정답과 해설

(1)

정답과 해설

| 수학 3-2 |

빠른 정답 2

1

대푯값과 산포도 10

2

피타고라스 정리 19

3

피타고라스 정리의 활용 29

4

삼각비 40

5

원과 직선 53

6

원주각 63

7

원주각의 활용 72

부록 쌍둥이 유형 테스트 81

실전 모의고사 100

유형 ^체 크 N 제

(2)

1 ^| ^{대푯값과 산포도}

0 1 ^{대푯값 ~} 02 ^산포도

(편차)Û`의 총합은

2Û`+(-4)Û`+(-2)Û`+5Û`+(-1)Û`=50  50

0012 :°5¼:=10 ^{ 10}

0013  '¶10

0014 (평균)=10+14+18+10

4 =:°4ª:=13

(분산)=(10-13)Û`+(14-13)Û`+(18-13)Û`+(10-13)Û`

4 =:¢4¢:=11

(표준편차)='¶11  분산：11, 표준편차：'¶11

0015 ^(평균)=175+182+173+185+170

5 = 8855 =177 (분산)=(175-177)Û`+(182-177)Û`+(173-177)Û`+(185-177)Û`+(170-177)Û`

5 = 1585 =31.6

(표준편차)='¶31.6  분산：31.6, 표준편차：'¶31.6

0016 (평균)=18+15+12+13+11+21

6 =:»6¼:=15

(분산)=(18-15)Û`+(15-15)Û`+(12-15)Û`+(13-15)Û`+(11-15)Û`+(21-15)Û`

6 =:¦6¢:=:£3¦:

(표준편차)=®Â:£3¦:= '¶1113

 분산：:£3¦:, 표준편차： '¶111 3

0017 표의 빈칸을 채우면 다음과 같다.

3+7+A+3=20이므로 A=7  표는 풀이 참조, 7

0018 ^(평균)=;2*0);=4(권) ^{ 4권}

0019 (분산)=;2^0*;=3.4 ^{ 3.4}

0020 (표준편차)='¶3.4(권) ^'¶3.4권 계급 (권) 도수 (명) (계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수) 0^이상~2^미만 3 1_3=3 (-3)Û`_3=27

2 ~4 7 3_7=21 (-1)Û`_7=7

4 ~6 A 5_7=35 1Û`_7=7

6 ~8 3 7_3=21 3Û`_3=27

합계 20 80 68

0001 ^(평균)=^2+4+5+7+7₅ ⁼:ª5°:=5 (중앙값)=5, (최빈값)=7

 평균：5, 중앙값：5, 최빈값：7

0002 (평균)=3+4+5+6+8+10

6 =:£6¤:=6 (중앙값)=5+6

2 =5.5, 최빈값은 없다.

 평균：6, 중앙값：5.5, 최빈값：없다.

0003 (평균)=8+1+4+4+3+5+8

7 =:£7£:

주어진 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 3, 4, 4, 5, 8, 8

따라서 중앙값은 4, 최빈값은 4, 8이다.

 평균：:£7£:, 중앙값：4, 최빈값：4, 8

0004 주어진 자료의 총 개수는 15개이고, 작은 값에서부터 크기 순으로 8번째인 수는 85이므로 중앙값은 85점이다.

또 점수가 96점인 학생이 3명으로 가장 많으므로 최빈값은 96점이다.

 중앙값：85점, 최빈값：96점

0005  ◯ 0006  ◯

0007 자료 전체의 특징을 대표적으로 나타내는 값을 대푯값이라

한다.  ×

0008 평균은 자료의 대푯값으로 흔히 쓰인다.  ×

0009 자료를 크기순으로 나열하였을 때, 자료가 짝수 개이면 중앙 값은 가운데 두 자료의 평균이므로 주어진 자료 중에 존재하

지 않을 수도 있다.  ×

0010 12+6+8+15+9

5 =:°5¼:=10 ^{ 10}

0011 각 변량의 편차는 각각 2, -4, -2, 5, -1이므로

기본 문제 다지기

^{p. 7}

(3)

^{STEP 1}

^필수 ^{유형 익히기}

^{p. 8~p. 15}

0021 학생 C의 몸무게를 x`kg이라 하면 43+58+x+52+56

5 =50 ∴ x=41

`따라서 학생 C의 몸무게는 41 kg이다.  41`kg

0022 (평균)=4+3+5+9+3+4+7

7 =:£7°:=5(개) ^{ ③}

0023 2a+(a-4)+(a+5)+(a+7)

4 =12

5a+8

4 =12, 5a=40 ∴ a=8  8 0024 각 자료의 중앙값을 구하면 다음과 같다.

① 2+7

2 =4.5 ② 5+6

2 =5.5 ③ 3+5 2 =4 ④ 4+5

2 =4.5 ⑤ 5+5 2 =5

따라서 중앙값이 가장 큰 것은 ②이다.  ②

0025 주어진 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값은 없다.

또 자료에 극단적인 값 148이 있어 평균이 그 값에 영향을 받으므로 대푯값으로 적당하지 않다.

따라서 대푯값으로 적당한 것은 중앙값이다.  ② 0026 ^{평균이 7권이므로}

10+9+x+5+7+6+6+4+9+8

10 =7 ∴ x=6

작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 4, 5, 6, 6, 6, 7, 8, 9, 9, 10

이므로 (중앙값)=6+7

2 =6.5(권) ^{ 6.5권} 0027 6개의 수를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면

3, 5, 7, 7, 10, 11

이므로 10보다 크거나 같은 3개의 정수를 추가하였을 때 중 앙값이 가장 크다.

따라서 중앙값이 될 수 있는 가장 큰 수는 5번째 값인 10이

다.  ④

0028 학생 수가 가장 많은 것은 피자이므로 최빈값은 피자이다.

 ①

0029 ^(평균)=9+7+8+7+8+8+6+6+7+8 10

=;1&0$;=7.4(시간)

작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 8, 8, 9

2 =7.5(시간)

또 최빈값은 8시간이므로

A=7.4, B=7.5, C=8 ∴ A<B<C  ① 0030 작은 값에서부터 크기순으로 10번째인 수는 15, 11번째인

수는 16이므로 (중앙값)=15+16

2 =15.5(회) ∴ a=15.5 yy 40`%

기록이 17회인 학생이 4명으로 가장 많으므로 최빈값은 17

회이다. ∴ b=17 yy 40`%

∴ a+b=15.5+17=32.5 yy 20`%

 32.5

채점 기준 비율

a의 값 구하기 40 %

b의 값 구하기 40 %

a+b의 값 구하기 20 %

0031 ⑴ (평균)=5_18+15_14+25_5+35_2+45_0+55_1 40

= 55040 =13.75(분)

⑵ 작은 값에서부터 크기순으로 20번째, 21번째인 값은 모 두 10분 이상 20분 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값인 15분이다.

⑶ 도수가 가장 큰 계급은 0분 이상 10분 미만이므로 최빈값 은 이 계급의 계급값인 5분이다.

 ⑴ 13.75분 ⑵ 15분 ⑶ 5분 0032 (평균)=35_6+45_11+55_6+65_2

25 = 116525 =46.6`(kg)

작은 값에서부터 크기순으로 13번째인 값은 40`kg 이상 50`kg 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계급값 인 45`kg이다.

또한 도수가 가장 큰 계급은 40`kg 이상 50`kg 미만이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 45`kg이다.

따라서 a=46.6, b=45, c=45이므로

a+b+c=136.6  ⑤

0033 4+x+10+y=20 ∴ x+y=6 yy ㉠ 평균이 4.4개이므로

1_4+3_x+5_10+7_y

20 =4.4

∴ 3x+7y=34 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=2, y=4

작은 값에서부터 크기순으로 10번째, 11번째인 값은 모두 4 개 이상 6개 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급의 계 급값인 5개이다.

또한 도수가 가장 큰 계급은 4개 이상 6개 미만이므로 최빈 값은 이 계급의 계급값인 5개이다.

따라서 중앙값과 최빈값의 합은 5+5=10(개)  10개

(4)

0034 자료의 개수가 6개이므로 중앙값은 3번째 수인 x와 4번째 수인 10의 평균이다. 즉

x+10

2 =9 ∴ x=8  8

0035 13, 18, 20, a의 중앙값이 16이므로 13<a<18 즉 13, a, 18, 20에서 a+182 =16 ∴ a=14 5, 10, 14, 18, b의 중앙값이 12이므로 10<b<14 즉 5, 10, b, 14, 18에서 b=12

∴ a+b=14+12=26  ②

0036 학생 수가 8명일 때, 중앙값은 4번째와 5번째 점수의 평균이 다.

4번째 학생의 점수를 x점이라 하면 x+84

2 =80 ∴ x=76 yy 50`%

이때 새로 들어온 학생의 점수 78점은 기존의 4번째(76점) 와 5번째(84점) 사이에 들어가게 되고 그것이 새로운 9명의 중앙값이 된다.

따라서 구하는 중앙값은 78점이다. yy 50`%

 78점

4번째 학생의 점수 구하기 50 %

새로운 중앙값 구하기 50 %

0037 x를 제외한 나머지 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값이 존 재하려면 x의 값이 나머지 자료 중 하나와 같아야 하며 그 x 의 값이 최빈값이 된다. 이때 평균과 최빈값이 같으므로 87+x+77+85+91

5 =x ∴ x=85  85

0038 최빈값이 9회이므로 평균도 9회이다.

