ு ࣫ ୈ ծ ֜ ധ ծ ࢄ ࠤ
자연에서 나타나는 자발적인 질서화:
집단 때맞음(collective synchronization)
홍현숙․한승기
저 자 약력
홍현숙 교수는 서울대 물리교육학과 이학박사(통계물리학 이론 전공, 1999)로서 서울대 물리학과 BK21물리연구단 박사후 연구원(1999- 2001), 고등과학원 물리학부 연구원(2001-2004)을 거쳐 2004년부터 현 재까지 전북대학교 물리학과 조교수로 재직 중이다.
(hhong@chonbuk.ac.kr)
한승기 교수는 KAIST 물리학과 이학박사(1984)로서, 1984년부터 현 재까지 충북대학교 물리학과 교수로 재직 중이다.
(skhan@chungbuk.ac.kr)
그림 1. 처음에는 동시에 반짝거리는 반딧불이들이 없다가 점점 시간이 지나면서 모든 반딧불이들이 동시에 반짝거리는 모습 [출처: S.
Raghavachary, “Firefly flash synchronization”].
그림 2. 동시에 반짝거리는 수천마리의 반딧불이들 [출처: S. H. Strogatz et al., Sci. Am. Dec. 102 (1993)].
소개 글
우리 자연에 실재하는 다양한 계(system)들은 많은 요소들로 이루어진 복잡계(complex system)이다. 이러한 계들은 계를 구 성하고 있는 요소들 간의 협동현상(cooperative phenomena) 의 결과로 다양한 집단행동(collective behavior)을 보이게 되는 데 특히, 비선형 결합 떨개들(nonlinear coupled oscillators)로 기술되어질 수 있는 집단 때맞음(collective synchronization) 현상은 그 대표적인 집단행동이라 하겠다. 이러한 집단 때맞음 현상에 대하여 자세히 살펴보자.
깊은 가을 밤 청명한 한 목소리로 울어대는 귀뚜라미들의 울음소리, 옛날 나그네들의 길을 밝혀주기도 하고 놀라게 하 기도 했다던 도깨비불의 장본인인 반딧불이의 동시다발적인 반짝거림, 우리 몸의 심장에 있는 맥박조절세포에서 나타나는 동시적인 박동, 두뇌에 있는 뉴런들에서 일어나는 발화 현상, 집단생활을 같이 하는 여성들의 생리적 주기의 일치, Belouzov- Zabotinski 화학반응에서 나타나는 여러 가지 특이한 문양들, 조셉슨 접합(Josephson junction)에서 나타나는 초전도 기저 상태, 전하 밀도파, 레이저, 그리고 콘서트 장에서 훌륭한 공 연을 보고 난 뒤 그에 대한 답례로 관중들이 박수를 칠 때 처음에 산만하게 쏟아지는 우레와 같은 결맞지않은(incoherent) 박수소리가 어느 정도의 시간이 경과하면서 결맞는 박수소리 로 되는 현상들. 이런 다양한 모습들이 우리 자연에서 매우 빈번하게 나타나고 있는데, 이러한 여러 가지 현상들 속에 숨
겨진 한 가지 공통점은 무엇일까? 그건 다름 아닌, 위에 열거 한 모든 경우가 집단 때맞음이라는 흥미로운 집단행동을 보 여주고 있다는 점이다.
집단 때맞음 현상이란 계의 구성요소들이 질서정연하게 동 시에 결맞는 상태를 보이는 것을 말한다. 예를 들면, 개개의 반딧불이가 반짝거릴 때, 그 반짝거림의 고유진동수가 있고 (평균 0.9초 정도 되는 것으로 알려져 있음), 이러한 고유진 동수들이 반딧불이들마다 약간씩 서로 다르기 때문에 여기저
기 흩어져 반짝거리는 반딧불이에서는 그저 산만한 반짝거림 만 나타날 뿐이다. 그런데, 흥미로운 사실은 이러한 반딧불이 가 교배시기와 같은 특정 목적의 시기가 되면, 서로 간에 강 한 상호작용을 통하여 상대방 반짝거림에 서로 맞추어 간다 는 것이다. 이에 따라 수많은 무리의 반딧불이가 같은 진동수 로 반짝거리게 되어 멀리서 봤을 때 한 마리의 거대한 반딧 불이들처럼 여겨지는 흥미로운 현상이 나타나고 이것이 바로 전형적인 집단 때맞음 현상인 것이다 [그림 1-2 참조]. 이러 한 집단 때맞음 현상에서는 상호작용의 크기에 따라 무질서 도 상태에서 질서화된 상태로의 전이가 나타나게 되는데, 이 러한 흥미로운 현상은 다양한 물리계에서 보이는 상전이현상 과 아주 유사하므로 많은 물리학자들의 관심을 끌었고 특히, 결합력의 고비값(critical value) 근처에서의 상전이와 임계 현상에 대하여 많은 연구가 진행되어 왔다.
