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수학 기출문제집
학 교 시 험 대 비 필 독 서1
학 기 중 간 고 사
정
답
과
해
설
02
001
⑴ ('7)Û`=(-'7)Û`=7이므로 7의 제곱근은 '7, -'7이 다. ⑵ {;6%;}Û`={-;6%;}Û`=;3@6%;이므로 ;3@6%;의 제곱근은 ;6%;, -;6%; 이다. ⑶ '§64="Å8Û`=8이므로 '§64의 제곱근은 '8, -'8이다. ⑷ (-12)Û`=144이므로 (-12)Û`의 제곱근은 12, -12이 다. 답⑴ '7, -'7 ⑵ ;6%;, -;6%;` ⑶ '8, -'8 ⑷ 12, -12002
⑴ '§36="Å6Û`=6 ⑵ -'¶100=-"10Û`=-10 ⑶ ®;9$;=¾Ð{;3@;}Û`=;3@; ⑷ Ñ'¶0.09=Ñ"0.3Û`=Ñ0.3 답⑴ 6 ⑵ -10` ⑶ ;3@; ⑷ Ñ0.3003
x가 a의 제곱근일 때, xÛ`=a이다. 답①004
x는 13의 제곱근이므로 x=Ñ'§13, 즉 xÛ`=13 답⑤005
'§49="Å7Û`=7 즉, 7의 제곱근은 Ñ'7이다. 답Ñ'7006
양변을 제곱하면 aÛ`=81 a는 81의 제곱근이므로 a=Ñ9 답③007
① 5Û`=(-5)Û`=25이므로 제곱하여 25가 되는 수는 5, -5이다. ③ xÛ`=25에서 x는 제곱해서 25가 되는 수이므로 5, -5 이다. ④ 제곱근 25는 '§25=5이다. ⑤ 25의 제곱근은 5, -5이다. 따라서 그 값이 나머지 넷과 다른 것은 ④ 제곱근 25이다. 답④008
10의 제곱근은 Ñ'§10이므로 aÛ`=10 14의 제곱근은 Ñ'§14이므로 bÛ`=14 ∴ aÛ`＋bÛ`=10+14=24 답24009
① '4=2 (거짓) ② 제곱근 16은 4이다. (거짓) ③ 9의 제곱근은 Ñ3이다. (참) ④ '§25의 제곱근은 Ñ'5이다. (거짓)1
제곱근과 실수
본문 008~028쪽 ⑤ 0의 제곱근은 0이다. (거짓) 따라서 옳은 것은 ③이다. 답③010
'§16=4의 양의 제곱근은 '4=2이다. (-3)Û`=9의 음의 제곱근은 -'9=-3이다. 따라서 a=2, b=-3이므로 a+b=-1 답-1011
ㄱ. 제곱근 11은 '§11이다. (거짓) ㄴ. 11Û`=(-11)Û`=121이므로 121의 제곱근은 11, -11 이다. (거짓) ㄷ. -'§16=-"Å4Û`=-4 (참) ㄹ. '§49="Å7Û`=7의 제곱근은 '7, -'7이므로 이들의 합 은 0이다. (참) 따라서 옳은 것은 ㄷ, ㄹ이다. 답④012
a>0이므로 a=81 ∴ b='§81="Å9Û`=9 답③013
주어진 수의 제곱근을 각각 구해 보면 다음과 같다. 10의 제곱근은 Ñ'§10, 0.2의 제곱근은 Ñ'§0.2 ;2Á5;의 제곱근은 Ñ®Â;2Á5;=Ñ;5!; 0.H1=;9!;의 제곱근은 Ñ®;9!;=Ñ;3!; ;8¢1;의 제곱근은 Ñ®Â;8¢1;=Ñ;9@; 따라서 제곱근을 근호를 사용하지 않고 나타낼 수 있는 수는 ;2Á5;, 0.H1, ;8¢1;의 3개이다. 답3 포인트 근호 안의 수가 어떤 수의 제곱이면 근호를 사용하 지 않고 나타낼 수 있다. 9의 제곱근: Ñ'9=Ñ3014
① 0.09의 제곱근은 Ñ'¶0.09=Ñ0.3이다. ② '§81=9의 제곱근은 3, -3이다. ③ (-4)Û`=16의 제곱근은 4, -4이다. ④ '¶225="Å15Û`=15의 제곱근은 Ñ'§15이다. ⑤ ;3@6%;의 제곱근은 Ñ®Â;3@6%;=Ñ;6%;이다. 답④015
⑴ ('3)Û`=3 ⑵ (-'7 )Û`=7 ⑶ "0.01Û`=|0.01|=0.01 ⑷ "Ã(-36)Û`=|-36|=36 답⑴ 3 ⑵ 7` ⑶ 0.01 ⑷ 36016
⑴ x<0이므로 "ÅxÛ`=-x ⑵ x>2에서 2-x<0이므로 "Ã(2-x)Û`=-(2-x)=x-21. 제곱근과 실수
03
⑶ 0<a<1에서 1-a>0이므로 "Ã(1-a)Û`=1-a 답⑴ -x ⑵ x-2` ⑶ 1-a017
① "Å5Û`=5 ② ('5 )Û`=5 ③ "Ã(-5)Û`=|-5|=5 ④ (-'5 )Û`=5 ⑤ -"Ã(-5)Û`=-|-5|=-5 답⑤018
③ ¾Ð{-;3!;}Û`=|-;3!;|=;3!; 답③019
"Å2Ý`-"Ã(-5)Û`+(-'6)Û`-'9 ="Å4Û`-"Ã(-5)Û`+(-'6)Û`-"Å3Û` =4-5+6-3=2 답2020
① '§16+"Ã(-5)Û`="Å4Û`+"Ã(-5)Û`=4+5=9 ② (-'7)Û`-"Ã(-4)Û`=7-4=3 ③ ¾Ð{-;3@;}Û`_(-'§36)=¾Ð{-;3@;}Û`_(-"Å6Û`) =;3@;_(-6)=-4 ④ -®Â;2¢5;Ö(-'5)Û`=-¾Ð{;5@;}Û`Ö5 =-;5@;_;5!;=-;2ª5; ⑤ (-'§12)Û`Ö"Å4Û`=12Ö4=3 답②021
(-'5)Û`Ö"3Û`_5Û`+"Ã(-3)Û` =5Ö(3_5)+3=5_;1Á5;+3 =;3!;+3=:Á3¼: 답:Á3¼:022
ㄱ. (-'a)Û`=a ㄴ. -"ÅaÛ`=-a ㄷ. ('a)Û`=a ㄹ. -"Ã(-a)Û`=-a ㅁ. "Ã(-a)Û`="ÅaÛ`=a 따라서 a>0일 때, 그 값이 a인 것은 ㄱ, ㄷ, ㅁ이다. 답③023
"Ã(-3x)Û`-"(5x)Û`-"9xÛ` ="Ã(-3x)Û`-"(5x)Û`-"(3x)Û` =-3x-(-5x)-(-3x) =-3x＋5x＋3x=5x 답5x024
"(a-b)Û`=|a-b|=[a-b`(a¾b) b-a`(a<b) "ÅaÛ`=|a|=[ a` (a¾0) -a`(a<0) 답④025
① a-3=(-5)-3=-8<0이므로 "Ã(a-3)Û`=-(a-3)=3-a ② "Ã(a+5)Û`="Ã(-5+5)Û`='0=0 ③ a-5=(-5)-5=-10<0이므로 "Ã(a-5)Û`=-(a-5)=5-a ④ "ÅaÛ`=|a|=|-5|=5=-a ⑤ -3a=(-3)_(-5)=15>0이므로 "Ã(-3a)Û`=-3a 답④026
3-x>0, 1-x<0이므로 "Ã(3-x)Û`-"Ã(1-x)Û` =3-x+(1-x) =4-2x 답⑤ 포인트 (a-b)Û` 꼴을 포함한 식 간단히 하기 ⑴ a¾b일 때, "Ã(a-b)Û`=a-b ⑵ a<b일 때, "Ã(a-b)Û`=-(a-b)027
Ú x+1¾0, 즉 x¾-1이면 x+1=3 ∴ x=2 Û x+1<0, 즉 x<-1이면 -(x+1)=3 ∴ x=-4 Ú, Û에서 x의 값은 2, -4이다. 답2, -4028
a>b>c이므로 a-b>0, b-c>0, c-a<0 ∴ "Ã(a-b)Û`+"Ã(b-c)Û`-"Ã(c-a)Û` =(a-b)+(b-c)-{-(c-a)}=0 답③029
⑴ '¶3x="3_x ∴ x=3 ⑵ '¶8x="2Ü`_x ∴ x=2 ⑶ ¾Ð 48x7 =¾Ð2Ý`_3_x7 ∴ x=3_7=21 ⑷ ¾Ð 27x =¾Ð3Ü`x ∴ x=3 답⑴ 3 ⑵ 2 ⑶ 21 ⑷ 3030
'¶24a가 자연수가 되기 위해서는 24a가 자연수의 제곱이 되어야 한다. 24a=2Ü`_3_a a=2_3=6일 때, 24a=12Û`이 된다. ∴ a=6 답6031
¾Ð 540x =¾Ð2Û`_3Û`_3_5x 이므로 x=3_5 답②04
039
"Ã(-3)Û`='9, "Å2Ü`='8, ('3)Û`=3='9이고 "Å2Ü`<"Ã(-3)Û`=('3)Û`<'§10<'§13이므로 가장 작은 수는 "Å2Ü`이다. 답③040
;2#;=®;4(;, 2='4이므로 ®;2!;<'2<®;4(;<'3<'4 주어진 수를 작은 수부터 차례로 나열하면 -1, 0, ®;2!;, '2, ;2#;, '3, 2 따라서 여섯 번째에 오는 수는 '3이다. 답'3041
4='§16이므로 '§12<'§14<4 답④042
각 변을 제곱하면 1Éx+2É9 ∴ -1ÉxÉ7 따라서 x는 자연수이므로 1, 2, 3, y, 7의 7개이다. 답7 포인트 a>0, b>0, c>0일 때, 'a<'b<'c ('a)Û`<('b)Û`<('c)Û` a<b<c043
-4É-'§2x<-3에서 3<'§2xÉ4 각 변을 제곱하면 9<2xÉ16 ∴ ;2(;<xÉ8 따라서 x의 값이 될 수 없는 것은 ⑤이다. 답⑤044
각 변을 제곱하면 6<(2x-3)Û`<30이므로 2x-3은 3, 4, 5이다. Ú 2x-3=3일 때, x=3 Û 2x-3=4일 때, x=;2&; Ü 2x-3=5일 때, x=4 Ú, Û, Ü에서 자연수 x의 값은 3, 4이다. 답③045
1.1<'x<2.4에서 각 변을 제곱하면 1.21<x<5.76이므로 자연수 x의 값은 2, 3, 4, 5이다. 1.7<'x<;3*;에서 각 변을 제곱하면 2.89<x<:¤9¢:이므로 자연수 x의 값은 3, 4, 5, 6, 7이다. 따라서 주어진 두 부등식을 동시에 만족시키는 자연수 x 의 값은 3, 4, 5이므로 그 합은 12이다. 답12046
각 변을 제곱하면 4<|n-5|<9 Ú 4<n-5<9일 때 9<n<14이므로 n=10, 11, 12, 13 Û 4<5-n<9일 때 -4<n<1이므로 n=-3, -2,-1, 0 Ú, Û에서 n=-3, -2, -1, 0, 10, 11, 12, 13032
'§27x="Ã3Ü`_x가 자연수가 되려면 x=3kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다. '§27x="Ã3Ü`_3_kÛ`=3Û`k가 두 자리 자연수이므로 10É9kÉ99 ∴ :Á9¼:ÉkÉ11 이 조건을 만족시키는 k의 값 중 가장 작은 자연수는 k=2 이므로 x=3_2Û`=12 답12033
