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4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

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(1)

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

A. 단상 2선식 선로의 인덕턴스

- 그림 4.9(a) : 단상 2선식 선로(single-phase two-wire line; 도체 x , y) - 도체 x : 반경 , 페이저 전류 Ix = I

도체 y : 반경 , 페이저 전류 Iy = -I

where

r

x

r

y

1 ) 1 ln

ln (

10

2

7

xy y

xx x

x

I D

I D +

×

=

λ

1 ) 1 ln

ln ( 10

2

7 '

I D I r

x

×

=

m t r Wb

I D

x

' / ln 10

7

=

=

=

(2)

▣ 도체 x 의 인덕턴스

per conductor

H m

r D I

L I

x x

x x

x

/

ln ' 10 2 ×

7

=

=

= λ λ

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(3)

▣ 마찬가지로, y 도체의 전체 쇄교자속

per conductor

1 ) 1 ln

ln ( 10

2

7

yy y

yx x

y

I D

I D +

×

=

λ

y

y

r I D

I r I D

ln ' 10

2

' ) ln 1 ln 1

( 10 2

7 7

×

=

×

=

m r H

D I

L I

y y

y y

y

/

ln ' 10 2 ×

7

− =

=

= λ λ

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(4)

▣ 단상선로의 총 인덕턴스(loop inductance)

per circuit

▣ 전체 회로의 인덕턴스( ) per circuit

' ) ' ln

(ln 10

2

7

x y y

x

r

D r

L D L

L = + = ×

+

m r H

r D r r

D

y x

y x

' / ln '

10 4

' ln '

10 2

7

2 7

×

=

×

=

m r H

L D /

ln ' 10 4 ×

7

=

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(5)

B. 3상 3선식 선로의 인덕턴스

- 그림 4.10(a) : 3상 3선식 선로 - 도체 a, b, c , 반경 : r,

- 임의의 두 도체 사이의 간격 : 등 간격(equal phase spacing) D

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(6)

▣ a 상 도체에 쇄교하는 총 쇄교자속

를 이용하면,

Wb-t/m

▣ a 상 도체의 인덕턴스

per phase

1 ) 1 ln

' ln ln 1 ( 10

2 7

I D I D

Ia r b c

a = × + +

λ

[ ]

I D r I

Ia b c 1

ln ) ' (

ln 1 10

7 + +

=

a c

b

I I

I + ) = − (

1 ) ' ln

ln 1 ( 10

2

7

I D I

a

r

a

a

= ×

λ

ln ' 10

2

7

r I

a

D

×

=

m r H

D

La Ia /

ln ' 10 2× 7

=

= λ

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(7)

▣ 대칭성(symmetry)에 의해, 동일한 결과가 얻어짐

for and

for

이 선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요  각 상의 쇄교자속은 (1) 동일한 크기

(2) 120 도 위상차 를 가지기 때문

 그림 4.10(b)

b b

b

I

L

=

λ

/

c c

c

I

L = λ /

°

4.5 인덕턴스: 동일한 상 간격(EQUAL PHASE SPACING)을 갖는

단상 2선식 선로 와 3상 3선식 선로

(8)

4.6 인덕턴스: 다 도체, 동일하지 않은 상 간격, 복 도체

▣ 다 도체 선로의 인덕턴스 (그림 4.11, 예 : 연선)

- 다 도체 x : 반경 를 갖는 N개의 종속도체로 구성되며, I/N의 전류 - 다 도체 y : 반경 를 갖는 M개의 종속도체로 구성되며, I/M의 전류 - 모든 전류의 합은 zero

▣ 다도체 x 의 종속도체 k 에 쇄교되는 총 자속

I/N 의 전류가 흐르는 종속도체 k에 쇄교되는 총 쇄교자속

= =

 −

×

=

Φ

M

m km

km N

m

k

M D

I D

N I

' 1 1

7

1

1 ln ln 10

2

Φ

k

]

λk

 

 

 −

× Φ =

= ∑ ∑

=

=

km M

km m N

m k

k

I N D NM D

N

ln 1 1

ln 1 10 1

2

' 1 1

2

λ

7

(9)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

다도체 x 에 쇄교되는 총 쇄교자속

(10)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ ln = α ln A 그리고 를 이용하면 ,

per conductor

Where

A

α

lnAk = lnΠAk

∏ ∏

=

=

=

×

=

N

k N N

m

km M NM

m

km x

D D I

1 1/

1

/ 1

' 7 1

2

) (

) (

ln 10

λ 2

m D H

L D

xx xy

x

= 2 × 10

7

ln /

MN

M

m

km N

k

xy

D

D ∏ ∏

=

=

=

' 1 1

N2

N N

D

D = ∏ ∏

(11)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 유사하게 다 도체 y 에 대해서도,

per conductor

여기서,

: 도체(conductor) y 의 기하학적 평균 반경(GMR) 

