4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로A. 단상 2선식 선로의 인덕턴스
- 그림 4.9(a) : 단상 2선식 선로(single-phase two-wire line; 도체 x , y) - 도체 x : 반경 , 페이저 전류 Ix = I
도체 y : 반경 , 페이저 전류 Iy = -I
where
r
xr
y1 ) 1 ln
ln (
10
2
7xy y
xx x
x
I D
I D +
×
=
−λ
1 ) 1 ln
ln ( 10
2
7 'I D I r
x
−
×
=
−m t r Wb
I D
x
' / ln 10
2× 7 −
= −
=
=
−▣ 도체 x 의 인덕턴스
per conductor
H m
r D I
L I
x x
x x
x
/
ln ' 10 2 ×
−7=
=
= λ λ
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로▣ 마찬가지로, y 도체의 전체 쇄교자속
per conductor
1 ) 1 ln
ln ( 10
2
7yy y
yx x
y
I D
I D +
×
=
−λ
y
y
r I D
I r I D
ln ' 10
2
' ) ln 1 ln 1
( 10 2
7 7
−
−
×
−
=
−
×
=
m r H
D I
L I
y y
y y
y
/
ln ' 10 2 ×
−7− =
=
= λ λ
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로▣ 단상선로의 총 인덕턴스(loop inductance)
per circuit
▣ 전체 회로의 인덕턴스( ) per circuit
' ) ' ln
(ln 10
2
7x y y
x
r
D r
L D L
L = + = ×
−+
m r H
r D r r
D
y x
y x
' / ln '
10 4
' ln '
10 2
7
2 7
−
−
×
=
×
=
m r H
L D /
ln ' 10 4 ×
−7=
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로B. 3상 3선식 선로의 인덕턴스
- 그림 4.10(a) : 3상 3선식 선로 - 도체 a, b, c , 반경 : r,- 임의의 두 도체 사이의 간격 : 등 간격(equal phase spacing) D
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로▣ a 상 도체에 쇄교하는 총 쇄교자속
를 이용하면,
Wb-t/m
▣ a 상 도체의 인덕턴스
per phase
1 ) 1 ln
' ln ln 1 ( 10
2 7
I D I D
Ia r b c
a = × − + +
λ
[ ]
I D r I
Ia b c 1
ln ) ' (
ln 1 10
2× 7 + +
= −
a c
b
I I
I + ) = − (
1 ) ' ln
ln 1 ( 10
2
7I D I
ar
aa
= ×
−−
λ
ln ' 10
2
7r I
aD
×
−=
m r H
D
La Ia /
ln ' 10 2× −7
=
= λ
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로▣ 대칭성(symmetry)에 의해, 동일한 결과가 얻어짐
for and
for
이 선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요 각 상의 쇄교자속은 (1) 동일한 크기
(2) 120 도 위상차 를 가지기 때문
그림 4.10(b)
b b
b
I
L
=λ
/c c
c
I
L = λ /
°
4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는
단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로4.6 인덕턴스: 다 도체, 동일하지 않은 상 간격, 복 도체
▣ 다 도체 선로의 인덕턴스 (그림 4.11, 예 : 연선)
- 다 도체 x : 반경 를 갖는 N개의 종속도체로 구성되며, I/N의 전류 - 다 도체 y : 반경 를 갖는 M개의 종속도체로 구성되며, I/M의 전류 - 모든 전류의 합은 zero
▣ 다도체 x 의 종속도체 k 에 쇄교되는 총 자속
I/N 의 전류가 흐르는 종속도체 k에 쇄교되는 총 쇄교자속
∑
∑
= =−
−
×
=
Φ
Mm km
km N
m
k
M D
I D
N I
' 1 1
7
1
1 ln ln 10
2
Φ
k]
λk
−
× Φ =
= ∑ ∑
=
=
−
km M
km m N
m k
k
I N D NM D
N
ln 1 1
ln 1 10 1
2
' 1 1
2
λ
74.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
다도체 x 에 쇄교되는 총 쇄교자속
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ ln = α ln A 그리고 를 이용하면 ,
per conductor
Where
A
α∑
lnAk = lnΠAk∏ ∏
∏
=
=
− =
×
=
Nk N N
m
km M NM
m
km x
D D I
1 1/
1
/ 1
' 7 1
2
) (
) (
ln 10
λ 2
m D H
L D
xx xy
x
= 2 × 10
−7ln /
MN
M
m
km N
k
xy
D
D ∏ ∏
=
=
=
' 1 1
N2
N N
D
D = ∏ ∏
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 유사하게 다 도체 y 에 대해서도,
per conductor
여기서,
: 도체(conductor) y 의 기하학적 평균 반경(GMR)
다도체 y의 내부 종속도체(subconductor)들 사이에 존재하는 개 거리를 곱한 것의 제곱근(root) 값이다
단상 2선식 선로의 전체 인덕턴스(total inductance) L 은, m
