차 례

(1)

차 례

점성유체의 흐름

Chapter 1 (Flow of Viscous Fluid) 층류 와 난류

Reminding, (層流) (亂流), 난류의 전단 응력

점성유체의 흐름 Chapter 2

경계층 박리 에너지식과 운동량방정식의 수정, ,

점성유체의 흐름 Chapter 3

에너지 손실 저항력과 에너지 손실,

상사법칙

Chapter 4 (Law of Similarity) 원관내의 흐름

상사법칙 Chapter 5

저속물체 주변의 흐름 중력의 영향을 받는 흐름,

차원해석

Chapter 6 (Dimensional Analysis) 관 마찰

차원해석 Chapter 7

잠겨있는 물체에 작용하는 힘

차원해석 Chapter 8

선박저항

(2)

정리 Chapter 9 π-

관로에서의 유체의 흐름 Chapter 10

(Fluid Flow in Pipes)

원관내에서의 수두손실 마찰계수, , Colebrook의 실험

의 법칙 원관내에서 속도분포 Hagen-Poiseuille , , 층류막의 두께

난류의 7승근 법칙 원형이 아닌 관에서의 관마찰, , 관마찰의 실험식

관로에서의 부차적 손실

급변확대관 및 수축관 점차확대관 곡관 밸브와 콕크

( , , , )

관로문제 단일관( )

관로문제 다관( )

(3)

점성유체의 흐름 Chapter 1

(Flow of Viscous Fluid)

1-1 Reminding

비압축성 유체 물 기름 등 의 방정식

1) ( , ) Energy

p1/ｒ + V12

/2g + z1 - HL1-2 = p2/ｒ + V22

/2g + z2

p1/ｒ : 압력수두 압력 에너지( ) V12

속도수두 운동 에너지

/2g : ( )

z1 : 위치수두 위치 에너지( )

H_L1-2 : 점성마찰로 인한 에너지 손실

압축성 유체 공기 등 의 방정식 2) ( ) Energy

I1 + p1/r1 + V12

/2g + z1 + EH

= I2 + p2/r2 + V22

/2g + z2

EH : 유체가 받는 열 에너지 I1, I2 : 내부에너지

방정식 정리

3) Bernoulli ( ) (Page 77 - 78)

p/ｒ + V²/2g + z = H 적분상수 전수두

H : ( )

(4)

이상기체의 상태방정식 4)

pv = GRT

압력 체적

p : , v : 기체상수

R( ) : 29.27,

절대온도 질량

T : , G :

5) Boyle - Charle의 법칙

Boyle - Charles :

p

1

v

1

/T

1

= p

2

v

2

/T

2

Boyles :

p

1

v

1

= p

2

v

2

Charles :

v

1

/T

1

= v

2

/T

2

6) Enthalpy

(H) = I + p/ ｒ = C

p

․ T

Cp(kcal/kgf․℃) (정압비열) : 정압하에서 단위중량의 물질을 단위온도 올리는데 필요한 열량

내부에너지 물체속에 저장되어 있는 에너지로써

I( ) :

분자간의 운동도를 나타내는 에너지를 말함.

(5)

층류 와 난류

1-2 (層流) (亂流)

1) 층류(Laminar flow) : 유체의 각 미소입자가 질서정연하 게 층을 이루고서 흐르는 상태의 흐름 (R < 2,100)

2) 난류(Turbulent flow) : 유체의 각 미소입자가 무질서한 운동을 하면서 주류방향으로 흐르는 상태의 흐름(R > 4,000)

3) 천이(遷移, Transition) : 흐름이 층류에서 난류로 바뀌거 나 난류에서 층류로 바뀌는 것 이때의 속도를, . 임계속도(臨

, Critical velocity)

界速度 라 함.

상 임계속도(Upper critical velocity)

층류에서 난류로 천이 -

하 임계속도(Lower critical velocity)

난류에서 층류로 천이 -

상 임계속도 > 하 임계속도

흐름에 두 상태가 있음을 처음으로 밝혔음 Hagen :

상사법칙 을 적용해서 층류에서 난류로 Reynolds : (相似法則)

바뀌는 천이를 간단한 실험을 실시해서 설명

Reynolds

^는 상사법칙을 적용 층류에서 난류로, 바뀌는 천이를 간단한 실험으로 실시하여 증명함

(6)