12+9+x+9+7+9+8+10

8 =9 ∴ x=8  8

0039 ^{평균이 1이므로}

-4+(-2)+1+a+0+b+5

7 =1

∴ a+b=7

최빈값이 1이므로 a, b 중 하나는 1이고

a<b이므로 a=1, b=6  a=1, b=6

0040 ^{평균이 3이므로}

2+(-5)+7+a+4+b

6 =3

∴ a+b=10

최빈값이 -5이므로 a, b 중 하나는 -5이고 a<b이므로 a=-5, b=15

따라서 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 -5, -5, 2, 4, 7, 15

2 =3 ^{ 3}

0041 ^x+y+z₃ =12이므로 x+y+z=36 따라서 5개의 변량 6, 8, x, y, z의 평균은 6+8+x+y+z

5 = 6+8+365 =10  10

0042 ^a+b+c+d+e₅ =3이므로 a+b+c+d+e=15 따라서 a+3, b-1, c+6, d-4, e+6의 평균은 (a+3)+(b-1)+(c+6)+(d-4)+(e+6)

5

= a+b+c+d+e+105 = 15+105 =5  5

0043 5회까지의 평균은 4회까지의 평균보다 4점이 올랐으므로 80+4=84(점)

이때 5회째 시험 성적을 x점이라 하면 80_4+x

5 =84 ∴ x=100

따라서 5회째 시험 성적은 100점이다.  100점

0044 학생 10명의 윗몸일으키기 횟수의 평균이 22회이므로 총 횟 수는 10_22=220(회)

그런데 한 학생의 횟수를 20회에서 10회로 잘못 기록했으므 로 올바른 총 횟수는 220+10=230(회)

따라서 학생 10명의 실제 평균은 230

10 =23(회) ^{ 23회}

0045 ⑴ 편차의 총합은 0이므로

-4+8+x+10+(-4)+(-1)=0 ∴ x=-9

⑵ (편차)=(변량)-(평균)이므로 -9=(학생 C의 몸무게)-68

∴ (학생 C의 몸무게)=68+(-9)=59`(kg)

 ⑴ -9 ⑵ 59`kg

0046 편차의 총합은 0이므로

-2+3+x+(-15)+7+y=0

∴ x+y=7  7

-8+3+(-16)+(-14)+x+20+13=0 ∴ x=2

(5)

(편차)=(변량)-(평균)이므로 2=(금요일의 손님 수)-70

∴ (금요일의 손님 수)=70+2=72(명)  ④

0048 (평균)=10+6+7+8+4

5 =:£5°:=7(시간)이므로 각 변량의 편차는 3, -1, 0, 1, -3이다.

∴ (분산)=3Û`+(-1)Û`+0Û`+1Û`+(-3)Û`

5 =:ª5¼:=4

 4

0049 (분산)=(-2)Û`+3Û`+2Û`+0Û`+(-3)Û`

5 =:ª5¤:=5.2

∴ (표준편차)='¶5.2 (회) ^{ ①}

0050 (평균)=68+66+69+65

4 = 2684 =67이므로

(분산)=(68-67)Û`+(66-67)Û`+(69-67)Û`+(65-67)Û`

4 =:Á4¼:=2.5

∴ (표준편차)='¶2.5 ^{ ④}

0051 ⑴ 편차의 총합은 0이므로

3+(-6)+5+1+x=0 ∴ x=-3 따라서 세윤이의 점수는

88+(-3)=85(점)

⑵ (분산)=3Û`+(-6)Û`+5Û`+1Û`+(-3)Û`

5 =:¥5¼:=16

 ⑴ 85점 ⑵ 16

0052 평균이 7이므로 4+x+8+y+10

5 =7 ∴ x+y=13 yy ㉠

각 변량의 편차가 -3, x-7, 1, y-7, 3이고 분산이 4.2이 므로

(-3)Û`+(x-7)Û`+1Û`+(y-7)Û`+3Û`

5 =4.2

∴ xÛ`+yÛ`-14(x+y)+117=21 yy ㉡㉡에 ㉠을 대입하면

xÛ`+yÛ`-14_13+117=21

∴ xÛ`+yÛ`=86  86

0053 평균이 10이고 표준편차가 3이므로

(a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`

4 =3Û`

∴ (a-10)Û`+(b-10)Û`+(c-10)Û`+(d-10)Û`=36

 36

0054 ^{평균이 5이므로}

7+4+a+b

4 =5 ∴ a+b=9 yy ㉠

각 변량의 편차가 2, -1, a-5, b-5이고 분산이 2.5이므 로

2Û`+(-1)Û`+(a-5)Û`+(b-5)Û`

4 =2.5

∴ aÛ`+bÛ`-10(a+b)+55=10 yy ㉡㉡에 ㉠을 대입하면

aÛ`+bÛ`-10_9+55=10 ∴ aÛ`+bÛ`=45 이때 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab이므로

9Û`=45+2ab ∴ ab=18  18 0055 편차의 총합은 0이므로

-3+1+x+0+y=0

∴ x+y=2 yy 30`%

표준편차가 2점이므로 (-3)Û`+1Û`+xÛ`+0Û`+yÛ`

5 =2Û`

∴ xÛ`+yÛ`=10 yy 30`%

이때 (x+y)Û`=xÛ`+yÛ`+2xy이므로 2Û`=10+2xy

∴ xy=-3 yy 40`%

 -3

편차의 총합이 0임을 이용하여 x+y의 값 구하기 30 % 표준편차를 이용하여 xÛ`+yÛ`의 값 구하기 30 %

xy의 값 구하기 40 %

0056 변량 xÁ, xª, x£, x¢, x°의 평균이 10, 분산이 2이므로 xÁ+xª+x£+x¢+x°

5 =10

(xÁ-10)Û`+(xª-10)Û`+(x£-10)Û`+(x¢-10)Û`+(x°-10)Û`

5

=2

변량 xÁ+2, xª+2, x£+2, x¢+2, x°+2에서

(평균)= (xÁ+2)+(xª+2)+(x£+2)+(x¢+2)+(x°+2)5 = (xÁ+xª+x£+x¢+x°)+105

=10+2=12

(분산)= {(xÁ+2)-12}Û`+{(xª+2)-12}Û`+y+{(x°+2)-12}Û`

5

= (xÁ-10)Û`+(xª-10)Û`+y+(x°-10)Û`5 =2

 평균：12, 분산：2

0057 변량 a, b, c, d의 평균이 8, 표준편차가 5이므로

a+b+c+d

4 =8

(a-8)Û`+(b-8)Û`+(c-8)Û`+(d-8)Û`

4 =5Û`=25

(6)

변량 3a, 3b, 3c, 3d에서 (평균)=3a+3b+3c+3d

4 = 3(a+b+c+d)4

=3_8=24

(분산)=(3a-24)Û`+(3b-24)Û`+(3c-24)Û`+(3d-24)Û`

4

= 9{(a-8)Û`+(b-8)Û`+(c-8)Û`+(d-8)Û`}4

=9_25=225

(표준편차)='¶225=15

 평균：24, 표준편차：15

0058 변량 a, b, c의 평균이 7, 표준편차가 3이므로

a+b+c

3 =7

(a-7)Û`+(b-7)Û`+(c-7)Û`

3 =3Û`=9

변량 2a-4, 2b-4, 2c-4에서

(평균)=(2a-4)+(2b-4)+(2c-4) 3

= 2(a+b+c)-123 =2_7-4=10

(분산)={(2a-4)-10}Û`+{(2b-4)-10}Û`+{(2c-4)-10}Û`

3 = 4{(a-7)Û`+(b-7)Û`+(c-7)Û`}3

=4_9=36  36

0059 학생 A, B, C, D, E의 수학 성적을 각각 a점, b점, c점, d점, e점이라 하면 평균이 72점, 표준편차가 2점이므로

a+b+c+d+e

5 =72

(a-72)Û`+(b-72)Û`+y+(e-72)Û`

5 =2Û`=4

이때 수학 성적을 4점씩 올려주면

(평균)=(a+4)+(b+4)+(c+4)+(d+4)+(e+4) 5

= (a+b+c+d+e)+205 =72+4=76(점) (분산)={(a+4)-76}Û`+{(b+4)-76}Û`+y+{(e+4)-76}Û`

5

= (a-72)Û`+(b-72)Û`+y+(e-72)Û`5 =4 (표준편차)='4=2(점)

 평균：76점, 표준편차：2점 0060 독서 시간 (시간) 도수 (명) (계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수)

4^이상~ 6^미만 3 5_3=15 (-4)Û`_3=48

6 ~ 8 4 7_4=28 (-2)Û`_4=16

8 ~10 6 9_6=54 0Û`_6=0

10 ~12 4 11_4=44 2Û`_4=16

12 ~14 3 13_3=39 4Û`_3=48

합계 20 180 128

(평균)=180

20 =9(시간), (분산)=128 20 =6.4

∴ (표준편차)='¶6.4 (시간)  '¶6.4시간

0061 ^(평균)=3_1+4_3+5_2+6_3+7_1 10

= 5010 =5(시간)

이때 편차가 차례로 -2, -1, 0, 1, 2이므로

(분산)=(-2)Û`_1+(-1)Û`_3+0Û`_2+1Û`_3+2Û`_1 10

=;1!0$;=1.4 ^{ 1.4}

0062

(평균)=1500

30 =50(개) ^{ 50개}

0063 A=9, B=4000, C=12000이므로

A+B+C=9+4000+12000=16009  16009

0064 ^(분산)=¹²⁰⁰⁰_{30 =400}

(표준편차)='¶400=20(개)  분산：400, 표준편차：20개

0065

(평균)=120

20 =6(시간), (분산)=60 20 =3

∴ (표준편차)='3(시간)  '3시간

0066

아이스크림의 개수 (개) 도수(일) 계급값 (개) (계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수)

0^이상~ 20^미만 1 10 10 1600

20 ~ 40 10 30 300 B=4000

40 ~ 60 A=9 50 450 0

60 ~ 80 8 70 560 3200

80 ~100 2 90 180 3200

합계 30 1500 C=12000

계급값 (시간) 도수 (명) (계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수)