78보다 큰 제곱수는 81, 100, 121, y이다. a가 가장 작은 자연수이어야 하므로 78+a=81 ∴ a=3 ∴ b='¶78+a='¶78+3='§81=9 ∴ a+b=3+9=12 답②034
7보다 큰 제곱수는 9, 16, 25, 36, 49, y이고 xÛ`+7이 제곱수가 되려면 xÛ`은 2, 9, 18, 29, 42, y이다. 그런데 x가 가장 작은 자연수가 되려면 xÛ`=9이므로 x=3 답3035
Ú 10보다 큰 제곱수는 4Û`, 5Û`, 6Û`, y이므로 10+x=4Û`, 5Û`, 6Û`, y에서 x=6, 15, 26, y Û 135=3Ü`_5에서 x=3_5_(자연수)Û` ∴ x=15, 60, 135, y Ú, Û에서 x=15 답⑤036
'Ä891-81a="Ã81(11-a)=9'Ä11-a에서 1É11-aÉ10이고, 'Ä11-a는 자연수이므로 11-a가 될 수 있는 값은 1, 4, 9이다. ∴ a=2, a=7, a=10 따라서 모든 a의 값의 합은 2+7+10=19 답19037
⑴ ('8)Û`=8, 3Û`=9에서 8<9이므로 '8<3 ⑵ (0.1)Û`=0.01이고 0.1>0.01이므로 '¶0.1>0.1 ⑶ {;2!;}Û`=;4!;이고 ;3@;>;4!;이므로 ®;3@; >;2!; ⑷ 4Û`=16이고 16>15이므로 4>'§15 ∴ -4<-'§15 답⑴ < ⑵ > ⑶ > ⑷ <038
① 3='9이므로 '8 <'9=3 ∴ -'8 >-3 ② 3<7이므로 '3 <'7 ③ ;2!;>;3!;이므로 ®;2!; >®;3!; ④ 5='§25이므로 '§24<'§25=5 ⑤ "Ã(-4)Û`=4, "Ã(-3)Û`=3이고, 4>3이므로 "Ã(-4)Û` >"Ã(-3)Û` 답⑤1. 제곱근과 실수
05
따라서 2<"Ã|n-5|<3을 만족시키는 정수 n의 개수는 8 이다. 답③047
kÉ'¶168 (k는 자연수)로 놓으면 kÛ`É168 13Û`=169이므로 자연수 k의 값은 k=1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, y, 12 ∴ f(168)=12 ∴ '¶225-f(168)="Å15Û`-12=15-12=3 답④048
⑴ -'§10은 무리수이다. ⑵ '§81=9이므로 유리수이다. ⑶ 3.H5=:£9ª:이므로 유리수이다. ⑷ "Ã4Û`+5Û`='§41이므로 무리수이다. ⑸ -"Ã(-4)Û`=-4이므로 유리수이다. ⑹ 제곱근 3은 '3이므로 무리수이다. 답⑴ 무 ⑵ 유 ⑶ 유 ⑷ 무 ⑸ 유 ⑹ 무049
답⑴ 무리수 ⑵ 0 ⑶ 순환소수(또는 순환하는 무한소수)050
① 3.14 (유리수) ② '¶0.04=0.2 (유리수) ③ 0.3 (유리수) ④ "Ã(-2)Û`=2 (유리수) ⑤ -'8 (무리수) 답⑤051
'9, -'§12, 3.H1H4, '¶0.16, p, "Ã(-5)Û` 중에서 '9=3, 3.H1H4, '¶0.16=0.4, "Ã(-5)Û`=5이므로 유리수이다. 따라서 무리수는 -'§12, p의 2개이다. 답2052
'§25=5의 제곱근은 Ñ'5이므로 무리수이다. 답④053
정사각형의 한 변의 길이는 다음과 같다. ① '5 (무리수) ② '8=2'2 (무리수) ③ '§16=4 (유리수) ④ '§32=4'2 (무리수) ⑤ 2'2 (무리수) 답③054
'7은 무리수이므로 순환소수가 아닌 무한소수이다. 답⑤055
② 순환하는 무한소수는 유리수이다. ③ '9=3은 유리수이다. ④ 제곱근 4는 '4=2이므로 유리수이다. 답①, ⑤056
⑴ 한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이다. ⑵ 점 P에 대응하는 수는 BDÓ의 길이와 같으므로 '2이다. 답⑴ '2 ⑵ '2057
대각선의 길이가 '2이므로 점 P에 대응하는 수는 1-'2 이다. 답1-'2058
한 변의 길이가 1인 정사각형의 대각선의 길이는 '2이므 로 -1+'2에 대응하는 점은 점 B이다. 답점 B059
② PBÓ=PRÓ='2 ④ 점 B의 좌표는 1+'2이다. ⑤ QBÓ=PBÓ-PQÓ=PRÓ-PQÓ='2-1 답②, ④060
PQÓ="ÔÔÔÔÃ2Û`+1Û` ='5이므로 점 A에 대응하는 수는 2-'5이다. 답2-'5061
FGÓ=GHÓ="ÔÔÔÔÃ3Û`+1Û` ='§10 PQÓ=QRÓ="ÔÔÔÔÃ2Û`+1Û` ='5 이므로 A(-1-'§10), B(4-'5), C(-1+'§10), D(4+'5) 따라서 좌표를 잘못 나타낸 것은 점 A, 점 D이다. 답점 A, 점 D062
① 5<'§26<6이므로 4와 '§26 사이에는 자연수가 있다. ② -1과 0 사이에는 무수히 많은 무리수가 있다. ③ 1<'2<2이므로 -2와 '2 사이에는 -1, 0, 1의 3개 의 정수가 있다. ④ ;8!;과 ;2!; 사이에는 무수히 많은 유리수가 있다. 답⑤ 포인트 서로 다른 [유리수 무리수와 [ 유리수 무리수 사이에는 무수히 많 은 [유리수 무리수가 존재한다.063
답>, >, >, >, >, >, b, a064
ㄱ. -3>-4이므로 참 ㄴ. -'2>-'3이므로 거짓 ㄷ. '§27>'§25이므로 거짓 ㄹ. 1<'3이므로 참 ㅁ. '§18>'§12이므로 참 따라서 두 수의 대소 관계가 옳은 것은 ㄱ, ㄹ, ㅁ이다. 답ㄱ, ㄹ, ㅁ065
④ ®;3!;+3-;2&;=®;3!;-;2!;=®;3!;-®;4!;>0 ∴ ®;3!;+3>;2&; 답④06
066
① 3+'5-('5+'§10)=3-'§10<0 ∴ 3+'5<'5+'§10 ② 2'3+1-('3-3)='3+4>0 ∴ 2'3+1>'3-3 ③ 5-'3-(2+3'3)=3-4'3<0 ∴ 5-'3<2+3'3 ④ 2'7-1-('7+2)='7-3<0 ∴ 2'7-1<'7+2 ⑤ 2'2-1-('2+1)='2-2<0 ∴ 2'2-1<'2+1 답②067
a=3='9, b=2'3='§12, c='§10 '9<'§10<'§12이므로 a<c<b 답a<c<b068
b-a=2+'7-'5-'7=2-'5<0 ∴ b<a c-a='5+3-'5-'7=3-'7>0 ∴ c>a ∴ b<a<c 답③069
ㄱ, ㄷ은 양수이고, ㄴ, ㄹ, ㅁ은 음수이므로 ㄴ, ㄹ, ㅁ의 대소를 비교한다. ㄴ, ㄹ의 대소를 비교하면 (-1-'5)-(-4)=3-'5='9-'5>0 ∴ -1-'5>-4 ㄴ, ㅁ의 대소를 비교하면 (-1-'5)-(-'5)=-1<0 ∴ -1-'5<-'5 따라서 -4<-1-'5<-'5<'5+'3<'5+2이므로 두 번째에 해당하는 것은 ㄴ. -1-'5이다. 답ㄴ070
'§64<'§78<'§81에서 8<'§78<9 따라서 '§78에 대응하는 점은 점 D이다. 답④ 포인트 수직선에서 무리수 'x를 나타내는 점을 찾을 때는 먼저 x에 가장 가까운 제곱수를 찾아 'x의 값의 범위를 구한다.071
1<'2<'4=2에서 0<'2-1<1 따라서 '2-1에 대응하는 점은 점 C이다. 답점 C072
3<'§13<4이므로 2+3<2+'§13<2+4 ∴ 5<2+'§13<6 따라서 2+'§13에 대응하는 점이 있는 구간은 구간 C이다. 답③073
④ 3<1+'5<4 답④074
2='4, 3='9이므로 2와 3 사이에 있는 수는 '6, ®Â:Á2°:, ®Â:ª5¥:의 3개이다. 답3075
① '2<'2+0.11=1.524<'3 ② '2<'3-0.11=1.622<'3 ③ '2<'2+0.22=1.634<'3 ④ '2< '2+'32 =1.573<'3 ⑤ '3-'22 <'2<'3 답⑤076
② '3+2=3.732>'6 ④ '3과 '6 사이의 정수는 2뿐이다. 답④077
12Û`=(-12)Û`=144이므로 144의 제곱근은 12, -12이다. a=12, b=-12이므로 yy 가 'Äa-2b='§36=6 따라서 구하는 제곱근은 Ñ'6이다. yy 나 답Ñ'6 단계 채점 요소 배점 가 a, b의 값 구하기 2점 나 답 구하기 2점078
새로 만들 화단의 반지름의 길이를 r m라 하면 p_2Û`+p_3Û`=prÛ` rÛ`=2Û`+3Û`=13 yy 가 r>0이므로 r='§13 (m) yy 나 답'§13 m 단계 채점 요소 배점 가 rÛ`=13 구하기 3점 나 답 구하기 3점079
A ='§49-2_"(-3)Û`+'¶400+"(-4)Û` ="Å7Û`-2_"(-3)Û`+"Å20Û`+"(-4)Û` =7-2_3+20+4 =25 yy 가 ∴ '§A='§25=5 yy 나 답5 단계 채점 요소 배점 가 A=25 구하기 3점 나 답 구하기 1점080
0<a<1이므로 a-1<0이다. yy 가 ("Ã|a-1|)Û`-"Ã(a-1)Û` =|a-1|-{-(a-1)} =-(a-1)+a-1 =0 yy 나 답01. 제곱근과 실수
07
단계 채점 요소 배점 가 a-1<0 구하기 2점 나 답 구하기 4점081
|a|>|b|이면 aÛ`>bÛ`이므로 aÛ`-bÛ`>0 ∴ "Ã(aÛ`-bÛ`)Û`=aÛ`-bÛ` yy 가 a<0<b이면 a-b<0 ∴ "Ã(a-b)Û`=b-a yy 나 ∴ "Ã(aÛ`-bÛ`)Û`+b"Ã(a-b)Û` =(aÛ`-bÛ`)+b(b-a) =aÛ`-ab yy 다 답aÛ`-ab 단계 채점 요소 배점 가 "Ã(aÛ`-bÛ`)Û`=aÛ`-bÛ` 구하기 2점 나 "Ã(a-b)Û`=b-a 구하기 2점 다 답 구하기 2점082