다도체 y의 내부 종속도체(subconductor)들 사이에 존재하는 개 거리를 곱한 것의 제곱근(root) 값이다

단상 2선식 선로의 전체 인덕턴스(total inductance) L 은, m

D H L D

yy xy

y

= 2 × 10

7

ln /

2

' 1 '

1 M

M

m

km M

k

yy

D

D ∏ ∏

=

=

=

D

yy

M

2

M

2

circuit per

m H L

L

L = + /

(12)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 예제 4.2. GMR, GMD and inductance: single-phase two-conductor line

Expand(4.6.6),(4.6.7) , and (4.6.9) for N=3 and M=2. Then evaluate , , and L in H/m for the single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12

Lx Ly

(13)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ SOLUTION

For N=3 and M=2’, (4.6.6) becomes

6

' 2

' 1 3

1

= =

=

m

km k

xy

D

D

6 1' 2'

3

1

k k k

D

D

=

=

6

' 32 ' 31 '

22 ' 21 '

12 '

11

)( )( )

( D D D D D D

=

9

3

1 3

1

= =

=

m

km k

xx

D

D

9 1 2 3

3

1

k k k k

D D

D

=

=

9

( D

11

D

12

D

13

)( D

21

D

22

D

23

)( D

31

D

32

D

33

)

=

(14)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

And (4.6.9) becomes

Evaluating for the single-phase two-conductor line shown in Figure 4.12,

4

' 2

' 1 ' 2

'

1

= =

=

m

km k

yy D

D

4 1' 2'

' 2

' 1

k k k

D

D

=

=

4

' 2 ' 2 ' 1 ' 2 '

2 ' 1 ' 1 '

1

)( )

( D D D D

=

yy xx

xy

D D

D , ,

m D

D

m D

D

m D

D

m r

e r

D D

D

m D

m D

m D

m D

m D

m D

m D

x x

xy

0 . 2

5 . 1

5 . 0

02336 .

0 ) 03 . 0 )(

7788 .

0 ( '

189 . 3 ) 3 . 2 )(

2 )(

8 . 3 )(

5 . 3 )(

3 . 4 )(

4 (

3 . 2 2

8 . 3

5 . 3 3

. 4 4

32 23

12 21

4 / 1 33

22 11

6

' 32 '

31 '

22

' 21 '

12 '

11

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

(15)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

Then, from (4.6.5), (4.6.8) , and (4.6.10):

per conductor

per conductor

=> If the distances between conductors are large compared to the distances between subconductors of each conductor, then the GMD between conductors is approximately equal to the distance between conductor centers.

m D

m D

D

m r

e r

D D

m D

yy

y y

xx

09667 .

0 )

3 . 0 ( ) 03115 .

0 (

3 . 0

03115 .

0 ) 04 . 0 )(

7788 .

0 ( '

3128 .

0 )

0 . 2 ( ) 5 . 1 ( ) 5 . 0 ( ) 02336 .

0 (

4 2 2

' 1 ' 2 '

2 ' 1

4 / 1 '

2 ' 2 '

1 ' 1

9 3 2 2 2

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

=

m H L

m H L

y x

/ 10

992 . 6 09667)

. 0

189 . ln( 3 10

2

/ 10

644 . 4 3128)

. 0

189 . ln( 3 10

2

7 7

7 7

×

=

×

=

×

=

×

=

circuit per

m H L

L

L =

x

+

y

= 1 . 164 × 10

6

/

(16)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 에제 4.3 : Inductance and inductive reactance : single-phase line

A single-phase line operating at 60 Hz consists of two 4/0 12-strand copper conductors with 5 ft spacing between conductor centers. The line length is 20 miles. Determine the total inductance in H and total inductive reactance in Ω.

▣ SOLUTION

The GMD between conductor centers is ft. Also, from Table A.3 the GMR of a 4/0 12-strand copper conductor is

=0.03639 H per conductor The total inductance is

H per circuit And the total inductive reactance is

Ω per circuit

=5 Dxy

01750 .

=0

= yy

xx D

D

mi mi m m

L H

Lx y ) 1609 20

01750 .

0 ln( 5 10

7 × ×

=

=

07279 .

0 03639 .

0

2 × =

= +

= L

x

L

y

L

44 . 27 ) 07279 .

0 )(

60 )(

2 (

2 = =

= πfL π XL

(17)

4.6 인덕턴스 : 동일하지 않는 상 간격을 갖는(UNEQUAL PHASE SPACING) 선로의 인덕턴스  연가(Transposition)

▣ 그림 4.13 : 완전 연가된 3상선로(completely transposed three-phase line) 의 배치 구조

 각 선로는 선로 전체 길이의 1/3에 대해 각 상의 위치를 바꾸는 2장소에서의 연가가 있었음  를 만족하는 평형 정상분 전류 가 흐른다고 가정

 위치 1에 있는 a 상 도체와 쇄교하는 총 자속(total flux) 은(다시, 식(4.4.30)은 유효),

Wb-t/m

Wb-t/m

c b

a I I

I , ,

=0 + + b c

a I I

I

 

 