D H L D
yy xy
y
= 2 × 10
−7ln /
2
' 1 '
1 M
M
m
km M
k
yy
D
D ∏ ∏
=
=
=
D
yyM
2M
2circuit per
m H L
L
L = + /
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 예제 4.2. GMR, GMD and inductance: single-phase two-conductor line
Expand(4.6.6),(4.6.7) , and (4.6.9) for N=3 and M=2. Then evaluate , , and L in H/m for the single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12
Lx Ly
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ SOLUTION
For N=3 and M=2’, (4.6.6) becomes
6
' 2
' 1 3
1
∏
∏
= ==
m
km k
xy
D
D
6 1' 2'
3
1
k k k
D
∏ D
=
=
6
' 32 ' 31 '
22 ' 21 '
12 '
11
)( )( )
( D D D D D D
=
9
3
1 3
1
∏
∏
= ==
m
km k
xx
D
D
9 1 2 3
3
1
k k k k
D D
∏ D
=
=
9
( D
11D
12D
13)( D
21D
22D
23)( D
31D
32D
33)
=
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
And (4.6.9) becomes
Evaluating for the single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12,
4
' 2
' 1 ' 2
'
1
∏
∏
= ==
m
km k
yy D
D
4 1' 2'
' 2
' 1
k k k
D
∏
D=
=
4
' 2 ' 2 ' 1 ' 2 '
2 ' 1 ' 1 '
1
)( )
( D D D D
=
yy xx
xy
D D
D , ,
m D
D
m D
D
m D
D
m r
e r
D D
D
m D
m D
m D
m D
m D
m D
m D
x x
xy
0 . 2
5 . 1
5 . 0
02336 .
0 ) 03 . 0 )(
7788 .
0 ( '
189 . 3 ) 3 . 2 )(
2 )(
8 . 3 )(
5 . 3 )(
3 . 4 )(
4 (
3 . 2 2
8 . 3
5 . 3 3
. 4 4
32 23
12 21
4 / 1 33
22 11
6
' 32 '
31 '
22
' 21 '
12 '
11
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
Then, from (4.6.5), (4.6.8) , and (4.6.10):
per conductor
per conductor
=> If the distances between conductors are large compared to the distances between subconductors of each conductor, then the GMD between conductors is approximately equal to the distance between conductor centers.
m D
m D
D
m r
e r
D D
m D
yy
y y
xx
09667 .
0 )
3 . 0 ( ) 03115 .
0 (
3 . 0
03115 .
0 ) 04 . 0 )(
7788 .
0 ( '
3128 .
0 )
0 . 2 ( ) 5 . 1 ( ) 5 . 0 ( ) 02336 .
0 (
4 2 2
' 1 ' 2 '
2 ' 1
4 / 1 '
2 ' 2 '
1 ' 1
9 3 2 2 2
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
=
−
m H L
m H L
y x
/ 10
992 . 6 09667)
. 0
189 . ln( 3 10
2
/ 10
644 . 4 3128)
. 0
189 . ln( 3 10
2
7 7
7 7
−
−
−
−
×
=
×
=
×
=
×
=
circuit per
m H L
L
L =
x+
y= 1 . 164 × 10
−6/
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 에제 4.3 : Inductance and inductive reactance : single-phase line
A single-phase line operating at 60 Hz consists of two 4/0 12-strand copper conductors with 5 ft spacing between conductor centers. The line length is 20 miles. Determine the total inductance in H and total inductive reactance in Ω.
▣ SOLUTION
The GMD between conductor centers is ft. Also, from Table A.3 the GMR of a 4/0 12-strand copper conductor is
=0.03639 H per conductor The total inductance is
H per circuit And the total inductive reactance is
Ω per circuit
=5 Dxy
01750 .
=0
= yy
xx D
D
mi mi m m
L H
Lx y ) 1609 20
01750 .
0 ln( 5 10
2× 7 × ×
=
= −
07279 .
0 03639 .
0
2 × =
= +
= L
xL
yL
44 . 27 ) 07279 .
