이 단원에서는

1 의 2 리

나 수 으로 면

, .

, .

,

.

.

.

이 단원에서는

도형의 확대 소와 관 된 도형의 음을 알아보고, 직각 각형에서 세 변의 길이 사이의 관계를 나타내는 피타고라

1 도형의 음

A

B C

85^æ 6 cm

D

E F

85^æ 55^æ 도 의 합동

오른쪽 그림에서

r

때, 다음을 구하시오.

의 길이 의 크기

2

준비 학습

_l

_m

_x

_y

1

45^æ

120^æ x

y l

m

의

른 그 은 양은 지만 크기가 다른 도형을 한 이 복해서 로 그 것인데, 이 그 에서

(fractal) 구 를 아 수 있습니다.

은 태생의 수학자 로( a l , B B , 1924 2010)가 1975 에 인 이름으로, 부서 상태 를 뜻하는 라 어 ‘ (fractus)’에서 되 습니다.

구 는 어 수학적 성질을 만 시키는 들을 관 하는 과 에서 우 발 되 는데, 기하게도 우리 주변의 자 현상에서도 구 를 게 을 수 있습니다.

다 사 의 고 질, 로 네 로 리, 해 등에서도 구 를 아 수 있습니다.

1

리

.

•도형의 음의 의미와 은 도형의 성질을 이해한다.

위의 생각 기에서 그 1 의 가로와 로의 길이를 각각 2배로 대하면 그 2 와 합동이고, 그 2 의 가로와 로의 길이를 각각 /2로 소하면 그 1 과 합동이다.

이와 이 한 도형을 일 한 로 대하 나 소한 도형이 다른 도형과 합동 일 , 이 도형은 서로 인 관 에 있다고 한다.

또 서로 인 관 에 있는 도형을 은 도형이라고 한다.

모양과 기가 같아서 개었을 때 전히 쳐지 는 두 도형을 서로 합동이 라고 한다.

다 그 2 는 로그 의 대 기능을 이용하여 그 1 의 가로와 로 의 길이를 각각 2배로 대한 것이다.

[그림 1] [그림 2]

1 .

2 .

도 ?

▶ 오른쪽 그림의 ‘ 이’

와 ‘지 이’는 학교 예방 마 트이다.

다 그 에서 의 각 변의 길이를 2배로 대하면 와 합동이 되 로 각형은 서로 은 도형이다.

A

B C

D

E F

이 와 에서

A와 D, B와 E, C와 F는 대 와 , 와 , 와 FD는 대 변

와 , 와 , 와 는 대 각 이다.

와 가 서로 은 도형일 , 이것을 기호로

Z

와 이 나 다. 이 도형의 은 대 하는 대로 다.

▶ 서로 합동인 두 도형에 서와 마 가지로 서로 음인 관계에 있는 두 도형 에서도

대 하는 점을 대 점, 대 하는 변을 대 변, 대 하는 각을 대 각 이라고 한다.

다음 그림에서 서로 은 도형을 모두 찾아 기호 를 사용하여 나타내시오.

1

A

B

L

M N

O

Q R

P

T

U

V S

C

D

E

F G

H

K

I J

다음 중에서 항상 서로 은 도형인 것을 모두 고 시오.

각형, 사변형, 이등변 각형, 사각형

2

다 그 에서 와 는 서로 은 도형이다.

A

B C

D

E F

1

= = FD=

2

도 ?

다 을 통하여 서로 은 면도형의 성질을 아 자.

위의 함 하기에서 각형의 의 대 변의 길이의 를 교하면

= = FD=1 2

로 일 하고, 의 대 각의 크기를 각각 교하면

= , = , =

을 수 있다.

일 적으로 서로 은 면도형에는 다 과 은 성질이 있다.

서로 은 면도형에서

1 대 변의 길이의 는 일 하다.

2 대 각의 크기는 각각 다.

도

서로 은 면도형에서 대 변의 길이의 를 라고 한다.

예를 들어 위의 함 하기에서 서로 은 각형 ABC와 DEF에서 대 변의 길이의 가 1 2이 로 는 1 2이다.

서로 합동인 두 도형 의 음비는 마일

오른쪽 그림에서 일

60^æ A

B C

D

E F

9 cm 6 cm

때, 다음을 구하시오. 4 cm

와 의

의 길이 의 크기

이 의 대 변은 이고, =9` m, =6` m이 로 =9 6=3 2

따라서 와 의 는 3 2이다.

의 대 변은 이고 =4` m, 각형의 는 3 2이 로 = 4=3 2

따라서 = m 의 대 각은 이 로 = =60

3 2 6 60

▶ 음비는 가 하면 간단 한 자연수의 비로 나타 다.

1

제

오른쪽 그림에서 일

때, 다음을 구하시오.

와 의

의 길이 의 크기

3

B C

D E

F G

H

85^æ 80^æ

100^æ 6 cm

9 cm 12 cm

면도형에서와 가지로 입체도형에서도 을 생각할 수 있다.

한 입체도형을 일 한 로 대하 나 소한 도형이 다른 입체도형과 양과 크기가 을 , 이 입체도형은 ‘서로 인 관 에 있다’ 또는 ‘서로 은 도형’

이라고 한다.

른 그 에서 사면체 B는 사면체 A의 각 서 리의 길이를 2배로 대한 것이다.