3 3 3_3=9 (-3)Û`_3=27

5 6 5_6=30 (-1)Û`_6=6

7 9 7_9=63 1Û`_9=9

9 2 9_2=18 3Û`_2=18

합계 20 120 60

계급값 (점) 도수 (명) (계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수) 55 2 55_2=110 (-20)Û`_2=800 65 3 65_3=195 (-10)Û`_3=300

75 5 75_5=375 0Û`_5=0

85 3 85_3=255 10Û`_3=300

95 2 95_2=190 20Û`_2=800

합계 15 1125 2200

(7)

⑴ (평균)=1125

15 =75(점) ⑵ (분산)=2200

15 =146.666y

따라서 소수점 아래 둘째 자리에서 반올림한 분산은 146.7이다.  ⑴ 75점 ⑵ 146.7

0067 두 모둠의 평균이 같으므로 (분산)=8_16+12_4

8+12 = 17620 =8.8 ^{ 8.8}

0068 두 반의 평균이 같으므로 (분산)=30_3+20_2

30+20 = 13050 =2.6 ^{ 2.6}

0069 남학생과 여학생의 평균이 같으므로 (분산)=4_3+6_8

4+6 = 6010 =6

∴ (표준편차)='6(점)  '6점

0070 ‘불규칙하다.’라는 말은 ‘고르지 않다.’라는 뜻이고 표준편차 가 큰 경우를 말하므로 공부 시간이 가장 불규칙적인 학생은

표준편차가 가장 큰 신우이다.  신우

0071 ㉠ 표준편차는 자료가 평균으로부터 얼마나 흩어져 있는가 를 나타내는 산포도 중 하나이므로 A, B 두 반의 산포도 를 비교할 수 있다.

㉡ A, B 두 반의 평균이 서로 같으므로 어느 반이 더 우수하 다고 할 수 없다.

㉢ A반의 표준편차가 B반의 표준편차보다 작으므로 A반 이 B반보다 성적이 고르다.

㉣ 수학 성적이 80점 이상인 학생 수는 비교할 수 없다.

따라서 옳은 것은 ㉠, ㉢이다.  ㉠, ㉢

0072 A：(평균)= 2+5+7+9+125 =:£5°:=7(점)

(분산)=(2-7)Û`+(5-7)Û`+(7-7)Û`+(9-7)Û`+(12-7)Û`

5

=:°5¥:=11.6

B：(평균)= 4+4+8+8+115 =:£5°:=7(점)

(분산)=(4-7)Û`+(4-7)Û`+(8-7)Û`+(8-7)Û`+(11-7)Û`

5

=:£5¤:=7.2

A의 분산이 B의 분산보다 크므로 두 사람 중 사격 점수가 평균을 중심으로 흩어져 있는 정도가 심한 사람은 A이다.

 A

0073 대칭축의 점선은 평균을 의미한다. A반의 점선(대칭축)이 B반의 점선보다 왼쪽에 있으므로 A반의 사용 시간이 B반 의 사용 시간보다 더 짧다. 또한 그 점선으로부터 흩어져 있 는 정도가 A반이 B반보다 심하므로 A반의 분포가 B반의

분포보다 고르지 않다.  ④

0074 3명의 사격 결과는 다음과 같다.

A：1, 1, 1, 5, 5, 5, 5, 9, 9, 9 B：3, 3, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 7, 7 C：1, 2, 3, 4, 5, 5, 6, 7, 8, 9

평균이 모두 5이므로 5와 가까운 숫자에 가장 많이 맞힌 사 람이 표준편차가 가장 작다.

따라서 표준편차가 가장 작은 사격 선수는 B이다.  B

STEP 2

^{중단원 유형 다지기}

p. 16~p. 18

0075 ④ 자료의 값이 모두 다르거나 모두 같은 경우에는 최빈값이

존재하지 않는다.  ④

0076 6+5+a+3+1+b+4

7 =4에서 a+b=9

a+b=9, a-b=-5를 연립하여 풀면 a=2, b=7 이때 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7이므로 중앙값은 4번째 값인 4이다.

 ④

0077 ⑴ (평균)=20_2+40_6+60_10+80_8+100_4 30

= 192030 =64

⑵ 작은 값에서부터 크기순으로 15번째, 16번째인 값은 모 두 50 이상 70 미만인 계급에 속하므로 중앙값은 이 계급 의 계급값인 60이다.

⑶ 도수가 가장 큰 계급은 50 이상 70 미만이므로 최빈값은 이 계급의 계급값인 60이다.

 ⑴ 64 ⑵ 60 ⑶ 60

(8)

0078 42, 51, 52, a의 중앙값이 48이므로 42<a<51

즉 42, a, 51, 52에서 a+512 =48

∴ a=45  ②

0079 x를 제외한 나머지 자료의 값이 모두 다르므로 최빈값이 존 재하려면 x의 값이 나머지 자료 중 하나와 같아야 하며 그 x의 값이 최빈값이 된다. 이때 평균과 최빈값이 같으므로 40+34+26+36+x

5 =x

∴ x=34  ②

0080 ① 편차의 제곱의 평균을 분산이라 한다.  ①

1+(-1)+a+(-2)+b=0에서 a+b=2 표준편차가 2'2이므로

1Û`+(-1)Û`+aÛ`+(-2)Û`+bÛ`

5 =(2'2)Û`에서 aÛ`+bÛ`=34 이때 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab이므로

2Û`=34+2ab ∴ ab=-15  ①

0082 변량 a, b, c, d의 평균이 5이므로

a+b+c+d

4 =5

변량 2a+4, 2b+4, 2c+4, 2d+4에서

(평균)=(2a+4)+(2b+4)+(2c+4)+(2d+4) 4

= 2(a+b+c+d)+164

=2_5+4=14  ⑤

0083 2+6+x+y+4=20 ∴ x+y=8 yy ㉠ 턱걸이 횟수의 평균이 5회이므로

1_2+3_6+5_x+7_y+9_4

20 =5

∴ 5x+7y=44 yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=6, y=2

이때 각 계급의 편차는 -4, -2, 0, 2, 4이므로

(분산)=(-4)Û`_2+(-2)Û`_6+0Û`_6+2Û`_2+4Û`_4 20

= 12820 =6.4 ^{ 6.4}

0084 두 반의 평균이 같으므로 (분산)=30_100+20_120

30+20 = 540050 =108 ^{ 108}

0085 ①, ②, ④, ⑤ 평균과 표준편차만으로는 수학 점수가 가장 높 은 학생이 있는 반이나 각 반의 학생 수 또는 몇 점 이상,

몇 점 미만의 학생 수는 알 수 없다.

③ 5반의 표준편차가 1반의 표준편차보다 작으므로 1반보

다 5반의 성적이 더 고르다.  ③

0086 ①~⑤의 평균은 모두 4로 같다.

①~⑤의 표준편차를 각각 구해 찾아도 되지만 표준편차가 가장 크다는 것은 자료가 평균으로부터 흩어진 정도가 가장 심한 것을 말하므로 표준편차가 가장 큰 것은 ①이다.

 ①

0087 ^(평균)=2+6+3+5+1+7+6+3+1+6

10 = 4010 =4

∴ a=4 yy 2점

자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 1, 1, 2, 3, 3, 5, 6, 6, 6, 7

2 =4 ∴ b=4 yy 2점 가장 많이 나타나는 값은 6이므로 (최빈값)=6

∴ c=6 yy 1점

∴ a+b+c=4+4+6=14 yy 1점

 14

채점 기준 배점

a의 값 구하기 2점

b의 값 구하기 2점

c의 값 구하기 1점

a+b+c의 값 구하기 1점

0088 ⑴ 경은이의 키의 편차를 x`cm라 하면 편차의 총합은 0이므로 4+x+(-2)+3+1=0 ∴ x=-6

⑵ (변량)=(평균)+(편차)이므로

(경은이의 키)=168+(-6)=162`(cm)

 ⑴ -6`cm ⑵ 162`cm

0089 (평균)=6+24+10+12

4 =:°4ª:=13(초)이므로 yy 2점 (분산)=(6-13)Û`+(24-13)Û`+(10-13)Û`+(12-13)Û`

4

= 1804 =45 yy 3점

∴ (표준편차)='¶45=3'5 (초) yy 1점

 3'5초

평균 구하기 2점

분산 구하기 3점

표준편차 구하기 1점

(9)

0090 ^{평균이 4이므로}

1+5+a+b

4 =4 ∴ a+b=10 yy ㉠ yy 2점 각 변량의 편차가 -3, 1, a-4, b-4이고 분산이 5이므로 (-3)Û`+1Û`+(a-4)Û`+(b-4)Û`

4 =5

∴ aÛ`+bÛ`-8(a+b)+42=20 yy ㉡㉡에 ㉠을 대입하면

aÛ`+bÛ`-8_10+42=20

∴ aÛ`+bÛ`=58 yy 3점

이때 (a+b)Û`=aÛ`+bÛ`+2ab이므로

10Û`=58+2ab ∴ ab=21 yy 2점

 21

a+b의 값 구하기 2점

aÛ`+bÛ`의 값 구하기 3점

ab의 값 구하기 2점

0091 변량 a, b, c, d, e의 평균이 6, 표준편차가 2이므로

a+b+c+d+e

5 =6

(a-6)Û`+(b-6)Û`+(c-6)Û`+(d-6)Û`+(e-6)Û`

5

=2Û`=4 yy 2점

변량 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3, 2e-3에서

(평균)=(2a-3)+(2b-3)+(2c-3)+(2d-3)+(2e-3) 5

= 2(a+b+c+d+e)-155

=2_6-3=9 yy 3점

(분산)={(2a-3)-9}Û`+{(2b-3)-9}Û`+y+{(2e-3)-9}Û`

5

= 4{(a-6)Û`+(b-6)Û`+y+(e-6)Û`}5

=4_4=16

(표준편차)='¶16=4 yy 3점

 평균：9, 표준편차：4

a, b, c, d, e의 평균과 분산을 a, b, c, d, e에 대한 식으로 나타내기 2점 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3, 2e-3의 평균 구하기 3점 2a-3, 2b-3, 2c-3, 2d-3, 2e-3의 표준편차 구하기 3점

0092 ^⑴

(평균)=840

40 =21(분)

(계급값)_(도수) (편차)Û`_(도수) 5_8=40 (-16)Û`_8=2048 15_10=150 (-6)Û`_10=360 25_14=350 4Û`_14=224

35_6=210 14Û`_6=1176 45_2=90 24Û`_2=1152

840 4960

⑵ (분산)=4960

40 =124이므로 (표준편차)='¶124=2'¶31(분)

 ⑴ 표는 풀이 참조, 21분 ⑵ 2'¶31분

교과서에 나오는

창의 . 융합문제

^{p. 19}

0093 ⑴ (평균)=18+11+17+60+10+10+13+8+6 9

= 1539 =17(개)

⑵ 자료를 작은 값에서부터 크기순으로 나열하면 6, 8, 10, 10, 11, 13, 17, 18, 60

이므로 중앙값은 11개이다.

