확률적 민감도분석을 이용한 역산모델링
기세일1)· 정훈영2)· 최종근2)*
Inverse Modeling Using Probabilistic Sensitivity Analysis
Seil Ki, Hoonyoung Jeong and Jonggeun Choe
*Abstract : One of the challenging topics in inverse modeling is numerical efficiency. For that, two techniques are combined in this study. As a forward model, streamline simulation technique is used. A probabilistic sensitivity analysis is proposed in the optimization procedure. From the sensitivity of the flow variables on the objective function, cumulative probability distribution functions (CDFs) are obtained. The CDFs are used to generate input flow variable fields. From the applications to various synthetic field cases, we conclude that the developed scheme improves the efficiency in inverse problems. The probabilistic sensitivity analysis makes it possible to generate the flow variable fields with consideration of the observed dynamic data. Reliable optimized results are also obtained efficiently by finding the hidden abnormal values although given samples poorly represent the characteristics of the reference field.
Key words : Inverse modeling, Optimization algorithm, Sensitivity analysis, GDM
요 약 : 역산모델링의 수치적 효율성 향상을 위해서 본 연구에서는 전위모델로 유선시뮬레이션 기법을 사용하 였다. 최적화 과정에서는 저류층 변수의 변화에 대한 민감도분석을 수행하여, 이를 확률적으로 모델링하였다.
이로부터 얻은 누적확률함수는 유동변수 교란의 지표로 사용된다. 다양한 참조필드에 적용해 본 결과 개발한 기법들은 역산모델링의 효율성을 높일 수 있다. 확률적 민감도분석을 통해 추계학적 필드생성 과정에서 동적자 료 관측값을 고려한 교란을 주어 샘플링이 되지 않은 지역에서 이상값들의 분포를 찾아낼 수 있었다. 이를 바탕 으로 주어진 정적자료가 필드의 공간분포를 대표하지 못하거나 동적자료 관측값을 반영하지 못하는 경우에도 역산모델링을 통해 물성분포를 신뢰성 있게 파악할 수 있다.
주요어 : 역산모델링, 최적화 알고리즘, 민감도분석, GDM
2008년 6월 25일 접수, 2008년 10월 2일 채택 1) 한국석유공사
2) 서울대학교 에너지시스템공학부
*Corresponding Author(최종근) E-mail; [email protected]
Address; Department of Energy Systems Engineering, Seoul National University
서 론
다공질 매질에서 유체유동 특성을 파악하기 위해서는 우선적으로 유동변수들의 공간분포 특성을 규명하여야 한다. 이는 저류층에서 생산 및 운영 계획을 수립하거나, 대수층에서 오염물의 전파양상 등을 파악하기 위한 가장 중요한 정보이다. 하지만, 전체 유동자료를 얻는 것은 시 간적, 경제적으로 매우 어렵다. 따라서 획득 가능한 여러 정적자료, 동적자료들을 결합하여 유동변수의 전체 공간 분포를 구현하는 역산모델링이 활용된다. 이 과정에서
유동변수들에 교란(perturbation)을 주면서 많게는 수백 만 번의 전위모델링을 수행하게 되고 막대한 연산시간이 요구된다. 따라서 역산모델링을 효율적으로 수행하기 위 해서는 빠르고 정확한 전위모델링 기법과 효과적인 최적 화 기법이 필수적이다.
역산 모델링 과정에서 지구통계 기법이 제시하는 추계 학적 필드생성은 여러 다양한 최적화 기법들과 결합되어 대수층 및 저류층 특성화에 효과적으로 사용된다(장민 철, 2002). 지구통계 기법에서 샘플값으로 사용하는 정 적자료값들의 분포가 전체 유동변수의 공간적 분포특성 을 잘 반영한다면 역산모델링은 비교적 쉽게 수행될 수 있다. 반면에 샘플의 개수가 적거나 샘플링의 위치가 적 절하지 않아, 주어진 샘플들이 유동변수의 지역적 이상 값(abnormal value)들의 분포를 반영하지 못하는 경우 역산모델링은 매우 어렵다(기세일, 2007). 이 경우, 동적 자료 예측값과 관측값의 차이가 크게 나타나고, 따라서 역산모델링에 막대한 시간이 소요되거나 최적화된 결과 연구논문
(a) (b) Fig. 1. (a) Flow system (b) Procedures of the inverse modeling.
를 얻지 못할 수 있다.