모형계를 이용한 때맞음 현상의 이해
이러한 집단 때맞음 현상을 이해하기 위한 한 방법으로 결 합된 비선형 떨개 모형이 제시되었다. 결합되지 않은 개개의 떨개는 각자 고유의 진동수로 진동하게 되지만 이러한 떨개 가 서로 결합 상호작용을 통하여 각자의 고유진동수에 변화 가 생기고 결합의 세기가 점점 더 커지면 많은 떨개가 같은 위상 혹은 같은 진동수를 갖게 되는 이른바 질서화된 상태가 된다. 이러한 결합된 비선형 떨개의 집합은 집단 때맞음 현상 을 나타내는 자기 조직화된 진동계(self-organizing oscillatory system)에 대한 전형적인 모형으로서 자리매김하여 왔다. 결 합 떨개 모형의 전형으로 알려진 쿠라모토 모형(Kuramoto model)은 아래와 같은 방정식에 의해 기술된다:
-
, 위 식을 구성하는 변수들이 각각 나타내는 바는 첫째 는 각 떨개의 위상을 나타내고, 오른쪽 첫 번째 항에 있는 는 각 떨개의 고유진동수를, 그리고 두 번째 항은 떨개 사이의 상호작용을 나타내는 결합력에 대한 항이다. 특히, 결합력의 세기를 나타내는 는 양수로써 , 이웃 떨개 간의 위상 차가 작아지는 것을 선호하고 있다. 떨개 간의 결합이 전혀 없을 때 각 떨개는 각각의 고유진동수를 가지고 운동하게 되지만 , 계에 결합력이 생기게 되면 , 떨개 간의 고유진동수의 분포와 결합력의 세기가 서로 경쟁을 하 게 되고, 결합력이 충분히 커서 고유진동수의 분포를 이길 수 있다면 급기야 집단 때맞음이 일어나게 되는 것이다. 그러한
집단 때맞음을 기술하기 위해 적절한 질서맺음변수(order parameter)
를 도입하고 해석적인 방법과 함께 수치적인 방법을 통하여 때맞음에 대한 기작과 고비값 근처에서의 임계현상을 다양하게 연구하여 왔다. 위의 쿠라모 토 모형은 온곳결합(global coupling)이라는 결합 형태의 단 순성 때문에 해석적으로도 다루기가 용이하며 그 결과가 널 리 알려져 있다. 즉, 때안맞음에서 때맞음으로의 상전이가 일 어나는 결합력의 임계 고비값은 로 주어지게 되 고, 여기서 는 고유진동수들의 분포함수에 대한 값, 질서맺 음변수의 임계거동은 ∼
로 임계지수
를 가지며 2차 상전이를 보이는 것으로 잘 알려져 있다.
이러한 모형은 간결한 수학 방정식의 형태로 집단 때맞음 이라는 흥미로운 현상에 대한 정성적, 정량적인 이해를 가능 하게 했다는 점에서 높이 평가되고 있다. 또한, 이 모형은 고 유진동수 의 특성상 시간적 상관관계가 전혀 없는 담금질 된 노이즈(quenched noise)가 있는 계에 해당한다고 볼 수 있는데 이러한 노이즈 대신 노이즈 간의 시공간적인 상관관 계를 가지고 있는 보통의 열적 노이즈(thermal noise)를 도 입하면, 정확히 모형을 기술하는 방정식으로 환원되기 때 문에 그런 면에서도 많은 관심을 받아온 모형이다. 해석적인 간결성 외에도 몇몇 실험적인 응용가능성 때문에 이 모형은 지금까지도 많은 관심과 연구의 대상이 되어오고 있다.
