예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (1)

예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (1)

• 문제 : 저항이 0인 완전도체판 2개를 평행 평판 형태로 마주보게 하고 여기에 정현파 전압을 인가한다. 이 때 도체판 사이에 유기되는 전계와 자계를 구해보자.

• 가정 : 디귿자 도체 문제와 유사하다.

(1) 도체판 사이의 간격 s 는 길이 l 에 비해 매우 좁아서, fringing 효과를 무시할 수 있다.

(2) x = − l 에 연결된 전압은 z 방향으로 고르게 분포한다.

 맥스웰 방정식에 의해 도체판 사이의 전계는 y 방향, 자계는 z 방향으로만 발생하며, 그 크기는 x에만 의존하는 1차원적인 근사가 가능하다.

y x z

s

l d

+–

Ey

Bz

( )

0

cos (at )

v t = v  t x = − l

예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (2)

• 경계 조건

(1) x = 0 에서 경계조건을 구하기 위해 오른쪽 그림과 같이 경로 C를 설정한다.

(2) x = −l 에서는 전압원이 연결되어 있다.

즉, 두 평판 사이의 전압 강하는 인가한 전압과 같다.

➢ x = 0 에서는 완전도체판이 개방되어 있으므로 경로 C가 만드는 면적을 지나가는 면전류는 0 이다.

➢ 변위 전류는 전계의 시간적 변화율과 관계되는데, 전계는 y 방향 이므로, 경로의 면적을 통과하는 변위 전류는 없다.

 어떠한 전류도 없으므로 x = 0 에서의 자계 B_z(0, t) = 0 이다.

( ) x v t

l x = −

+–

( , ) ( ) sE

y

l t v t

− − =

x y

z

v(t) ⁺_– 평행평판 문제의 전류의 흐름

도체전류

도체전류

변위전류 C

예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (3)

• 파동방정식의 풀이

– 디귿자 도체판 문제와 동일하게 복소수를 도입하여 풀 수 있다.

파동 방정식에 대입하면, 앞서와 마찬가지의 상미분방정식이 얻어진다.

경계조건을 1) 복소수 로 표현하고, 2) 자계로 주어진 식은 전계로 바꾼다.

경계조건 (1)을 어떻게 전계로 변환할 수 있을까?

– 경계 조건을 대입하여 문제를 풀어주면 다음과 같은 전계와 자계를 얻을 수 있다.

각자 계산해 보자.

2 2

2 2 2

1

y y

E E

x c t

 

 = 

B.C. : (1)

_z

(0, ) 0, (2)

_y

( , ) v t ( )

B t E l t

= − = − s

0 0

ˆ

( ) cos Re

^{j t}

,

_y

( , ) Re

_y

( )

^{j t}

v t = v  t =   v e

^

  E x t = ^  E x e

^

^ 

2 2

2 2

ˆ ( )

ˆ ( ) 0

y

y

d E x dx c E x

+  = E x ˆ ( )

_y

A

1

cos x A

2

sin x

c c

 

= +

ˆ ( )

_y

E x

( )

( )

0

cos cos /

( , )

cos /

y

v t x c

E x t

s l c

 

= −  : 식 (B.2.13b) , ( )

( )

0

sin sin /

( , )

cos /

z

v t x c

B x t

cs l c

 

= −  : 식 (B.2.14b)

예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (4)

• 전계 및 자계

앞서와 마찬가지로 시스템의 크기가 비교적 작고, 전압원이 느리게 변한다면 이다.

이 때 전계와 자계의 근사식은 다음과 같다.

open circuit

Bz

Ey

x l x=−

l/c = 3/4 일 때의 전계 및 자계

▪ 디귿자 도체판 문제와 마찬가지로 구해진 전계와 자계는 정상파이다. 즉 공간적으로는 함수의 형태가 정해져 있다 (전계는 코사인, 자계는 사인 파)

▪ 공간적 모양을 유지한 채로 시간에 따라 진폭이 정현적으로 변화한다.

▪ 전계와 자계는 서로 정현적으로 변하면서 서로를 유기하며 파동의 특성을 가지고 전파해간다.

( )

( )

( )

( )

0

0

cos cos / ( , )

cos / sin sin / ( , )

cos /

y

z

v t x c

E x t

s l c

v t x c

B x t

cs l c

 



 



= −

= −

l 1 c

 _

( , ) 0 cos

y

E x t v t

s



= − _z

( , ) v

⁰

sin x

B x t t

cs c

 ^  ^

= −  

 

: 식 (B.2.16b) , : 식 (B.2.17b)

예제 2 : 평행평판 도체판 사이의 전계 및 자계 (5)

• 전계와 자계의 근사식

– 일 때 전계와 자계의 근사식 :

• 평행평판 도체판의 회로 소자 근사

– 평행평판을 커패시턴스로 볼 수 있으며, 교과서 내용을 참고로 각자 계산해 보자.