따라서 사면체 A와 B는 서로 은 도형이고, 대 하는 서리의 길이의 는 1 2로 일 하다. 이

대 하는 면은 서로 은 도형이다. A B

일 적으로 서로 은 입체도형에는 다 과 은 성질이 있다.

서로 은 입체도형에서

1 대 하는 서리의 길이의 는 일 하다.

2 대 하는 면은 은 도형이다.

도

서로 은 입체도형에서 대 하는 서리의 길이의 를 라고 한다.

예를 들어 의 서로 은 사면체 A와 B에서 대 하는 서리의 길이의 가 1 2이 로 는 1 2이다.

오른쪽 그림에서 두 직육면체는 서로 은 도 형이다. 와 IJ가 대 하는 모서리일 때, 다음을 구하시오.

직육면체의 x와 y의

면 EFGH에 대 하는 면

4

A

B C

D

E

F G

H

I L

M N

P O

J K

8 cm x cm 4 cm

y cm

9 cm 6 cm

오른쪽 그림과 같이 가로와 세로의 길이가 각각 m^와 m 인 직사각형 모양의 자가 있다. 이 자의 두리의 은 m 로 일정하다.

1

2

추론

의 로 세로의 를 2` m

의 의 일 A

B C

D E

F G

H

15 cm

12 cm 2 cm

2 cm

알콩 달콩 수학

우리나라 중형 용차의 길이는 4850 mm, 은 1830 mm, 높이는 1470 mm 정도라고 한다.

이 용차를 1 4로 소한 모형의 길이, , 높이를 각각 구해 보자.

문제 해결

지도는 지구 표면의 상태를 일 한 로 여서 된 기호 를 사용하여 면에 나 그 으로, 그 을 이라고 한 다. 이 은 에서 배 와 다고 할 수 있다.

과 를 이용하면 지도에서 지 사이의 실제 리를 할 수 있다.

예를 들어 른 지도의 은 1 50000인데, 이것은 지도 에서 1` m가 실제 리 500`m 을 뜻한다.

일상생활에서 지도 에도 를 이용하는 경우를 아 수 있다.

고 물은 바 에 의한 력의 을 크게 기 문에 이를 고 하여 설 해야 한다. 따라서 설 하는 과

에서 물의 이에 따라 적 한 소 형을 만들어 실험한다고 한다.

또 자동 는 시 70 m 이상으로 리면 과의 다 바 의 이 더 다고 한다.

따라서 자동 는 바 의 을 나 는지 측 하기 위하여 제작 과 에서 실험을 하 게 되는데, 통 1 4 또는 1 5 도의 소 형을 만들어 실험한다고 한다.

(출처 자동차 생활, 2018)

알콩 달콩 수학

와 가 서로 은 도형이면 의 대 변의 길이의 가 일 하 고, 의 대 각의 크기가 각각 다. 즉, 다 이 성 한다.

= = FD

= , = , =

그 데 과 의 중에서 가지만 성 해도 와 가 서로 은 도형 을 일 수 있다.

다 은 로그 을 이용하여 를 그리고 2 = 가 되도록 를 그 , = , = 가 되도록 를 그 것이다.

1 .

2 .

?

▶ 컴퓨터 프로그램에서 주 어진 길이의 분 도구 와 주어진 기의 각 도구

를 이용하면 와 를 그 수 있 다.

의

• 각형의 음 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 각형이 음인지 할 수 있다.

이제 각형이 서로 은 도형이 되는 을 아 자.

다 그 에서 와 는 가 1 2인 은 도형이다.

D

E F

2c 2a A 2b

B C

c a

b

이 다 의 각 경우에 주어 'B'C'이 와 서로 은 도형인지 인 해 자.

1 의 대 의 이의 가 은 경

른 그 과 이 'B'C'이 의 변의 ^A'

B' C'

2c 2a

길이를 각각 2배로 대한 각형일 , 'B'C'과 2b

에서 대 하는 변의 길이가 각각 으 로 'B'C'

r

이다. 따라서 'B'C'이다.

2 의 대 의 이의 가 고, 그 인 의 기가 은 경

른 그 과 이 'B'C'이 의 변의 ^A'

B' C'

2a

길이를 각각 2배로 대하고 그 인각의 크기가 은 2c

각형일 , 'B'C'과 에서 대 하는 변의 길이가 각각 고 그 인각의 크기가 으 로

'B'C'

r

3 의 대 의 기가 은 경

른 그 과 이 'B'C'이 의 한 변의 ^A'

B' C'

2a

길이를 2배로 대하고 그 양 끝 각의 크기가 각각 은 각형일 , 'B'C'과 에서 대 하는 한 변 의 길이가 고 그 양 끝 각의 크기가 각각 으 로

'B'C'

r

▶3의 각형에서 대 하는 두 의 각의 기가 각각 같으면 대 하는 나

지 한 각의 기도 같으 므로 두 각형의 모양은 같다.

따라서 두 의 대 하는 각의 기만 같아도 두 각형은 서로 음이다.

. .

다음 각형 중에서 서로 음인 관계에 있는 것끼리 짝 지어 보고, 각각의 음 조건을 말하시오.

60^æ 30^æ

6 cm

5 cm 4 cm 6 cm35^æ

3 cm

10 cm

12 cm

8 cm 35^æ

8 cm

4 cm 30^æ

1

다음 그림에서 서로 은 두 각형을 찾아 기호 를 사용하여 나타내고, 음 조건을 말하시오.

