유체 근역과 원역의 경계면 ∂Ωⁿf_{에서 동수}

압 연속 조건과 선다발(flux) 평형 조건을 의미하는데, p^f와 q^f는 각각 유체 원역의 동수압이다. 식 (3g)는 해수면 ∂Ωⁿ0에서의 표면파의 영향을 고려 하지 않은 자유 표면 조건을 의미한다. 일반적으로 해저지진을 포함한 지진 운동의 우세한 진동수 영역은 표면파의 영향이 미미한 상대적으로 고진동 수 영역이기 때문에 이 연구에서는 표면파의 영향을 고려하지 않았다. 식 (3)의 경계조건을 만족하도록 지배방정식 (2)의 해를 유체에 대한 일반적 인 유한요소기법[8]을 사용하여 얻을 수 있다. 유한요소기법을 적용한 유체 근역의 운동방정식은 식 (5)와 같이 주어진다.

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

= +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎟

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎜

⎝

⎛

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

∫∂Ω f

n g T w n

w

f g n w

ff fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

gg ff

fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

n

g u rdl

i

q N 0 q

p p p p

H H H H

0 0 0 0

0 C 0 0

0 0 0 0

G G G G

2 ˆ 0 2

) 1 ( δ πωρ

ω ω

(5a) +

∫∫

= rdrdz

C

T w

n N N

G (1 δ₂⁰)π

(5b)

∫

^∂^Ω

+

= n

g rdl

c ^T

n

gg N N

C (1

δ

₀)

π

(5c)

∫∫

+

= n B^TBrdrdz

H (1 δ ₀)π (5d)

T

z r n

r ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

∂

= ∂N N N

B ^(5e)

여기서 N은 근역의 형상함수이고, δn0는 Kronecker delta이다. 식 (5a)와 (5c)의 dl은 θ⁼⁰인 평면 상에 놓인 경계면 ∂Ωⁿ^g의 미소길이요소를 의미한 다. 식 (5)에서 아래첨자 w, g, f는 각각 경계면 ∂Ωⁿw, ∂Ωⁿ^g, ∂Ωⁿf에 위치 한 근역의 절점을 의미하고, 아래첨자 n은 나머지 절점을 의미한다. 단, 경 계조건 (3g)에 의해 ∂Ω0ⁿ 상의 절점은 포함하지 않는다.

3.2 유체 원역의 지배 운동방정식

유체의 원역은 Fig. 1(b)에 보인 바와 같이 그 깊이가 일정하게 반경 방 향으로 무한한 영역이다. 근역과의 경계면 ∂Ωn^f(=∂Ωⁿ_f)은 r = R에 위치 하고

z

축과 평행하다. θ방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 원역의 동수압에 대한 지배방정식과 경계조건은 각각 주파수영역에서 식 (6), (7) 과 같이 주어진다.

1 0

2 2 2 2 2 2 2

2 + =

∂ +∂

∂ − + ∂

∂

∂ f

w f f

f

f p

C z p p r n r p r r

p ω

in Ω^f ⁽⁶⁾

여기서 p^f(r, z, ω⁾는 해수 원역의 동수압, Ω^f는 유체 원역의 영역을 의미 한다.

p

p^f = ^on ∂Ωn^f ^(7a)

0

= + q

q^f ^on ∂Ω_n^f ^(7b)

n = 0인 대칭 성분에 대하여 (z축 방향 지반운동)

gz w f n g w f f

f i cp u i cp u

z

q p =−ω +ω2ρ ˆ=−ω −ω²ρ

∂

−∂

= on ∂Ω_g^f ^(7c)

나머지 성분에 대하여

f f

f i cp

z

q p =−

ω

∂

−∂

= ^on ∂Ωg^f ^(7d)

p*

p^f = ^as ^r^→^∞ ^(7e)

0

f

=

p

^on ∂Ω0^f ^(7f)