30보다 작은 제곱수는 1, 4, 9, 16, 25이므로 x는 29, 26, 21, 14, 5이다. yy 가 따라서 모든 x의 값의 합은 29+26+21+14+5=95 yy 나 답95 단계 채점 요소 배점 가 x의 값 구하기 3점 나 답 구하기 1점083
'§7x가 자연수가 되려면 x=7kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다. 200É7kÛ`É400이므로 2007 ÉkÛ`É 4007 yy 가 ∴ 28.___ÉkÛ`É57.___ 그런데 k는 자연수이므로 k의 값은 6 또는 7이다. ∴ x=7_6Û`=252 또는 x=7_7Û`=343 yy 나 따라서 모든 x의 값의 합은 252+343=595 yy 다 답595 단계 채점 요소 배점 가 200 7 ÉkÛ`É 4007 구하기 2점 나 x=252 또는 x=343 구하기 3점 다 답 구하기 1점084
7<'§3a<9의 각 변을 제곱하면 49<3a<81 ∴ :¢3»:<a<27 yy 가 a=17, 18, 19, y, 25, 26이므로 M=26, m=17 yy 나 ∴ M-m=9 yy 다 답9 단계 채점 요소 배점 가 ;;¢3»;;<a<27 구하기 2점 나 M=26,`m=17 구하기 2점 다 답 구하기 2점085
S=2_2=4, SÁ=;2!;_4=2, Sª=;2!;_2=1 yy 가 APÓ=a, PLÓ=b라 하면 a='2, b=1 yy 나 따라서 OLÓ=2+'2+1=3+'2이므로 점 L의 좌표는 L(3+'2, 0)이다. yy 다 답L(3+'2, 0) 단계 채점 요소 배점 가 S,` SÁ,`Sª의 값 구하기 2점 나 a='2,`b=1 구하기 2점 다 답 구하기 2점086
2<'5<3이므로 6<'5+4<7 yy 가 1<'2<2이므로 -2<-'2<-1 yy 나 따라서 두 수 a, b 사이에 있는 정수는 -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6이므로 그 합은 -1+0+1+2+3+4+5+6=20 yy 다 답20 단계 채점 요소 배점 가 6<'5+4<7 구하기 2점 나 -2<-'2<-1 구하기 2점 다 답 구하기 2점087
4-('3+2)=2-'3>0이므로 4>'3+2 ∴ <4, '3+2>=4 yy 가 3-'2-(3-'5)='5-'2>0이므로 3-'2>3-'5 ∴ <3-'2, 3-'5>=3-'2 yy 나 6-('2+5)=1-'2<0이므로 6<'2+5 ∴ <6, '2+5>='2+5 yy 다 ∴ (주어진 식) =4-(3-'2)-('2+5) =-4 yy 라 답-4 단계 채점 요소 배점 가 <4,` '3+2> 구하기 2점 나 <3-'2,`3-'5> 구하기 2점 다 <6,` '2+5> 구하기 2점 라 답 구하기 2점088
⑴ 2<'6<3, -3<-'6<-2이므로 점 A에 대응하는 수는 a=-'6이다. 1<'2<2, -2<-'2<-1, -1<1-'2<0이므로 점 B에 대응하는 수는 b=1-'2이다. yy 가08
⑵ 2<'7<3이므로 점 C에 대응하는 수는 c='7이다. 1<'2<2, 4<3+'2<5이므로 점 D에 대응하는 수는 d=3+'2이다. yy 나 ⑶ aÛ`+b+cÛ`+d =(-'6)Û`+(1-'2)+('7)Û`+(3+'2) =6+1-'2+7+3+'2 =17 yy 다 답⑴ a=-'6, b=1-'2 ⑵ c='7, d=3+'2 ⑶ 17 단계 채점 요소 배점 가 a,`b의 값 구하기 3점 나 c,`d의 값 구하기 3점 다 aÛ`+b+cÛ`+d의 값 구하기 2점089
새로 만들어질 분수대 밑면의 반지름의 길이를 r m (r>0) 라 하면 두 원기둥의 부피의 합이 새로 만들어지는 원기둥 의 부피와 같아야 하므로 p_2Û`_0.5+p_3Û`_0.5=rÛ`p_0.5 rÛ`=13이므로 r='§13 (m) 답④ 포인트 기둥의 부피 (기둥의 부피)=(밑넓이)_(높이)090
정사각형 A의 넓이가 4 cmÛ`이므로 정사각형 B의 넓이는 ;3$; cmÛ`이고 정사각형 C의 넓이는 ;9$; cmÛ`이다. 정사각형 C의 한 변의 길이를 x cm (x>0)라 하면 xÛ`=;9$;이다. x는 ;9$;의 양의 제곱근이므로 x=®;9$;=;3@; (cm) 답;3@; cm091
ㄱ. x>2이면 A="Ã(x-2)Û`+"Ã(x+2)Û`=x-2+x+2=2x ㄴ. -2ÉxÉ2이면 A="Ã(x-2)Û`+"Ã(x+2)Û`=-(x-2)+x+2=4 ㄷ. x<-2이면 A ="Ã(x-2)Û`+"Ã(x+2)Û`=-(x-2)-(x+2) =-2x 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄷ이다. 답ㄱ, ㄷ092
a-b<0에서 a<b이고, ab<0이므로 a<0, b>0 ∴ "Ã(a-|b|)Û`+||a|+b| ="Ã(a-b)Û`+|-a+b| =-(a-b)+(-a+b) =-a+b-a+b=-2a+2b =-2(a-b) 답④093
¾Ð2.1H3_;aB;=0.H4에서 ¾Ð 213-2190 _;aB;=;9$; 양변을 제곱하면 :Á9»0ª:_;aB;=;8!1^; ∴ ;aB;=;8!1^;_;1»9¼2;=;5°4; 따라서 a=54, b=5이므로 a+b=59 답⑤094
2<'¶a+b<3의 각 변을 제곱하면 4<a+b<9 즉, a+b의 값은 5, 6, 7, 8이다. Ú a+b=5일 경우 jK (2, 3), (3, 2) Û a+b=6일 경우 jK 없음 Ü a+b=7일 경우 jK (2, 5), (5, 2) Ý a+b=8일 경우 jK (3, 5), (5, 3) 따라서 순서쌍 (a, b)의 개수는 6이다. 답6095
점 P와 점 A 사이의 거리는 반지름의 길이가 2인 원의 둘 레의 길이와 같으므로 2p_2=4p ∴ a=4p ① a=4p이므로 무리수이다. ② 4p-4p=0이므로 유리수이다. ③ 4p+'2는 무리수이므로 순환소수가 아닌 무한소수이 다. ④ 4p+4는 순환소수가 아닌 무한소수이다. ⑤ 8p는 무리수이다. 답③096
ㄹ. 두 정수 0과 1 사이에는 정수가 하나도 없다. ㅁ. 수직선은 유리수와 무리수, 즉 실수에 대응하는 점으 로 완전히 메워진다. 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ, ㄷ이다. 답①097
정사각형 A, B, C의 한 변의 길이를 각각 a, b, c라 할 때 a-b =(3'2+1)-(2'3+1) =3'2-2'3='§18-'§12>0 ∴ a>b b-c=(2'3+1)-5=2'3-4='§12-'§16<0 ∴ b<c a-c=(3'2+1)-5=3'2-4='§18-'§16>0 ∴ a>c ∴ b<c<a 따라서 bÛ`<cÛ`<aÛ`이므로 B<C<A 답④098
0.H6=;9^;=;3@;=®;9$;, ®;9@;, ®;3$;=®Â:Á9ª:, ®;3@;=®;9^;이므로 ®;9@;<0.H6<®;3@;<®;3$; 따라서 점 B에 대응하는 수는 0.H6이다. 답0.H61. 제곱근과 실수
09
099
② '¶6.25="2.5Û`=2.5 (유리수) 답②100
0.H4=;9$;이므로 ;9$;의 제곱근은 Ñ®;9$;=Ñ;3@;이다. 따라서 0.H4의 음의 제곱근은 -;3@;이다. 답③101
A='§64=8, B=-®Â;3Á6;=-;6!;이므로 AB=8_{-;6!;}=-;3$; 답-;3$;102
(직사각형의 넓이)=4_16=64 (cmÛ`) yy 가 정사각형의 한 변의 길이를 x cm라 하면 xÛ`=64 yy 나 x>0이므로 x=8 (cm) yy 다 답8 cm 단계 채점 요소 배점 가 직사각형의 넓이 구하기 1점 나 xÛ`=64 구하기 1점 다 답 구하기 2점103
"Ã(-36)Û`=36의 양의 제곱근은 A=6 (-'9)Û`=9의 음의 제곱근은 B=-3 ∴ A-B=6-(-3)=9 답9104
ㄱ. x¾3이므로 x-3¾0, x+3>0 ∴ A=x-3+x+3=2x (참) ㄴ. -3Éx<3이므로 x-3<0, x+3¾0 ∴ A=-(x-3)+x+3=6 (참) ㄷ. x<-3이므로 x-3<0, x+3<0 ∴ A=-(x-3)-(x+3)=-2x (거짓) 따라서 옳은 것은 ㄱ, ㄴ이다. 답③105
'4_¾Ð{-;8#;}Û`+"Å3Û`Ö®Â:Á9¤:=2_;8#;+3_;4#; =;4#;+;4(;=3 답③106
¾Ð 252x5 =¾Ð2Û`_3Û`_7_x5 가 자연수이려면 x=5_7_kÛ` (k는 자연수) 꼴이어야 한다. k=1일 때, x는 가장 작은 값을 가지므로 x=5_7=35 답④107
360=2Ü`_3Û`_5이므로 'Ä360_a ="Ã2Û`_3Û`_2_5_a 가 가장 작은 자연수가 되려면 a=10이고 b="Ã2Û`_3Û`_2_5_10="Ã2Ý`_3Û`_5Û`="60Û`=60 ∴ b-a=60-10=50 답③108
'Ä150-x-'Ä10+y의 값이 가장 큰 자연수가 되는 경우는 'Ä150-x가 가장 큰 자연수가 되고, 'Ä10+y가 가장 작은 자연수가 될 때이다. Ú 'Ä150-x가 가장 큰 자연수가 될 때 150-x=144 ∴ x=6 yy 가 Û 'Ä10+y가 가장 작은 자연수가 될 때 10+y=16 ∴ y=6 yy 나 Ú, Û에서 x+y=6+6=12 yy 다 답12 단계 채점 요소 배점 가 x=6 구하기 2점 나 y=6 구하기 2점 다 답 구하기 2점109