염색액

물 염색액

물

그림 6-1

유속조정 를 통에 원관에 주입

A : , B : B , C : 염색액

그림 6-2

임계 Reynolds 수(Critical Reynolds number, Rc) 천이가 일어나기 시작하는 수

- Reynolds

공학적으로 원관속에서의 유체의 흐름

*

층류 R < 2,100 :

난류 R > 4,000 :

(7)

무차원량

Reynolds number( ) = Vd / ρ μ or Vd/ , υ

관내의 평균 유속

V : (㎧)

관의 지름 d : (m)

유체의 동점성계수

(nu) : (

υ ㎡/sec)

유체의 밀도

: (

ρ ㎏㎥/ = ㎏ ․f sec²/m⁴) 유체의 점성계수

(mu) : (

μ ㎏/m sec․ = ㎏ ․f sec/m²),

점성계수 밀도 동점성계수

[ ] = [ x ]

μ ρυ

비중량 밀도 중력가속도

r[ ] = ρℊ[ x ] (㎏㎡․/ sec² = ㎏㎥/ x ㎨ = ㎏f/㎥)

예제 물이 지름

[ 1-1] 10℃ 20㎜(d)의 원관속을 0.12 ㎧ (V)의 평균속도로 흐르고 있다 이때의. Reynolds 수는 ? 또 한 원관속의 흐름은 층류인가 난류인가, , ?

sol) R = Vd /ρ μ or Vd/υ

= 13.1 x 10

υ ^-7 ㎡/sec

d = 0.02 m, V = 0.12 ㎧

( =101.94ρ ㎏ ․f sec²/m⁴, μ=13.36 x 10^-5 ㎏ ․f sec/m²) R = (0.12 x 0.02)/(13.1 x 10^-7) =1,830,

따라서 층류

난류 의 전단응력

1-3 (亂流) (剪斷應力)

층류의 전단응력 의 가설 뉴턴의 점성법칙

1) (Newton , ),

(Page 16)

τ = μ∙dv/dy (㎏/m sec․ ² = ㎏f/m²)

(8)

유체의 점성계수 비례상수 : (Coefficient of viscosity, ), μ

(㎏/m sec․ = ㎏ ․f sec/m²) 속도 구배

dv/dy : (1/sec) 전단응력

: (Shearing stress) τ

마찰응력

or (Frictional stress)

난류의 전단응력 난류에 있어서의

2) : 전단응력에 관한 완전

한 식은 없다.

실제의 흐름 : 난류가 대부분 난류는 표면마찰을 증가, , 수두손실을 증가시킴

난류의 속도

- : v,

시간적 평균속도

- : v,

시간에 따라 불규칙하게 변동하는 변동속도

- : v'

- Reynolds 난류속도 : v = v + v'

v = lim

T→∞

1 T ^⌠^⌡

T

0 v dt, lim

T→∞

⌠⌡

T

0 v' dt = 0

(9)

그림 6-3

간단화를 위해서 2차원흐름으로서 평균적인 흐름이 x축에 평행한 경우를 생각하면, y 축방향의 속도 v_y 는 다음과 같 다.

v_y = v_y', lim

T→∞

⌠⌡

T

0 v_y' dt = 0

그림 6-4

x 축에 평행한 단위면적을 단위시간에 통과하는 유체의 질량은 ρv_y' 이다 이 질량이. x 축 방향으로 속도의 변동 v_x'를 일으켰다면 이 질량에 가하여 진 힘은 운동량의 원리 에 의해서 구할 수 있으며, Reynolds는 이것이 난류에서의

(10)

유체층 사이의 전단응력 τ 와 같다고 하였다.

τ = ρ v_x' v_y' (6-1)

여기에서 v_x' v_y' 는 변동속도 v_x' 와 v_y' 와의 상승적의 시간적 평균치이며, v_x' 와 v_y' 의 각 시간적 평균치는 0이 될 것이나 v_x' v_y' 의 시간적 평균치는 0 이 아닐 것이다.

식(6-1)로 표시되는 전단응력을 Reynolds 응력이라고 부른 다.

벽면에서의 영향도 생각하면 난류에서의 전마찰응력은 τ = μ dv

dy ^{+ ρ} v_x' v_y' (6-2)

로 쓸 수 있다 그러나 벽에서 떨어진 곳에서는. μ∙(dv/dy)는 ρ v_x' v_y' 에 비해서 작아 무시해 줄 수 있으므로 전단응력 은 Reynolds 응력만이 된다.

Boussinesq는 Reynolds 응력을 다음과 같이 표시하였다. τ = ρ v_x' v_y' = ε dv

dy ^(6-3)

여기서 ε 은 와류점성계수(eddy viscosity) 또는 기계점성계수(mechanical viscosity)라고 불리운다.