A

O B

C

D 9 cm 12 cm6 cm

8 cm

A

B C

D

E 80^æ 80^æ

A

B

C

D 9 cm

6 cm 8 cm 16 cm 12 cm

2

다 각 경우에 'B'C'이다.

1 의 대 변의 길이의 가 을 ^A'

B' C'

A

B a C

c b

a'

c' b'

a a'=b b'=c c'

2 의 대 변의 길이의 가 고, 그 인 ^A'

B' C'

A

B a C

c

a'

각의 크기가 을 c'

a a'=c c', = '

3 의 대 각의 크기가 각각 을 ^A'

B' C'

A

B C

= ', = '

▶ 각형의 합동 조건에서 처럼

1을 SSS ^음,

2를 SAS ^음,

3을 AA ^음 이라고 한다.

오른쪽 에서 = 이고 =12` m, ^A

B C

12 cm D

=8` m일 때, 의 길이를 구하시오. 8 cm

이 와 에서

는 공통, =

즉, 의 대 각의 크기가 각각 으 로

이 = 이 로

12=12 8, =18` m

따라서 = - =18-8=10 ( m) 10` m

1

제

▶ 서로 은 두 면도형 에서 대 변의 길이의 비 는 일정하다.

오른쪽 그림과 같이 =90^{인 직각 각형} ABC^{의 점 A}

B 6 cmD C

A^{에서 변} BC에 내린 수 의 을 D^{라고 하자.} 9 cm

을 설명하시 .

의 길이를 구하시 .

4

오른쪽 에서 = ^이고 =2` m^,

=6` m<sup>,</sup> =4` m^{일 때,} 의 길이를 구하시오.

3

B C

D

E 4 cm 6 cm 2 cm

고대 그리 의 수학자 l s^, B^.C^. 624 B^.C^. 546 )^{는 각형의} 음 조건을 이용하여 대 기 하나로 피라미 의 높이를 구 다고 한다.

문제 해결

른 그 과 이 길이가 1`m인 대기를 지 면에 수직으로 을 , 대기의 그 자의 길 이는 1.5`m이다. 라 의 면의 중심부 라 의 그 자의 한 지의 리가 220.5`m일 , 라 의 이를 구해 자.

각형의 한 변에 한 직 이 다른 변과 만나서 생기는 분과 각형의 변 사이의 관 를 아 자.

른 에서 변 BC에 한 직 과 변 ^A

B

E

C D

AB, AC의 교 을 각각 D, E라고 하면,

와 에서

는 공통

= (동위각)

이다. 즉, 의 대 각의 크기가 각각 으 로 이다.

따라서 다 이 성 한다.

= =

서로 한 두 직 이 한 직 과 만나서 생기는 동 위각의 기는 같다.

의 분의 의

• 사이의 분의 길이의 비를 구할 수 있다.

른 각형 양의 장에서 이다.

A

B C

D E

1 .

2 .

한 과 한 을 ?

또 른 에서 E를 지나면서 변 AB에 ^A

B

E

F C

D

한 직 과 변 BC의 교 을 F라고 하면,

와 에서

= (동위각)

= (동위각)

이다.

즉, 의 대 각의 크기가 각각 으 로 이다. 따라서

= 이다.

한 , 사변형 DBFE에서 = 이 로 다 이 성 한다.

=

에서

=

=

이상을 리하면 다 과 다.

에서 변 BC에 한 직 과 변 AB, AC 또는 그 장 의 교 을 각각 D, E라고 할 , 다 이 성 한다.

1 = =

2 =

A

B C

D E

A

D E

B C A

B C

E D

기

1

두 변 AB^, AC의 연장 의 교점을 각각 D^, E라고 할 때, 다음이 성립함을 하시오.

= =

=

A

D E

B C A

B C

E D

다음 그림에서 일 때, x^{의 값을 구하시오.}

A

B C

D E

x cm

6 cm 9 cm

3 cm

A

B C

D 8 cm E

x cm 4 cm

6 cm A

B

C

D E

8 cm 9 cm 4 cmx cm

2

른 에서 변 AB와 AC의 중 을 각각 ^A

B C

M N

8 cm

M과 N이라고 할 , =8` m이면 =/2\8=4~( m)

위의 함 하기로부 의 변 AB와 AC의 중 을 결한 분 MN과 나 지 한 변 BC 사이에

이고 = 가 성 함을 수 있다.

다 을 통하여 각형의 변의 중 을 결한 분과 나 지 한 변 사이에 어 관 가 있는지 아 자.

른 에서 변 AB와 AC의 중 을 각 ^A

B C

M N

각 M과 N이라고 할 , 다 은 와 사이 의 관 를 설명한 것이다.

에 은 것을 어 자.

= =2 1이 로

이다.

또 = =2 1이 로

= \

이다.

다 그 과 이 이 위에 그 한 직 l, m, n과 직 p, q의 교 을 각각 A, B, C, A', B', C'이라고 하자.

l

p q

m n

A A'

B B'

C C'

1 .

^'

^'

^'

'을 각각 구해 보자.

2 . 1

?

여러 개의 이 다른 직 과 만 생기는 분의 길이의 를 아 자.