⑶ 산불 예방 시설이 10개인 산이 2곳으로 가장 많으므로 최 빈값은 10개이다.

⑷ 자료에 극단적인 값인 60개가 있으므로 평균은 대푯값으 로 적절하지 않다.

 ⑴ × ⑵ × ⑶ ◯ ⑷ ×

0094 ^{⑴ (평균)=}^6+7+7+7+8₅ ⁼:£5°:=7(점) 각 변량의 편차는 -1, 0, 0, 0, 1이므로 (분산)=(-1)Û`+0Û`+0Û`+0Û`+1Û`

5 =;5@;=0.4 ∴ (표준편차)='¶0.4(점)

⑵ (평균)=4+6+7+8+10

5 =:£5°:=7(점) 각 변량의 편차는 -3, -1, 0, 1, 3이므로 (분산)=(-3)Û`+(-1)Û`+0Û`+1Û`+3Û`

5 = 205 =4

∴ (표준편차)='4=2(점)

⑶ 민주의 표준편차가 수진이의 표준편차보다 작으므로 점 수가 더 고르게 분포되어 있는 사람은 민주이다.

 ⑴ 평균：7점, 표준편차：'¶0.4점

⑵ 평균：7점, 표준편차：2점 ⑶ 민주

(10)

^{STEP 3}

^{만점 도전하기}

^{p. 20}

0095 잘못 본 성적을 x점, 올바르게 본 10과목 성적의 합을 y점, 실제 평균을 m점이라 하면

잘못 구한 평균에서 x+y

11 =m-1

∴ x+y=11m-11 yy ㉠

실제 평균에서 85+y 11 =m

∴ 85+y=11m yy ㉡

㉠, ㉡을 연립하여 풀면 x=74 따라서 85점을 74점으로 잘못 보았다.

 74점

0096 ㈎에서 15가 작은 값에서부터 크기순으로 3번째에 있어야 하므로 a¾15

㈏에서 20과 28이 작은 값에서부터 크기순으로 2번째, 3번 째에 있어야 하므로 aÉ20

∴ 15ÉaÉ20

 ③

0097 올바르게 입력된 4명의 몸무게의 합을 x`kg, 4명의 몸무게 의 (편차)Û`의 총합을 y라 하면

잘못 구한 평균에서 x+57+62

6 =60 ∴ x=241 6명의 실제 몸무게의 평균은

241+60+59

6 = 3606 =60`(kg)

한편 잘못 구한 분산에서 {(편차)Û`의 총합}=11_6=66이 므로

y+(57-60)Û`+(62-60)Û`=66 ∴ y=53 따라서 6명의 실제 몸무게의 분산은

53+(60-60)Û`+(59-60)Û`

6 =:°6¢:=9

 ④

0098 나머지 학생 5명의 성적을 각각 a점, b점, c점, d점, e점이라 하면

(a-60)Û`+(b-60)Û`+y+(e-60)Û`+(60-60)Û`

6 =15

∴ (a-60)Û`+(b-60)Û`+y+(e-60)Û`=90 따라서 5명의 국어 성적의 분산은

(a-60)Û`+(b-60)Û`+y+(e-60)Û`

5 = 905 =18

∴ (표준편차)='¶18=3'2 (점)

 3'2 점

0099 a, b, c`(a<b<c)의 중앙값이 6이므로 b=6 평균이 6이므로

a+6+c

3 =6, a+c=12 ∴ c=12-a

분산이 6이므로

(a-6)Û`+(6-6)Û`+(c-6)Û`

3 =6

(a-6)Û`+(c-6)Û`=18, (a-6)Û`+(12-a-6)Û`=18 aÛ`-12a+27=0, (a-3)(a-9)=0

∴ a=3 또는 a=9

그런데 a<b<c이므로 a=3, c=9

 a=3, b=6, c=9

0100 변량 xÁ, xª, y, xn의 평균이 10, 표준편차가 5이므로 (평균)= xÁ+xª+y+xÇ

n =10

(분산)=(xÁ-10)Û`+(xª-10)Û`+y+(xÇ-10)Û`

n =5Û`

에서

(xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`)-20(xÁ+xª+y+xÇ)+100n n

=25

xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`

n -20_10+100=25 ∴ xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`

n =125

따라서 변량 2xÁÛ`, 2xªÛ`, y, 2xnÛ`의 평균은 2xÁÛ`+2xªÛ`+y+2xÇÛ`

n = 2(xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`)n =2_125=250

 250

다른 풀이

xÁ, xª, y, xÇ에서 (분산)=(변량)Û`의 총합

(변량의 개수) -(평균)Û`이므로 5Û`= xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`n -10Û`

∴ xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`=125n 따라서 2xÁÛ`, 2xªÛ`, y, 2xÇÛ`의 평균은 2(xÁÛ`+xªÛ`+y+xÇÛ`)

n = 2_125nn =250

(11)

2 ^| ^{피타고라스 정리}

01 ^{피타고라스 정리}

0101 xÛ`=8Û`+6Û`, xÛ`=100 ∴ x=10 (∵ x>0) ^{ 10} 0102 7Û`=xÛ`+5Û`, xÛ`=24 ∴ x=2'6 (∵ x>0) ^{ 2}'6 0103 ^9Û`=xÛ`+6Û`, xÛ`=45 ∴ x=3'5 (∵ x>0) ^{ 3}'5 0104 xÛ`=4Û`+('¶13)Û`, xÛ`=29 ∴ x='¶29 (∵ x>0)

 '¶29 0105 6Û`=xÛ`+xÛ`, xÛ`=18 ∴ x=3'2 (∵ x>0) ^{ 3}'2 0106 ^(x+3)Û`=xÛ`+9Û`, 6x=72 ∴ x=12 ^{ 12} 0107 AFGB =ACDE+CBHI

=16+9=25`(cmÛ`)  25`cmÛ`

0108 AFGB는 넓이가 25`cmÛ`인 정사각형이므로

ABÓ='¶25=5`(cm) (∵ ABÓ>0) ^{ 5}`cm 0109 EHÓ="Ã5Û`+4Û`='¶41`(cm) ^'¶41`cm 0110 EFGH=('¶41)Û`=41`(cmÛ`)  41`cmÛ`

0111 BEÓ=AHÓ=5`cm이므로

ABÓ=4+5=9`(cm) ^{ 9}`cm

0112 ABCD=9Û`=81`(cmÛ`) ^{ 81}`cmÛ`

0113

△

^{ABQ에서 AQÓ=}"Ã5Û`-2Û`='¶21`(cm) APÓ=BQÓ=2`cm이므로

PQÓ='¶21-2`(cm) ^{ (}'¶21-2)`cm 0114 PQRS=('¶21-2)Û`=25-4'¶21`(cmÛ`)

 (25-4'¶21)`cmÛ`

0115 ㉠ 5Û`=3Û`+4Û` ➡ 직각삼각형

㉡ 15Û`+10Û`+12Û`

㉢ (2'¶13)Û`=4Û`+6Û` ➡ 직각삼각형

㉣ 8Û`+6Û`+(2'6)Û`

따라서 직각삼각형인 것은 ㉠, ㉢이다.  ㉠, ㉢

기본 문제 다지기

^{p. 23}

0116 xÛ`=(x-2)Û`+8Û`에서 4x=68 ∴ x=17 ^{ 17}

STEP 1

^필수 ^{유형 익히기}

p. 24~p. 30

0117 ⑴ x="Ã4Û`+7Û`='¶65

⑵ x="Ã13Û`-5Û`=12  ⑴ '¶65 ⑵ 12 0118

△

^{BCD에서 BDÓ=}"Ã10Û`-8Û`=6`(cm)