이와 같은 문제점을 해결하기 위해서 샘플자료의 불완전 성을 보완할 수 있는 최적화 알고리즘의 개발이 필요하다. 본 연구에서는 교란을 효과적으로 주기 위해 확률적 민 감도분석을 수행하고 기존의 GDM(Gradual Deformation Method)(Hu and Blanc, 1998; Hu and Le Ravalec-Dupin, 2004)기법과 결합하는 새로운 최적화 알고리즘을 개발 하였다.
연구 방법
유동시스템 및 목적함수 설정
Fig. 1(a)는 본 연구에서 설정한 유동시스템을 나타낸 다. 주입정과 생산정이 하나씩 있고 유동 시뮬레이션을 위한 지배방정식과 경계조건은 식 (1)과 같다.
∇⋅∇
∇⋅ (1)
여기에서, 는 이고, 와 은 주입정과 생산정이
고, 와 은 각각 주입정과 생산정에서의 압력으로
일정하다. 는 주입정과 생산정을 제외한 경계로서, 비 유동 경계조건을 할당하였다. 주입정에서 연속일정농도 오염원을 가정하였고, 관측정의 위치는 생산정의 위치와 동일하다.
본 연구의 역산모델링 과정은 Fig. 1(b)와 같이 나타낼 수 있다. 대상영역 내에서 유동변수 입력인자를 추계학 적으로 생성하고, 유동시뮬레이션과 물질이동 모사를 통 해 관측정에서의 농도자료 를 얻게 된다. 이후에 관 측정에서의 농도 관측값 를 이용하여 목적함수를
평가한다(식 (2)). 이 과정을 목적함수가 수렴기준을 만 족할 때까지 입력인자에 교란을 주면서 전위모델링을 수 행한다.
Objective function
(2)유선시뮬레이션 기법을 이용한 전위모델링
식 (1)의 지배방정식으로 유동시뮬레이션을 수행하고 이로부터 얻은 압력장 및 속도장을 이용하여 유선시뮬레 이션 기법을 적용한다. 다차원의 문제를 유선을 따르는 1차원의 TOF(time of flight, TOF) -좌표계로 분해함으 로써(Pollock, 1988; Batycky, 1997), 기존의 물질이동모 사 기법에 비해 10-10,000배 빠른 연산속도를 제공한다.
또한, 수치분산이 없는 해석해를 이용함으로써 보다 정 확한 용질거동 모사가 가능하므로(Batycky et al., 1997;
Crane and Blunt, 1999; Jang et al., 2002), 역산모델링 에 효과적으로 이용될 수 있다(Ki and Choe, 2007; Jang and Choe, 2002).
확률적 민감도분석
동적자료의 관측값과 계산값의 차이로 정의되는 목적 함수를 원하는 수준까지 감소시키기 위해서 입력변수의 효과적인 교란이 요구된다. 이를 위해 샘플로부터 파악 한 통계적 특성을 이용하여 지구통계 기법 기반의 교란 을 주는 방법들이 사용될 수 있다. 하지만 목적함수 초기 값이 크게 나타나고 샘플링되지 않은 이상값이 존재할 경우, 지구통계 기반의 교란으로는 이상값의 분포를 규 명하기 어려워 역산모델링이 어려워진다. 이와 같은 문 제점을 개선하기 위해, 본 연구에서는 확률적 민감도분
Fig. 2. Summary for the sensitivity analysis of a flow variable.
Fig. 3. Summary for the determination of the abnormal value location using sensitivity analysis of the kriging variance.
석을 제시한다.
본 논문에서 제시하는 민감도분석 과정은 두 단계로 이루어진다. 우선 유동변수 변화에 따른 목적함수의 변 화에 대해 민감도분석을 수행하고, 그 결과로 누적확률함 수(cumulative probability distribution function, CDF)를 얻게 된다(Fig. 2). 임의로 설정한 각 격자영역에서의 CDF는 목적함수를 최소화하기 위해 할당하는 교란의 크기와 방향에 대한 지표로 활용될 수 있다. 본 연구에서 는 동적자료 관측값에 의해 이상값이 존재한다고 판단될 경우, 이상값이 존재하는 격자영역을 확률적으로 결정하 기 위해 크리깅 분산에 대한 민감도분석 과정을 추가하 였다(Fig. 3). 임의의 구역에 정적자료 샘플이 밀집할수 록 크리깅 분산의 크기는 작게 나타나고, 이는 샘플링되 지 않은 이상값의 존재 가능성이 낮음을 의미한다. 즉, 크리깅 분산의 공간분포는 이상값의 존재가능성을 판단 할 수 있는 지표로 활용가능하다.