이러한 모형은 그동안 실제성을 고려한 다양한 변형을 통 해 여러 가지 계에서 일어나는 때맞음 현상들의 동역학적인 현상들을 좀 더 실제적인 측면에서 설명하는데 이용되어 왔 다. 예를 들면, 열적 노이즈가 계에 추가로 더 들어오게 될 때 노이즈가 때맞음에 미치는 영향에 대한 연구가 있었고 이 경우 열적 노이즈로 인하여 진동수 때맞음은 사라지는 대신 오히려 더 강력한 질서화인 위상 때맞음이 생길 수 있다는 흥미로운 연구 보고가 있었다. 또한 이 모형에 나타나 있는 온곳 결합대신 한곳 결합(local coupling)을 가지는 떨개들에 대한 연구도 있었으며, 이 경우에는 두 가지 종류의 때맞음 (진동수와 위상 때맞음) 전이가 일어나는 공간적 차원이 각각 달라서 진동수 때맞음의 경우 2차원까지도 질서화된 상태로 의 전이가 일어나지 않으며 위상 때맞음의 경우 4차원이 넘 어서야 때맞음 전이가 일어나기 시작하는 것으로 밝혀졌다.
또한, 열적 노이즈와 뒤쳐진 상호작용(retarded interaction) 이 때맞음에 미치는 효과들도 연구되어져 왔으며 쩔쩔맴 (frustration)과 마구 잡이성(randomness)이 있을 때 유리화 때맞음(glassy synchronization)에 대해서도 연구되어 왔다.
그림 3. 두 카오스 신호 사이의 때맞음. (a) 상호 결합이 작으면 두 신 호 X1과 X2 사이에는 상관관계가 없는 때안맞음이 되며, (b) X1―X2 평 면에 그린 경로는 전체 평면을 다 채우게 된다: (c) 상호 결합이 커지면 두 신호의 크기 사이에는 상관 관계가 없지만 일정한 위상 관계를 유지 하는 위상 때맞음이 되며, (d) X1―X2 평면에 그린 경로는 원형을 그리 며 둘 사이에는 일정한 위상 관계가 유지된다: (e) 상호 결합이 충분히 커지면 두 신호의 크기가 완전히 일치하는 완전 때맞음이 되며, (f) X1―X2
평면에서는 대각선상에 놓이게 된다. [출처: A. Pikovsky, M. Rosenblum, and J. Kurths, Synchronization (Cambridge Univ. Press, Cambridge, 2001)].
또한, 외부의 주기적인 몰이(periodic driving)가 있는 경우 각 떨개의 특징적인 방식 잠금(mode locking)이 생기기도 하 고 특히 그런 외부몰이가 있는 계에서는 노이즈와 외부몰이 와의 상호작용으로 인해 계가 보이는 반응이 증폭되어지는 이른바 확률적 껴울림(stochastic resonance) 현상이 일어나 기도 한다. 이 경우 평균 위상 속도는 위상 때맞음 변화율에 대한 척도로 사용될 수 있기 때문에 위상 속도 반응에서의 껴울림 현상은 약간의 노이즈에 의해 결맞는 상태로의 접근 이 오히려 가속될 수 있다는 것을 의미하고, 이는 생물계에서 일어나는, 약한 노이즈에 의한 정보 처리 과정과 연결되어질 수 있다. 예를 들면 가재가 그러한 확률적 껴울림 현상을 이 용하여 자신을 잡아먹을 천적의 위치를 좀 더 빨리 알아채고 적으로부터 자신을 보호하는데 사용한다는 흥미로운 사실로 이해될 수 있다.
카오스계의 때맞음
매우 불규칙적인 형태를 보여주는 카오스 사이에도 때맞음 이 가능할까? 많은 생체 시스템에서 보여주는 리듬이 카오스 성질을 가지고 있으므로 카오스 신호가 때맞음 현상이 가능 한지 여부는 생체계의 기능을 이해하는 데 매우 중요한 의미 를 가진다. 최근에 카오스 사이의 때맞음 현상은 많은 물리학 적 연구 대상이 되었는데, 상호 작용의 크기에 따라서 위상만 이 일치하는 위상 때맞음, 위상뿐만이 아니라 크기도 일치하 는 완전 때맞음 등 다양한 형태의 때맞음이 가능함이 밝혀졌 다. 카오스 신호는 단순 진동자와 다른 두 가지 특성을 가지 고 있다. 먼저 진동의 주기가 일정한 것이 아니라 시간에 따 라서 변화한다는 것이다. 두 번째는 진동의 진폭도 매 주기마 다 변화한다는 것이다.