△

^{ABD에서 ADÓ=}"Ã6Û`-5Û`='¶11`(cm) ^'¶11`cm 0119 BDÓ=DCÓ=ADÓ=3GDÓ=6이므로

BCÓ=2BDÓ=12

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã12Û`-(4'5)Û`=8 ^{ 8} 0120

△

^{ABD에서 x=}"Ã17Û`-15Û`=8

△

^{ADC에서 y=}"Ã10Û`-8Û`=6

∴`x+y=8+6=14 ^{ 14}

0121 ⑴

△

^{ADC에서 y=}"Ã13Û`-5Û`=12

△

^{ABD에서 x=}"Ã9Û`+12Û`=15

⑵

△

ACD에서 x="Ã5Û`-4Û`=3

△

ABD에서 y="Ã8Û`+4Û`=4'5

 ⑴ x=15, y=12 ⑵ x=3, y=4'5 0122

△

ABD에서 ABÓ=BDÓ이므로 2BDÓÛ`=(5'2)Û`

BDÓ Û`=25 ∴ BDÓ=5`(cm) (∵ BDÓ>0) yy 50`%

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã5Û`+12Û`=13`(cm) yy 50`%

 13`cm

BDÓ의 길이 구하기 50`%

ACÓ의 길이 구하기 50`%

0123

△

^{ABC에서 BCÓ=}"Ã5Û`-3Û`=4이므로 DCÓ=x라 하면 BDÓ=4-x

ABÓ：ACÓ=BDÓ：DCÓ에서 5：3=(4-x)：x ∴`x=;2#;

△

^{ADC에서 ADÓ=}¾¨{;2#;}2`+3Û`=3'5

2 ^³^'52 0124 ^ACÓ="Ã3Û`+3Û`=3'2

ADÓ="Ã(3'2 )Û`+3Û`=3'3 AEÓ="Ã(3'3 )Û`+3Û`=6

∴`AFÓ="Ã6Û`+3Û`=3'5 ^{ 3}'5 0125 ABÓ=x`cm라 하면

ACÓ="ÃxÛ`+xÛ`='2x`(cm) ADÓ="Ã('2x)Û`+xÛ`='3x`(cm) AEÓ="Ã('3x)Û`+xÛ`=2x`(cm) AFÓ="Ã(2x)Û`+xÛ`='5x`(cm)

이때 AFÓ=10`cm이므로 '5x=10 ∴`x=2'5 따라서 ABÓ의 길이는 2'5`cm이다. ^{ ⑤}

(12)

0126 PBÓ="Ã1Û`+1Û`='2 PCÓ="Ã('2 )Û`+1Û`='3 PDÓ="Ã('3 )Û`+1Û`=2 PEÓ="Ã2Û`+1Û`='5

∴

△

^PEF=;2!;_'5_1= '5

2 ^'5

2 0127 ACÓ="Ã1Û`+1Û`='2이므로 AEÓ=ACÓ='2

AFÓ="Ã('2 )Û`+1Û`='3이므로 AGÓ=AFÓ='3

AHÓ="Ã('3 )Û`+1Û`=2이므로 AIÓ=AHÓ=2 ^{ 2} 0128 OCÓ="Ã2Û`+2Û`=2'2이므로 ODÓ=OCÓ=2'2

OEÓ="Ã(2'2 )Û`+2Û`=2'3이므로 OFÓ=OEÓ=2'3

∴

△

^OFG=;2!;_2'3_2=2'3 ^{ 2}'3 0129 OAÓ=x라 하면

OQÓ="ÃxÛ`+xÛ`='2x이므로 OBÓ=OQÓ='2x ORÓ="Ã('2x)Û`+xÛ`='3x이므로 OCÓ=ORÓ='3x OSÓ="Ã('3x)Û`+xÛ`=2x이므로 ODÓ=OSÓ=2x 이때 ODÓ=2'2이므로 2x=2'2 ∴ x='2

따라서 OAÓ의 길이는 '2이다. ^'2 0130 BDÓ를 그으면

△

ABD에서 BDÓ="Ã6Û`+8Û`=10

△

^{BCD에서 CDÓ=}"Ã10Û`-(5'2 )Û`=5'2

∴ ABCD=

△

^ABD+

△

^BCD

=;2!;_6_8+;2!;_5'2_5'2

=24+25=49  49

0131 BDÓ를 그으면

△

ABD에서 BDÓ="Ã12Û`+5Û`=13`(cm)

△

^{DBC에서 BCÓ=}"Ã13Û`-3Û`=4'¶10`(cm)  4'¶10`cm 0132 BDÓ를 그으면

△

^{ABD에서 BDÓ=}"Ã6Û`+4Û`=2'¶13`(cm)

△

BCD에서 BCÓ=x`cm라 하면 CDÓ=BCÓ=x`cm이므로 (2'¶13 )Û`=xÛ`+xÛ`, 2xÛ`=52

xÛ`=26 ∴ x='¶26 (∵ x>0)

따라서 BCÓ의 길이는 '¶26`cm이다. ^{ ④} 0133 오른쪽 그림과 같이 점 D에서 _A

B H C

D

7 cm 5 cm 3 cm

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 면

HCÓ=7-3=4`(cm)이므로

△

^{DHC에서 DHÓ=}"Ã5Û`-4Û`=3`(cm)

∴ ABCD=;2!;_(3+7)_3=15`(cmÛ`)  15`cmÛ`

0134 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에 _A

B H C

D

10 8

6

내린 수선의 발을 H라 하면 BHÓ=10-6=4이므로

△

^ABH에서

AHÓ="Ã8Û`-4Û`=4'3

DCÓ=AHÓ=4'3이므로

△

^{DBC에서 BDÓ=}"Ã10Û`+(4'3)Û`=2'¶37 ^{ ⑤}

0135 오른쪽 그림과 같이 두 점 A,

11 cm 7 cm

4 cm 4 cm

A

B P Q C

D

D에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하면

△

^ABPª

△

^DCQ

( RHA 합동)이므로

BPÓ=CQÓ=;2!;_(11-7)=2`(cm)

△

^{ABP에서 APÓ=}"Ã4Û`-2Û`=2'3`(cm)

∴ ABCD=;2!;_(7+11)_2'3

=18'3`(cmÛ`) ^{ 18}'3`cmÛ`

0136 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D에 A

B

9 cm

6 cm 6 cm

5 cm

Q C P

D

서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각각 P, Q라 하면

△

^ABPª

△

^DCQ

(RHA 합동)이므로

BPÓ=CQÓ=;2!;_(9-5)=2`(cm)

△

^DQC에서`DQÓ="Ã6Û`-2Û`=4'2`(cm) 이때 BQÓ=9-2=7`(cm)이므로

△

^{DBQ에서 BDÓ=}"Ã7Û`+(4'2)Û`=9`(cm)  9`cm

0137 AFGB =ACDE+CBHI

=64+36=100`(cmÛ`)

이때 AFGB는 정사각형이므로 ABÓÛ`=100

∴`ABÓ='¶100=10`(cm) (∵`ABÓ>0) ^{ 10}`cm

0138

△

^{ABC에서 ABÓ=}"Ã5Û`-3Û`=4`(cm) yy 30`%

△

^EBC=

△

^EBA`(∵ DCÓ∥EBÓ) yy 30`%

=;2!;ADEB

=;2!;_4_4=8`(cmÛ`) yy 40`%

 8`cmÛ`

ABÓ의 길이 구하기 30`%

△EBC와 △EBA의 넓이가 같음을 알기 30`%

△EBC의 넓이 구하기 40`%

0139 ①

△

^EBC와

△

^ABF에서

EBÓ=ABÓ, BCÓ=BFÓ,

∠EBC=90ù+∠ABC=∠ABF 이므로

△

^EBCª

△

ABF (SAS 합동)

③

△

^EBA=

△

^EBC=

△

^ABF=

△

^BFL

(13)

④ ACHI=2

△

ACH, LMGC=2

△

^LGC이고

△

^ACH=

△

^BCH=

△

^GCA=

△

^LGC이므로

ACHI=LMGC

⑤ ADEB =2

△

^EBA=2

△

^EBC=2

△

^ABF

=2

△

^BFL=2

△

^FML

따라서 옳지 않은 것은 ②이다.  ②

0140 GCÓ=17-12=5`(cm)이므로

△

^{GFC에서 GFÓ=}"Ã5Û`+12Û`=13`(cm) 이때 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=GFÓÛ`=13Û`=169`(cmÛ`) ^{ 169}`cmÛ`

0141 EFGH는 정사각형이고 넓이가 74`cmÛ`이므로 EHÓ='¶74`(cm) (∵ EHÓ>0)

△

^{AEH에서 AHÓ=}"Ã('¶74 )Û`-5Û`=7`(cm)이므로 ADÓ=AHÓ+DHÓ=7+5=12`(cm)

∴ ABCD=ADÓÛ`=12Û`=144`(cmÛ`) ^{ 144}`cmÛ`

0142 EFGH는 정사각형이고 넓이가 8`cmÛ`이므로 EHÓ='8=2'2`(cm) (∵ EHÓ>0)

△

AEH에서 AEÓ=x`cm라 하면 (2'2)Û`=xÛ`+xÛ`, 2xÛ`=8, xÛ`=4

∴ x=2 (∵ x>0)

따라서 정사각형 ABCD의 한 변의 길이는 4`cm이므로 둘 레의 길이는 4_4=16`(cm) ^{ 16}`cm 0143 EFGH는 정사각형이고 넓이가 58`cmÛ`이므로

EHÓ='¶58`(cm) (∵ EHÓ>0)

AEÓ=x`cm라 하면 AHÓ=BEÓ=(10-x)`cm이므로

△

^{AEH에서 (}'¶58 )Û`=xÛ`+(10-x)Û`

58=2xÛ`-20x+100, xÛ`-10x+21=0 (x-3)(x-7)=0 ∴ x=7 (∵ AEÓ>BEÓ)

따라서 AEÓ의 길이는 7`cm이다.  7`cm 0144

△

^ABDª

△

CEB이므로 ABÓ=CEÓ=8, BCÓ=DAÓ=6

∴ BDÓ=EBÓ="Ã6Û`+8Û`=10 또한 ∠DBA=∠BEC이므로

∠DBE =180ù-(∠DBA+∠EBC)

=180ù-(∠BEC+∠EBC)