른 그 과 이 한 직 l, m, n과 직

A

B P C

A'

B' C'

l

m n

p q

p, q의 교 을 각각 A, B, C, A', B', C'이라 하고, AC'과 직 m의 교 을 P라고 하자.

'에서 CC'이 로

= PC'

이다. 또 'A'A에서 B'P A'A이 로 PC'=A'B' B'C' 이다.

따라서 에 의하여 다 이 성 한다.

=A'B' B'C'

오른쪽 에서 세 변 AB^, BC^{, 의 중점을 각각} D^, E^, F^{라고 하자.} =8` m<sup>,</sup> =12` m^, =10` m 일 때, 의 의 길이를 구하시오.

3

B C

D

E F

12 cm

8 cm 10 cm

.

다음 그림에서 l m n^{일 때,} x^{의 값을 구하시오.}

l m n 4 cm

12 cm 6 cm

x cm

l

m n

9 cm 6 cm

4 cm x cm

4

개 이상의 이 다른 직 과 만 ,

l m

a a'

b b'

n

사이에 생기는 분의 길이의 는 다.

즉, 른 그 에서 n이면 a b=a' b'

위의 작도에서 M과 N이 분 AB의 등분 을 설명해 자.

사이의 분의 길이의 비를 이용하여 주어진 분 AB^를 등분하는 두 점 M^과 N을 다음과 같이 도할 수 있다.

점 A에서 시 하는 반직 l^{을 그린다.}

컴퍼 를 이용하여 반직 l ^위에 = = 가 되도록 세 점 C^, D^, E^{를 잡고, 를 그린다.} 두 점 C^와 D를 각각 지나고 EB^{와 한 직 을 도하여 분} AB와 만나는 점을 각각 M^과 N^이라

고 하자.

문제 해결

1 2 3

A M N B

C

l D

E

A B

C

l D

E

A B

l

A M N B

C

l D

E

A B

C

l D

E

A B

l

A M N B

C

l D

E

A B

C

l D

E

A B

l

각형에서 한 과 그 대변의 중 을 이은 분을 ^A

D E F

B C

이라고 한다. 즉, 른 에서 , , 는 중 이다.

이와 이 한 각형에는 3개의 중 이 있다.

위의 생각 기에서 각형의 중 은 한 에서 만 을 수 있다.

의

• 각형의 무 중 을 이해한다.

다 서에 따라 활동해 자.

1 각형 양으로 이를 를 만 다.

2 의 중 D를 잡고, 를 는 으로 하여 다가 펼 다.

A

B C

1

D A

B C

A

B D C

2

같 AB^와 AC^{의 중점과 보는} 점을 는 분을 는 하 을 , 분이 점에서 는지 말해 보자.

?

3 쪽

각형의 중 이 한 에서 만나는 이 를 아 자.

른 에서 중 AD와 BE의 교 을 G

G A

D E

B C

라고 하자.

D와 E는 각각 변 BC와 AC의 중 이 로 , =/2

이다. 따라서 이고, 이 는 2 1 이 로 다 이 성 한다.

GD= GE=2 1

또 른 에서 중 BE와 CF의 교 을 ^A

E F

B C

G'

G'이라고 하면, 위와 은 방법으로 다 이 성 한다.

BG' G'E= ' G'F=2 1

과 에서 G와 G'은 은 분 BE를 2 1로 나 는 이 로 일치한다.

따라서 에서 중 은 한 에서 만나고, 이 은 중 의 길이를 각 으로부 각각 2 1로 나 다.

이 각형의 중 의 교 을 그 각형의 이라고 한다.

이상을 리하면, 다 과 다.

오른쪽 그림에서 점 G^{가 각형} ABC^{의 무 중 일 때,} x^와 y의 값을 각각 구하시오.

1

B D C

G E

6 cm y cm

x cm 8 cm 1 각형의 중 은 한 ( 게중심)에서 만 다. ^A

B D C

F G

E 2 각형의 게중심은 중 의 길이를 각 으

로부 각각 2 1로 나 다.

즉, 른 ABC에서

GD= GE= GF=2 1

오른쪽 그림에서 점 G가 의 무 중 일 때, ^A

B C

G

, , 의 넓이가 모두 같음을

하시오.

이 에서 와 의 중 을 각각 D와 E라고 하자. ^A

B D C

G E

= 이 로

= , =

따라서 =

또 = 이 로

= , =

따라서 = 에서

= =

이

1

제

오른쪽 그림에서 점 G^{는 각형} ABC^{의 무 중 이다. 각} 형 GBD^{의 넓이가} 4` m^{2일 때, 각형} ABC^{의 넓이를 구하} 시오.

2

B D C

G

1

2

오른쪽 그림에서 점 G^{가 각형} ABC의 무 중 일 때, 점 G^{를 지나고 A}

B C

D G E

M 에 한 직 이 , 와 만나는 점을 각각 D^, E^{라고 하자.}

문제 해결 추론

각 의 중 은 한 점(무게중심)에서 만나고, 그 점은 중 의 이를 각 점 으로 각각 2 1로 나 을 배 다.

이제 로그 을 이용하여 이와 같은 성 을 해 자.

다각 도구 를 하고 점을 어 각 ABC를 그 다.

중점 또는 중심 도구 를 하고 BC, AC, AB를 각각 하여 변의 중점을 나 다.

도구 를 하고 점 A와 D를 하여

중 AD를 그 다. 같은 으로 나 지 중 BE와 CF를 그리고, 중 이 한 점에서 만나는지

한다.