상호 작용을 하지 않은 두 카오스 신호는 매 시간마다 주 기도 다르며 진폭의 크기도 다를 것이다. 상호 작용을 하게 되면 주기와 진폭에 어떻게 영향을 미칠 것인가? 그림 3은 두 개의 카오스 신호가 상호 작용할 때의 시계열을 보여준다.
상호작용의 크기가 작으면, (a)에서 보는 바와 같이 두 시계 열의 사이의 상관 관계가 진폭이나 주기에서도 찾아볼 수 없 다. 그러나 (c) 상호 작용의 크기가 증가하면, 먼저 두 카오스 사이의 크기는 상관이 없지만 크기가 증가하고 감소하는 리 듬, 리듬 사이의 간격이 한 주기가 되며, 한 주기는 의 위 상으로 정의, 은 일치하는 것을 알 수 있다. (e) 상호 작용이 더 커지게 되면 리듬뿐만 아니라 크기도 완전히 일치하게 된 다. 즉, 두 카오스 신호 사이의 상호 작용이 점차 증가함에 따라서 먼저 위상이 일치하게 되는 위상 때맞음이 나타나고, 상호 작용이 더 증가함에 따라서 위상뿐만 아니라 크기도 완
전히 일치하게 되는 완전 때맞음이 일어난다. 생체계에서 발 생하는 신호는 대개 각자의 리듬을 유지하면서 서로 약한 상 호 작용을 하는 것이 일반적인 현상이다. 그런 점에서 완전 때맞음보다 위상 때맞음이 생체 신호계에서 더 중요할 것으 로 여겨진다.
생체계가 보여주는 위상 때맞음의 한 예로 심전도와 맥박 사이의 상호 작용을 들 수 있다. 그림 4의 심전도와 맥박은 모두 아주 불규칙한 카오스 신화의 특성을 보여주고 있다. 그 리고 이 두 카오스 신호의 크기는 거의 상관성이 없이 독립 적으로 변화하는 것처럼 보인다. 그러나 이 카오스 신호를 위 상 분석을 통하여 비교해보면 두 신호 사이에는 뚜렷한 때맞 음 현상이 있음을 발견할 수 있다. 두 신호에 이런 상호 작용 의 효과가 어떻게 나타날까? 이를 위하여 다음과 같이 위상 분석 방법을 도입한다. 먼저 심전도나 맥박의 피크 사이의 간 격을 위상 간격으로 정의하고, 중간 지점에서는 선형적으 로 위상이 증가하는 것으로 정의한다. 맥박이 뛰는 시점을
이라고 하였을 때, 사이의 임의의 시간 에서의 위상은 다음과 같이 정의할 수 있다.
이러한 방법으로 위상분석을 한 결과 그림 4의 오른쪽 그 림에서 두 신호의 위상차가 1:3, 혹은 2:5 위상 때맞음을 보 여 주고 있음을 알 수 있다.