=180ù-90ù=90ù

따라서

△

DBE는 ∠DBE=90ù인 직각이등변삼각형이므 로

DEÓ="Ã10Û`+10Û`=10'2 ^{ 10}'2 0145

△

^ABCª

△

CDE이므로 ACÓ=CEÓ=x`cm라 하면

△

ACE는 ∠ACE=90ù인 직각이등변삼각형이므로 xÛ`+xÛ`=(2'¶10 )Û`, 2xÛ`=40

xÛ`=20 ∴ x=2'5 (∵ x>0)

△

^{ABC에서 BCÓ=}"Ã(2'5)Û`-2Û`=4`(cm)

∴

△

^ABC=;2!;_4_2=4`(cmÛ`) ^{ 4}`cmÛ`

0146

△

^ABCª

△

DEB이므로 BCÓ=EBÓ, DEÓ=ABÓ=4`cm

△

CBE는 ∠CBE=90ù인 직각이등변삼각형이고 넓이가 26`cmÛ`이므로

;2!;_BCÓÛ`=26

∴ BCÓ='¶52=2'¶13`(cm) (∵`BCÓ>0)

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã(2'¶13)Û`-4Û`=6`(cm)

이때 DBÓ=ACÓ=6`cm이므로 ADÓ=4+6=10`(cm)

∴ CADE=;2!;_(6+4)_10=50`(cmÛ`) ^{ 50}`cmÛ`

0147 AHÓ=BEÓ=DGÓ=CFÓ=5`cm이므로

△

^{ABH에서 BHÓ=}"Ã13Û`-5Û`=12`(cm)

∴`EHÓ=BHÓ-BEÓ=12-5=7`(cm) 이때 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=EHÓÛ`=7Û`=49`(cmÛ`) ^{ 49}`cmÛ`

0148 CFGH는 정사각형이고 넓이가 16`cmÛ`이므로 CFÓ='¶16=4`(cm) (∵ CFÓ>0)

∴`BCÓ=BFÓ+CFÓ=4+4=8`(cm) ACÓ=BFÓ=4`cm이므로

△

^{ABC에서 ABÓ=}"Ã4Û`+8Û`=4'5`(cm)

∴ ABDE=ABÓÛ`=(4'5)Û`=80`(cmÛ`) ^{ 80}`cmÛ`

0149

△

^ABQª

△

^BCRª

△

^CDSª

△

DAP(RHS 합동)이므 로 AQÓ=BRÓ=CSÓ=DPÓ

①

△

^{BCR에서 BRÓ=}"Ã4Û`-2Û`=2'3

② AQÓ=BRÓ=2'3이므로

△

^ABQ=;2!;_2_2'3=2'3

③ AQÓ=BRÓ=CSÓ=DPÓ, APÓ=BQÓ=CRÓ=DSÓ이므로 PQÓ=QRÓ=RSÓ=SPÓ

④ PQÓ=AQÓ-APÓ=2'3-2

⑤ PQRS는 정사각형이므로

PQRS=PQÓÛ`=(2'3-2)Û`=16-8'3

따라서 옳지 않은 것은 ④이다.  ④

0150 ABCD는 정사각형이고 넓이가 26이므로 ABÓ='¶26 (∵ ABÓ>0)

EFGH는 정사각형이고 넓이가 16이므로 EFÓ='¶16=4 (∵ EFÓ>0)

이때 BFÓ=x라 하면 AEÓ=BFÓ=x이므로

△

^{ABF에서 (}'¶26)Û`=(x+4)Û`+xÛ`

2xÛ`+8x-10=0, xÛ`+4x-5=0

(x+5)(x-1)=0 ∴ x=1 (∵ x>0)

따라서 BFÓ의 길이는 1이다.  1

(14)

0151 변의 길이는 양수이므로 x-7>0에서 x>7

가장 긴 변의 길이가 x+2이므로 직각삼각형이 되려면 (x+2)Û`=(x-7)Û`+xÛ`, xÛ`-18x+45=0

(x-15)(x-3)=0 ∴ x=15 (∵`x>7) ^{ 15} 0152 삼각형에서 가장 긴 변의 길이의 제곱이 나머지 두 변의 길

이의 제곱의 합과 같으면 직각삼각형이다.

① 3Û`+2Û`+2Û`

② (2'7)Û`=4Û`+(2'3)Û`

③ ('¶10)Û`+2Û`+3Û`

④ 16Û`+5Û`+12Û`

⑤ 12Û`=('¶23)Û`+11Û` ^{ ②, ⑤} 0153 변의 길이는 양수이므로 x-13>0에서 x>13

가장 긴 변의 길이가 x+5이므로 직각삼각형이 되려면 (x+5)Û`=(x+4)Û`+(x-13)Û`에서 yy 50`%

xÛ`-28x+160=0, (x-8)(x-20)=0

∴ x=20 (∵ x>13) yy 50`%

 20

직각삼각형이 되기 위한 x에 대한 식 세우기 50`%

x의 값 구하기 50`%

0154 Ú 가장 긴 변의 길이가 x`cm일 때

xÛ`=6Û`+8Û`=100 ∴ x=10 (∵ x>0) Û 가장 긴 변의 길이가 8`cm일 때

8Û`=6Û`+xÛ`, xÛ`=28 ∴ x=2'7 (∵ x>0)

 ③, ⑤ 0155 AEÓ=ADÓ=10이므로

△

^{ABE에서 BEÓ=}"Ã10Û`-6Û`=8

∴`ECÓ=10-8=2

EFÓ=x라 하면 DFÓ=EFÓ=x이므로 FCÓ=6-x

△

^{FEC에서 xÛ}`=(6-x)Û`+2Û`, 12x=40 ∴`x=:Á3¼:

따라서 EFÓ의 길이는 :Á3¼:이다. ^:Á3¼:

0156 AQÓ=ADÓ=15이므로

△

ABQ에서 BQÓ="Ã15Û`-9Û`=12

∴`QCÓ=15-12=3

PCÓ=x라 하면 PQÓ=DPÓ=9-x이므로

△

PQC에서 (9-x)Û`=xÛ`+3Û`, 18x=72 ∴`x=4

∴`

△

^PQC=;2!;_3_4=6 ^{ 6}

0157 EFÓ=x`cm라 하면

AEÓ=EFÓ=x`cm이므로 BEÓ=(8-x)`cm BFÓ=;2!;_8=4`(cm)이므로

△

^{EBF에서 xÛ}`=4Û`+(8-x)Û`, 16x=80 ∴ x=5 따라서 EFÓ의 길이는 5`cm이다. ^{ 5}`cm

0158 ∠FBD=∠DBC (접은 각), ∠FDB=∠DBC (엇각) 이므로 ∠FBD=∠FDB

따라서

△

FBD는 FBÓ=FDÓ인 이등변삼각형이다.

AFÓ=x라 하면 FBÓ=FDÓ=12-x

△

ABF에서 (12-x)Û`=xÛ`+9Û`

24x=63 ∴`x=:ª8Á:

따라서 AFÓ의 길이는 :ª8Á:이다. ^:ª8Á:

0159 ∠FAC=∠BAC (접은 각), ∠FCA=∠BAC (엇각) 이므로 ∠FAC=∠FCA

따라서

△

FAC는 FAÓ=FCÓ인 이등변삼각형이다.

DFÓ=x라 하면 FAÓ=FCÓ=10-x

△

AFD에서 (10-x)Û`=xÛ`+5Û`

20x=75 ∴`x=:Á4°:

∴`

△

^AFD=;2!;_:Á4°:_5=:¦8°: ^:¦8°:

0160 ∠ABC=∠CBD`(접은 각), ∠ACB=∠CBD`(엇각) 이므로 ∠ABC=∠ACB

따라서

△

ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

∴ ACÓ=ABÓ=10`cm 오른쪽 그림과 같이 점 B에서

8 cm 10 cm H A

B D

직선 AC에 내린 수선의 발을 C

H라 하면

△

^HBA에서

AHÓ="Ã10Û`-8Û`=6`(cm) CHÓ=10+6=16`(cm)이므로

△

^{HBC에서 BCÓ=}"Ã16Û`+8Û`=8'5`(cm) ^{ ①} 0161 BEÓ=x라 하면 DEÓ=AEÓ=18-x이고

BDÓ=;2!;`BCÓ=;2!;_18=9이므로

△

BDE에서 (18-x)Û`=xÛ`+9Û`

36x=243 ∴ x=:ª4¦:

따라서 BEÓ의 길이는 :ª4¦:이다. ^:ª4¦:

0162 PBÓ=x`cm라 하면 CPÓ=APÓ=(12-x)`cm

△

PBC에서 (12-x)Û`=xÛ`+6Û`, 24x=108 ∴ x=;2(;

따라서 PBÓ의 길이는 ;2(;`cm이다. ^;2(;`cm 0163 CFÓ=x라 하면 DFÓ=AFÓ=4-x이고

CDÓ=;2!;`BCÓ=;2!;_4=2이므로

△

CFD에서 (4-x)Û`=2Û`+xÛ`, 8x=12 ∴ x=;2#;

∴

△

^CFD=;2!;_2_;2#;=;2#; ^;2#;

(15)