식 (7a)와 (7b)는 각각 유체 원역과 근역의 경계면 ∂Ωn^f_{에서 동수압 연속}

조건과 flux 평형 조건을 의미하고, 이 경계조건은 식 (3e), (3f)와 같은 의미 를 가진다. 식 (7c)와 (7d)는 해저지반면 ∂Ω^g^f에서 유체 선다발(flux)과 유 체 동수압 및 해저지진에 의한 지반운동 간의 관계를 의미하는데, 유체 원역 의 깊이는 일정하므로 지반운동은 수직지반운동 성분 ugz(ω⁾만이 사용된 다. 식 (7e)에서 p*는 구조물과 유체 근역이 없는 자유장에서 해저지진의 지반운동에 의해서 발생하는 동수압이다. r → ∞ 일 때 구조물과 근역의 영향은 없어지므로 식 (7e)와 같은 조건이 성립하는 것이다. 식 (7f)는 해수 면 ∂Ω0^f 에서의 표면파를 고려하지 않는 자유표면조건이다.

Fig. 1(c)에 보인 바와 같이 식 (6)과 (7)에 의해서 서술되는 문제는 자유 장 문제와 파의 방사 문제의 중첩으로 표현할 수 있다. 즉, p ^f= p* + p^r로 표 현할 수 있다. 그러므로, 각각의 문제의 해를 중첩하여 유체 원역의 동수압 을 결정할 수 있다. 단, 경계조건 (7c)와 (7d)에 의해서 자유장 문제는 n = 0 인 대칭 성분, 즉 z축 방향 지반운동에 대해서만 영향을 미친다.

(4)

(a) Schematic view

(b) Near- and far-field regions for the fluid domain

(c) Free field and wave radiation problems for the far-field region Fig. 1. Floating offshore structure

3.3 유체 원역의 자유장 문제

수직으로 입사하는 지반운동에 의한 유체 원역의 자유장 문제는 1차원 파전파 문제이다. 자유장 동수압 p*(z, ω⁾에 대한 지배방정식과 경계조건 은 각각 식 (8), (9)와 같이 주어진다.

* 0

2 2 2

*

2 + p =

C dz

p d

w

ω

in

Ω

^f ⁽⁸⁾

gz w

u cp

dz i

q

^*

= − dp

^*

= − ω

^*

− ω

²

ρ

^on ∂Ωg^f ^(9a)

*

= 0

p

^on ∂Ω0^f ^(9b)

식 (8)에 유한요소기법을 적용하여 다음과 같은 이산화된 방정식을 얻 을 수 있다.

(

⁻ ²^G ⁺ ^Cf ⁺^H^fff

)

^p^*⁼^q

f ff ff i

ω

^(10a)

∫ ( )

= ^H ^f ^T ^f

w

fff dz

C² ⁰

1 N N

G (10b)

∫ ( )

= ^H ^f ^T ^f

fff ₀ B B dz

H ^(10c)

dz d ^f

f N

B = ^(10d)

여기서 N^f(z)는 원역의 동수압에 대한 형상함수이다. 식 (10a)에서 행렬 C^f^ff와 벡터 q는 경계 ∂Ωg^f 상에 놓인 절점에 대해서만 각각 대각 성분 c와 -ω²ρ^w^u^gz성분을 가지고, 나머지 성분은 0이다. 자유장 문제에 대한 해는 식 (10a)로부터 얻을 수 있다.

3.4 유체 원역의 파 방사 문제

θ 방향으로 cosnθ의 형태로 변동하는 유체 원역의 파 방사 문제의 동수 압에 대한 지배방정식과 경계조건은 주파수영역에서 각각 식 (11), (12)와 같이 주어진다.

1 0

2 2 2 2 2 2 2

2 + =

∂ +∂

∂ − + ∂

∂

∂ r

w r r

r

r p

C z p p r n r p r r

p

ω

in Ω^f ⁽¹¹⁾

p

*

p

^r

=

^f

−

^on ∂Ωn^f ^(12a)

q

*

r q

q

^r

p

^r

=

^f

−

∂

− ∂

=

^on ∂Ωn^f ^(12b)

r r

r

i cp

z q p = − ω

∂

− ∂

=

^on ^∂^Ω^g^f ^(12c)

(5)

0

r =

p ^as r→∞ (12d)

0

r =

p ^on

∂ Ω

₀^f ^(12e)

변수분리법을 사용해서 지배방정식 (11)의 해를 다음과 같이 표현할 수 있다.