초기필드 구성
제한적으로 주어진 정적자료 샘플을 이용하여 초기필
드 을 구현한다. 이로부터 식 (3)과 같이 크리깅
오차분산 에 비례하여 교란을 주며 식 (2)의 목적 함수를 최소화하는 최적의 a값을 계산한다. 이와 같이
간단한 1차원 최적화 과정을 통해 최적 a값을 얻고 역산 모델링의 초기 유동변수 입력값 를 구한다.
(3)
유동변수 민감도분석
충분한 개수의 유선이 지나가는 격자영역을 설정하고 선택된 영역에서의 유동변수에 교란을 할당한다. 식 (3) 의 초기필드 로부터 식 (4)와 같이 격자영역의 입
력변수 를 변화시키며 목적함수 변화를 계산한다.
유동변수 변화에 따른 목적함수 변화를 정량적으로 계산 하기 위하여 식 (5)의 Gibb’s 자유에너지 식을 이용하여 목적함수 변화 △에 의한 자유에너지 값△을 계산 한다. 이는 담금질모사기법(Sen et al., 1995)에서 교란 의 수용확률을 계산하는 방법과 유사하며, 온도 는 자 유에너지값 변화의 크기를 조율하는 인자이다. 식 (5)의 자유에너지값 범위를 특정값 이상으로 제한한다면, 그 제한된 자유에너지값에 대해 식 (5)의 a값 범위 [amin, amax]를 찾을 수 있다. 계산된 [amin, amax]에서 이산적으 로 a값을 설정하여, 식 (5)로부터 경험적 CDF들을 구할 수 있다.
(4)
△
△
△
(5)
크리깅 오차분산의 민감도분석
크리깅으로 초기필드를 구현하여 샘플링되지 않은 이 상값의 영향으로 목적함수의 값이 크게 나타난다고 판단 될 경우, 그 이상값은 크리깅 오차분산이 큰 구역에 위치 할 확률이 크다. 본 연구에서는 이러한 확률을 정량화하 고 이상값들의 분포지역을 결정하는 지표로 삼기 위해 크리깅 오차분산에 대한 민감도분석을 수행하며 구체적 인 과정은 Fig. 3과 같다.
크리깅 오차분산만을 고려하기 위해 주어진 위치에서 의 유동변수 샘플값들이 모두 동일하다고 가정하였다.
이 경우 크리깅을 수행하면 유동변수 필드는 균질한 반 면 크리깅 오차분산은 지역적으로 다르게 분포한다. 여 기서, 목적함수를 최소로 하는 균질한 유동변수 필드를 구한 뒤, 앞서의 민감도분석과 유사하게 식 (6)을 이용하 여 교란을 할당하면서 식 (5)의 자유에너지값 경계에 대 한 교란범위 [bmin, bmax]의 구간길이를 결정한다. 임의구 역에서의 [bmin, bmax] 범위들은 각 구역에서 크리깅 분산 만의 변화에 의한 목적함수 변화의 민감도를 나타내는 지표가 된다.
(6)
[bmin, bmax] 길이가 작게 나타날수록 식 (6)의 b값 변화 에 목적함수가 민감하며, 반대로 [bmin, bmax] 길이가 크 게 나타날수록 설정한 목적함수를 감소시키기에 비효율 적인 구역이다. 이로부터, 샘플링되지 않은 정보, 즉 숨 겨져 있는 이상값들의 분포 지역을 확률적으로 추론하고 자 하였다. 즉, 임의 구역에 이상값이 분포할 확률을 교 란범위에 반비례하여 할당한다. 이상값이 존재한다고 판 단한 구역에서는 앞서 구성한 CDF에서 생성하는 난수 범위를 제어한다.
Gradual Deformation Method
Hu(2000)는 “두 개의 가우시안 필드(gaussian random function) , 에 대해서 합인
도 가우시안 필드”라는 가정으로부터, 두 유동변수 필드 를 이용하여 새로운 유동변수 필드를 도출하는 기법을 제 시하였다. 같은 평균(y0)과 분산, 공분산을 갖는 필드 과 로부터 식 (7)과 같이 새로운 필드 를 구한다.
(7) 여기에서 범위의 에 따라 목적함수를 최소로 하는 최적의 를 구하고, 이를 다시 으로 가정하 여 목적함수 수렴기준을 만족할 때까지 지속적으로
를 찾는다(Le Ravalec-Dupin, 2005).