0179 삼각형이 결정되는 조건에 의하여 5-3<a<5+3 ∴`2<a<8

이때 a<5이므로 2<a<5 yy ㉠ 또한 가장 긴 변의 길이가 5이므로 둔각삼각형이 되려면 5Û`>3Û`+aÛ`, aÛ`<16

∴`0<a<4 (∵`a>0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 2<a<4  ②

0180 삼각형이 결정되는 조건에 의하여 8-5<x<8+5 ∴`3<x<13

이때 x<8이므로 3<x<8 yy ㉠ 또한 가장 긴 변의 길이가 8이므로 예각삼각형이 되려면 8Û`<5Û`+xÛ`, xÛ`>39

∴`x>'¶39 (∵`x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 '¶39<x<8

따라서 조건을 만족하는 자연수 x의 값은 7이다.  ① 0181 삼각형이 결정되는 조건에 의하여

5-2<x<5+2 ∴ 3<x<7 yy ㉠ yy 20`%

∠A>90ù이려면 `BCÓ가 가장 긴 변이어야 하므로 xÛ`>2Û`+5Û`, xÛ`>29

∴ x>'¶29 (∵ x>0) yy ㉡ yy 30`%

㉠, ㉡에서 '¶29<x<7 yy 30`%

따라서 구하는 자연수 x의 값은 6이다. yy 20`%

 6

삼각형이 결정되는 조건에 의한 x의 값의 범위 구하기 20`%

∠A>90ù임을 이용하여 x의 값의 범위 구하기 30`%

주어진 조건을 모두 만족하는 x의 값의 범위 구하기 30`%

자연수 x의 값 구하기 20`%

0182 ACÓ=x라 하면 삼각형이 결정되는 조건에 의하여

6-3<x<6+3 ∴`3<x<9 yy ㉠

∠B<90ù이므로 xÛ`<3Û`+6Û`, xÛ`<45

∴`0<x<3'5 (∵`x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 3<x<3'5

따라서 x의 값이 될 수 있는 자연수는 4, 5, 6이므로 그 합은

4+5+6=15  15

0183 ① 4Û`=1Û`+('¶15)Û` ➡ 직각삼각형

② 4Û`>2Û`+3Û` ➡ 둔각삼각형

③ 7Û`<4Û`+6Û` ➡ 예각삼각형

④ 10Û`=6Û`+8Û` ➡ 직각삼각형

⑤ 15Û`>9Û`+10Û` ➡ 둔각삼각형  ③ 0184 10Û`<6Û`+9Û`이므로

△

ABC는 예각삼각형이다.  ⑤

STEP 1

^필수 ^{유형 익히기}

p. 33~p. 38

02 피타고라스 정리를 이용한 성질

0164 삼각형이 결정되는 조건에 의하여

5-4<x<5+4 ∴ 1<x<9 yy ㉠

∠C가 예각이므로 xÛ`<4Û`+5Û`, xÛ`<41

∴ 0<x<'¶41 (∵ x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 1<x<'¶41  1<x<'¶41 0165 삼각형이 결정되는 조건에 의하여

4-3<x<4+3 ∴ 1<x<7 yy ㉠

∠C가 둔각이므로

xÛ`>4Û`+3Û`, xÛ`>25 ∴ x>5 (∵ x>0) yy ㉡

㉠, ㉡에서 5<x<7  5<x<7 0166 10Û`>5Û`+8Û`이므로 둔각삼각형이다. ^{ 둔각삼각형} 0167 ('¶37)Û`=5Û`+(2'3)Û`이므로 직각삼각형이다.

 직각삼각형

0168 ^6Û`<4Û`+5Û`이므로 예각삼각형이다. ^{ 예각삼각형} 0169 x="Ã(3'¶13)Û`-9Û`=6

(3'¶13)Û`=9_(9+y), 117=81+9y

9y=36 ∴ y=4  x=6, y=4 0170 x="Ã4Û`+2Û`=2'5

4Û`=y_2, 2y=16 ∴ y=8 ^{ x=2}'5, y=8 0171 4Û`+8Û`=6Û`+xÛ`, xÛ`=44

∴ x=2'¶11 (∵ x>0) ^{ 2}'¶11 0172 ^5Û`+xÛ`=8Û`+10Û`, xÛ`=139

∴ x='¶139 (∵ x>0) ^'¶139 0173 3Û`+5Û`=xÛ`+4Û`, xÛ`=18

∴ x=3'2 (∵ x>0) ^{ 3}'2 0174 ^2Û`+5Û`=3Û`+xÛ`, xÛ`=20

∴ x=2'5 (∵ x>0) ^{ 2}'5 0175 (색칠한 부분의 넓이)=10+20=30`(cmÛ`)  30`cmÛ`

0176 (색칠한 부분의 넓이)=

△

^ABC=40`(cmÛ`) ^{ 40}`cmÛ`

0177 x：y：6='2：1：1에서

x=6'2, y=6 ^{ x=6}'2, y=6 0178 x：y：9=1：2：'3 에서

x=3'3, y=6'3 ^{ x=3}'3, y=6'3

기본 문제 다지기

^{p. 32}

(16)

0185 ^{㉠ 5Û}`>2Û`+4Û` ➡ 둔각삼각형

㉡ ('¶21 )Û`<('¶10 )Û`+(2'3 )Û` ➡ 예각삼각형

㉢ 9Û`>5Û`+7Û` ➡ 둔각삼각형

㉣ 6Û`=(3'3 )Û`+3Û` ➡ 직각삼각형

㉤ 11Û`>7Û`+8Û` ➡ 둔각삼각형

㉥ 13Û`>12Û`+4Û` ➡ 둔각삼각형

따라서 둔각삼각형이 아닌 것은 ㉡, ㉣이다.  ㉡, ㉣ 0186 ⑤ cÛ`>aÛ`+bÛ`이면 ∠C가 둔각인 둔각삼각형이다. ^{ ⑤} 0187

△

^{ABD에서 ADÓ=}"Ã20Û`-16Û`=12

ADÓÛ`=DBÓ_DCÓ이므로 12Û`=16_DCÓ ∴ DCÓ=9

△

^{ADC에서 ACÓ=}"Ã12Û`+9Û`=15 ^{ ⑤} 0188

△

ABC에서 BCÓ="Ã12Û`+9Û`=15

ABÓÛ`=BHÓ_BCÓ이므로 12Û`=a_15

따라서 a=:¢5¥:이므로 b=15-a=15-:¢5¥:=:ª5¦:

∴ a-b=:¢5¥:-:ª5¦:=:ª5Á: ^:ª5Á:

0189 ⑴ CDÓ=x라 하면 BCÓÛ`=CDÓ_CAÓ이므로 15Û`=x(x+16), xÛ`+16x-225=0 (x+25)(x-9)=0 ∴ x=9 (∵ x>0) 따라서 CDÓ의 길이는 9이다.

⑵

△

^{ABC에서 ABÓ=}"Ã25Û`-15Û`=20 ∴

△

^ABC=;2!;_20_15=150

 ⑴ 9 ⑵ 150 0190

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã25Û`-15Û`=20`(cm)

ABÓ_ACÓ=BCÓ_AHÓ이므로

15_20=25_AHÓ ∴`AHÓ=12`(cm) ^{ 12}`cm 0191

△

^{ABC에서 y=}"Ã10Û`-8Û`=6

ABÓ_BCÓ=ACÓ_BHÓ이므로 6_8=10_z ∴ z=:ª5¢:

BAÓÛ`=AHÓ_ACÓ이므로 6Û`=x_10 ∴ x=:Á5¥:

∴ x-y+z=:Á5¥:-6+:ª5¢:=:Á5ª: ^:Á5ª:

0192 ACÓ=k, BCÓ=2k (k>0)라 하면

△

^{ABC에서 ABÓ=}"ÃkÛ`+(2k)Û`='5k yy 60`%

ACÓ_BCÓ=ABÓ_CDÓ이므로 k_2k='5k_4 ∴ k=2'5

따라서 ACÓ의 길이는 2'5이다. yy 40`%

 2'5

세 변의 길이를 한 문자를 사용하여 나타내기 60`%

ACÓ의 길이 구하기 40`%

0193 DEÓÛ`+9Û`=6Û`+8Û`, DEÓÛ`=19

∴ DEÓ='¶19`(cm) (∵`DEÓ>0) ^'¶19`cm 0194 DEÓ는 삼각형의 두 변의 중점을 연결한 선분이므로

DEÓ=;2!; ABÓ=;2!;_8=4 8Û`+4Û`=AEÓÛ`+BDÓÛ`이므로

AEÓÛ`+BDÓÛ`=80 ^{ 80}

0195

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã8Û`+6Û`=10 10Û`+DEÓÛ`=AEÓÛ`+(3'6 )Û`이므로

AEÓÛ`-DEÓÛ`=10Û`-(3'6 )Û`=46 ^{ ④} 0196 ABÓÛ`+6Û`=7Û`+BCÓÛ`이므로

ABÓÛ`-BCÓÛ`=7Û`-6Û`=13 ^{ 13} 0197 (4'5)Û`+11Û`=ADÓÛ`+12Û`, ADÓÛ`=57

∴ ADÓ='¶57`(cm) (∵`ADÓ>0) ^'¶57`cm 0198 7Û`+(2'¶10)Û`=xÛ`+8Û`, xÛ`=25

∴ x=5 (∵`x>0)

△

^{AOD에서 y=}"Ã5Û`-4Û`=3  x=5, y=3 0199 5Û`+4Û`=6Û`+DPÓÛ`, DPÓÛ`=5

∴ DPÓ='5`(cm) (∵ DPÓ>0) ^'5`cm 0200 12Û`+CPÓÛ`=14Û`+DPÓÛ`이므로

CPÓÛ`-DPÓÛ`=14Û`-12Û`=52 ^{ 52} 0201 APÓÛ`+(10'6)Û`=10Û`+30Û`, APÓÛ`=400

∴ APÓ=20`(m) (∵ APÓ>0) 진운이의 속력은 시속 2`km이므로

2`km

1시간 =2000`m

3600초 =;9%;`(m/초) 따라서 구하는 시간은

(거리)Ö(속력)=20Ö;9%;=36(초) ^{ 36초}

0202 SÁ+Sª=S£이므로

SÁ+Sª+S£=2S£=2_{;2!;_p_4Û`}=16p`(cmÛ`)

 16p`cmÛ`

0203 SÁ+Sª=S£이므로

Sª=S£-SÁ=36p-16p=20p  20p

0204 (색칠한 두 반원의 넓이의 합)