그림 4. 심전도와 맥박 사이의 위상동기화. 왼쪽 그림의 심전도와 맥박은 아주 불규칙한 카오스신호의 특성을 가지고 있다. 두 카오스가 흡사 전혀 상 관성이 없어 보이지만, 두 신호의 위상은 1:3 혹은 2:5 위상 때맞음이 나타나고 있다. [출처: C. Schafer, M. G. Rosenblum, H. Abel, and J. Kurth, Phys. Rev. E. 50, 1999; C. Schafer, M. G. Rosenblum, J. Kurth, H. Abel, Nature 319, 1998]
복잡그물얼개에서 때맞음
한편, 자연에 존재하는 다양한 계들은 복잡그물얼개(com- plex network)의 구조를 가진다는 것이 알려져 있다. 복잡그 물얼개란, 규칙적인 연결특성을 갖는 격자와 다양한 연결특성 을 갖는 마구잡이 그물얼개의 중간쯤에 해당하는 것으로써, Watts와 Strogatz에 의해 1990년대 말경에 처음으로 작은 세상 행동(small-world behavior)을 보이는 그물얼개가 소개 된 이래 그에 대한 많은 연구가 진행되어져 오고 있다. 작은 세상 그물얼개는 두 가지 재미있는 특징을 지니고 있는데, 즉, 격자에서 나타나는 높은 집적도(high clustering)와 마구 잡이 그물얼개의 특징인 짧은 경로(short path length)의 특성 을 가진다. 많은 복잡네트워크에서는 경로가 그물얼개의 크기
에 대수적으로 증가하는 것으로 알려져 있다 ∼ . 이 는 격자의 경우 경로가 에 비례하는 것을 감안해 보면 훨 씬 짧은 것이다. 이러한 독특한 구조적 성질과 관련된 기하학 적인 특성들이 많이 연구되어져 왔다. 한편, 많은 구성요소들 로 이루어진 동역학적인 계가 이러한 복잡그물얼개위에 놓이 게 되면 두 요소들간의 정보교환은 정도의 비교적 짧은 거리에만 관여하며, 이러한 지름길의 존재로 인하여 고비온도 아래에서도 장거리 질서를 유발하는 등 많은 흥미로운 현상 들이 밝혀져 왔다.
동역학적인 성질들을 볼 수 있는 간단한 예로 집단 때맞음 현상이 물론 고려될 수 있으며 복잡그물얼개 위에 놓여져 연 구가 진행되어져 왔다. 복잡그물얼개 위에서의 동역학적 현상 에 대한 연구 중, 생물, 물리, 화학계로의 다양한 응용가능성 때문에 특히 집단 때맞음 현상에 대한 이해로 관심이 우선 쏠리고 있는 실정이다. 최근의 한 연구결과들에 의하면, 작은
세상 네트워크와 같은 복잡 네트워크 위에서의 집단 때맞음 현상은 온곳 결합된 계에서의 때안맞음-때맞음 전이현상과 그 임계현상이 같은 것으로 밝혀졌다. 장거리 상호작용으로 간주 될 수 있는 지름길이 그러한 임계현상에 결정적인 역할을 해 주어, 열역학적 극한에서는 그러한 지름길이 아주 극소량 있 게 된다 하더라도, 온곳결합의 경우와 같은 성질의 임계현상 을 보임이 밝혀졌다. 최근의 연구들은 척도없는 그물얼개 (scale-free network) 위에서의 집단 때맞음에 초점이 모아지 고 있는데, 임계현상을 결정짓는 임계지수들이 그물얼개를 구 성하는 자유도 지수(degree exponent)에 따라 바뀌고 특히, 이 지수가 5보다 큰 경우에는 임계지수의 값들이 온곳 결합 된 계에서 보이는 값들과 일치하는 흥미로운 연구결과가 보 고되고 있다.
복잡계의 시공간 패턴 분석과 복잡그물얼개 구조
우리 주위에서는 생물계가 보여주는 다양한 공간적인 패턴 을 볼 수 있다. 얼룩말의 문양, 나무에서 가지가 생기는 패턴, 하늘에서 날아가는 기러기가 만들어내는 패턴, 그리고 물고기 가 큰 덩치를 보여주기 위해서 무리를 지어 다니는 모양 등 이루 다 열거할 수 없다. 물고기가 떼를 지어 다니는 모습을 보면 그 패턴은 시시각각 모양이 변화한다. 앞장에서 보여준 심전도 시계열은 심장 근처 한 지점에서 측정한 심전도이다.
그런데, 심장 전체의 전위 분포가 시간에 따라서 어떻게 변화 하는가를 동시에 측정할 수 있다면 심장 박동 원리를 더 정확 하게 이해할 수 있을 것이다. 이것은 근본적으로 심장의 박동 은 심장을 구성하고 판막의 움직임에 따라서 혈액을 전송한다 는 점에서 공간적인 활동 패턴의 분석이 훨씬 더 중요한 정보
(a)
(b)
그림 5. (a) 시각 자극에 의해서 나타나는 뇌파의 때맞음 현상. 위쪽 그 림에서 역광 사진에 대한 그림에 대한 때맞음이 나타나지만, 사진을 거꾸 로 하였을 때는 때맞음이 나타나지 않음. (b) fMRI의 시계열 특성으로부 터 각 부위간의 때맞음으로부터 각 부위간의 연결 특성을 구할 수 있음.