여기서, 과 유동변수 필드를 생성할 때 앞서 설 명한 민감도분석의 결과를 반영하는 과정은 다음과 같다. 크리깅 오차분산 민감도분석으로부터 얻은 [bmin, bmax] 구간길이에 반비례하게 확률을 할당하여 이상값이 분포 하는 격자영역을 확률적으로 예측한다. 그리고 격자영역 별로 수행한 민감도분석 결과를 이용하여 필드를 생성한 다. 즉, 격자영역 내 임의의 지점을 선택하여, 구성된 CDF로부터 난수범위를 제한하여 식 (8)의 해당 분위수 a값을 결정하여 유동변수 값 를 결정한다. 이를 통 해서 CDF결과가 난수생성 과정에 확률적으로 반영된다.
(8)
각 격자영역의 값들은 정적자료 샘플과 같이 주어 진 값으로 가정하여, 연쇄크리깅 기법(Kelkar and Perez, 2002)으로 유동변수 필드를 생성한다. 이는 주어진 정적 자료로부터 구한 동적자료와 동적자료 관측값과의 차이 를 확률적으로 극복할 수 있게 한다.
연구 결과
유동변수의 확률적 민감도분석
본 연구에서 개발한 역산모델링 기법을 적용하기 위해 Fig. 4(a)와 같은 90 mD에서 200 mD의 범위를 갖는 유 동변수 참조필드를 생성하였다(Case 1). 참조필드에서 계산한 동적자료, 즉 관측정에서의 농도를 동적자료 관 측값이라고 가정하였다. Table 1은 유동시스템과 관련 입력변수들을 정리하고 있다. Table 1의 9개 위치에서의 유동변수 샘플값과 동적자료 관측값만을 가지고 역산모 델링을 수행하여, 참조필드의 유동변수를 구현하고자 하 였다.
Fig. 4(b), 4(c)는 주어진 정적자료를 이용하여 얻은 크 리깅 필드와 크리깅 오차분산 필드를 나타낸다. Fig.
4(a)의 우측상단의 유동변수가 크게 나타나는 지역정보 는 샘플링으로 알 수 없으므로 크리깅으로 이 정보를 구 현할 수는 없다. 유동변수의 민감도분석을 수행한 결과 식 (3)의 최적 a값은 0.567이다(Fig. 4(d)). Fig. 4(e)는 Fig. 4(a), (b), (d) 필드에서 관측정에서의 농도돌파곡선 을 나타내고 있다. 우측상단의 지역적 이상값의 영향으 로 Fig. 4(a)와 Fig. 4(b)의 돌파곡선 차이가 현저히 다르
(a) (b) (c)
(d) (e)
Fig. 4. Fields of Case 1: (a) Reference field (b) Kriging field (flow variable) (c) Kriging variance (d) 1-D optimized field (e) Breakthroughs of the (a), (b), and (d) fields.
Table 1. Summary of the flow system
Properties Value (Case 1) Value (Case 2)
Grid size 20×20 20×20
Δx, ft 10 10
Δy, ft 10 10
h, ft 10 10
Pinj, psig 500 500
Pprod, psig 0 0
, fraction 0.3 0.3
μ, cp 1 1
Sample locations (0,0), (0,10), (0,19), (10,0), (10,10), (10,19), (19,0), (19,10), (19,19)
(19,0), (16,6), (11,8), (7,15), (5,7), (2,3), (2,13), (0,19)
게 나타나고 있다.
이 차이를 줄이기 위해서는 필드생성 시에 교란이 필 요하고, 식 (5)의 자유에너지값으로부터 허용하는 교란 의 크기를 제어할 수 있다. 여기서는 목적함수 초기값의 크기를 고려하여 온도인자 를 목적함수 차이 범위와 같게 설정하고, 충분히 교란이 일어날 수 있도록 자유에
너지 경계값을 0.9로 설정하여 유동변수의 민감도분석 을 수행하였다(Fig. 5). 민감도분석을 위해 Fig. 5(a)와 같이 격자영역을 설정하였다면, 네 격자영역에서 크리깅 오차분산은 동일하게 분포한다. 즉, 샘플의 위치만 고려 한다면 이상값이 존재할 가능성은 네 격자영역에서 동일 함이 자명하다. 따라서 이 경우 Fig. 3의 크리깅 오차분
(a)
(b) (c)
(d) (e)
Fig. 5. Results of the sensitivity analysis (a) 4 zones divided (b) CDF construction using sensitivity analysis (zone A) (c) CDF construction using sensitivity analysis (zone B) (d) CDF construction using sensitivity analysis (zone C) (e) CDF construction using sensitivity analysis (zone D).
