형식 불역의 원리
• 어떤 대수적(혹은 기하적) 체계를 확장할 때 기존의 체계에서 인정된 중요한 성질이 유지되도록 한다는 원리
ü 음수에 대한 관점
- 음수를 물리적 세계의 구체적인 대상으로부터 추상 화된 것이 아니라 방정식과 그 해집합의 구조를 완벽 하게 하려는 형식적인 요구로부터 생겨난 것으로 간 주
ü 음수 지도에 대한 관점
- 구체적인 모델을 통해서가 아니라 “자연수 체계에서 확장된 일종의 대수적(형식) 체계”로서 음수 개념을 가르치자.
- 0과 음의 정수를 방정식의 해로서 도입하고,
- 자연수 집합에서 성립하는 연산 법칙(교환법칙, 결 합법칙, 분배법칙)이 계속해서 성립하도록 정수 연 산을 정의
• 정수(0과 음의 정수)의 도입
ü 0 : 모든 양의 정수 a에 대하여 a + x = a 가 되는 수 ü 음수 : 각 양의 정수 a에 대하여 a + x = 0 이 되는
수를 -a로 도입
• 정수의 연산
ü 양수 더하기 음수 : 3 + (-2) ü 음수 더하기 양수 : 2 + (-3) ü 음수 더하기 음수 : (-2) + (-3)
ü 양수 빼기 양수 : 2 – 3, 3 - 2 à a-b = a + (-b) ü 양수 빼기 음수 : 2 - (-3)
ü 음수 빼기 양수 : (-2) - 3
ü 음수 빼기 음수 : (-2) - (-3) ü 양수 곱하기 음수 : 3 * (-2) ü 음수 곱하기 음수 : (-2) * (-3)
귀납적 외삽법
3 + 2 = 5 3 - 2 = 1 3 * 2 = 6 3 + 1 = 4 3 - 1 = 2 3 * 1 = 3 3 + 0 = 3 3 - 0 = 3 3 * 0 = 0 3 + (-1) = 3 - (-1) = 3 * (-1) = 3 + (-2) = 3 - (-2) = 3 * (-2) =
기하적-대수적 형식 불역의 원리
• 대수적으로 이루어지는 조작의 타당성을 기하적으로 확인
: y = 3 + x y = 3 - x y = 3x 의 그래프를 직선이 되도록 ‘자연스럽게’ 확장
• 형식적인 관점에서 음수 지도의 장, 단점
ü 장점 : 음수 및 그 연산의 대수적인 성질을 일관성 있 게 설명하면서 음수 체계를 완성함.
ü 단점 : 실생활에서의 구체적이고 실제적인 가치를 의 미 있게 경험하기 어려움.
(모델의 장점 : 직관적인 이해가 가능하고, 음수의 현 실적인 유용성을 인식하고 경험하는데 도움이 됨.) à형식적으로 음수를 도입할 경우, 음수 개념에 구체적
이고 실제적인 의미를 보완해줄 필요 있음.
• 음수에 대한 현실적 맥락을 고려한 문제의 예
ü 어떤 시점의 온도가 0도이다. 그 온도가 10도 떨어 진 후 다시 7도 올랐다면 그 때의 온도는?
ü 어떤 시험에서 각 문제마다 문제를 맞히면 5점, 틀리 면 -2점, 답을 쓰지 않으면 0점을 부여한다. 한 학생 이 14문제를 맞히고 4문제를 틀렸으며 2문제의 답을 쓰지 않았다면 이 학생의 점수는?
ü 철수의 현재 위치를 0이라고 하고, 동쪽으로 시속
4km의 속력으로 걷는다면 2시간 후 철수의 위치는?
또, 그 지점에서 방향을 바꿔 서쪽으로 시속 5km의 속력으로 3시간을 더 걸었다면 그때 철수의 위치는?
à결국 음수 지도에서는 구체적인 모델을 통한 직관적 인 방법과 형식적인 방법의 조화 필요
à현행 중학교 교과서에서 음수(정수)를 어떻게 도입 하고, 연산(사칙계산)은 어떻게 설명하는지 알아보 자.
3. 유리수 개념의 지도
• 유리수 개념의 형식적인(대수적인) 정의 ü 일종의 ‘외연적 정의’ 방법
- 정수의 순서쌍 집합에 동치 관계 정의 à 정수의 순 서쌍의 동치류로서 유리수 정의(예: 1/3을 집합
{(1,3), (-1, -3), (2,6), (-2,-6), … }으로 정의 à 덧셈과 곱셈 정의.
• 내포적 정의
개념이 나타내는 대상에 공통적인 속성으로 개념을 정의하는 방법
• 외연적 정의
개념에 해당하는 대상 전체로 개념을 정의하는 방법.
엄밀성과 논리를 확보할 수 있다는 장점과 함께 현실적이고 직관적 인 맥락을 잃는다는 단점이 있음.
• 학교수학에서 유리수 개념의 통상적인 도입
ü ‘분모, 분자가 모두 정수인 (기약)분수의 꼴로 나타낼 수 있는 수’ 혹은 ‘분수에 양의 부호와 음의 부호를 붙인 수와 0’
ü 초등학교에서 학습한 분수(양의 유리수) 개념의 연 장선 상에서 유리수 개념을 정의하므로, 직관적인 이 해가 용이
ü 그러나
à ‘분수’의 의미(속성)가 매우 다양함. ( 예: 1/4 + 1/2 ) à - 3/2 = -3/2 = 3/-2 이나 -3/-2 = 3/2을 설명하
기가 어려움.
• 실제로 현행 중1 교과서에서 유리수 개념을 어떻게 도입하고 있고, - 3/2 = -3/2 = 3/-2 이나 -3/-2 = 3/2은 어떻게 설명하고 있는지 알아보자.