'2É'§x<3에서 각 변을 제곱하면 2Éx<9 따라서 주어진 부등식을 만족시키는 x의 값은 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8이므로 자연수 x의 개수는 7이다. 답③110
-'§15<-'Ä2x+3<-2에서 2<'Ä2x+3<'§15이므로 각 변을 제곱하면 4<2x+3<15 1<2x<12 ∴ ;2!;<x<6 yy 가 따라서 자연수 x는 1, 2, 3, 4, 5이므로 그 합은 1+2+3+4+5=15 yy 나 답15 단계 채점 요소 배점 가 ;2!;<x<6 구하기 4점 나 답 구하기 2점111
② 순환하는 무한소수도 유리수이다. ③ 순환소수는 분수로 나타낼 수 있으므로 유리수이다. ④ 무리수는 유리수가 될 수 없다. ⑤ 근호 안의 수가 제곱수이면 유리수이다. 답① 포인트 ⑴ 정수, 유한소수, 순환소수, 근호를 없앨 수 있는 수 유리수 ⑵ 순환소수가 아닌 무한소수, 근호를 없앨 수 없는 수 무리수 ⑶ 유리수, 무리수 실수112
⑴ 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 "Ã2Û`+1Û`='5이다. yy 가 ⑵ CBÓ=CPÓ='5이므로 점 P의 좌표는 P(3-'5) yy 나 ⑶ CDÓ=CQÓ='5이므로 점 Q의 좌표는 Q(3+'5) yy 다 답⑴ '5 ⑵ P(3-'5) ⑶ Q(3+'5)10
001
⑴ '2_'§15='Ä2_15='§30 ⑵ '5'8='§40 ⑶ 4'3='Ä16_3='§48 ⑷ '§80='Ä16_5=4'5 답⑴ 15, 30 ⑵ 40 ⑶ 16, 48 ⑷ 16, 4002
'¶0.9_®Â:ª3¼:=®Â;1»0;_®Â:ª3¼: =¾Ð 9_2010_3 ='6 답'6003
2_'5_{-®;5&; }_3'2 ={2_(-1)_3}_{'5_®;5&;_'2} =-6_®É5_;5&;_2 =-6_'§14 =-6'§14 답①004
① '§32="Ã4Û`_2=4'2 ② -3'5=-"Å3Û`_'5=-'§9_5=-'§45 ③ ®Â:£9ª:=¾Ð{;3$;}Û`_'2= 4'23 ④ 4®;2!;=®É4Û`_;2!;='8 ⑤ -'§96=-"Ã4Û`_6=-4'6 답④ 포인트 근호 안으로 수를 넣을 때, 부호는 근호 안으로 들 어갈 수 없다.005
'¶2700="Ã10Û`_3Û`_3=30'3 따라서 '¶2700은 '3의 30배이다. 답②006
'§12_'§15_'§35 ="Ã(2Û`_3)_(3_5)_(5_7) ="Ã(2_3_5)Û`_7 =30'7=a'7 ∴ a=30 답③007
'4_'a_'§10_'§27_'§9a_'¶125 ='Ä4_a_10_27_9a_125 ="Ã2Û`_a_2_5_3Ü`_3Û`_a_5Ü` ="Ã(2_9_25_a)Û`_2_3 =(2_9_25_a)'6=2700'6 450a=2700 ∴ a=6 답6008
'¶108 ='Ä2_2_3_3_3 ='2_'2_'3_'3_'32
근호를 포함한 식의 계산
본문 030~048쪽 단계 채점 요소 배점 가 정사각형 ABCD의 한 변의 길이 구하기 2점 나 점 P의 좌표 구하기 3점 다 점 Q의 좌표 구하기 3점113
① 무한소수 중 순환소수는 유리수이다. ② 0은 유리수이다. ③ 순환소수가 아닌 무한소수를 무리수라고 한다. 답④, ⑤114
① 3-('2+1)=2-'2>0 ∴ 3>'2+1 ② '3-2-1='3-3<0 ∴ '3-2<1 ③ 1+'5-3='5-2>0 ∴ 1+'5>3 ④ '7-6-('5-6)='7-'5>0 ∴ '7-6>'5-6 ⑤ -'§11+3-(3-'§10)=-'§11+'§10<0 ∴ -'§11+3<3-'§10 답⑤115
('§15)Û`=15, 4Û`=16이므로 '§15<4 ∴ a<c b-c=3+'2-4='2-1>0 ∴ b>c ∴ a<c<b 답②116
1<'2<2에서 -2<-'2<-1 ∴ 1<3-'2<2 yy 가 따라서 3-'2에 대응하는 점은 점 D이다. yy 나 답점 D 단계 채점 요소 배점 가 1<3-'2<2 구하기 3점 나 답 구하기 1점117
① '3-0.01<'3 ② '3과 2의 중점의 좌표는 '3+22 =1+'32 이므로 '3<1+ '32 <2 ③ 2-;10!0;=2-0.01=1.99 ④ '3+0.001=1.732+0.001=1.733 ⑤ '32 +1.1=0.866+1.1=1.966 답①2. 근호를 포함한 식의 계산
11
'2=a, '3=b이므로 '¶108 =a_a_b_b_b=aÛ`bÜ` 답③009
'¶1.76=®É;1!0&0^;= 4'§1110 =;5@;k 답④010
(새로운 땅의 넓이)=2_40=80 (mÛ`) 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 xÛ`=80 x>0이므로 x='§80=4'5 (m) 답4'5 m011
밑면인 원의 반지름의 길이를 x cm라 하면 200p=xÛ`_p_4이므로 xÛ`=50 x>0이므로 x='§50=5'2 (cm) 답②012
⑴ '§15 '5=®Â:Á5°:='3 ⑵ -'§30Ö'5=-'§30_ 1'5=- '§30 '5=-®Â:£5¼:=-'6 ⑶ ®Â;2£5;= '3 "Å5Û`= '35 ⑷ -'6Ö'§75=-'6_ 1'§75=-®Â;7¤5;=-®Â;2ª5;=-'25 답⑴ '3 ⑵ -'6 ⑶ '35 ⑷ - '25013
⑴ '§15_'2Ö'3='§30_ 1 '3= '§30'3 ='§10 ⑵ '§18Ö'6_'5='§18_ 1 '6_'5= '§18'6_'5 ='3_'5='§15 ⑶ '§12_'5Ö'3='§12_'5_ 1 '3='§60_ 1'3 = '§60 '3 ='§20=2'5 ⑷ 3 '2Ö '2'5_ 8'§18= '9'2_ '5'2_ '§64'§18= 'Ä9_5_64'Ä2_2_18 ='§40=2'§10 답⑴ '§10 ⑵ '§15 ⑶ 2'5 ⑷ 2'§10014
① 5'§20Ö'5=5'§20_ 1'5=5'4=10 ② - '§15 '3 =-®Â:Á3°:=-'5 ③ '§96Ö'§12='§96_ 1 '¶12='8=2'2 ④ 2'§12Ö4'2=2'§12_ 14'2=;2!;®Â:Á2ª:= '62 ⑤ -'§48Ö{- '62 }=-'§48_{-'6}2 =2®Â:¢6¥:=2'8=4'2 답④015
'§15Ö2'6_'8='§15_ 1 2'6_2'2=®É15_;6!;_2='5 따라서 '5=a'5이므로 a=1 답①016
3'§75Ö3'5Ö'¶301 =15'3_3'51 _'§30 =5¾Ð3_305 =5'§18=15'2 답15'2017
®;3!; _®;8(; Ö{-®;8#; }=®;3!; _®;8(; _{-®;3*; } ®;3!; _®;8(; Ö{-®;8#; }=-®É;3!;_;8(;_;3*; ®;3!; _®;8(; Ö{-®;8#; }=-1 답③ 포인트 제곱근의 나눗셈은 역수의 곱셈으로 바꾸어 계산 할 수 있다.018
aÛ`=1.6, bÛ`=6.4이고 bÖa=®Â;1^0$;Ö®Â;1!0^;= '§64'¶10_ '§10 '¶16=®É;1^6$;='4=2 ∴ aÛ`-bÖa+bÛ`=1.6-2+6.4=6 답⑤019
'§14_'7a _ 2'27 =3이므로 7'2a _2'27 =3 4a =3 ∴ a=;3$; 답;3$;020
'¶0.48=®ÂÂ;1¢0¥0;= 4'310 =2'35 =k'3이므로 k=;5@; 답③021
ㄱ. '¶0.5=®Â;1°0;= '5 '¶10= a'¶10 ㄴ. '¶0.05=®Â;10%0;= '510 =10 =0.1aa ㄷ. '¶500="Ã5_10Û`=10'5=10a ㄹ. '¶5000="Ã5_10Û`_10=10'¶10_'5=10'¶10a 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ이다. 답④022
직사각형의 가로의 길이를 x라 하면 (삼각형의 넓이)=(직사각형의 넓이)이므로 ;2!;_'§32_'§18='8_x x=;2!;_'§32_'§18Ö'8=;2!;®É32_18_;8!; =;2!;'§72=3'2 답3'2023
답⑴ '5, '5 ⑵ '6, - '66 ⑶ '3, '32 ⑷ '3, '3, '3, 2'3312
030
'54 -2'5 + '52 +'5={;4!;-2+;2!;+1}'5 =- '54 답③031
① '§18+3'8=3'2+6'2=(3+6)'2=9'2 ② '§48- 6 '3=4'3-2'3=(4-2)'3=2'3 ③ '8+'§32=2'2+4'2=(2+4)'2=6'2 ④ 4'3-'§12=4'3-2'3=(4-2)'3=2'3 ⑤ '§0.05+ '510 + 5 '5= '510 +'510 +'5 ={;1Á0;+;1Á0;+1}'5= 6'55 답①, ⑤032
'§48-(-'5)Û`+ 9 '3=4'3-5+ 9'33 =7'3-5 답7'3-5033
'§96- 18 '6+'§24=4'6- 18'66 +2'6 =4'6-3'6+2'6=3'6 따라서 3'6=k'6이므로 k=3 답②034
y=x-;[!;='6- 1'6 y='6- '66 =;6%;'6=;6%;x 따라서 y는 x의 ;6%;배이다. 답;6%;배035
3'5+8'2-'5-'§18 =3'5+8'2-'5-3'2 =(8-3)'2+(3-1)'5 =5'2+2'5 5'2+2'5=a'2+b'5이므로 a=5, b=2 ∴ a+b=7 답①036