) , ( ) , ( ) , ,

(r z

ω ρ

r

ω ψ

z

ω

p^r = ⁽¹³⁾

식 (13)의 표현을 사용하면 식 (11)로부터 다음과 같은 분리된 방정식을 얻을 수 있다.

1 0

2 2 2 2

2 =

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛ − +

+ ρ ρ

ρ

r k n dr d r dr

d (14a)

2 0

2 2 2

2 = + =

⎟⎟⎠⎞

⎜⎜⎝⎛

−

+

ω ψ ψ λ ψ

ψ

dz k d

C dz d

w

(14b)

여기서 λ²⁼ω²^/C²^w^{- k}²이다. 식 (14b)는 경계조건 (12c), (12e)와 함께 고 유값 문제를 구성하는데, 유한요소개념을 적용하여 다음과 같은 이산화된 고유값 문제를 얻을 수 있다.

(

⁻ ^G ⁺ ^Cf ⁺^H^fff

)

^ψ ⁼⁰

f ff ff

w i

C ω

λ² ² ⁽¹⁵⁾

식 (15)로부터 m번째 고유값 λ^m과 고유벡터

ψ

m을 얻을 수 있다. 이 고유값과 고유벡터는 진동수 ω에 의존하는 복소수이고, 고유벡터는 다음 의 직교조건을 만족한다.

w2 m lm f ff T

l

C

= δ ψ G

ψ

^(16a)

(

^f^ff ^f^ff

)

^m ^lm ²^m

Tl i

ω

C +H ψ =

δ λ

ψ ^(16b)

방사조건 (12d)를 만족시키는 Bessel 방정식 (14a)의 m번째 모드의 해 는 다음과 같다.

) ( )

,

( r H

_n⁽²⁾

k

_m

r

m

ω =

ρ

⁽¹⁷⁾

여기서 Hn[2](kmr)는 제2종 제n차 Hankel 함수이고, km= (ω²^/C^w²^-λ²^m⁾^1/2 는 양의 실수이거나 음의 허수부를 가지는 복소수이어야 한다. 각 모드를 중 첩하면 식 (15b)와 (17)로부터 유체의 동수압과 이의 미분에 관한 식을 다 음과 같이 얻을 수 있다.

ΨEΓ N^f

r r z

p ( , ,

ω

)= ^(18a)

Γ E Ψ

N ′

∂ =

∂ r f

z r r

p ( , ,

ω

) ^(18b)

여기서 E(r, ω⁾와 E^'(r, ω⁾은 각각 Hⁿ[2](kmr)과 _

_^_

을 m번 째 대각성분으로 가지는 대각행렬이고, Γ은 모드참여계수 벡터이다. 식 (16a)와 (16b)의 직교조건을 이용하여 식 (18a)와 (18b)에서 모드참여계 수를 소거할 수 있고, 동수압 p^r과 이의 선다발(flux) q^r간의 관계를 얻을 수 있다.

∫ ( )

= ^f ^T ^H ^f ^T ^r

r z p dz

q ( ,

ω

) N ΨDΨ ₀ N ⁽¹⁹⁾

여기서 D(ω⁾는 m번째 대각요소  _^_

__

_



  

를 가진 대각 행렬이다. 식 (19)에 식 (12a)와 (12b)의 경계조건을 적용하면, 유체 근역 과의 경계면 ∂Ωn^f에서 유체 원역의 동수압 p^f와 선다발(flux) q^f간의 관 계를 얻을 수 있다.