입 에 무게중심[t1] 을 입 하면 각

ABC의 무게중심 G가 나 다. 이때 점 G가 중 의 교점과 일 하는지 한다.

거리 또는 이 도구 를 하여 AG와 GD를 그리면 의 이가 나 나는 , 이 로 =2GD가 성 을 할 수 있다.

같은 으로, =2GE와 =2GF가 성 을 할 수 있다.

다각형 도구 를 하여 , , 를 그리면 대수창에 이들의 넓이가 각각 나타 다. 이로부터 세 각형의 넓이가 같음을 확인해 보자.

1

한 도 을 일정한 비 로 대하거나 소한 도 이 다른 도 과 합동일 때, 이 도 은 서로 음 관계에 있다고 한다.

또 서로 음 관계에 있는 도 을 은 도 이라고 한다.

와 가 서로 은 도 일 때, 기

로 와 같이 나 다.

서로 은 도 에서 대응변의 이의 비

2

각 은 다음 각 경우에 서로 은 도 이다.

의 대응변의 이의 비가 같을 때

의 대응변의 이의 비가 같고, 그 각의 기가 같을 때

의 대응각의 기가 각각 같을 때

3

서 의 의 이의

^A

B C

D E

A

D E

B C A

B C

D E

에서 이면

= =

=

이의 의 이의

오른 그 에서

n

a a' m

b b'

n

이면

a b=a' b'

4

각 의 한 점과 ^A

D E F

B G C

그 대변의 중점을 이은

각 의 중 의 교점

GD= GE= GF=2 1

른 그 에서 일 ,

다 을 구하시 .

와 의

의 길이 의 크기

01

기본 문제

A

B C

D

E F

55^æ

15 cm 9 cm

6 cm

른 그 에서 을

설명하고, 이 사용한 을 하 시 .

02

4 cm 3 cm

A

B C

D

E

F 40^æ

40^æ 6 cm

8 cm

다 그 에서 x의 을 구하시 .

DA

B M C

12 cm 9 cm

x cm 6 cm

9 cm

x cm 7 cm

8 cm 14 cm

A

B C

D

E

05

문제

다 그 에서 일 , x와 y의 을 각각 구하시 .

y cm 5 cm 6 cm

4 cm x cm

9 cm A

B C

D E A

B C

D E

x cm 10 cm

y cm 15 cm

9 cm 8 cm

04

른 그 에서 사면체는 서로 은 도 형이다. 와 가 대 하는 면 일 , 다 을 구하시 .

사면체의 x와 y의

03

A

B C

D

E

F

G H x cm

6 cm 4 cm

14 cm

12 cm y cm

른 그 에서 이고 와 의 중 을 각각 M과 N이라고 할 , x와 y의 을 각각 구하시 .

06

B C

D

N

M P

x cm

y cm 5 cm 16 cm

른 그 에서 G는 의 게중심이고, G'은 의 게중심이다. 'BD의 넓이가 7` m 일 , 다 을 구하시 .

의 넓이 의 넓이

09

문제

B D C

A

G G'

른 사변형 ABCD에서 와 의 중 을 각각 M과 N이라 하고, 대각 BD와 , 의 교 을 각 각 E, F라고 하자. =15` m일 , 의 길이를 구하 시 .

10

B M

N E

F

C 15 cm

2

2

른 그 에서 G가 의 게중심일 , x와 y의 을 각각 구하시 .

08

N

B C

G

M x cm

y cm

10 cm

14 cm

다 그 에서 n일 , x의 을 구하시 .

l

m n 9 cm x cm 4 cm 3 cm

l

m n x cm

18 cm

12 cm 8 cm

07

사 들이 도형을 그 기본적으로 사용한 도구는 금이 는 은 자와 였는데, 이를 사용하여 원이나 각형, 사각형 등을 작도할 수 있 습니 다. 이 원이나 각형은 를 사용하여 게 작도가 가능한데, 사각형의 경우에는 직각을 작도해야 하기 문에 우 불

습니다.

그 서 직각을 게 그 수 있도록 직각자를 발명하여 사용하게 되 는데, 동양에서는 중국의 창 화에 나 는 여와와 복 의 그 에서, 서양에

서는 금술과 관련되어 과 물질의 화를 상 하는 의 그 에서 각각 와 직각자를 아 수 있습니다.

, 고대 바 로니아, 이 , 중국, 인도, 그리 등에서는 직 각 각형의 변의 길이 사이에 한 관 가 있 을 발 하여 여러 가지 도형의 성을 탐구하고 이를 생활에 용 기록이

이 아 있습니다.

(출처 http www. ass . )

이 단원에서는 직각 각형과 관련된 고라 리의 원리를 아 니다.

2

2 피타고라 정리

도 의

오른쪽 그림과 같이

=

와 은 도형을 모두 찾으시오.

2

A B

C

D

▲ ‘ s’

‘ 복 여와도 ’

준비 학습

25 100

1

•피타고라 정리를 이해하고 할 수 있다.

위의 생각 기에서

(P의 넓이)+(Q의 넓이)=(R의 넓이) 가 성 함을 수 있다.

다 은 한 금의 길이가 1인 이 위에 =90°인 류의 직각 각형 ABC에 대하여 변을 각각 한 변으로 하는 사각형 P, Q, R를 그 것이다.