'3-2='3-'4<0이므로 '§48-(-'5)Û`- 9 '3+"Ã('3-2)Û` =4'3-5-3'3+(2-'3)=-3 답-3037
3'2-4='§18-'§16>0, 4'2-6='§32-'§36<0이므로 "Ã(3'2-4)Û`+"Ã(4'2-6)Û` =(3'2-4)+{-(4'2-6)} =3'2-4-4'2+6 =-'2+2 답⑤024
① '§18="Ã3Û`_2=3'2 ② 6 '2= 6_'2'2_'2= 6'22 =3'2 ③ 3'6 '3= 3'6_'3'3_'3= 3'§183 =3'2 ④ 6'2 '6= 6'2_'6'6_'6= 6'§126 =2'3 ⑤ 18 '¶18= 18_'§18'¶18_'¶18='§18=3'2 답④025
① 2 '7= 2_'7'7_'7= 2'77 ② '7 4'2= '7_'24'2_'2= '§148 ③ '3 '5= '3_'5'5_'5= '§155 ④ - '2 '5=- '2_'5'5_'5=- '§105 ⑤ - 4'2 '3=- 4'2_'3'3_'3=- 4'63 답②026
5 '¶18= 53'2= 5'26 =a'2이므로 a=;6%; 1 2'3= '36 =b'3이므로 b=;6!; ∴ a+b=;6%;+;6!;=1 답③027
3'a2'6= 3'a_'62'6_'6= 3'§6a12 ='§6a4
'§6a4 ='§152 , '§6a=2'§15='§60 6a=60 ∴ a=10 답10
028
⑴ 2'3+3'3=(2+3)'3=5'3 ⑵ 5'2-5'8=5'2-10'2=(5-10)'2=-5'2 ⑶ '§50+3'8-3'§32 =5'2+6'2-12'2 =(5+6-12)'2=-'2 ⑷ '3-5'6-'§12+3'§24 ='3-5'6-2'3+6'6 =(1-2)'3+(6-5)'6 =-'3+'6 답⑴ 5'3 ⑵ -5'2 ⑶ -'2 ⑷ -'3+'6029
⑴ ('6+1)-(3'6-4) ='6+1-3'6+4 =5-2'6 ='§25-'§24>0 ∴ '6+1>3'6-4 ⑵ (2-'2)-(3'2-3) =2-'2-3'2+3 =5-4'2 ='§25-'§32<0 ∴ 2-'2<3'2-3 답⑴ '6+1>3'6-4 ⑵ 2-'2<3'2-32. 근호를 포함한 식의 계산
13
038
① 3-('3+2)=1-'3<0 ∴ 3<'3+2 ② (3'2+2)-(4'2+1)=1-'2<0 ∴ 3'2+2<4'2+1 ③ 3'3-(8-2'3)=5'3-8='§75-'§64>0 ∴ 3'3>8-2'3 ④ (-3+'5)-('7-3)='5-'7<0 ∴ -3+'5<'7-3 ⑤ '§54-(2'6+1)=3'6-2'6-1='6-1>0 ∴ '§54>2'6+1 답③ 포인트 실수의 대소 관계 두 실수 a, b의 대소를 비교하려면 a-b의 부호를 조사한다. ⑴ a-b>0이면 a>b ⑵ a-b=0이면 a=b ⑶ a-b<0이면 a<b039
① ('7-3)-(-2'2+'7)=-3+2'2=-'9+'8<0 ② ('7-3)+(-2'2+'7)+3 =2'7-2'2 ='§28-'8>0 ③ ('7-3)+1='7-2='7-'4>0 ④ (-2'2+'7)+'8-3='7-3='7-'9<0 ⑤ (-2'2+'7)-('7-3)-1=2-2'2='4-'8<0 답⑤040
a®;aB;+b¾Ð 9ab =¾ÐaÛ`ba +¾Ð9abÛ`b ='§ab+'§9ab ='§ab+3'§ab=4'§ab =4'4=8 답8041
P(2+'2), Q(2-'2)이므로 PQÓ=(2+'2)-(2-'2)=2'2 답②042
⑴ '5('2+'5)='5_'2+'5_'5='§10+5 ⑵ '3('6-'§15)='3_'6-'3_'§15=3'2-3'5 ⑶ ('8+'§12)Ö'2= '8'2+ '§12 '2 =2+'6 ⑷ ('§24-'9)Ö'6= '§24'6- '9 '6=2-®;2#; =2- '62 답⑴ '§10+5 ⑵ 3'2-3'5 ⑶ 2+'6 ⑷ 2- '62043
⑴ '2('6+1)-'3(2+'2) ='§12+'2-2'3-'6 =2'3+'2-2'3-'6 ='2-'6 ⑵ ('8-'7)'§14+ 14'2 =(2'2-'7)'§14+7'2 =4'7-7'2+7'2 =4'7 ⑶ '5('§10-'§12)-'6('§27-3'§10) ='§50-'§60-'§162+3'§60 =5'2-2'§15-9'2+6'§15 =-4'2+4'§15 답⑴ '2-'6 ⑵ 4'7 ⑶ -4'2+4'§15044
2('8-'§20)-'5('§10+2) =2(2'2-2'5)-'5('§10+2) =4'2-4'5-'§50-2'5 =4'2-4'5-5'2-2'5 =(4-5)'2-(4+2)'5 =-'2-6'5 답④045
(주어진 식) ='§32-2'§24-'2-2'2_'3 ="Ã4Û`_2-2"Ã2Û`_6-'2-2'6 =4'2-4'6-'2-2'6 =3'2-6'6=a'2+b'6 따라서 a, b가 유리수이므로 a=3, b=-6 ∴ a+b=3+(-6)=-3 답②046
'2A+'3B ='2('2+5'3)+'3(3'2-'3) =2+5'6+3'6-3 =8'6-1 답8'6-1047
'2_'k-3'2='k-3에서 ('2-1)'k=3('2-1) 따라서 'k=3이므로 k=9 답9048
'3(3'5-a)-b('§15-'3) =3'§15-a'3-b'§15+b'3 =(-a+b)'3+(3-b)'§15=2'3-'§15 -a+b=2, 3-b=-1이므로 b=4, a=2 ∴ a+b=2+4=6 답6049
'2(4'2-5)-a(2-'2) =8-5'2-2a+a'2 =(8-2a)+(-5+a)'2 따라서 -5+a=0이므로 a=5 답④050
'§50{'6- 3 '2}- 5'2('6-'§18) =5'2{'6- 3'2}- 5 '2('6-3'2) =10'3-15-5'3+15=5'3 따라서 5'3=k'3이므로 k=5 답⑤14
051
'6Ö '§483 -'62 { 1 2'2+ 1'3} ='6_ 3 "Ã4Û`_3- '64'2- '62'3 = 3'6 4'3- '6_'24'2_'2- '6_'32'3_'3 = 3'6_'3 4'3_'3- '§128 -'§186 = 3'§1812 -"Ã2Û`_38 - "Ã3Û`_26 = 3"Ã3Û`_212 - 2'38 -3'26 = 9'212 -'34 -'22 = 3'24 -'34 -'22 = '24 -'34 a'2+b'3= '24 -'34 이므로 a=;4!;, b=-;4!; ∴ a-b=;4!;-{-;4!;}=;4!;+;4!;=;2!; 답⑤ 포인트 근호를 포함한 복잡한 식의 계산 ⑴ 괄호가 있는 경우: 분배법칙을 이용하여 괄호를 푼다. ⑵ "aÛ`b`(a>0, b>0) 꼴이 있는 경우: a'b 꼴로 고친다. ⑶ 분모에 무리수가 있는 경우: 분모를 유리화한다. ⑷ 덧셈, 뺄셈, 곱셈, 나눗셈이 섞여 있는 경우: 곱셈, 나 눗셈을 먼저 계산한다.052
a-2b=3'2+ 7'32 -2{'2+'32 } =3'2+ 7'32 -2'2-'3 ='2+ 5'32 ∴ '3(a-2b)-2'2b ∴ ='3{'2+ 5'32 }-2'2{'2+'32 } ∴ ='6+:Á2°:-4-'6 ∴ =;2&; 답;2&;053
(밑넓이)=('2+'3)_'3='6+3 (옆넓이) =('2+'3+'3)_2_'8 =('2+2'3)_4'2 =8+8'6 ∴ (겉넓이) =('6+3)_2+8+8'6 =2'6+6+8+8'6 =14+10'6 답14+10'6054
6-2'3 '3 의 분모를 유리화하면 (6-2'3)_'3 '3_'3 = 6'3-63 =2'3-2 a, b가 유리수이므로 a=-2, b=2이다. ∴ a-b=-2-2=-4 답⑤055
3'2-'3 '2 + '§18+2'3'3 = (3'2-'3)'2 '2_'2 + ('§18+2'3)'3'3_'3 = 3'2_'2-'3_'22 + '§18_'3+2'3_'33 = 6-'62 +3'6+63 =3- '62 +'6+2 =5+ '62 답⑤056
제곱근표를 이용하여 처음 두 자리 수의 가로줄과 끝자리 수의 세로줄이 만나는 곳에 있는 수를 읽는다. ⑴ '¶3.75=1.936 ⑵ '¶3.61=1.900 ⑶ '¶3.8='¶3.80=1.949 ⑷ '¶371 ='¶100_3.71=10_'¶3.71 =10_1.926=19.26 답⑴ 1.936 ⑵ 1.900 ⑶ 1.949 ⑷ 19.26057
'¶0.202=¾Ð 20.2100 ='¶20.210 =4.49410 =0.4494 '¶0.233=¾Ð 23.3100 ='¶23.310 =4.82710 =0.4827 ∴ '¶0.202+'¶0.233=0.4494+0.4827=0.9321 답0.9321 포인트 제곱근표를 이용하여 제곱근의 값 구하기 ⑴ 근호 안의 수가 100보다 큰 수인 경우 근호 안의 수 를 10Û`, 10Ý`, 10ß`, y과의 곱으로 나타낸 후 "aÛ`b=a'b (a>0, b>0)임을 이용하여 값을 구한다. ⑵ 근호 안의 수가 1보다 작은 수인 경우 근호 안의 수 를 1 10Û`, 110Ý`, 110ß`, y과의 곱으로 나타낸 후 ® baÛ`= 'ba (a>0, b>0)임을 이용하여 값을 구한다.058
10'a=20.54에서 'a=2.054 ∴ a=4.22 100'b=210.7에서 'b=2.107 ∴ b=4.44 ∴ a+b=4.22+4.44=8.66 답8.662. 근호를 포함한 식의 계산
15
059
3'2 '5= 3'§105 =3.162_0.6=1.8972 답⑤060
'¶245='¶2.45_100=10'¶2.45=10_1.565=15.65 답④061