( )

₀

( )

^* ^*

) 0

,

(z p dz pdz q

q^f ^ω =^N^f^ΨDΨ^T

∫

^H^N^f ^T ^f −^N^f^ΨDΨ^T

∫

^H ^N^f ^T + (20)

식 (20)에서 동수압 p^f를 보간하고 일관 절점 선다발 q^f^f를 구한다. 단, 이 때 원역의 형상함수 N ^f(z) 는 근역의 유한요소와 일관성(consistency)을 유지하도록 선택한다. 이와 같이 하면 근역의 유한요소와 결합할 수 있는 원 역의 이산화된 수치모형을 다음과 같이 얻을 수 있다.

( )

^* ^*

0) 0

1

( N R p R p q

q^f^f = +^δⁿ ^π^R

∫

^H ^f ^T^q^f^dz= ^f^ff ^f^f − ^f^ff + ^(21a) DC

C

R^f_ff =(1+δ )_n₀ πR ^T (21b)

( )

^w ^T ^f^ff

H f T f

T N N dz C Ψ G

Ψ

C=

∫

₀ = ² ^(21c)

∫ ( )

+

= _n₀ R₀^H ^f ^Tq^*dz

* (1 ) N

q

δ π

^(21d)

식 (21a)에서 p^f^f는 동수압 p^f의 절점 벡터이다.

3.5 구조물에 작용하는 동수압

식 (3e)와 (3f)에 의해 유체의 근역과 원역의 경계면 ∂Ωⁿf에서 pf=p^ff

와 q^f+q^f^f=0 의 관계를 얻을 수 있다. 이 관계를 이용하여 근역의 유한요 소와 원역의 전달경계를 결합할 수 있고, 구조물에 작용하는 동수압에 관한 표현을 얻을 수 있다.

(6)

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

−

= +

⎪⎪

⎭

⎪⎪

⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

∫

∂Ω

*

* 2 ˆ 0) 1 (

f f f ff

n g T w n

w

f g n w

f ff ff fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

ng u rdl

q p R

N 0 q

p p p p

R R R R R

R R R R

ρ πω δ

(22a)

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎣

⎡ +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

−

=

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

ff fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

gg ff

fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

ff fg fn fw

gf gg gn gw

nf ng nn nw

wf wg wn ww

i

H H H H

0 0 0 0

0 C 0 0

0 0 0 0

G G G G

R R R R

ω ω²

(22b)

식 (22a)에서 동수압 pⁿ, p^g, p^f에 대해 응축(condensation)을 시행하면 구조물에 작용하는 동수압 p^w에 관한 표현을 얻을 수 있다.

w w ww

w R q p

p =~⁻1 +~ ^(23a)

[ ] ^{[ ]} [ ]

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

−

fw gw nw

f ff ff fg fn

gf gg gn

nf ng nn

wf wg wn ww ww

R R R R R R R

R R R

R R R R R R R R

1

~ (23b)

{ }

[ ] [ ]

⎪⎪

⎭

⎪⎪⎬

⎫

⎪⎪

⎩

⎪⎪⎨

⎧

− +

⎥⎥

⎥

⎦

⎤

⎢⎢

⎢

⎣

⎡

+

−

=

∫

^∂^Ω

−

*

* 2 ˆ 0 1

1 (1 )

~ ~

f f f ff

n g T w n f ff ff fg fn

gf gg gn

nf ng nn wf wg wn ww

w n

g u rdl

q p R

N 0

R R R R

R R R

R R R R R R R

p δ πωρ

(23c)

4. 부유식 해양구조물 시스템의 지배 운동방정식

앞에서 유도된 유체의 동수압을 구조물에 작용시켜, 유체-구조물 상호 작용을 엄밀히 고려한 부유식 해양구조물의 운동방정식을 도출할 수 있다.