0 )(
60 )(
2 (
2 = =
= πfL π XL
4.6 인덕턴스 : 동일하지 않는 상 간격을 갖는(UNEQUAL PHASE SPACING) 선로의 인덕턴스 연가(Transposition)
▣ 그림 4.13 : 완전 연가된 3상선로(completely transposed three-phase line) 의 배치 구조
각 선로는 선로 전체 길이의 1/3에 대해 각 상의 위치를 바꾸는 2장소에서의 연가가 있었음 를 만족하는 평형 정상분 전류 가 흐른다고 가정
위치 1에 있는 a 상 도체와 쇄교하는 총 자속(total flux) 은(다시, 식(4.4.30)은 유효),
Wb-t/m
Wb-t/m
c b
a I I
I , ,
=0 + + b c
a I I
I
+ +
×
=
−31 12
7 1
ln 1 ln 1
ln 1 10
2 I D
I D
I D
b cs a
λ
a
+ +
×
= −
12 23
7 2
ln 1 ln 1
ln 1 10
2 I D
I D
I D b c
s a
λa
− 1 1 1
λ
4.6 INDUCTANCE: UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 상기 쇄교 자속(flux linkage)의 평균 (a상 도체의 평균 쇄교자속) 은,
식(4.6.14)에 를 이용 하면,
Wb-t/m
a상 도체의 평균 인덕턴스는, H/m per phase
b, c 상 도체의 인덕턴스 : , 대칭성에 의해 동일 한 결과 완전 연가된 3상선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요가 있음 연가를 고려한 등가거리를 다음과 같이 정의하면,
3 3 )
( 3 )
( 3 )
(
3 2
1 3
2 1
a a
a a
a a
a
l
l l
l
λ λ λ λ λλ λ
+ + = + +
=
+ +
= ×
−31 23 12 31
23 12
7
1
1 ln 1 ln
ln 3 3
10 2
D D I D
D D I D
I D
b cs a a
c
b
I I
I + ) = − (
−
= × −
31 23 12
7 1
1 ln ln 3 3
10 2
D D I D
I D a
S a
λa
S
a D
D D I D
3 12 23 31
7 ln
10 2× −
=
S a
a
a
D
D D D L I
3 12 23 31
7
ln 10 2 ×
−=
= λ
b b
b
I
L = λ / L
c= λ
c/ I
c3 D12D23D31
Deq =
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 연가된 3상 선로의 인덕턴스
H/m
▣ 예제 4.4 : Inductance and inductive reactance : three-phase line
A completely transposed 60-Hz three-phase line has flat horizontal phase spacing with 10m between adjacent conductors. The conductors are 1,590,000 cmil ACSR with 54/3 stranding.
Line length is 200km. Determine the inductance in H and the inductive reactance in Ω.
▣ SOLUTION
From Table A.4 the GMR of a 1,590,000 cmil 54/3 ACSR conductor is
s eq
a
D
L = 2 × 10
−7ln D
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ Also, from (4.6.17) and (4.6.18),
=0.267H The inductive reactance of phase a is
ft m ft m
DS 0.0159
28 . 3 0520 1 .
0 =
=
km km m m
L H
m D
a eq
1000 200 0159)
. 0
6 . ln( 12 10 2
6 . 12 ) 20 )(
10 )(
10 (
7 3
×
×
×
=
=
=
−
Ω
=
=
= 2π a 2π(60)(0.267) 101
a fL
X
4.6 인덕턴스 : 복 도체 선로(BUNDLED CONDUCTORS)
▣ 초고압(EHV line) 송전선로 : 복도체 사용이 일반적 임
(1) 복도체(bundled conductor) : 상당 도체 2개 이상으로 구성되는 도체 bundling
(2) 복도체 사용하는 이유 : a. 도체 표면의 전계의 세기 감소 코로나 발생 억제(제거), 불 필요한 전력손실, 통신 장해, 가청 잡음 등 감소
b. GMR 증가에 의한 선로의 선로의 직렬 리액턴스 감소
▣ 그림 4.14 : EHV 복도체 구성의 예(2,3,4 도체)
2 복도체
(Two-conductor bundle):
3 복도체 : 4 복도체 :
복도체의 인덕턴스 : H/m
d D d
D
D
SL=
4(
S× )
2=
S3 2
9 3
)
( D d d D d
D
SL=
S× × =
S4 3
16 4
091 . 1 ) 2
(D d d d D d
DSL = S × × × = s
SL eq
a D
L =2×10−7 ln D
4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS
▣ 예제 4.5 : Inductive reactance : three-phase line with bundled conductors
Each of the 1,590,000 cmil conductors in Example 4.4 is replaced by two 795,000 cmil ACSR 26/2 conductors, as shown in Figure 4.15 . Bundle spacing is 0.40m.Flat horizontal spacing is retained, with 10 m between adjacent bundle centers. Calculate the inductive reactance of the line and compare it with that of Example4.4.
▣ SOLUTION
From Table A.4, the GMR of a 795,000 cmil 26/2 ACSR conductor is
From(4.6.19), the two-conductor bundle GMR is
Since is the same as in Example 4.4, H
ft m ft
DS 0.0114
28 . 3 0375 1 .
0 × =
=
m DSL = (0.0114)(0.40) =0.0676 m
Deq =12.6
209 . 0 ) 200 )(
1000 6 )(
. ln( 12 10
2× 7 =
= −
L X = 2πfL =(2π)(60)(0.209) =78.8Ω