(a) (b) (c)
Fig. 6. Possible results from the inverse modeling (a) Result 1 (b) Result 2 (c) Result 3.
Table 2. Statistics of fields (Case 1)
Statistics Reference field 9 samples Kriging field 1D optimized Result 1 Result 2 Result 3
mean 133.1 127.1 125.0 145.2 130.7 134.1 158.3
SD 21.8 29.6 17.4 17.8 19.5 17.5 48.0
max 200.0 180.2 180.2 185.9 218.6 196.4 408.9
min 89.7 89.7 89.7 89.7 89.7 89.7 89.7
(SD: Standard Deviation)
(a) (b) (c)
(d) (e)
Fig. 7. Fields of Case 2 (a) Reference field (b) Kriging field (flow variable) (c) Kriging variance (d) 1-D optimized field (e) Breakthroughs of the (a), (b), and (d) fields.
산 민감도분석 과정은 제외한 채 역산모델링을 수행하였 다. 초기 목적함수값의 0.1%를 목적함수 수렴기준으로 설정하여 역산모델링을 수행한 결과를 Fig. 6에 도시하 고, 필드들의 통계치를 Table 2에 정리하였다.
Fig. 6(a), 6(b)의 경우, 샘플링되지 않은 지역에 존재 하던 이상값의 분포와 값의 범위를 거의 정확하게 찾아 내고 있다. 이에 비해 Fig. 6(c)의 경우, 이상값의 위치와 값의 분포도 현격하게 다르게 나타난다. 이는 주어진 시 스템에서 Fig. 4(e)의 동적자료 차이를 극복하기 위해서, 이상값이 Fig. 5(a)의 B 구역에 존재할 경우 최대값이 410 mD에 이르러야 함을 의미한다. CDF들로부터 동일 한 크기의 목적함수 변화에 대해 각 격자영역에서 필요
한 교란의 상대적인 차이를 알 수 있고, 이로부터 이상값 이 존재하는 경우에 따라서 확률적 등가의 필드들을 생 성할 수 있다. 즉, 같은 조건에서 역산 모델링을 수행하 더라도 Fig. 6(a), 6(b), 6(c)와 같이 서로 다른 결과를 제 시할 수 있다. 이로부터 같은 양의 목적함수 변화를 극복 하기 위해서 다른 격자영역에서 필요한 물성의 범위를 합리적으로 예측 및 비교 분석할 수 있다.
이상값 분포지역의 확률적 추정
Fig. 3에서 제시한 크리깅 오차분산과 관련한 최적화 과정을 검증하기 위하여 Fig. 7(a)와 같은 참조필드를 구 성하였다(Case 2). 유동 시스템은 Case 1과 동일하되 유
(a) (b) (c)
Fig. 8. Possible results from the inverse modeling for Case 2 (a) Result 1 (b) Result 2 (c) Result 3.
Table 3. Statistics of fields (Case 2)
Statistics Reference field 8 samples Kriging field 1D optimized Result 1 Result 2 Result 3
mean 248.1 239.4 239.1 253.5 251.9 251.7 249.6
SD 7.12 18.2 6.7 9.0 4.9 4.9 7.0
max 300.0 260.0 260.0 266.5 278.4 279.2 286.5
min 210 210.0 210.0 210.0 210.0 210.0 210.0
동변수 샘플 위치를 다르게 설정하였다(Table 1). 주어 진 정적자료를 이용하여 크리깅을 수행하였고(Fig. 7(b), 7(c)), 크리깅 필드와 참조필드의 동적자료 차이는 Fig.
7(e)와 같다. Case 1과 마찬가지로, 1차원 최적화 및 확 률적 민감도분석을 수행하였다. 여기서 식 (3)의 최적 a 값은 0.566이며(Fig. 7(d)), 식 (5)의 자유에너지 경계값 은 0.9로 설정하였다.
Fig. 7(b)의 크리깅 오차분산의 공간적 분포를 이용하 여 Fig. 7(e)의 동적자료 차이를 극복할 이상값의 위치를 추정하고자 하였다. 식 (7)의 값은 266.8 mD이 며, 식 (5)의 자유에너지 경계값 0.9에 대해 민감도분석 을 수행한 결과, [bmin, bmax] 구간 길이로 A, B, C, D 격 자영역에 대해서 각각 1.73, 33.9, 58.3, 1.21의 값을 획득 하였다. 격자영역 A와 D의 유체투과율은 같은 값을 갖지 만 샘플이 상대적으로 A 격자영역에 더 밀집하므로 이상 값은 D 격자영역에 존재할 가능성이 크며 이는 [bmin, bmax]의 길이 차이로 나타난다.