위의 식을 식(6-2)에 대입하면 τ = ( μ+ε) dv

dy ^이다.

(11)

이것은 속도변동에 의한 혼합작용은 점성작용의 증가를 가져옴을 뜻한다. Boussinesq는 와류점성계수를 이론적으로 밝히지를 못하고 경우에 따라 실험적으로 구하는 수밖에 없 었다.

Prandtl은 1925년에 기체의 분자이론인 평균자유행정 과 유사한 개념인

(mean free path) 혼합거리를 도입해서 난 류의 혼합현상을 증명하였다. 유체의 입자가 혼합에 의하여 어떤 속도의 구역에서 다른 속도의 구역으로 평균거리 ℓ 만 큼 수송되며 그러한 동안에 그들의 주류의 운동속도가 변동, 한다고 생각함으로써 위에 말한 변동속도들을 주류의 특성에 연관시키는데 성공하였다. Prandtl은 거리 ℓ 을 혼합거리

라고 정의

(mixing length) 하였고 유체의 입자가 거리, ℓ 만큼 운동하는데서 생긴 속도의 변화 Δv 는 v_x' 와 v_y' 에 비례 한다고 생각하였다 즉 다음과 같다. .

|v_x'| = l dv

dy^, ^|v_y'| = l dv dy

따라서 난류에서의 전단응력은 다음과 같다.

τ = ρ ℓ ²

(

^dv_dy

)

² ^(6-4)

이 식은 많은 점에서 만족할만 하지만, ℓ 은 y 의 함수이 며 벽면에서 멀리 떨어진 곳일수록 점점 커지는 단점이 있, 다.

이 불리한 점을 K rm nả ả 이 해결하였다 그는 속도분포곡. 선의 성질과 그에 따르는 y 에 대한 ℓ 의 변화를 비교함으로

(12)

써 다음과 같은 식을 제안하였다.

τ = ρκ² (dv/dy)⁴

(d²v/dy²)² (6-5)

여기에서 κ 는 차원이 없는 난류상수이다.

이 식을 난류에서의 Prandtl -K rm nả ả 의 식이라고 말한다.

응력

1) Reynolds : τ = ρ v_x' v_y',

v_x' v_y' : 변동속도 v_x' 와 v_y' 와의 상승적의 시간적 평균치

응력 2) Boussinesq :

τ = ρ v_x' v_y' = ε dv

dy^, ^ε ^{는 와류점성계수} ^or ^기계점성 계수

벽면에서의 영향 고려하면 τ = ( μ+ε) dv dy ^,

속도변동에 의한 혼합작용은 점성작용의 증가를 가져옴

3) Prantl : τ = ρ ℓ ²

(

^dv_dy

)

²^, ^{ℓ 은 혼합거리}

은 y의 함수이며 벽면에서 멀리떨어진 곳일수록 점점, ℓ

커지는 단점이 있음.

(13)

식

4) Prandtl-Karman : τ = ρκ² (dv/dy)⁴

(d²v/dy²)² , κ 는 차원 이 없는 난류상수

예제 물이 지름

[ 1-2] 600 mm(=0.6m)의 관속에서 난류의 상태로 흐르고 있다. 속도분포를 실험적으로 계측하여서

v = 3+ 3

10 ln y(자연로그. logey) 를 얻었다 여기에서. v 는 m/ sec 이고, y 는 m 이며 관벽으로부터의 거리이다 관. 벽에서 100 mm 떨어진 점에서 전단응력이 0.98 kg_f/m² 로 계산되었다 이 점에서 와류점성계수. ( ε), 혼합거리(ℓ), 그리고 난류상수( κ)를 계산하라.

[Sol] dv dy ⁼

d

dy

(

³⁺ ₁₀³ ^{ln y}

)

⁼ ₁₀³ ¹_y ^(1/s)

d²v dy² ⁼

d

dy

(

₁₀³ ¹_y

)

^{= -} ₁₀³ _y¹² ^(1/s.m)

0.98 = ε

(

_10×0.1³

)

^, ε = 0.327 kg_f sec /m² 0.98 = 1,000

9.81 l ²

(

_10×0.1³

)

²^, ^l ^{= 0.0326 m}

0.98 = 1, 000

9.81 κ²

(

₁₀³ _0.1¹

)

⁴

[- 3 10

1

( 0.1)² ]²

, κ = 0.327