구조물과 유체 간의 상호작용은 식 (3a), (3b)와 같이 표현된다. 식 (3a)에 의하여 유체 동수압 p^w로부터 3차원 직교 좌표계에서의 동수압 절점력 f^w^hyd 를 도출할 수 있다.

w p T w ww p T w p T hyd

w T Tp T TR q T Tp

f =− =− ~⁻1 − ~ ⁽²⁴⁾

여기서 행렬 T^p는 원통형 좌표계에서 유체 동수압을 절점력으로 변환하여 주는 행렬이고, 행렬 T는 3차원 직교 좌표계의 변위를 원통형 좌표계의 변 위로 변환하여 주는 행렬이다. 한편, 유체 일관 절점 선다발 q^w는 식 (3b)에 의하여 구조물의 운동 u^t^w와 연관된다.

tw Tp w

w T Tu

q =−ω²ρ (25)

식 (24)와 (25)로부터 구조물에 작용하는 유체의 동수압 절점력 f^w^hyd를 다음과 같이 유도할 수 있다.

hyd w t w add ww w p T t w T p ww p T w hyd

w T TR T Tu TTp M u f

f =ω2ρ ~⁻1 − ~ =− && +~ ^(26a) T

T R T T

M p ww ^Tp

T w add ww

~−1

=ρ ^(26b)

w p T hyd

w T T p

f ~

~ =− ^(26c)

식 (1)과 식 (26a)로부터 부유식 해양구조물의 최종 운동방정식을 다음 과 같이 얻을 수 있다.

⎭⎬

⎫

⎩⎨ +⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

=⎧

⎭⎬

⎫

⎩⎨

⎟⎧

⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛ ⎥

⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

+ +

+ + +

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣ + ⎡

⎥⎦

⎢ ⎤

⎣

⎡

− +

hyd w eq w eq s

w s hys ww ww hys ws ws

hys sw sw hys ss ss

ww ws

sw ss add ww ww ws

sw

ss i

f 0 f f

u u K K K K

K K K K C C

C C M

M M

~

2 ω

ω

(27)

5. 검증 및 적용 예제

5.1 무질량 강체 원형판의 강제진동 해석

이 연구에서 개발된 해석기법의 검증을 위하여 부유 중인 무질량 강체 원형판(Fig. 2)의 조화 rocking 운동 (또는 pitch 운동)으로 인해 유체에서 발생하는 동수압을 부록에 유도된 해석해(analytical solution)와 비교하였 다. 원형판은 y축에 대하여  ^의 조화 운동을 하고 있다. 원형판의 반 지름은 R^s이고, 해수의 깊이 H = 5R^s로 가정하였다. 수치 계산 시 유체의 근 역과 원역의 경계면은 r = R = R^s에 설정하였고, 유체의 감쇠비는 0.5%를 가정하였다. r = 0.5R^s의 위치에 작용하는 동수압의 전달함수를 Fig. 3에 비교하였다. 단, Fig. 3의 전달함수는 ω^{= 0}의 값(해석해 0.007306004, 수 치해 0.007559825)으로 정규화하였다. 또한, ω^{H/ 2}π^C^w^{= 1/4}일 때 유체 근역에서 발생한 동수압의 분포를 Fig. 4에 비교하였다. Fig. 3과 Fig. 4에 서 확인할 수 있듯이 수치해석 결과는 해석해와 잘 일치한다.

또한, 유체의 압축성을 무시하였을 때의 전달함수와 동수압 분포도 각각 Fig. 3에 비교하였다. 이전의 연구[6,7]에서 관찰된 것처럼, 부유식 구조물 에 작용하는 유체의 동수압은 유체의 압축성에 의해서 크게 변화할 수 있음 을 다시 확인할 수 있다.

앞에서 설명한 바와 같이 구조물에 작용하는 동수압은 자유장 문제와 파 방사 문제의 해를 조합하여 얻을 수 있다. 자유장 문제의 해에 대한 정확성 은 참고문헌 6과 7에서 검증되었고, 앞의 간단한 예제를 통하여 일반적인 3 차원 거동에 대한 파 방사 문제의 해도 정확하게 얻을 수 있음을 확인할 수 있다. 즉, 이 연구에서 개발한 해석기법을 사용하여 해저지진의 지반운동에 의해 부유식 해양구조물에 작용하는 동수압을 정확히 계산할 수 있음을 확 인할 수 있다. 그리고, 이 동수압이 가해진 부유식 해양구조물의 동해석을 수행하여, 이 시스템의 지진거동을 정확히 예측할 수 있다.