⑴ 2<'5<3이므로 정수 부분은 2, 소수 부분은 '5-2이 다. ⑵ 3<'§14<4이므로 정수 부분은 3, 소수 부분은 '§14-3 이다. ⑶ 3<2'3='§12<4이므로 정수 부분은 3, 소수 부분은 2'3-3이다. ⑷ 3<'§13<4에서 1<'§13-2<2이므로 정수 부분은 1, 소수 부분은 '§13-2-1='§13-3이다. 답⑴ 2, '5-2 ⑵ 3, '§14-3 ⑶ 3, 2'3-3 ⑷ 1, '§13-3062
3'§10='§90이고, 9<'§90<10이므로 정수 부분은 9, 소수 부분은 3'§10-9이다. 따라서 a=9, b=3'§10-9이므로 a-b=9-(3'§10-9)=18-3'§10 답18-3'§10063
2<'5<3이므로 3<'5+1<4 따라서 '5+1의 정수 부분은 3, 소수 부분은 '5+1-3='5-2이다. ∴ a=3, b='5-2 ∴ ab=3('5-2)=3'5-6 답②064
3<'§10<4에서 2<'§10-1<3이므로 a=2 1<'2<2에서 6<5+'2<7이므로 b=6 ∴ 2a-b=4-6=-2 답-2065
4<3'2='§18<5이므로 a=3'2-4 1<'2<2에서 4<3+'2<5이므로 b=3+'2-4='2-1 주어진 식에 a, b를 대입하면 "Ã(1-a)Û`-"Ã(b-1)Û` ="Ã{1-(3'2-4)}Û`-"Ã{('2-1)-1}Û` ="Ã(1-3'2+4)Û`-"Ã('2-1-1)Û` ="Ã(5-3'2)Û`-"Ã('2-2)Û` =5-3'2+('2-2) (∵ '2-2<0) =3-2'2 답①066
a='¶0.9_'¶0.1='¶0.09=0.3 yy 가 -b'c=3'5_(-9'2)=-27'§10 ∴ b=27, c=10 yy 나 ∴ abc=0.3_27_10=81 yy 다 답81 단계 채점 요소 배점 가 a=0.3 구하기 1점 나 b=27, c=10 구하기 2점 다 답 구하기 1점067
'§24-'§75 =2'6-5'3 yy 가 =2'¶2_3-5'3 =2('2_'3)-5'3 yy 나 =2ab-5b yy 다 답2ab-5b 단계 채점 요소 배점 가 '§24-'§75=2'6-5'3으로 나타내기 2점 나 2'6=2('2_'3)으로 나타내기 2점 다 답 구하기 2점068
'§18 2'2Ö '3'5Ö '§15'8 = 3'22'2_ '5'3_ 2'2'¶15 yy 가 = 3'§10 '¶45 = 3'§103'5 = '§505 =5'25 ='2 yy 나 답'2 단계 채점 요소 배점 가 Ö를 _로 바꾸기 2점 나 답 구하기 2점069
®Â;12#1;= '311, '¶0.48=®Â;1¢0¥0;= 4'310 =2'35 yy 가 ;1Á1;<;5!;<;5@;이므로 '311 <'35 <2'35 ∴ ®Â;12#1;< '35 <'¶0.48 yy 나 답®Â;12#1;< '35 <'¶0.48 단계 채점 요소 배점 가 ®Â;12#1= '3 11, '§0.48= 2'35 으로 나타내기 2점 나 답 구하기 2점070
'3-2='3-'4<0, 2'3-4='§12-'§16<0이므로 yy 가 "Ã('3-2)Û` -"Ã(2'3-4)Û` =-('3-2)-{-(2'3-4)} yy 나 =-'3+2+2'3-4 ='3-2 yy 다 답'3-216
단계 채점 요소 배점 가 '3-2<0, 2'3-4<0 구하기 2점 나 주어진 식의 근호 없애기 2점 다 답 구하기 2점071
(2'3+'2)-4'2 =2'3-3'2 ='§12-'§18<0 yy 가 ∴ PQÓ =|(2'3+'2)-4'2| =3'2-2'3 yy 나 답3'2-2'3 단계 채점 요소 배점 가 (2'3+'2)-4'2<0 구하기 3점 나 답 구하기 3점072
연산 장치에 '2를 입력하면 출력되는 값은 2'2('2)Û`-'2=4'2-'2=3'2 yy 가 3'2를 다시 이 연산 장치에 입력하면 출력되는 값은 2'2(3'2)Û`-'2 =2'2_18-'2 =36'2-'2 =35'2 yy 나 답35'2 단계 채점 요소 배점 가 '2를 입력했을 때의 값 구하기 3점 나 답 구하기 3점073
'§45-'§48- '§10 '2+ 3'3 =3'5-4'3-'5+'3 =-3'3+2'5 ∴ a=-3, b=2 yy 가 a+'b=-3+'2이고 1<'2<2이므로 -2<-3+'2<-1 yy 나 b+'¶-2a=2+'6이고 2<'6<3이므로 4<2+'6<5 yy 다 따라서 두 수 사이의 정수는 -1, 0, 1, 2, 3, 4이므로 그 합은 9이다. yy 라 답9 단계 채점 요소 배점 가 a=-3, b=2 구하기 2점 나 -2<-3+'2<-1 구하기 2점 다 4<2+'6<5 구하기 2점 라 답 구하기 2점 포인트 분모의 유리화 ⑴ a 'b= a_'b'b_'b= a'bb (단, b>0) ⑵ 'a'b= 'a_'b'b_'b= '§abb (단, a>0, b>0)
074
'§54-(-'3)Û`-'2{2'§48- '§502 } =3'6-3-'2{8'3- 5'22 } yy 가 =3'6-3-8'6+5 yy 나 =2-5'6 yy 다 답2-5'6 단계 채점 요소 배점 가 근호가 있는 식을 변형하기 2점 나 분배법칙을 이용하여 괄호 풀기 2점 다 답 구하기 2점075
⑴ A=('8+'8+'3)_2'3_;2!; yy 가 =(2'8+'3)_'3 =2'§24+3 =4'6+3 yy 나 ⑵ B=(6'2-2'3)_'3_;2!; yy 다 =(6'6-6)_;2!; =3'6-3 yy 라 ⑶ A+B=4'6+3+3'6-3=7'6 yy 마 답⑴ 4'6+3 ⑵ 3'6-3 ⑶ 7'6 단계 채점 요소 배점 가 식 세우기 1점 나 A 구하기 2점 다 식 세우기 1점 라 B 구하기 2점 마 A+B의 값 구하기 2점076
1 '2+ 1'5= '22 +'55 =1.4142 +2.2365 =0.707+0.4472=1.1542 yy 가 따라서 소수 넷째 자리에서 반올림하면 1.154이다. yy 나 답1.154 단계 채점 요소 배점 가 '21 + 1'5=1.1542 구하기 4점 나 답 구하기 2점077
3<'§10<4에서 5<2+'§10<6이므로 정수 부분은 5, 소수 부분은 '§10-3이다. yy 가 따라서 a=5, b='§10-3이므로 aÛ`+4b =5Û`+4('§10-3) =13+4'§10 yy 나 답13+4'§10 단계 채점 요소 배점 가 정수 부분과 소수 부분 구하기 4점 나 답 구하기 2점2. 근호를 포함한 식의 계산
17
078
① '§18="Ã3Û`_2=3'2 ∴ 3+2=5 ② '§24="Ã2Û`_6=2'6 ∴ 2+6=8 ③ '§54="Ã3Û`_6=3'6 ∴ 3+6=9 ④ '§72="Ã6Û`_2=6'2 ∴ 6+2=8 ⑤ '§75="Ã5Û`_3=5'3 ∴ 5+3=8 답③079
'¶0.6+'¶600 ='ħ60_0.01+'Ä6_100 ='§60_0.1+'6_10 =0.1b+10a =10a+0.1b 답①080
'¶0.4=®Â;1¢0¼0;= "Ã2Û`_1010 = 2'§1010 ='§105 =a'§10 'Ä0.0032=®Â;10£0ª00;=¾Ð 4Û`_2 100Û`= 4'2100 =;2Á5;'2=b'2 따라서 a=;5!;, b=;2Á5;이므로 aÖb=a_;b!;=;5!;_25=5 답5081
x : 2='¶400 : 3'5에서 3'5x=2'¶400=2"20Û`=2_20=40 ∴ x= 40 3'5= 40_'53_5 =8'53 답⑤082
3(a-'2)-'2+2a'2+3 =3a-3'2-'2+2a'2+3 =3a+3+(2a-4)'2 주어진 식이 유리수이므로 2a-4=0 ∴ a=2 답2083
A(-2+'2), B(1-'2), C(2-'2)이므로 세 점 A, B, C의 좌표의 값의 합은 -2+'2+1-'2+2-'2=1-'2 답①084
'6+2'3 '2 - '6+a'2'3 = 3'2-2'3'6 에서 '6+2'3 '2 - 3'2-2'3'6 = '6+a'2'3 이므로 '§12+2'62 - 3'§12-2'§186 = '§18+a'63 2'3+2'62 - 6'3-6'26 = 3'2+a'63 '3+'6-'3+'2='2+;3A;'6 '2+'6='2+;3A;'6 따라서 ;3A;=1이므로 a=3 답⑤085
'§24{ 1 '3-'6}- a'2('§32-2) =2'6_ 1'3-2'6_'6- a'2_4'2+ a'2_2 =2'2-12-4a+'2a =(2+a)'2-12-4a 주어진 식이 유리수가 되려면 2+a=0 ∴ a=-2 답-2086
ㄱ. '¶628='Ä3.14_200=10'2a ㄴ. '¶0.314='Ä31.4_0.01=0.1b ㄷ. '¶31400='Ä3.14_10000=100a ㄹ. '¶3140='Ä31.4_100=10b ㅁ. '¶0.0314='Ä3.14_0.01=0.1a 따라서 옳은 것은 ㄴ, ㄷ, ㄹ이다. 답ㄴ, ㄷ, ㄹ087
3-'§10<0이므로 a+b+"Ã(3-'§10)Û` ='¶3.6+'¶4.9-(3-'§10) =®Â;1#0^;+®Â;1$0(;-3+'§10 = 6 '¶10+ 7'¶10-3+'§10 = 13'§1010 -3+1010'§10 = 23'§1010 -3 = 23('2_'5)10 -3 = 23_1.4_2.210 -3 =7.084-3 =4.084 따라서 소수 둘째 자리에서 반올림하면 4.1이다. 답④ 포인트 "aÛ` 의 성질 ⑴ a>0이면 "aÛ`=a ⑵ a<0이면 "aÛ`=-a088