• 유리수(분수) 개념과 관련된 다양한 맥락(현상) ü 등분할된 부분과 전체
ü 분배 결과의 몫 ü 비율
ü 연산자 등…
• 등분할된 부분과 전체
ü 전체를 같은 부분으로 나누었을 때 전체와 부분 사이 의 관계를 나타내는 것
ü 포함제 상황 : 질적으로 동일한 두 양 사이의 나눗셈 ü 예) 1/3 : 3등분한 사과의 한 조각. 2/6 : 6등분한 사 과의 2조각 à 1/3 = 2/6 (동일한 양을 서로 다른 측 도(단위)로 나타낸 것)
• 분배 결과의 몫
ü 주어진 양을 n명에게 똑같이 나누어줄 때 한 사람에 게 분배되는 양
ü 등분제 상황 : 질적으로 다른 두 양(사과 개수와 사 람 수) 사이의 나눗셈
ü 예) 2/5 : 5명의 사람에게 2개의 사과를 공평하게 분 배한 결과
• 비율
ü ‘등분할된 부분과 전체’, ‘분배 결과의 몫’의 의미를 일반화한 개념
- 5등분한 사과의 2조각과 동치인 상황 : 10등분한 사 과의 4조각 등....
- 5명의 사람에게 2개의 사과를 공평하게 분배한 결과 와 동치인 상황 :10명의 사람에게 4개의 사과 등...
- 식으로 나타내면 5:2 = 10:4 (a:b = c:d)와 5:10 = 2:4 (a:c = b:d)가 동치임을 알 수 있음.
ü 변화하는 두 양 사이의 ‘일정한 관계(비율)’로서 유리 수 개념 파악
ü ‘동치관계’는 ‘현상’(여러 상황)을 정리하는 본질적 인 수단임.
• 연산자
ü 유리수를 곱셈 연산자(operator)로 이해
- a/b : ‘임의의 유리수 x에 대하여 x --> x * a/b’인 함수로 이해
- 즉, 어떤 대상이 주어지더라도 그 대상의 a/b를 생각 하는 것
4. 실수 개념
• 공리적 방법에 의한 실수 정의
ü 체의 공리, 순서 공리, 완비성 공리를 만족하는 집합 즉, 완비순서체의 원소로 실수를 정의하는 방법
ü 실수의 기본 성질을 공리로 받아들이고 나머지 다른 성질들을 연역해 나아가는 방법
• 구성적 방법에 의한 실수 정의
ü 자연수로부터 정수, 유리수 집합을 차례로 구성하고 유리수 집합의 확장으로 실수 집합을 구성하는 방법 ü 데데킨트 절단에 의한 방법(?), 유리수 코시 수열의
동치류로서 정의하는 방법(?)이 있음.
• 학교수학에서의 통상적인 실수 정의 ü 분수(정수/정수) 표현에 의한 정의:
ü (십진)소수 표현에 의한 정의
- 유리수 ⇔ 유한소수 혹은 순환소수로 표현 가능한 수
”임을 학습한 후(중 2),
- 유한소수나 순환소수로 표현되지 않는 수 즉, 순환하 지 않는 무한소수로 표현되는 수를 무리수로 정의하 고, (중3)
- 유 리수 집
합과 무리수 집합의 합집합으로 실수를 정의함.(중3) à 실제로 현행 중학교 3학년 교과서에서 무리수(실수)
를 어떻게 도입, 정의하는지 알아보자.
ü 순환소수 취급의 난점
- 순환소수의 이해를 위해서는 ‘무한’에 대한 이해 필요
- 무한: 가무한(potential) vs. 실무한(actual) - 가무한: 계속되는 상태, 진행 과정, 가능성 - 실무한: 과정이 구현된 결과, 극한값, 실체
- 무한을 실무한으로서 이해하기 위해서는 극한의 개념과 이론에 대한 이해와 수용이 필수적임.
각 수 체계의 특징
자연수 임의의 부분집합이 최소원을 갖는다.
후자(바로 다음 수)가 존재한다.
정수 덧셈에 대한 항등원과 역원이 존재한다.
유리수
후자(바로 다음 수)가 존재하지 않는다.
조밀하다.
곱셈에 대한 역원이 존재한다.
실수
조밀하다.
셀 수 없을 만큼 많다.
극한에 대하여 닫혀 있다.
복소수 대수적으로 닫혀 있다.
5. 수와 연산 영역에서 공학적 도구 활용
• 길고 복잡한 계산을 계산기에 맡김으로써 학생들을 개념 학생에 더욱 집중하게 한다 .
• 계산기의 즉각적인 피드백을 활용하여 학생들이 자
신의 추측을 정당화하게 한다 .
• 상황과 문제를 더 복잡하고 실제적인 방식으로 모델
화한다 .
à 실제로 현행 중, 고등학교 교과서의 ‘수와 연산’ 영 역에서 공학적 도구가 어떻게 활용되고 있는지 알아 보자.
<과제> 2주일 후 이 시간에 제출
1. 음수의 사칙연산을 설명하는 다양한 모델을 조사(현행 교과서 참고)하거나 만들어보고, 각각의 모델이 갖는 장 점과 단점(한계)을 기술하시오.
2. 음수 연산 이외에 형식 불역의 원리로 이해될 수 있는 수학적 개념의 확장 사례를 한 가지 조사하시오.
3. ‘수와 연산’ 영역에서의 공학적 도구 활용 사례를 현행 중학교 1,2,3학년 교과서에서 각각 찾고, 각 사례가 어 떤 의의를 지니는지 평가하시오.