(7)

(a) Schematic view

(b) Numerical model

Fig. 2. Rocking vibration of a massless rigid circular plate

Fig. 3. Transfer functions of hydrodynamic pressure

Fig. 4. Distributions of hydrodynamic pressure in a near-field region

5.2 부유식 해양구조물의 지진응답 해석

이 연구에서 개발된 해석기법을 활용하여 해수면에 부유하고 있는 해양 구조물(Fig. 5)의 지진응답 거동 특성을 파악하였다. 이 예제에서 고려한 구조물은 5 MW 급 부유식 해상풍력발전기의 타워(tower) 구조물[13,14]

이다. 타워 구조물의 3차원 거동을 모사하기 위해 3차원 보요소를 사용하여 수치 모형을 구성하였다. 타워 보요소에 대한 절점과 요소 정보는 Table 1 에 주어져 있다. 보요소의 유체 정역학 강성행렬에 대한 명시적 표현이 부록 2에 주어져 있다. 타워 상부에 설치된 rotor-nacelle assembly(RNA)는 집 중 질량과 회전관성으로 근사하였다. 단, RNA의 비대칭적 질량 분포 등에 의한 집중 질량의 편심을 수치 모형에 포함하였다. RNA 집중 질량과 관성 모멘트의 크기와 편심에 대한 정보도 Table 1에 주어져 있다. 타워 구조물 의 감쇠는 1%를 가정하였다.

타워 구조물은 원형의 강체 바지(barge) 위에 설치되었다고 가정하였다.

바지의 두께 H^b= 10 m, 반지름 R^b= 20 m, 밀도 ρ^b= 563.1 kg/m³이다.

해수의 밀도 ρ^w= 1031 kg/m³, 압축파 속도 Cw= 1439 m/sec이다. 그러므 로, 타워 구조물을 포함한 바지는 6 m 높이까지 물에 잠겨있다. 타워 하단과 만나는 바지 상면 중심의 6자유도 강체 운동에 대한 원형 강체 바지의 유체 정역학 강성행렬이 부록 2에 주어져 있다.

수치 해석을 위해 유체의 근역과 원역의 경계면은 r = R = 30 m에 설정 하였다. 해수의 깊이에 따른 응답 특성의 변화를 살펴보기 위하여 H = 50 m, 100 m, 200 m 의 세가지 경우에 대하여 수치 해석을 수행하였다. 또한, 해 저지반에 의한 에너지 흡수 능력의 영향을 알아보기 위하여 해저지반의 반 사계수 α^{=1.0 (}강체 지반), 0.5, 0.1인 경우를 고려하였다. 해석 시 유체의 감쇠비는 0.5%로 가정하였다.

해저지진에 의해서 수직지반운동이 해저지반에 작용하였을 때, 바지에 대한 타워 구조물 최상단의 수평방향 상대변위, 타워 구조물 하단의 휨모멘 트, 바지의 수직방향 가속도, 바지의 하면의 (x, y)=(10 m, 0 m) 위치에 발 생하는 동수압의 전달함수를 각각 Figs. 6 ~ 8에 도시하였다. 깊이가 H인 해수의 고유진동수 f^H^w,n= (2n-1)Cw/4H로 주어지는데, Figs. 6 ~ 8의 전 달함수에서 이 고유진동수를 확인할 수 있다. 또한, Figs. 6 ~ 8의 전달함수 중 상대변위와 휨모멘트에 대한 전달함수에서는 상부구조물의 고유진동수 도 확인할 수 있다. 이 중 0.543 Hz, 2.295 Hz, 5.255 Hz, 11.633 Hz,

(8)

(a) Schematic view (b) Numerical model Fig. 5. Floating offshore wind turbine

Table 1. Properties of tower for a floating offshore wind turbine

Node Elevation (m) Element Node 1 Node 2 Mass density (kg/m) Bending stiffness (GNm²)