[그림 1] [그림 2] [그림 3]

A

B C

R A

P

Q B C

A

B C

R R

P P

Q Q

1 .

P

Q

R

[

1] 4

[

2] 1

[

3] 13

2 .

?

그 데 P, Q, R의 넓이는 각각 ², ², ²이 로 의 직각 각형 ABC 의 변의 길이 사이에

2+ ²= ²

이 성 함을 수 있다.

다 을 통하여 직각 각형의 변의 길이 사이의 관 를 아 자.

위의 함 하기에서 =90 인 직각 각형 ABC에 대하여 ^2= x와 a^2= y가 성 하고, c=x+y이 로

a^2 ^2= y x= (y x)= ^2 을 수 있다.

즉, 직각 각형에서 직각을 변의 길이의 제 의 합은 변의 길이의 제 과 다.

이와 은 성질을 라고 한다.

른 그 과 이 =90 인 직각 각

A B

C

b a

c D

x y

형 ABC에서 =a, =b, =c라 고 하자. 또 C에서 직 AB에 수 의 발을 D라 하고 =x, =y라고 하자.

이 이 로

= , 즉 b c=x b 이다. 따라서

^2= x 가 성 한다.

1

a^2= y

가 성 함을 설명해 자.

2

다음 직각 각형에서 x^{의 값을 구하시오.}

9 cm x cm

12 cm 25 cm

24 cm x cm

1

고라 리를 이용하면 직각 각형에서 변의 길이를 , 나 지 한 변의 길이를 구할 수 있다.

다음 직각 각형에서 x의 값을 구하시오.

x cm

8 cm

6 cm

12 cm 13 cm x cm

이 고라 리에 의하여 8^2 6^2=x^2 x^2=

그 데 ^2= 이고 x>0이 로 x=10

고라 리에 의하여 12^2 x^2= 3^2 x^2=25 그 데 5^2=25이고 x>0이 로 x=5

10 5

1

제

직각 각형에서 직각을 변의 길이를 각각 a와 b라

a

c b

하고 변의 길이를 c라고 하면 a^2 ^2= ^2

이 성 한다.

▶ 피타고라

( s,

B.C. 569 B.C. 475 ) 피타고라 정리는 고대 그 리 의 수학자 피타고라 로부터 유래되었다.

위의 생각 기에서 수 있 이 변의 길이가 각각 3 m, 4 m, 5 m인 각형 ABC에서 BC ²+ ²=AB ²이 성 하고, 이 =90 이다.

즉, 가장 변의 길이의 제 이 나 지 변의 길이의 제 의 합과 은 각형 은 직각 각형 을 수 있다.

일 적으로 다 이 성 한다.

다 그 과 이 의 길이가 각각 다른 가지의 각형 ABC가 있다.

A

B 4 cm C

4 cm 3 cm

[그림 1]

4 cm

5 cm 3 cm

A

B C

[그림 2]

4 cm

6 cm 3 cm

A

B C

[그림 3]

1 .

BC^{2 2} BC²

+

[

1] 16 9

[

2] 16 9

[

3] 16 9

2 .

?

변의 길이가 각각 a, b, c인 각형에서

a

c b

a^2 ^2= ^2

이 성 하면, 이 각형은 변의 길이가 c인 직각 각형 이다.

한 , 각형에서 가장 변의 길이의 제 이 나 지 변의 길이의 제 의 합 과 지 으면 이 각형은 직각 각형이 아니다.

직각 각형이 되는 을 이용하면 변의 길이가 주어 각형이 직각 각형 인지 아 지를 단할 수 있다.

알콩 달콩 수학

세 변의 길이가 각각 다음과 같은 각형 중에서 직각 각형인 것을 모두 찾으시오.

4, 5, 6 8, 15, 17

9, 14, 18 10, 24, 26

2

서 에 있는 복 의 화문에서 수 의 대한 문 지의 직 거리는 1.3` m^{, 화문에서 창}

의 화문 지의 직 거리는 1.2` m<sup>, 대한문</sup> 에서 화문 지의 직 거리는 1.8` m^이다. 화문, 대한문, 화문을 세 점으로 하는 각형이 직각 각형인지 단하고, 그 이유를 말 하시오.

3

각형의 변의 길이가 5, 12, 13이면

5

12 13

5^2 2^2= 3^2

이 로 이 각형은 직각 각형이다.

각형의 변의 길이가 3, 5, 6이면 3^2 5^2 6^2

이 로 이 각형은 직각 각형이 아니다. ₅

6 3

기원전 1800 경의 것으로 되는 고대 바 로니아의 토 ‘ 322 ( 322)’에는 기 문자가 적 있다. 구 결과, 이것은 직각 각 형을 이루는 변의 길이를 나 는 수라는 것이 다. 우리가 고라 리 라고 고 있는 직각 각형의 성질은 고라 가 태어나기 천 전에도 이

있 이다.

동양에서 가장 고라 리가 등장하는 기록은 주 경( ) 으로, 중국 한 나라 시대 또는 그 이전에 되 을 것으로 측된다. 시에는 직각 각형을 ‘구고’ 또는 ‘구 고현( )’이라 불 는데, 주 경 에는 ‘구와 고의 제 의 합은 현의 제 과 다.’라고 기 록되어 있다.