=(ABÓ를 지름으로 하는 반원의 넓이)

=;2!;_p_2Û`=2p`(cmÛ`) ^{ ①}

(17)

△

^ABE에서

4：BEÓ=2：1 ∴ BEÓ=2`(cm) 4：AEÓ=2：'3 ∴ AEÓ=2'3`(cm)

△

^{CDF에서 2}'3：FCÓ=1：1 ∴`FCÓ=2'3`(cm)

∴ ABCD=;2!;_{2+(2+2+2'3 )}_2'3

=6+6'3`(cmÛ`)  (6+6'3)`cmÛ`

0215 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 A D

H C 10 cm 60∞

8 cm

B

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하 면

△

ABH에서 8：AHÓ=2：'3

∴ AHÓ=4'3`(cm)

∴ ABCD =10_4'3

=40'3`(cmÛ`) ^{ 40}'3`cmÛ`

0216 정팔각형의 한 외각의 크기는 _A _C

B 6 cm

360ù8 =45ù

오른쪽 그림의

△

^ABC에서

∠ABC=∠ACB=45ù이므로

ACÓ：6=1：'2 ∴ ACÓ=3'2`(cm) 따라서 처음 정사각형의 한 변의 길이는

3'2+6+3'2=6(1+'2 )`(cm) ^{ ③}

STEP 2

^{중단원 유형 다지기}

p. 39~p. 41

0217 (x+4)Û`=xÛ`+8Û`에서

8x=48 ∴ x=6  ③

0218

△

^{ABH에서 AHÓ=}"Ã25Û`-20Û`=15

△

^{AHC에서 HCÓ=}"Ã17Û`-15Û`=8 따라서

△

AHC의 둘레의 길이는

15+8+17=40  40

0219 OBÓ="Ã1Û`+1Û`='2 OCÓ="Ã('2)Û`+1Û`='3 ODÓ="Ã('3)Û`+1Û`=2

∴ OEÓ="Ã2Û`+1Û`='5 ^{ ②} 0220 ABCD는 넓이가 144인 정사각형이므로

ABÓ=BCÓ=12 (∵ ABÓ>0, BCÓ>0) 또 ECGF는 넓이가 16인 정사각형이므로 CGÓ=4 (∵ CGÓ>0)

BGÓ=BCÓ+CGÓ=12+4=16이므로

△

^{ABG에서 AGÓ=}"Ã12Û`+16Û`=20 ^{ 20} 0205

△

^{ABC에서 ACÓ=}"Ã17Û`-8Û`=15`(cm)

∴`(색칠한 부분의 넓이)=

△

^ABC

=;2!;_8_15=60`(cmÛ`)

 60`cmÛ`

0206 (색칠한 부분의 넓이)=

△

^ABC이므로

54=;2!;_ABÓ_9 ∴ ABÓ=12`(cm)

△

^{ABC에서 BCÓ=}"Ã12Û`+9Û`=15`(cm) ^{ 15}`cm 0207 오른쪽 그림에서

A

4 6

B

D

C S¡

S™ S¢

S£

SÁ+Sª=

△

^ABD,

S£+S¢=

△

^DBC

∴` SÁ+Sª+S£+S¢

=

△

^ABD+

△

^DBC

=ABCD

=4_6=24  ②

0208

△

ABC에서 8：ACÓ=2：'3 ∴`ACÓ=4'3`(cm)

△

^{ACD에서 4}'3：CDÓ='2：1 ∴`CDÓ=2'6`(cm)

 ④

0209 10：BCÓ=2：'3 ∴ BCÓ=5'3`(cm)  5'3`cm 0210

△

^ABD에서

2'6：ADÓ='2：1 ∴ ADÓ=2'3`(cm) yy 50`%

△

^ADC에서

2'3：ACÓ='3：2 ∴ ACÓ=4`(cm) yy 50`%

 4`cm

△ABD에서 ADÓ의 길이 구하기 50`%

△ADC에서 ACÓ의 길이 구하기 50`%

0211

△

AMC에서 MCÓ：3=1：'3 ∴`MCÓ='3 BCÓ=2MCÓ=2'3이므로

△

^{ABC에서 ABÓ=}"Ã(2'3)Û`+3Û`='¶21 ^{ ②} 0212

△

ABC에서 6：x=1：'3 ∴ x=6'3

△

^{BCD에서 6}'3：y=2：1 ∴ y=3'3

∴ x+y=6'3+3'3=9'3 ^{ 9}'3 0213

△

ABC에서 3：BCÓ=1：'2 ∴`BCÓ=3'2

△

^{DBC에서 3}'2：CDÓ='3：1 ∴`CDÓ='6

 '6 0214 오른쪽 그림과 같이 두 점 A, D

B

A D

60∞ 45∞ C 4 cm

2 cm

E F

에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 각 각 E, F라 하면

EFÓ=ADÓ=2`cm

(18)

0221 오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ, DEÓ

E M

N A 4 cm

B C

D

21 cm

에 내린 수선의 발을 각각 M, N이라 하 면 BDÓ∥ANÓ이므로

△

^ABD=

△

^MBD

△

^ABC에서

ABÓ="Ã('¶21)Û`-4Û`='5`(cm)

이때 BDNM의 넓이는 ABÓ를 한 변으로 하는 정사각형 의 넓이와 같으므로

BDNM=('5)Û`=5`(cmÛ`)

∴

△

^ABD=

△

^MBD=;2!;BDNM=;2%;`(cmÛ`) ^{ ②} 0222

△

^{ABQ에서 AQÓ=}"Ã2Û`-1Û`='3

∴ PQÓ=AQÓ-APÓ='3-1 이때 PQRS는 정사각형이므로

PQRS=('3-1)Û`=4-2'3 ^{ 4-2}'3 0223 세 변의 길이 중 가장 긴 변의 길이는 x+5이므로

△

ABC가 직각삼각형이 되려면 (x+5)Û`=(x-3)Û`+(x+1)Û`

xÛ`-14x-15=0, (x+1)(x-15)=0

∴ x=15 (∵ x>3)  15

0224 CFÓ=x`cm라 하면 DFÓ=BFÓ=(10-x)`cm

△

CDF에서 (10-x)Û`=xÛ`+8Û`

20x=36 ∴ x=;5(;

따라서 CFÓ의 길이는 ;5(;`cm이다. ^;5(;`cm 0225

△

ABC는 ∠C>90ù인 둔각삼각형이다.

∴ ∠A+∠B<90ù  ⑤

0226 (2'3)Û`+BCÓÛ`=6Û`+5Û`, BCÓÛ`=49

∴`BCÓ=7 (∵ BCÓ>0) ^{ 7} 0227 6Û`+CDÓÛ`=4Û`+5Û`, CDÓÛ`=5

∴`CDÓ='5 (∵`CDÓ>0)  '5 0228

△

ABC에서 6：BCÓ=2：1 ∴ BCÓ=3`(cm)

△

BCD에서 3：CDÓ=2：'3 ∴ CDÓ=3'3 2 `(cm)

 ② 0229 오른쪽 그림과 같이 점 A에서

B H C

6 cm

14 cm A 8 cm D

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

BHÓ=;2!;_(14-8)=3`(cm) 이므로

△

^ABH에서

AHÓ="Ã6Û`-3Û`=3'3`(cm) yy 4점

따라서 등변사다리꼴 ABCD의 넓이는

;2!;_(8+14)_3'3=33'3`(cmÛ`) yy 3점

 33'3`cmÛ`

등변사다리꼴 ABCD의 높이 구하기 4점

등변사다리꼴 ABCD의 넓이 구하기 3점

0230 ABCD는 넓이가 64`cmÛ`인 정사각형이므로 ABÓ='¶64=8`(cm) (∵ ABÓ>0)

∴ EBÓ=8-5=3`(cm) yy 2점

△

^{BFE에서 EFÓ=}"Ã3Û`+5Û`='¶34`(cm) yy 2점 이때 EFGH는 정사각형이므로

EFGH=('¶34)Û`=34`(cmÛ`) yy 2점

 34`cmÛ`

EBÓ의 길이 구하기 2점

EFÓ의 길이 구하기 2점

EFGH의 넓이 구하기 2점

0231 ⑴ ECÓ=BCÓ=10`cm이므로

△

^{ECD에서 EDÓ=}"Ã10Û`-8Û`=6`(cm) ∴`AEÓ=10-6=4`(cm)

EFÓ=x`cm라 하면 BFÓ=EFÓ=x`cm이므로 AFÓ=(8-x)`cm

△

^{AFE에서 xÛ}`=4Û`+(8-x)Û`

16x=80 ∴`x=5

따라서 EFÓ의 길이는 5`cm이다.

⑵

△

^CEF에서

CFÓ="Ã5Û`+10Û`=5'5`(cm)

 ⑴ 5`cm ⑵ 5'5`cm

0232 삼각형이 결정되는 조건에 의하여 15-8<x<15+8 ∴ 7<x<23

이때 x>15이므로 15<x<23 yy ㉠ yy 2점 가장 긴 변의 길이가 x이므로 둔각삼각형이 되려면 xÛ`>8Û`+15Û``, xÛ`>289

∴ x>17 (∵ x>0) yy ㉡ yy 2점

㉠, ㉡에서 17<x<23 yy 2점 따라서 x의 값이 될 수 있는 자연수는 18, 19, 20, 21, 22이

다. yy 2점

 18, 19, 20, 21, 22

삼각형이 결정되는 조건에 의한 x의 값의 범위 구하기 2점

둔각삼각형이 되기 위한 x의 값의 범위 구하기 2점

주어진 조건을 모두 만족하는 x의 값의 범위 구하기 2점

자연수 x의 값 모두 구하기 2점

정답과 해설