 평행평판은 인 커패시터로 볼 수 있다.

0 0

( , ) cos , ( , ) sin

y z

v v x

E x t t B x t t

s cs c

  ^  ^

= − = −  

  l 1

c

 _

open circuit

Ey

Bz

l x=−

l/c << 1 일 때의 전계 및 자계

▪ 위 식을 보면 전계는 특정 시간에서 공간 위치에 관계없이 일정하다. 즉 개방된(open-circuited) 평판 사이의 전계는 마치 구동하는 전압이 정적인 경우와 같은 분포를

나타낸다.

▪ 형성된 전계의 위상은 x = −l 에서 구동한 전압의 위상 (cos t)과 같다. 다시 말하면 얻어진 근사식에 따르면 x = −l 에서의 구동(excitation)과 x 축상의 임의의 위치에서의 장 응답(field response) 간에 시간 지연이 존재하지 않는다  전파 특성이 중요하지 않다.

0

dl

C s

= 

준정적 전계 시스템

• 준정적 전계 시스템

– 평행평판의 경우 전계가 마치 구동 전압 v에 의한 정적인 성분만 나타나는 것과 같다. 이는 준정적 조건 하에서는 패러데이의 법칙에 의한 자기 유도 성분은 무시할 수 있음을 의미한다.

– 이는 역시 파동방정식의 해를 근사시킨 결과이며, 앞서와 마찬가지로 시작 시점에서부터 구동이 정적이라고 가정하고 이론을 전개하여 터미널에서의 전류식을 통해 커패시턴스를 계산할 수 있다.

교과서를 참고하여 각자 계산해 보자.

– 준정적 조건을 만족하는 경우, 이 문제를 다룰 때는 파동방정식을 풀지 않고 실제로 동적인 계를 마치 전계가 정적인 것처럼 여겨 구동 전압에 의한 전계만을 계산하면 된다. 자계는 실제 전계가 시간적으로 (느리게) 변하므로 암페어의 주회 법칙을 적용하여 계산한다. 이러한 계를

준정적 전계계(quasi-static electric field system)라 한다.

• 준정적 전계계의 단순화된 맥스웰 방정식

– 평행평판의 경우와 같이 전압이 인가되어 전계가 중요한 역할을 하는 준정적인 계에서의 맥스웰의 방정식은 다음과 같이 표현할 수 있다.

0 0 0

0

0 0

B J E E

t

E J

t

    



  = +    =



  =   +  =



▪ 원래의 맥스웰 방정식과 가장 크게 다른 점은 패러데이의 법칙에서 자계의 시간변화항을 무시했다는 점이다.

▪ 전계와 자계가 서로를 유기한다고 생각하지 않고, 전압에 의해서만 전계가 결정되고 그에 따라 자계가 정해진다고 생각한다.

: Quasi-static electric field equations

준정적 근사식의 정밀도

• 준정적 근사식의 정밀도 계산

– 준정적 자계 시스템의 경우 변위 전류를 무시하였으므로, 변위 전류에 의한 자계의 보정항 를 구해보자.

▪ 강의노트 3-13 에서 변위 전류를 무시한 준정적 자계계의 B_z 로부터 전계식을 유도하였다.

이 전계식을 암페어의 주회 법칙에 대입하여 B_z를 계산하면, 이는 변위전류에 의한 보정항이다.

▪ 변위 전류를 무시한 오차, 즉 보정항의 최대값은 x = 0 에서 발생한다.

보정항과 준정적 자계값의 비율은 다음 식으로 계산된다.

c

B

z

0

0 0

^{z y}

y

x di B E

E d dt x t



^

 

^

= → − =

 

2 2

0 0 2 c

z x

B d i

x d dt

 

 = −



x = −l 에서는 파동방정식에서 얻은 자계와 준정적 자계값이 일치하므로 B_z^c( , )−l t =0 이다.

2 2

0 0 2

2 2 c

z

B d i x C

d dt

= −

 

+

양변을 x로 적분하면 이다.

( )

2 2 2 2

0 0

2 2 c

z

x l d i

B d dt

 

−

 = −

2 2 2 2

0 0

2 2 2

2 0

2

2

c z

l d i d i

B d dt l dt

B i c i

 

=



=

준정적 전자기식의 해석 영역

• 준정적 전자기식의 적용

– 준정적 자계계에서 보정 자계와 준정적 자계의 비율

– 이 비율이 1보다 훨씬 작다면 준정적인 전자기식으로 해를 구해도 무방하다. 이 값은 시스템의 크기 l 과, 여진(excitation, 이 경우 전류원)의 시간적 변화율에 의해 결정된다.