1 0 1 1 2 5411.65 574.58

2 8.76 2 2 3 5059.10 499.05

3 17.52 3 3 4 4718.32 431.20

4 26.28 4 4 5 4389.31 370.51

5 35.04 5 5 6 4072.08 316.45

6 43.80 6 6 7 3766.62 268.52

7 52.56 7 7 8 3472.93 226.25

8 61.32 8 8 9 3191.02 189.16

9 70.08 9 9 10 2920.88 156.82

10 78.84 10 10 11 2662.51 128.80

11 87.60

Lumped mass 350,000 kg

Moment of inertia about x axis 43,700,000 kg·m² Moment of inertia about y axis 23,500,000 kg·m² Moment of inertia about z axis 25,400,000 kg·m²

Eccentricity in x direction 0.41 m Eccentricity in z direction 1.97 m

21.991 Hz 의 고유진동수는 상부구조물의 x-z 평면 내에서의 휨 변형에 대 응하고, 8.008 Hz, 30.316 Hz 의 고유진동수는 상부구조물의 축방향 변형 에 대응한다. 이 고유진동수들은 참고문헌 14의 결과와 잘 일치함을 확인할

수 있다. 해저지진에 의한 수직지반운동만 해저지반에 작용하였지만, 타원 상단 RNA의 편심으로 인해 상부구조물에서는 휨 변형도 발생하게 된다.

Figs. 6 ~ 8의 전달함수로부터 부유식 해양구조물의 지진 거동은 해수의 깊

(9)

(a) Relative horizontal displacement at the tower top with respect to the barge

(b) Bending moment at the tower base

(c) Vertical acceleration of the barge (d) Hydrodynamic pressure on the barge Fig. 6. Transfer functions of responses of a floating offshore structure: H=50 m

(10)

Fig. 9. Input ground motion: 1994 Northridge earthquake at Rinaldi Receiving Station

이(고유진동수)와 해저지반의 에너지 흡수 능력에 의해 많은 영향을 받는 것을 확인할 수 있다.

유체의 압축성에 의한 영향을 살펴보기 위해, 해수를 비압축성 유체로 가정하였을 때의 전달함수도 Figs. 6 ~ 8에 함께 도시하였다. 유체의 압축 성을 고려하지 않으면 시스템 응답의 증폭이 크게 발생하지 않음을 전달함 수에서 확인할 수 있다.

실제 지진에 의한 거동 특성을 파악하기 위하여 Fig. 9에 주어진 Northridge 지진의 수직지반운동을 입력운동으로 사용하여 예제 부유식 해양구조물의 지진응답을 계산하였다. 바지에 대한 타워 구조물 최상단의 수평방향 상대변위, 타워 구조물 하단의 휨모멘트, 바지의 수직방향 가속

도, 바지의 하면의 (x, y)=(10 m, 0 m) 위치에 발생하는 동수압의 시간이력 을 각각 Figs. 10 ~ 12에 도시하였다. 유체의 압축성에 의한 영향을 살펴보 기 위해, 해수를 비압축성 유체로 가정하였을 때의 시간이력도 함께 도시하 였다. 비압축성 유체와 비교하였을 때, 해저지진에 의한 부유식 해양구조물 의 지진 거동은 유체의 압축성에 의해 크게 영향을 받음을 확인할 수 있다.

또한, 해수의 깊이(고유진동수)와 해저지반의 에너지 흡수 능력에 따른 변 화가 상당함을 확인할 수 있다. 그러므로, 해저지진에 의한 부유식 해양구 조물 시스템의 지진 거동을 정확히 산정하기 위해서는 압축성 유체와 구조 물의 상호작용과 유연한 해저지반에 의한 에너지 흡수 현상을 고려하여야 할 것이다.

(11)

(c) Vertical acceleration of the barge (d) Hydrodynamic pressure on the barge Fig. 10. Time histories of responses of a floating offshore structure: H=50 m

Analysis of Three-dimensional Earthquake Responses of a Floating Offshores Structure with an Axisymmetric Floating Structure

축대칭 부유구조물을 가지는 부유식 해양구조물의 3차 원 지진응답 해석기법 개발