한편, 주어진 시스템에서 A, D와 B, C는 유동방향에 대해서 각각 서로 대칭이지만, 두 영역들은 설정한 목적 함수 변화에 따라 민감한 정도가 다르게 나타난다. 주어 진 유동시스템과 샘플값의 범위에 대해, A, D 격자영역 의 유체투과율 변화는 B, C 격자영역의 유체투과율 변화 에 비해 평균 10배 가량 더 많은 목적함수 변화(△) 를 야기한다. 이를 고려하여 이상값이 분포할 확률에 대 한 추정값으로 A, B, C, D 격자영역에 대해서 각각
0.31, 0.14, 0.11, 0.44를 할당하였다.
추정한 확률을 바탕으로, Figs. 2, 3의 과정을 따라 0.1% 수렴기준으로 역산모델링을 수행한 결과 Fig. 8과 같은 역산모델링 결과들을 얻을 수 있었다. 같은 조건에 서 역산모델링을 100회 수행할 경우, Fig. 8과 같이 이상 값이 D 격자영역에 분포하는 경우는 45회 내외임을 확 인하였고, 이는 할당한 확률과 거의 일치한다. Table 3은 Case 2에서 언급된 필드들의 통계치를 정리하고 있다.
크리깅 기법에 비해 동적자료가 반영되었으므로 결과로 얻은 필드들의 통계치가 참조필드와 더 유사함을 확인할 수 있다.
결 론
본 연구에서는 제한적으로 주어지는 정적자료가 유동 시스템의 동적 거동을 모사하기 어려운 경우 빠르고 효 과적인 역산모델링을 위해 유동변수의 민감도분석을 수 행하였다. 관측된 동적자료에 의해 주어진 정적자료들로 부터 파악할 수 없는 이상값이 존재할 경우 이상값이 존 재하는 구역을 확률적으로 추정하고 그 값을 예측하는 방법론을 제시하였다.
주어진 정적자료를 이용하여 공간변수를 예측하는 과 정에서 주어진 동적자료를 반영할 수 있도록 유동변수의 민감도분석을 수행하였다. 그 결과로 구성된 CDF는 교 란을 할당할 때 크기와 방향에 대한 효과적인 지표가 된
다. 분산을 고려한 1차원 최적화과정을 통해서 동적자료 를 반영하면서 목적함수를 충분히 감소시킨 상태를 만들 었고, 구성한 CDF 기반의 교란을 할당하면서 역산모델 링의 최적해를 찾았다. 이를 통해, 주어진 정적자료가 동 적자료와 불일치하는 경우에 대해서도 효과적으로 역산 모델링을 수행할 수 있었다.
크리깅 오차분산 민감도분석을 통해서, 샘플링되지 않 은 이상값의 분포지역 추정에 대해 Gibb’s 자유에너지 식을 이용하여 확률모델링을 수행하였다. 수치실험 결과 추정한 확률에 따라 정적자료 샘플이 지역적으로 편중되 어 나타날 경우에도 효과적으로 이상값의 분포위치를 구 현할 수 있음을 확인하였다. 이상의 연구내용은 동적자 료 차이에 대한 합리적인 유동변수의 범위를 예측하는데 활용될 수 있다.
사 사
본 연구는 에너지관리공단 에너지자원기술개발사업 (과제명: CTD 운영 모델링 기술 개발)의 지원으로 공학 연구소를 통하여 이루어졌다.
참고문헌
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기 세 일
현재 한국석유공사 개발생산본부 개발운영처 (本 學會誌 第44券 第5号 參照)
최 종 근
1988년 서울대학교 공과대학 자원공학과 공학사
1990년 서울대학교 공과대학 자원공학과 공학석사
1995년 Texas A&M University 공학박사
현재 서울대학교 공과대학 에너지시스템공학부 부교수 (E-mail; [email protected])
정 훈 영
2006년 서울대학교 공과대학 지구환경 시스템공학부 공학사
2008년 서울대학교 공과대학 지구환경 시스템공학부 공학석사
현재 서울대학교 공학연구소 보조연구원 (E-mail; [email protected])