▪ 앞의 예제에서 전류원은 이므로, 이를 위 식에 대입하면

따라서 앞에서 정의한 준정적 조건과 같다.

– 예) 사용하는 전기기계의 크기가 30 cm이고 1 MHz의 주파수로 구동될 경우

이어서 무시할 수 있으므로, 이는 준정적 시스템으로 보고 준정적으로 해를 구한다.

2 2

2 2

/ 2

c z z

B l d i dt

B = c i

( ) 0cos i t =i



t

1 2

2 1

c z z

B l

B c







=   

 

6 2

2 6

8

1 2 10 0.3

2 10 1

2 3 10

c z z

B B

 

⁻

   

=      

에너지의 흐름

• 준정적 전자계 시스템을 전자기 에너지 저장 모드의 측면에서 생각하는 것이 중요하다.

• 전자계에서 에너지의 흐름을 나타내는 것이 포인팅의 정리 (Poynting’s theorem) 이다.

이를 유도해 보자.

Quasi-static magnetic field systems

두 식을 빼면

그런데 이므로

Quasi-static electric field systems

두 식을 빼면

그런데 이므로

B 

0

J

 =

0

E B E J

 ^{ = } E B

t

 = − 



_{0 0}

B B B

E t

 

 = −  



0 0 0

E B B B

B E E J

   t

 −  =  +  



0 0

1 2

B B B

E E J

 t 

     

−         =  +       

( )

A  −  = −  C C A A C 

0 0 0

B J E

   ^t

 = +



0

 = E

0

B 0

 ^{ =} E

0

0 0

E B E

B E E J E

 t

 

 −  =  +  



0 0

1 2

E B E J E E

t 



    

−         =  +      

( )

A  −  = −  C C A A C 

0 0

E E

B E J E

 t



 =  + 



포인팅 정리와 에너지 보존 법칙

• 포인팅의 정리

체적 V를 설정하고 양변에 체적 적분을 취한 후, 좌변을 발산정리로 면적분으로 변환하면

여기서 전자에너지 밀도 w (체적 당 에너지)는 자계계와 전계계에 대해 각각 다음과 같이 표현된다.

(1) 좌변 : 체적 V를 구성하는 닫혀있는 면 S로 흘러들어오는 (음부호) 에너지 플럭스(flux)를 의미한다.

(2) 우변 :

– 1항 : 전압과 전류의 곱의 형태이므로, 이는 Joule 손실로 체적 내에서 소비되는 파워를 의미한다.

– 2항 : 체적 내부에 전기장 혹은 자기장의 형태로 축적되는 파워를 의미한다. 회로이론에서 인덕턴스 혹은 커패시턴스에 저장되는 에너지의 시간적 변화를 나타낸다.

Quasi-static magnetic field systems Quasi-static electric field systems

0 0

1 2

B B B

E E J

 t 

     

−         =  +       

^{0 0}

1 2

E B E J E E

t 



    

−         =  +      

0

ˆ

S V V

E B nda E Jdv wdv

 t

 

−  =  +

   

0

1

m

2 w B B



=  ¹

₀

e

2

w =  E E 

: Poynting’s theorem

Poynting vector

저항에서의 포인팅 벡터

• 저항 소자와 포인팅 벡터

– 포인팅 벡터 자체는 에너지가 아닌 “단위 면적 당”의 “파워”(에너지의 시간적 변화)이다.

– 포인팅 벡터는 물리적으로 에너지의 흐름을 나타낸다. 포인팅 벡터의 방향은 어떤 의미를 가지는지 먼저 저항 소자를 가지고 생각해 보자.

 저항에서는 전압 강하 방향이 전류 방향에 의해 같이 변화하므로, 포인팅 벡터가 항상 저항 안쪽 방향을 향하고 있다.

 이는 저항이 에너지를 흡수하고 있음을 나타내며, 저항은 에너지 소모성 소자이므로 에너지는 저항 내부에서 소모된다 (Joule 열).

0

ˆ

S V V

E B nda E Jdv wdv

 t

 

−  =  +

   

v(t) R

i v

E

B

- +

v

+ i

-

E

B

커패시터에서의 포인팅 벡터

• 커패시터 소자와 포인팅 벡터

– 커패시터의 경우 커패시터 내에 흐르는 변위 전류는 전기장의 시간적 변화에 의해 결정된다.

