수업내용 및 목표

(1)

이 지 연 교수

중원대학교 의료공학과

(2)

수업내용 및 목표

9.1 위치벡터

1. 위치벡터의 의미와 노름을 이해하고, 벡터의 성질을 이해핚다.

2. 두 벡터의 내적과 외적을 이해하고, 그 성질을 활용핚다.

3. 워크북 및 절별 연습문제를 통해 학습 내용을

제대로 이해했는지 확인핛 수 있다.

(3)

9.1.1 위치벡터의 정의

공갂벡터 : 공갂 안의 점 P에서 점 Q 방향으로의 유향선분 시점 : 벡터가 시작하는 점 P

종점 : 벡터가 끝나는 점 Q

방향 : 화살촉이 나타내는 방향

크기 : 유향선분의 길이(길이, 노옴이라고도 함)

평면 R²에서 점 P(a₁, a₂)에서 점 Q(b₁, b₂)방향의 공갂벡터

PQ , a , a



P(a₁, a₂)

Q(b₁, b₂)

a₁ b₁

a₂ b₂

PQ b₁– a₁

b₂– a₂

y

x

R

PQ  (b₁ a₁)² (b₂ a₂)²

공갂벡터 의 길이 :

PQ a, , a

PQ

(4)

9.1.1 위치벡터의 정의



 P(a₁, a₂)

Q(b₁, b₂)

b₁- a₁

b₂– a₂

y

x

 S

O

방향과 크기가 같은 두 공갂벡터 는 같다하고 로 나타낸다.

시점이 원점 O이고 벡터 와 평행인 벡터 를 위치벡터라 한다.

PQ RS, PQ RS

PQ OS

벡터 의 위치벡터 의 표시방법 : _PQ _OS _OS ₍_{b a b a}₁  ₁_, ₂  ₂₎ 3차원공갂 안의 위치벡터 : a = (a₁, a₂ , a₃)

n차원공갂 안의 위치벡터 : a = (a₁, a₂ , …, a_n) 벡터 a의 두번째 성분

(5)

9.1.1 위치벡터의 정의

[위치벡터의 연산의 정의]

두 벡터 a = (a₁, a₂ , …, a_n), b = (b₁, b₂ , …, b_n)에 대하여

(1) 합 : a + b = (a₁, a₂ , …, a_n) + (b₁, b₂ , …, b_n) = (a₁+b₁, a₂+b₂ , …, a_n+b_n) (2) 스칼라 곱 : ka = k(a₁, a₂ , …, a_n) = (ka₁, ka₂ , …, ka_n)

(3) 크기 : a  a₁² a₂²  an²

 (a₁, a₂)

b₁+ b₂

y

O x

a

b

a + b

a₁ a₂ ^a1+a₂ b₂

b₁



y

O x

a a₁ - a₁

a₂

- a ^

(- a₁, - a₂)

- a₂

영벡터 : 모든 성분이 0인 벡터 0 = (0, 0 , …, 0), k0 = 0, 0a = 0 음벡터 : 벡터 a에 스칼라 (-1)을 곱한 벡터 - a = (-a₁, -a₂ , …, -a_n)

(6)

9.1.1 위치벡터의 정의



y

O x

a

b a - b

- b y

O x

a



ka

(k >1)

(0 < k < 1)



[Note]

a - b = a +(-b) = (a₁- b₁, a₂- b₂ , …, a_n- b_n)

두 벡터 a = (1, -2, 3), b = (-1, 1, 2)에 대하여

(1) a + b (2) a - b (3)

(1) a + b = (1, -2, 3) + (-1, 1, 2) = (0, -1, 5)

(2) a - b = (1, -2, 3) - (-1, 1, 2) = (2, -3, 1) (3) a  1²  ( 2)² 3²  14

a

(7)

9.1.1 위치벡터의 정의

임의의 위치벡터 a, b, c와 스칼라 a, b에 대하여

(1) a + b = b + a 덧셈에 관한 교환법칙

(2) (a + b) + c = a + (b + c) 덧셈에 관한 결합법칙 (3) a + 0 = 0 + a = a 덧셈에 관한 항등원 (4) a + (- a) = (- a) + a = 0 덧셈에 관한 역원 (5) a_{(a + b) =}a _{a +}a _b

(6) (a + b) a = a a + b a (7) (ab_{) a =}a(b a) = b(a _a) (8) 1a = a

[정리 9-1] (벡터의 합과 스칼라 곱에 대한 성질)

임의의 위치벡터 a와 스칼라 k에 대하여

(1) (2) (3) [정리 9-2] (크기의 성질)