[출처: E. Rodriguez, et al., Nature 397, 1999; V. M. Eguı´luz, Phys.
Rev. Lett. 94, 2005]
를 제공하기 때문이다. 여러 곳에서 동시에 측정한 공간적인 활동 패턴을 분석하는 것으로 시공간 패턴(spatiotemporal pattern) 분석이라고 한다.
복잡계가 보여주는 시공간 패턴은 특히 두뇌 복잡계에서 주요한 기능을 하는 것으로 알려지고 있다. 흔히 우리가 사물 을 인식하는 것은 사물이 가지고 있는 여러 가지 특징들이 하나로 결합됨에 따라 하나의 사물로 인식된다. 두뇌가 이런 방법을 통하여 사물을 인식하는 원리를 사물합성(feature
binding) 현상이라고 한다. 두뇌 신경계에서 이런 기능을 어 떻게 수행하는가? 3장에서 소개한 위상 때맞음은 두뇌 신경 계가 사물합성을 하는 중요한 기작으로 알려지고 있다. 그림 5(a)에서 위쪽 그림은 여성의 얼굴을 역광으로 보여주는 그림 이고 아래 그림은 이것을 뒤집어 놓은 그림이다. 이 두 경우 에 뇌파로 측정되는 시계열의 위상 시공간 패턴은 아주 다른 형태를 보여주고 있는데, 이를 위상 때맞음으로 분석한 결과 사진을 제대로 보여준 경우 두뇌 신경계의 각 부위에서는 높 은 때맞음이 형성되지만 사진을 뒤집어 준 경우에는 얼굴의 부분 특징을 나타내는 두뇌 신경계 사이의 사물합성을 위한 활동이 나타나지 않아서 때맞음 현상이 잘 나타나지 않고 있 다.
뇌파나 fMRI를 통하여 두뇌 신경계의 활동을 여러 지점에 서 동시에 측정할 수 있다. 이런 시계열의 시공간적 특성은 각 부위간의 연결 정도에 따라서 다양한 형태로 때맞음, 특히 위상 때맞음을 반영하고 있다. 따라서 이런 시계열의 때맞음 에 의한 시공간적 특성을 분석함으로써 거꾸로 이런 두뇌 활 동도의 때맞음을 발생하는 두뇌 신경계의 연결 구조를 밝히 는 것이 가능할 것이다. 그림 5(b)에서는 fMRI 영상으로 측정 된 두뇌 활동도의 시계열을 분석함으로써 두뇌 신경계의 연 결 특성을 밝힌 최근의 연구 결과를 보여주고 있다. 이 분석 에서 두뇌 신경계는 복잡그물얼개로 구성되어 있으며, 각 부 위간의 연결도를 분석한 결과 척도없는 그물얼개 구조를 가 지는 것으로 밝혀졌다. 복잡그물얼개, 특히 척도없는 그물얼 개에서 쿠라모토 모형, 카오스 모형을 이용한 다양한 때맞음 현상에 대한 연구는 두뇌의 기능을 밝히는 데 중요한 기능을 할 것으로 기대된다. 복잡계의 시계열 데이터의 시공간 패턴 분성을 통한 복잡계 연구는 두뇌신경계 뿐만 아니라, 생태계, 생리계, 유전자 및 단백질계, 경제계, 사회계 등 다양한 분야 에 적용할 수 있으며, 최근의 복잡계 그물 구조 분석과 함께 복잡계의 기능을 밝히는 데 획기적 역할을 할 것으로 기대된 다.
![그림 2. 동시에 반짝거리는 수천마리의 반딧불이들 [출처: S. H. Strogatz et al ., Sci. Am. Dec. 102 (1993)].](https://thumb-ap.123doks.com/thumbv2/123dokinfo/5388622.208531/1.892.476.815.585.776/그림-동시에-반짝거리는-수천마리의-반딧불이들-출처-strogatz-sci.webp)