▲ 『주비산 』

▲ 림 322

알콩 달콩

수학 리

고라 리를 인하는 방법은 지금 지 것만 해도 360여 가지나 된다고 한다.

국의 아 어 수학자인 리 ( l, H., 1801 1898) 은 고라 리를 인하는 방법을 발표 는데, 그의 를

면 그 방법을 1830 에 발 다고 있다.

(출처 https l s ma s 2017)

다 과 이 이를 라서 리 의 방법으로 고라 리를 인해 자.

직각 각형 ABC에서 를 한 변으로 하는 사각형의 대각 의 교 O를 지나면서 에 한 분을 는다.

O를 지나면서 에서 그은 분에 수직인 분을 는다.

과 의 과 에서 나 어 4개의 각과 를 한 변으로 하는 사각형을 이동하면 다 그 과 이 를 한 변으로 하는 사각형을 이 울 수 있다. 즉, 사용한 각 각의 넓이 사이의 관 를 이용하여 고라 리가 성 함을 설명할 수 있다.

3 쪽

A

B C

A

B C

O

정사각형 모양의 이를 다음 그림과 같이 조각으로 나 어 피타고라 정리를 확인해 보자.

3 쪽

A

B

C

D

A

B O

O

C

D

변의 길이가 각각 다 과 은 각형 중에서 직각 각형인 것을 으시 . 2` m, 5` m, 6` m 3` m, 4` m, 5` m

8` m, 12` m, 14` m 7` m, 24` m, 25` m

03

다 직각 각형에서 x 의 을 구하시 .

x cm 7 cm

3 cm x cm

5 cm 10 cm

01

기본 문제

른 그 은 =90 인 직각 각형 ABC의 각 변을 한 변으로 하는 사각형을 그 것이다. 사각형의 넓이 가 각각 100 ^2와 64 ^2일 , 를 한 변으로 하는 사각형의 넓이를 구하시 .

02

A B

C

100 cm@

64 cm@

1

각 각 에서 각을 변

a

c b

의 이를 각각

a와 b라 하고

c라고 하면

a^2 ^2= ^2

2

변의 이가 각각

a, b, c 각 에서

a^2 ^2= ^2

이 성 하면, 이 각 은 변의 이가

c 각

a

c b a@+b@=c@

a c b

다 그 에서 x와 y의 을 각각 구하시 .

15 cm x cm

y cm

13 cm 5 cm

y cm 10 cm

6 cm 9 cm

x cm

04

문제

다 그 에서 x의 을 구하시 .

A

B C

4 cmD

12 cm x cm

13 cm

A

B C

9 cm D 10 cm

x cm 15 cm

06

른 그 에서 와 가 사각형이고

= m, = m일 , 의 길이를 구하시 .

05

B C

D

E G F 12 cm

20 cm

른 사각형 ABCD에서

= = = =4` m, = = = =3` m

일 , 사각형 EFGH의 의 길이를 구하시 .

07

4 cm A

B C

D

E

F

G H

른 그 과 이 =90 인 직각 각형 ABC에서 G는 각형 ABC의 게중심이다. =18` m이고 GD=5` m일 , 의 길이를 구하시 .

11

A

B D C

G

18 cm 5 cm

른 그 에서

r

의 크기를 구하시 .

= m이고 = m일 , 각형 ACE의 넓이 를 구하시 .

08

A

B C D

E

른 그 은 =90 인 직각 각형 ABC의 변을 각 각 지름으로 하는 원을 그 것이다. = m이고

= m일 , 한 부분의 넓이를 구하시 .

10

B 15 cm C

12 cm

문제

길이가 각각 17` m, 15` m, x` m인 3개의 대를 이용하여 직각 각형을 만들 고 할 , 가능한 x^2의 을 구하 시 .

09

17 cm 15 cm

체 경기의 한 목인 도 ( , l )는 로 제국의 인들이 기 련에 목 를 사용한 데서 된 동이다.

도 동의 기초를 습할 는 통 4 8 도의 사각 대 양으로 생 을 개서 전체 이를 하는 을 사용한다.

른 에서 가장 위에 있는 ‘1 ’의 변의 길이는 30 이고 가장 아 에 있는 ‘5 ’의 아 변의 길이는 80 이 , 5개의 의 이는 다.

(단, 이 는 부분의 는 생각하지 는다.)

문제 해결

다음은 에서 ‘1번 ’의 아 변의 길이를 두 가지 방법으로 구하는 과정이다. 이를 성해 보자.

80 cm 1 2 3 4 5 30 cm

오른 그 ^P

30 cm

80 cm A

B C

D

E F

과 같이 다리 ABCD에서

와 의 연장 의 교점을 P라고 하자.

이고

=3 이 로

=3

또 = 이고 이 로

= `

, 3 =30 따라서 = 오른 그 ^{30 cm}

80 cm A

B H C

D

E G F

과 같이 다리 ABCD에서 점 A를 지나고

에 평행한

이 , 와 만나는 점을 각각 G, H라 고 하자.

, 가 평행 변 이 로 GF=HC= =

= -HC=

한 , 이고

=1 이 로

=1

따라서 =

과 에서

= +GF= ``( )

도 과

03

B C

8 cm D 10 cm 4 cm 16 cm

에서 의 길이를 구 하시 .