 + +

×

=

31 12

7 1

ln 1 ln 1

ln 1 10

2 I D

I D

I D

b c

s a

λ

a



 

 + +

×

=

12 23

7 2

ln 1 ln 1

ln 1 10

2 I D

I D

I D b c

s a

λa

 1 1 1

λ

(18)

4.6 INDUCTANCE: UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 상기 쇄교 자속(flux linkage)의 평균 (a상 도체의 평균 쇄교자속) 은,

식(4.6.14)에 를 이용 하면,

Wb-t/m

a상 도체의 평균 인덕턴스는, H/m per phase

b, c 상 도체의 인덕턴스 : ,  대칭성에 의해 동일 한 결과  완전 연가된 3상선로의 평형 3상 운전에 대해서는 단지 1상만 고려할 필요가 있음  연가를 고려한 등가거리를 다음과 같이 정의하면,

3 3 )

( 3 )

( 3 )

(

3 2

1 3

2 1

a a

a a

a a

a

l

l l

l

λ λ λ λ λ

λ λ

+ + = + +

=

 

 

 + +

= ×

31 23 12 31

23 12

7

1

1 ln 1 ln

ln 3 3

10 2

D D I D

D D I D

I D

b c

s a a

c

b

I I

I + ) = − (

= ×

31 23 12

7 1

1 ln ln 3 3

10 2

D D I D

I D a

S a

λa

S

a D

D D I D

3 12 23 31

7 ln

10 2×

=

S a

a

a

D

D D D L I

3 12 23 31

7

ln 10 2 ×

=

= λ

b b

b

I

L = λ / L

c

= λ

c

/ I

c

3 D12D23D31

Deq =

(19)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 연가된 3상 선로의 인덕턴스

H/m

▣ 예제 4.4 : Inductance and inductive reactance : three-phase line

A completely transposed 60-Hz three-phase line has flat horizontal phase spacing with 10m between adjacent conductors. The conductors are 1,590,000 cmil ACSR with 54/3 stranding.

Line length is 200km. Determine the inductance in H and the inductive reactance in Ω.

▣ SOLUTION

From Table A.4 the GMR of a 1,590,000 cmil 54/3 ACSR conductor is

s eq

a

D

L = 2 × 10

7

ln D

(20)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ Also, from (4.6.17) and (4.6.18),

=0.267H The inductive reactance of phase a is

ft m ft m

DS 0.0159

28 . 3 0520 1 .

0 =

=

km km m m

L H

m D

a eq

1000 200 0159)

. 0

6 . ln( 12 10 2

6 . 12 ) 20 )(

10 )(

10 (

7 3

×

×

×

=

=

=

=

=

= 2π a 2π(60)(0.267) 101

a fL

X

(21)

4.6 인덕턴스 : 복 도체 선로(BUNDLED CONDUCTORS)

▣ 초고압(EHV line) 송전선로 : 복도체 사용이 일반적 임

(1) 복도체(bundled conductor) : 상당 도체 2개 이상으로 구성되는 도체  bundling

(2) 복도체 사용하는 이유 : a. 도체 표면의 전계의 세기 감소  코로나 발생 억제(제거),  불 필요한 전력손실, 통신 장해, 가청 잡음 등 감소

b. GMR 증가에 의한 선로의 선로의 직렬 리액턴스 감소

▣ 그림 4.14 : EHV 복도체 구성의 예(2,3,4 도체)

2 복도체

(Two-conductor bundle):

3 복도체 : 4 복도체 :

복도체의 인덕턴스 : H/m

d D d

D

D

SL

=

4

(

S

× )

2

=

S

3 2

9 3

)

( D d d D d

D

SL

=

S

× × =

S

4 3

16 4

091 . 1 ) 2

(D d d d D d

DSL = S × × × = s

SL eq

a D

L =2×107 ln D

(22)

4.6 INDUCTANCE:COMPOSITE CONDUCTORS, UNEQUAL PHASE SPACING, BUNDLED CONDUCTORS

▣ 예제 4.5 : Inductive reactance : three-phase line with bundled conductors

Each of the 1,590,000 cmil conductors in Example 4.4 is replaced by two 795,000 cmil ACSR 26/2 conductors, as shown in Figure 4.15 . Bundle spacing is 0.40m.Flat horizontal spacing is retained, with 10 m between adjacent bundle centers. Calculate the inductive reactance of the line and compare it with that of Example4.4.

▣ SOLUTION

From Table A.4, the GMR of a 795,000 cmil 26/2 ACSR conductor is

From(4.6.19), the two-conductor bundle GMR is

Since is the same as in Example 4.4, H

ft m ft

DS 0.0114

28 . 3 0375 1 .

0 × =

=

m DSL = (0.0114)(0.40) =0.0676 m

Deq =12.6

209 . 0 ) 200 )(

1000 6 )(

. ln( 12 10

2× 7 =

=

L X = 2πfL =(2π)(60)(0.209) =78.8Ω

(23)

Questions

참조

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