즉 양단 전압에 부호에 관계없이 변위 전류의 방향은 변화될 수 있다.

– 따라서 커패시터의 경우 포인팅 벡터의 방향은 상황에 따라 안쪽, 혹은 바깥쪽으로 변화하게 된다.

따라서 손실이 없는 이상적인 커패시터의 경우에는 에너지를 축적하기도 하고 밖으로 내보낼 수도 있다.

– 이는 인덕터의 경우도 마찬가지이다.

v(t)

Capacitor

v

E B

- +

x . _v

E B

- +

. x

( )

⁰

d

E

i t



= 



( )

⁰

d

E

i t



= 



전기기계 시스템의 준정적 접근

• 평행평판 문제의 두 가지 측면

– 평행평판의 x = 0 을 유한한 저항을 가지는 저항체 sheet로 termination한 경우를 생각해 보자.

– x = −l 에 정전류 혹은 정전압원을 인가한다면 평판 사이에는 전기장과 자기장이 모두 형성된다.

▪ 저항체 sheet의 저항이 매우 작을 경우 : 전기장은 매우 작아 변위전류가 무시되어, short 되어 있는 준정적 자계

시스템과 유사해진다  시스템은 인덕턴스와 저항의 직렬 연결로 볼 수 있다.

▪ 저항체 sheet의 저항이 매우 클 경우 : 자기장은 매우 작아 패러데이 전자기 유도 성분이 무시되어, open 되어 있는 준정적 전계시스템과 유사해진다  시스템은 커패시턴스와 저항의 병렬 연결로 볼 수 있다.

– 전기기계 시스템에서는 두 가지 경우의 중간적 경우에 해당되는 접근을 사용하지 않는다. 왜 그럴까?

▪ 실제 전기기계 시스템의 목적은 전자기적 가진(excitation)을 기계시스템에 일을 해주는 힘으로 변환하거나 (모터), 혹은 역으로 힘으로부터 전자기에너지를 생성(발전기)하기 위함이다.

▪ 위의 예에서 작은 값의 저항체로 연결된(short) 경우 높은 전압으로 구동할 필요가 없으며, 큰 값의 저항체로 연결된 경우(open) 큰 전류를 걸어 구동할 필요가 없다. 그렇게 할 경우 sheet에서의 전기적 손실(electrical dissipation)이 매우 커지기 때문이다.

resistive termination x=-l

x=0

전기기계에서의 준정적 자계계 방정식

• 운동이 존재하는 경우의 준정적 자계계 방정식

– 정지계에서는 면의 둘레, 면 및 체적은 공간에 대해 정지해 있다.

– 전기기계의 역학에서는 기계 소자 요소들이 직선/회전 운동을 하는 경우가 많다. 따라서 변형하는 둘레, 면 및 체적에 대한 적분이 필요하며, 따라서 정지계와는 다른 형태의 적분형 식이 얻어진다.

– 아래 표의 적분형 식에서 prime이 붙은 물리량은 변형하고 있는 둘레와 같이 움직이는 (즉 둘레에 고정되어 있는) 관측자가 측정한 값이다 (moving frame에서 측정한 값).

Quasi-static magnetic-field

system

Differential forms Integral forms

( )

0

0 0

f

f

H J E B

t B

J

B  H M

 =

 = − 



  =

  =

= +

( )

ˆ ' ˆ

'

ˆ 0

ˆ 0

C S f

C S

S S f

H d J nda

E d d B nda dt

E E v B B nda

J nda

 = 

 = − 

= + 

 =

 =

 

 





전기기계에서의 준정적 전계계 방정식

• 운동이 존재하는 경우의 준정적 전계계 방정식

– 자계계와 마찬가지로, 아래 표의 적분형 식에서 prime이 붙은 물리량은 변형하고 있는 둘레와 같이 움직이는 (즉 둘레에 고정되어 있는) 관측자가 측정한 값이다 (moving frame 에서 측정한 값).

– 자기장의 세기 와 전류밀도 의 두가지 물리량에 prime이 붙는 것에 유의하자.

– 운동이 존재하는 경우의 자계계와 전계계의 식들에 대한 상세한 고찰은 부록 B32-B37과 교과서 6장의 내용을 참고한다.

Quasi-static electric-field

system

Differential forms Integral forms

0

f

f

f f

E H J D

t D

J t

D E P







 =

 = + 



  =

  = − 



= +

( )

'

'

'

0

ˆ ˆ

'

' ,

ˆ ˆ

C

C S f S

f f f

S V f

f f

E d

H d J nda d D nda dt

H H v D J J v

D nda dV

J nda d dV







 =

 =  + 

= −  = −

 =

 = −



  

 

 

H J

f