04

A

B C

D

8 cm

16 cm

와 에서

= 이고

= 일

, 의 길이는

3 4 5

6 7

01

가 2 1일 , 의 의 길이는

A

B C

D

E F

24 cm 18 cm

10 cm

27 28 2

3 3

02

5 cm 6 cm

A' B'

C'

D' E'

F' 30^æ

4 cm 2 cm A

B C

D E

F

A'B'=2 3 D'E'=3

=3

=3

ADEB A'D'E'B'

05

B C

C' D

8 cm E

10 cm

각형 ABCD에서 3 cm

를 는 으로 하여 C 가 위의 C'에

도록 을 , DC'의 길이를 구하시 .

06

B C

D F E

G

y`cm x`cm 4`cm

6`cm

2`cm 3`cm

일 , x와 y의 을 각각 구하시 .

07

B C

D

E

F 9 cm 12 cm

9 cm 10 cm 8 cm

른 에 대한 6 cm

설명으로 은 것을 고르시 .

. FE .

. . =

. = . =

보기

08

B D C

에서 의 이등분 이 와 만나는 을 D 라고 할 ,

=

을 설명하는 과 이다. 에 은 것을 으시 .

C를 지나고 에

A

B D C

E

한 직 과 의 장 의 교 을 E라고 하자.

= 이고,

에서

= (동위각)

= ( 각)

이 로 =

따라서 는 = 인 이등변 각형 이다.

각형에서 에 의하여 생기는 분의 길 이의 에 의하여

=

따라서 =

09

B M C

75^æ N 65^æ x^æ y cm 12 cm

서 와 의 중 을 각각 M과 N이라고 할

, x+y의 은

56 58 60

62 64

10

B C

D

Q

R S

P

10 cm 14 cm

서 , , , 의 중 을 각각 P, Q, R, S라 고 할 , 의 의 길이를 구하시 .

12

B C

D E

M G 6 cm

x cm y cm

G는 의 게 8 cm

중심이고 이다.

x+y의 은

7 8 9

10 11

11

l x`cm 6`cm 9`cm

10`cm m

n

[

16~19

16

8 cm

5 cm 6 cm

A

B C

E D

F

ABCD에서 대각 BD O

의 중 을 O라 하고, O에서 에 수직인 직

과 , 의 교 을

각각 E, F라고 하자. =5` m, =8` m,

=6` m일 , 의 길이를 구하시 .

17

B E D F C

G G'

30 cm

G와 G'은 각각 와 의 게중심이다.

=30` m일 , GG' 의 길이를 구하시 .

15

B C

6 cm D

17 cm

14 cm

ABCD의 넓이는 2 ^2 3 ^2 4 ^2 5 ^2 6 ^2

14

은

x cm 81 cm@

9 cm@

11 12 13

14 15

13

B D C

G E

F

G가 의 게

중심일 , 의 장 과 의 교 을 D,

의 장 과 의 교 을 E라고 하자. D를 지 나고 에 한 직 과 의 교 을 F라고 할

, FC를 구하시 .

19

B C

D

E 6 cm

8 cm

ABCD의 A에서 대각 BD에 수 의 발을 E라고 할 , 의 길이를 구하시 .

18

B C

D

P M

ABCD에서 M은 의 중 이고, P는 와 의 교 이다.

의 넓이가 54 ^2일 , 의 넓이 를 구하시 .

자기 평가 과 , 이 의

, .

학습 보충 계획:

17^개~19^{개 훌륭합니다} 14^개~16개 실수를 줄여 봅시다

11^개~13개 부족한 부분을 검토해 봅시다

0^개~10개 개념 학습이 필요해요

학습 도

01 02 도형의 음의 의미와 은 도형의 성질을 이해하였는가

03 04 05 16 각형의 음 조건을 이해하고, 이를 이용하여 두 각형이 음인지 할 수 있는가

06 07 08 09 10 11 사이의 분의 길이의 비를 구할 수 있는가 12 13 17 18 각형의 무 중 을 이해하였는가

14 15 19 피타고라 정리를 이해하고 할 수 있는가

리

피 고라스 정리는 고대 그리스와 오리 트는 이고 도와 중 을 비 한 동양에서도 오래 고 있 다. 여기서는 우리나라와 중 일 에서 피 고라스 정리를 다루 수학 을 기로 한다.

우

우리나라의 경우 피 고라스 정리에 대한 지식은 시대 지 거 러 올라가 , 중 과 가지로 이를 구고 ( )이라고 다.

오른 그 은 시대 수학자 ( , 1820 1869)이 유 구고 요도해( ) 에 나오는 피 고라스 정리의 이다.

중 에서 피 고라스 정리를 음 다 은 한( )나라 시대 기 2 기경에 주비산경( ) 이지만, 관 문제를 격적으로 다 은 기 1 기경의 구장산 ( ) 이다. 이 의 용은 위 ( )나라의 유 ( , 220경)가 263년에 구장산 주( ) 를

해 해지고 있으 , 제9장 ‘구고( )’에서 피 고라스 정리와 관 문제를 중적으로 다루고 있다.

우리나라와 중 의 을 아 일 에서는 에도 시대(1603 1867)에 들어서 자적 수학을 발 시 는 , 이를 화산( )이라고 다.

일 에서도 피 고라스 정리를 구고 이라고 는 , 오른 그 은 1728년 ( )가 도여 ( ) 이라는 수학 에 나 와 있는 피 고라스 정리의 이다.