f(a)=5는 'a의 정수 부분이 5가 되는 자연수 a를 말한다. 즉, 5É'a<6에서 각 변을 제곱하면 25Éa<36 따라서 a는 25 이상 36 미만의 자연수이므로 a의 개수는 36-25=11 답11089
'Ä32+x =4'3_'8 ="Ã4Û`_3_8='¶384 32+x=384 ∴ x=384-32=352 답35218
090
(직육면체의 부피) =abc =('9'§10)_('2'3)_('5'6) ="Ã(3Û`_2_5)_(2_3)_(5_2_3) =(2_9_5)_'2 =90'2 답④091
xÛ`=18, yÛ`=8이고 x>0, y>0이므로 x=3'2, y=2'2 ∴ ;[};+;]{;= xÛ`+yÛ`xy = 18+8 3'2_2'2=;1@2^;=:Á6£: 답:Á6£:092
ABCD의 한 변의 길이는 '5이므로 BPÓ=ABÓ='5 점 P에 대응하는 수는 p=-2-'5 yy 가 CEFG의 한 변의 길이는 '2이므로 EQÓ=EFÓ='2 점 Q에 대응하는 수는 q=1+'2 yy 나 ∴ (p+2)(q-1) =(-2-'5+2)(1+'2-1) =(-'5)_'2=-'¶10 yy 다 답-'¶10 단계 채점 요소 배점 가 p=-2-'5 구하기 2점 나 q=1+'2 구하기 2점 다 답 구하기 2점093
'Ä0.0324=®É;10#0@0$0;= '§324100 =;1Á0¥0;=;5»0; 답⑤094
⑤ b 'a= "ÅbÛ`'a=¾Ð bÛ`a 답⑤095
네 정사각형 A, B, C, D의 넓이를 각각 A, B, C, D라 하면 B=;3!;A, C=;3!;B, D=;3!;C이므로 D=;2Á7;A이다. yy 가 D의 넓이가 ;2¢7; cmÛ`이므로 D의 한 변의 길이는 ®Â;2¢7;= 2 '¶27= 23'3= 2'39 (cm) yy 나 답 2'3 9 `cm 단계 채점 요소 배점 가 A, B, C, D 사이의 관계 구하기 2점 나 답 구하기 2점096
주어진 식에 x=-'3을 대입하면 (-'3)Û`+(-'3)+2 =3-'3+2 =5-'3 답①097
'a2 -'a3 ='2의 양변에 6을 곱하면 3'a-2'a=6'2, 'a=6'2 'a="Ã6Û`_2='§72 ∴ a=72 답④098
A-B =('3+'2)-(3'2-'3) =-2'2+2'3=-'8+'§12>0 ∴ A>B yy 가 B-C=(3'2-'3)-2'2='2-'3<0 ∴ B<C yy 나 A-C=('3+'2)-2'2='3-'2>0 ∴ A>C yy 다 ∴ B<C<A yy 라 답B<C<A 단계 채점 요소 배점 가 A>B 구하기 1점 나 B<C 구하기 1점 다 A>C 구하기 1점 라 답 구하기 3점099
x+2x-2 =(2+'2)+2 (2+'2)-2= 4+'2'2 = (4+'2)_'2 '2_'2 = 4'2+22 =2'2+1 답2'2+1100
'5a+'2b='5(4'5-'2)+'2(-2'5+3'2) '5a+'2b=20-'§10-2'§10+6 '5a+'2b=26-3'§10 답26-3'§10101
'§75-2'§10 3'5 = '§75_'5-2'§10_'53'5_'5 = '§375-2'§503_5 = 5'§15-2"Ã5Û`_215 = 5'§15-10'215 = '§15-2'23 답② 포인트 분배법칙을 이용한 분모의 유리화 a, b, c가 유리수일 때 b+'c'a = (b+'c)'a'a_'a = b'a+'c'aa (단, a>0, c>0)
102
2'3(1-'3)+ 3+'§12'3 =2'3-6+ 3'3+63 =2'3-6+'3+2 =-4+3'3 a, b가 유리수이므로 a=-4, b=3 ∴ a+b=-4+3=-1 답-13. 다항식의 곱셈
19
103
'6=2.449, '§60=7.746이므로 ① '¶600='Ä6_100=10'6=10_2.449=24.49 ② '¶0.6=®É;1¤0¼0;= '§6010 =7.74610 =0.7746 ③ '¶6000='Ä60_100=10'§60=10_7.746=77.46 ④ '¶0.06=®É;10^0;= '610 =2.44910 =0.2449 ⑤ '¶0.006=®É;10¤0¼00;= '§60100 =7.746100 =0.07746 답③104
0.03464=3.464_;10!0; ='§12_;10!0; yy 가 =®É12_;100!00;='Ä0.0012 ∴ a=0.0012 yy 나 답0.0012 단계 채점 요소 배점 가 0.03464='§12_;10!0; 구하기 2점 나 답 구하기 2점105
(삼각형의 넓이)=;2!;_80_35=1400(mÛ`) 정사각형의 한 변의 길이를 x m라 하면 xÛ`=1400 ∴ x='¶1400=10'§14=10_3.7417=37.417(m) 답③106
⑴ '¶125- 3'5-5 '5 =5'5- (3'5-5)'55 =5'5- 15-5'55 =5'5-(3-'5)=6'5-3 ='¶180-3 yy 가 13<'¶180<14에서 10<'¶180-3<11이므로 정수 부분은 10이다. yy 나 ⑵ ⑴에서 주어진 식의 정수 부분이 10이므로 소수 부분은 6'5-3-10=6'5-13이다. yy 다 답⑴ 10 ⑵ 6'5-13 단계 채점 요소 배점 가 (주어진 식)='§180-3 구하기 3점 나 정수 부분 구하기 3점 다 소수 부분 구하기 2점001
⑴ (x+3)(y+2) =x_y+x_2+3_y+3_2 =xy+2x+3y+6 ⑵ (x+5)(2y-3) =x_2y+x_(-3)+5_2y+5_(-3) =2xy-3x+10y-15 ⑶ (a-b)(c-d) =a_c+a_(-d)+(-b)_c+(-b)_(-d) =ac-ad-bc+bd ⑷ (a+2b)(3c-5d) =a_3c+a_(-5d)+2b_3c+2b_(-5d) =3ac-5ad+6bc-10bd 답⑴ xy+2x+3y+6 ⑵ 2xy-3x+10y-15 ⑶ ac-ad-bc+bd ⑷ 3ac-5ad+6bc-10bd002
(-2x+3y)(4x-2y)=-8xÛ`+16xy-6yÛ` 따라서 a=-8, b=16, c=-6이므로 a+b-c=(-8)+16-(-6)=14 답③003
(Ax-2y)(3x+By) =3AxÛ`+(AB-6)xy-2ByÛ` =27xÛ`+Cxy-10yÛ` 3A=27에서 A=9 -2B=-10에서 B=5 AB-6=C에서 45-6=C ∴ C=39 ∴ A+B+C=9+5+39=53 답53004
(x-2y+5)(x+3y) =xÛ`+3xy-2xy-6yÛ`+5x+15y =xÛ`+xy+5x-6yÛ`+15y 따라서 A=5, B=1, C=15이므로 A+B+C=5+1+15=21 답21005
(2x+3y+a)(x-by+5)에서 xy항만을 정리해 보면 -2bxy+3xy=(-2b+3)xy 따라서 -2b+3=-1이므로 b=2 답⑤ 포인트 (다항식)_(다항식)에서 특정한 항의 계수를 구할 때는 필요한 항이 나오는 부분만 전개를 해서 계수를 구한다.006
⑴ (a+2)Û`=aÛ`+2_a_2+2Û`=aÛ`+4a+4 ⑵ (x+2y)Û`=xÛ`+2_x_2y+(2y)Û`=xÛ`+4xy+4yÛ` ⑶ (2a+3b)Û` =(2a)Û`+2_2a_3b+(3b)Û` =4aÛ`+12ab+9bÛ` ⑷ (x-7)Û`=xÛ`-2_x_7+7Û`=xÛ`-14x+493
다항식의 곱셈
본문 050~068쪽20
⑸ (-2a+1)Û` ={(-2a)+1}Û` =(-2a)Û`+2_(-2a)_1+1Û` =4aÛ`-4a+1 ⑹ (a-3b)Û`=aÛ`-2_a_3b+(3b)Û`=aÛ`-6ab+9bÛ` 답⑴ aÛ`+4a+4 ⑵ xÛ`+4xy+4yÛ` ⑶ 4aÛ`+12ab+9bÛ` ⑷ xÛ`-14x+49 ⑸ 4aÛ`-4a+1 ⑹ aÛ`-6ab+9bÛ`007
(3x-2y)Û` =(3x)Û`-2_3x_2y+(2y)Û` =9xÛ`-12xy+4yÛ` 답①008
{;2!;x+2}Û`={;2!;x}Û`+2_;2!;x_2+2Û`=;4!;xÛ`+2x+4 ∴ =2 답④009
(2x-5)Û` =(2x)Û`-2_2x_5+5Û` =4xÛ`-20x+25=axÛ`+bx+c 따라서 a=4, b=-20, c=25이므로 a+b+c=4+(-20)+25=9 답9010
(x-y)Û`=xÛ`-2xy+yÛ` ① (y-x)Û`=yÛ`-2yx+xÛ`=xÛ`-2xy+yÛ` ② (x+y)Û`=xÛ`+2xy+yÛ` ③ (-x-y)Û` ={(-x)+(-y)}Û` =(-x)Û`+2_(-x)_(-y)+(-y)Û` =xÛ`+2xy+yÛ` ④ -(x+y)Û`=-(xÛ`+2xy+yÛ`)=-xÛ`-2xy-yÛ` ⑤ (-x+y)Û` =(-x)Û`+2_(-x)_y+yÛ` =xÛ`-2xy+yÛ` 답①, ⑤011
(x+y)Û`+(x-y)Û` =xÛ`+2xy+yÛ`+xÛ`-2xy+yÛ` =2xÛ`+2yÛ` =2(xÛ`+yÛ`) 답④012
첫 번째 안의 수를 A, 두 번째 안의 수를 B라 하면 (x-A)Û`=xÛ`-2Ax+AÛ`=xÛ`-8x+B -2A=-8, AÛ`=B이므로 A=4, B=16 따라서 안의 수는 차례로 4, 16이다. 답4, 16013
(a-b)(a-b) =(a-b)Û` =aÛ`-2ab+bÛ` 답②014
⑴ (x+5)(x-5)=xÛ`-5Û`=xÛ`-25 ⑵ (3a+2)(3a-2)=(3a)Û`-2Û`=9aÛ`-4 ⑶ (-2x+y)(2x+y) =(y-2x)(y+2x) =yÛ`-(2x)Û`=yÛ`-4xÛ` ⑷ (4a-3b)(-4a-3b) =(-3b+4a)(-3b-4a) =(-3b)Û`-(4a)Û`=9bÛ`-16aÛ` 답⑴ xÛ`-25 ⑵ 9aÛ`-4 ⑶ yÛ`-4xÛ` ⑷ 9bÛ`-16aÛ`015