0

a a  0  a 0 ka  k a

(8)

9.1.1 위치벡터의 정의

u y

O ¹ x

1

- 1 - 1

i j



단위벡터 : 크기가 1인 벡터, 즉 인 벡터 u 표준단위벡터(기저벡터) : 좌표축의 양의 방향으로 크기가 1인 벡터 2차원평면 : i = (1, 0), j = (0, 1)

3차원공갂 : i = (1, 0, 0), j = (0, 1, 0) , k = (0, 0, 1) n차원 공갂 : e_i = (0, … , 1, 0, … , 0), i = 1, 2, … , n

u₁² u₂² un² 1

    

u

[Note]

벡터 a = (a₁, a₂ , …, a_n) 방향의 단위벡터 : u

 a u a

n

n n

n n

(a a a

(a ( a ( a

a ( a ( a (

a a a

1 2

1 1 2 2

, , , )

,0, ,0) 0, , ,0) 0,0, , ) 1,0, ,0) 0,1, ,0) 0,0, ,1)



   

a

e e e

임의의 벡터를 기저벡터로 나타내는 방법

(a a a a

(a a a a a a

1 2 1 2

1 2 3 1 2 3

, ) , , )

  

   

a i j

a i j k

(9)

9.1.1 위치벡터의 정의

벡터 a = (1, -3), b = (2, 7, -3), c = (0, 2, -1, -3)을 표준단위벡터로 나타내고, 동일한 방향의 단위벡터를 구하라.

(1) a = i -3j, b = 2i + 7j – 3k, c = 2e₂ – e₃ – 3e₄

2 2

2 2 2

2 2 2 2

1 1 3

1 ( 3) 10 ,

10 10 10

1 2 7 3

2 7 ( 3) 62 , ,

62 62 62 62

1 2 1 3

0 2 ( 1) ( 3) 14 0, , ,

14 14 14 14

 

        

 

 

         

 

 

            

a u a

b u b

c u c

(2) 동일한 방향의 단위벡터

(10)

9.1.2 내적(스칼라적)

두 벡터 a, b가 이루는 사잇각 θ (0 ≤ θ ≤ )에 대하여 두 벡터의 내적을 다음과 같이 정의한다.

cos

 

a b = a b

=

>

<

cos 0 0

2

0, cos 0 0

( , ) : cos 0 0

  



      

     

    

    

a b a b

예각 둔각

a b 일 때, 두 벡터 a, b를 직교벡터 또는 직교핚다고 한다.

= = =0, = = =1

     

i j j k k i i i j j k k

벡터의 성분을 이용하여 정의하면, n 차원 공갂안의 두 위치벡터 a = (a₁, a₂ , …, a_n), b = (b₁, b₂ , …, b_n)의 내적 :

a∙ b = (a₁, a₂ , …, a_n)∙_(b₁_{, b}₂_{, …, b}_n_{) = a}₁_b₁_{+ a}₂_b₂_{+… + a}_n_b_n

(11)

a b_{1 1} a b_{2 2} a bn n

= cos

cos =



 

   



 a b a b

a b a b

n n

n n

a b a b a b

a a b b

1

1 1 1 2 2

2 2 2 2

1 1

cos cos

 ^



  

  

    

 

       a b

a b [내적과 사잇각의 관계]

두 벡터 a = (2, 1, 2), b = (1, 1, 2)의 내적과 그 사잇각을 구하라.

2 2 2 2 2 2

2 1 2 3, 1 1 2 6

       

a b

= 2 1+1 1+2 2 = 7

   

a b 내적 :

1 1 7

cos cos 17.7

  ^ ^ ^ ^ ^ ^ 3 6 ^  a b

a b

9.1.2 내적(스칼라적)

(12)

= cos0 = 2

    

a a a a a a a a

[내적과 크기의 관계]

임의의 위치벡터 a, b, c와 스칼라 k에 대하여 (1) a ∙ b = b ∙ a

(2) a ∙ 0 = 0 ∙ a = 0

(3) a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c (4) a ∙(kb) = (ka) ∙ b = k(a ∙ b)

(5) a ∙ a ≥ 0, a ∙ a = 0일 필요충분조건은 a = 0이다.

[정리 9-3] (내적의 성질)

1 cos = ^ 1

             



a b a b a b a b a b a b

a b [Note]

9.1.2 내적(스칼라적)

코시-쉬바르츠 부등식

(13)

9.1.3 외적(벡터적)

c

y

O a

b

x 그림과 같이 회젂하는 팽이의 회젂축이 3차원 z

공갂의 원점 O를 지나고, 이 회젂운동이 영이 아닌 벡터 a에서 b방향으로 회젂한다고 가정하 자. 이때 회젂축은 두 벡터 a와 b를 포함하는 평 면에 수직이므로 회젂축 위의 임의의 영이 아닌 벡터 c는 a와 b에 수직이고 회젂축의 방향을 결 정한다.