{;4!;x+y}{-;4!;x+y}={y+;4!;x}{y-;4!;x} =yÛ`-{;4!;x}Û`=yÛ`-;1Á6;xÛ` 답④016
(x+y)(x-y)=xÛ`-yÛ` ① (x+y)(y-x) =(x+y){-(x-y)} =-(x+y)(x-y)=-xÛ`+yÛ` ② (x+y)(-x-y) =(x+y){-(x+y)}=-(x+y)Û` =-xÛ`-2xy-yÛ` ③ (-x+y)(-x-y) =-(x-y){-(x+y)} =(x-y)(x+y)=xÛ`-yÛ` ④ (-x+y)(x+y) ={-(x-y)}(x+y) =-(x-y)(x+y) =-xÛ`+yÛ` ⑤ (x-y)(-x-y) =(x-y){-(x+y)} =-(x-y)(x+y)=-xÛ`+yÛ` 답③017
주어진 그림에서 바뀐 직사각형 모양의 화단에서 (가로의 길이)=a-b, (세로의 길이)=a+b ∴ (화단의 넓이)=(a-b)(a+b)=aÛ`-bÛ` 답②018
(x+3y)(x-3y)-(3x-2y)(3x+2y) ={xÛ`-(3y)Û`}-{(3x)Û`-(2y)Û`} =(xÛ`-9yÛ`)-(9xÛ`-4yÛ`) =xÛ`-9yÛ`-9xÛ`+4yÛ` =-8xÛ`-5yÛ` 답-8xÛ`-5yÛ`019
(6x+A)(6x-A)=36xÛ`-AÛ`=BxÛ`-16에서 B=36 AÛ`=16 ∴ A=4(∵ A>0) ∴ A+B=4+36=40 답④020
(a+2)(a-2)(aÛ`+4)=(aÛ`-4)(aÛ`+4)=aÝ`-16 답aÝ`-16021
양변에 (2-1)을 곱하면 (2-1)(2+1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1) =(2-1)_(2-1) (2Û`-1)(2Û`+1)(2Ý`+1)(2¡`+1)=2-1 (2Ý`-1)(2Ý`+1)(2¡`+1)=2-1 (2¡`-1)(2¡`+1)=2Ú`ß`-1=2-1 ∴ =16 답③ 포인트 (a-b)(a+b)(aÛ`+bÛ`) =(aÛ`-bÛ`)(aÛ`+bÛ`)=aÝ`-bÝ`3
다항식의 곱셈
3. 다항식의 곱셈
21
022
⑴ (x+3)(x+4) =xÛ`+(3+4)x+3_4 =xÛ`+7x+12 ⑵ (a+2)(a-5) =aÛ`+{2+(-5)}a+2_(-5) =aÛ`-3a-10 ⑶ (3x+1)(2x+5) =(3_2)xÛ`+(3_5+1_2)x+1_5 =6xÛ`+17x+5 ⑷ (5x-y)(2x-3y) = (5_2)xÛ`+{5_(-3y)+(-y)_2}x +(-y)_(-3y) =10xÛ`-17xy+3yÛ` 답⑴ xÛ`+7x+12 ⑵ aÛ`-3a-10 ⑶ 6xÛ`+17x+5 ⑷ 10xÛ`-17xy+3yÛ`023
(x+7)(x+8) =xÛ`+(7+8)x+7_8=xÛ`+15x+56 따라서 안에 알맞은 수는 차례로 15, 56이다. 답15, 56024
(2x-1)(x+3) =2xÛ`+(6-1)x-3 =2xÛ`+5x-3 답②025
(x-5)(x+9)=xÛ`+4x-45 (5x-6)(2x+7)=10xÛ`+23x-42 따라서 x의 계수의 합은 4+23=27 답27026
(5x-2)(-x+7) =5_(-1)xÛ`+{5_7+(-2)_(-1)}x+(-2)_7 =-5xÛ`+37x-14 즉, -5xÛ`+37x-14=axÛ`+bx+c이므로 a=-5, b=37, c=-14 ∴ a+b+c=-5+37-14=18 답①027
(x-5)(x+A)=xÛ`+(A-5)x-5A=xÛ`+Bx-20에서 A-5=B, -5A=-20 ∴ A=4, B=-1 ∴ A+B=4+(-1)=3 답3028
① (x+5)Û`=xÛ`+2_x_5+5Û`=xÛ`+10x+25 ② (2x-3y)Û` =(2x)Û`-2_2x_3y+(3y)Û` =4xÛ`-12xy+9yÛ` ③ (-x+1)(-x-1)=(-x)Û`-1Û`=xÛ`-1 ④ (x-2)(x+3) =xÛ`+(-2+3)x+(-2)_3 =xÛ`+x-6 ⑤ (2x+1)(3x-1) =(2_3)xÛ`+(-2+3)x+1_(-1) =6xÛ`+x-1 답④029
(가로의 길이)=3x+2, (세로의 길이)=2x-1 ∴ (넓이) =(3x+2)(2x-1) =6xÛ`+x-2 답④030
(직육면체의 겉넓이) = 2{(3x+1)(2x-3)+(2x-3)(2x+3) +(3x+1)(2x+3)} =2(6xÛ`-7x-3+4xÛ`-9+6xÛ`+11x+3)`` =2(16xÛ`+4x-9) =32xÛ`+8x-18 답32xÛ`+8x-18031
(4x+a)(5x+3) =20xÛ`+12x+5ax+3a =20xÛ`+(12+5a)x+3a =20xÛ`-3x+b 각 항의 계수와 상수항을 비교하면 12+5a=-3 ∴ a=-3 3a=b ∴ b=-9 ∴ a+b=-3+(-9)=-12 답①032
(2x-y)(x+Ay) =2xÛ`+(2A-1)xy-AyÛ` =2xÛ`+Bxy-5yÛ` 각 항의 계수와 상수항을 비교하면 -A=-5 ∴ A=5 2A-1=B ∴ B=9 ∴ A+B=5+9=14 답⑤033
(2x+a)(bx-4) =2bxÛ`-8x+abx-4a =2bxÛ`+(-8+ab)x-4a 즉, 2bxÛ`+(-8+ab)x-4a=-2xÛ`+cx+12이므로 2b=-2, -8+ab=c, -4a=12에서 a=-3, b=-1, c=-5 ∴ a+b+c=(-3)+(-1)+(-5)=-9 답①034
주어진 그림에서 길을 제외한 화단 3a`m 1`m 1`m 2a`m 을 붙이면 오른쪽 그림과 같으므로 이때의 화단은 가로의 길이는 (3a-1) m, 세로의 길이는 (2a-1) m이다. 따라서 길을 제외한 화단의 넓이는 (3a-1)(2a-1)=6aÛ`-5a+1 (mÛ`) 답(6aÛ`-5a+1) mÛ` 포인트 일정한 간격만큼 떨어져 있는 도형의 넓이를 구할 때는 떨어져 있는 도형을 이동하여 붙여서 생각한다.22
042
2'6 '3-1+ 3'2'6-3= 2'6('3+1)('3-1)('3+1)+ 3'2('6+3)('6-3)('6+3) = 2'6('3+1)2 - 3'2('6+3)3 ='6('3+1)-'2('6+3) =3'2+'6-2'3-3'2 ='6-2'3 답①043
색칠한 직사각형의 넓이는 (6+'3)(5-'2)=6_5+6_(-'2)+'3_5 +'3_(-'2) =30-6'2+5'3-'6 따라서 a=30, b=-6, c=5, d=-1이므로 a+b+c+d=30+(-6)+5+(-1)=28 답28044
xÛ`-3x-1 =('3+1)Û`-3('3+1)-1 =4+2'3-3'3-3-1 =-'3 답-'3 다른 풀이 x-1='3의 양변을 제곱하면 (x-1)Û`=('3)Û` xÛ`-2x+1=3, xÛ`-2x-2=0 ∴ xÛ`-3x-1 =(xÛ`-2x-2)-x+1=-x+1 =-'3-1+1=-'3045
① 1x ='3-1 '3+1=('3+1)('3-1)('3-1)Û` = 4-2'32 =2-'3 (무리수) ② 1 xÛ`={ 1x }Û`=(2-'3)Û`=7-4'3 (무리수) ③ xÛ`= 1 7-4'3=(7-47+4'3)(7+4'3)'3 = 7+4'349-48 =7+4'3 (무리수) ④ x= '3+1 '3-1=('3-1)('3+1)('3+1)Û` = 4+2'32 =2+'3 ∴ x+ 1x =2+'3+2-'3=4 (유리수) ⑤ '3x='3(2+'3)=2'3+3 (무리수) 답④ 포인트 곱셈 공식을 이용한 분모의 유리화 분모 분자, 분모에 곱하는 수 a+'b a-'b a-'b a+'b 'a+'b 'a-'b 'a-'b 'a+'b046
1<'3<2이므로 3<2+'3<4이다. 따라서 2+'3의 소수 부분은 a=2+'3-3='3-1이다. ∴ a- 2a ='3-1- 2 '3-1 ='3-1-('3-1)('3+1)2('3+1) ='3-1-('3+1)=-2 답②035
(3x-2)(2x+1)-2(x-2)(x+5) =6xÛ`-x-2-2(xÛ`+3x-10) =6xÛ`-x-2-2xÛ`-6x+20 =4xÛ`-7x+18 따라서 x의 계수는 -7이다. 답②036
⑴ (3+'2)Û` =3Û`+2_3_'2+('2)Û`=9+6'2+2 =11+6'2 ⑵ (4-'5)Û` =4Û`-2_4_'5+('5)Û` =16-8'5+5=21-8'5 ⑶ (2-'3)(2+'3) =2Û`-('3)Û` =4-3=1 ⑷ (2+'5)(3-'5) =2_3+2_(-'5)+'5_3+'5_(-'5) =6-2'5+3'5-5=1+'5 답⑴ 11+6'2 ⑵ 21-8'5 ⑶ 1 ⑷ 1+'5037
⑴ 1 '2-1=('2-1)('2+1)'2+1 = '2+12-1 ='2+1 ⑵ 1 2-'3=(2-'3)(2+'3)2+'3 = 2+'34-3 =2+'3 ⑶ 2 '5+'3=('5+'3)('5-'3)2('5-'3) = 2('5-'3)5-3 ='5-'3 답⑴ '2+1 ⑵ 2+'3 ⑶ '5-'3038
(m-2'2)(4+3'2)=n'2에서 4m+3'2m-8'2-12=n'2 (4m-12)+(3m-8)'2=n'2 즉, 4m-12=0, 3m-8=n이므로 m=3, n=1 ∴ mn=3 답3039
a= '5-2 ('5+2)('5-2)= '5-25-4 ='5-2 b=('5-2)('5+2)'5+2 = '5+25-4 ='5+2 ∴ a+b='5-2+'5+2=2'5 답④040
A=2+'3이므로 B= 12+'3 ∴ A+B=2+'3+ 12+'3 =2+'3+(2+'3)(2-'3)2-'3 =2+'3+2-'3=4 답⑤041
(2-'3)Û` (2+'3)(2-'3)=7-4'3에서 a=7, b=4이므로 a-b=3 답④3. 다항식의 곱셈