이와 같이 벡터 a가 벡터 b의 방향으로 회젂할 때, 두 벡터 a와 b에 수직인 회젂축 위의 벡터 c 를 a와 b의 곱으로 정의한다.

3차원공갂에서 사잇각이 θ (0 ≤ θ ≤ )인 두 벡터 a, b가 이루는 평면에 수직인 단위벡터 n에 대하 여 벡터 a와 b의 외적을 다음과 같이 정의한다.

a b

n 

a×b

S

y

x

z

 

= sin

a b a b n

S a b sin 즉, a와 b의 외적은 이 두 벡터에 수직이고 두

벡터에 의한 평행사변형의 넓이를 크기로 가지 는 벡터이고, 따라서 이다. a b ₌ a b _sin

(14)

9.1.3 외적(벡터적)

3차원공갂 안에서 크기가 각각 2와 3인 두 벡터의 사잇각이 _{/3이고 시점이 원} 점에서 만난다고 할 때, 이 두 벡터에 의한 위적의 길이를 구하라.

2, 3

 

a b

크기가 각각 2와 3인 두 벡터를 각각 a와 b라 하면 , 이고 사잇각이 /3이므로 두 벡터의 외적의 크기는 다음과 같다.

= sin 2 3 sin 3 3

3

 

    

a b a b [Note]

벡터 a가 벡터 b 방향으로 회젂하는 경우, 두 벡터에 수직인 단위벡터 n에 대 하여

벡터 b가 벡터 a 방향으로 회젂하는 경우, 방향이 반대이므로

 

= sin = 3 3 a b a b n n

 

= - sin = -3 3

b a a b n n

O - n

a

b n

a b

b a

(15)

9.1.3 외적(벡터적)

임의의 위치벡터 a, b, c와 스칼라 k에 대하여 (1)

(2) (3) (4) (5) (6) (7) (8)

[정리 9-5] (외적의 성질)

= = =

  

i i j j k k 0

= , = , = , = - , = - , = -

     

i j k j k i k i j j i k k j i i k j

 = -  a b b a

   

^k ⁼ ^k ⁼ ^k

 

  

a b a b a b



^{+ =}



^,



⁺



⁼

       

a b c a b a c a b c a c b c

 =

a a 0

 

^{= 0,}

 

^{= 0}

   

a a b b a b

    

⁼



    

a b c a c b a b c

 

= sin

a b a b n

(16)

9.1.3 외적(벡터적)

a

₁

b

₁

a

₂

b

₂

a

₃

b

₃

a

₁

b

₁

  

k ^성분

i ^성분

j ^성분 [외적의 성분표시]

표준단위벡터 i, j, k를 이용하여 a = (a₁, a₂, a₃), b = (b₁, b₂, b₃)의 외적을 나타내 면 다음과 같다.



â â â

 

^b ^b ^b



a b a b a b a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

a b

1 2 3 1 2 3

1 1 1 2 1 3 2 1 2 2 2 3

3 1 3 2 3 3

1 2 1 3 2 1 2 3 3 1 3 2

1 2 2 1 2 3 3 2 1 3 3 1

1 2

=

     

           

     

          

          

a b i j k i j k

i i i j i k j i j j j k

k i k j k k

i j i k j i j k k i k j

i j i j j k j k k i k i

     

a b a b a b a b a b

a b a b a b a b a b a b

2 1 2 3 3 2 3 1 1 3

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

=

       

    

i j j k k i

i j k

 



^{a b}^{a a}^{b b} ^{a b}^{a a}^{b b} ^{a b}^{b b}^{a a}^{a b a b}



^{a b}

a a a b b b

2 3 3 1 1 2

1 2

2 3 3 1

2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1

1 2 3

, ,

= , ,

   



 ⁱ ^{j k} a b

(17)

9.1.3 외적(벡터적)

a = (1, - 2, 2), b = (- 1, 0, 3)에 대하여 다음을 구하라.

(1) 외적 (2) 방향의 단위벡터 n (3) 두 벡터에 의한 삼각형의 넓이

(1)

a b a b

(2)

= 1 2 2 ( 6 0) ( 2 3) (0 2) 6 5 2 1 0 3

             



j k

a b i i j k i j k

2 2 2

= ( 6) +( 5) +( 2) 65

    

a b 이므로

6 5 2

65 65 65

   

n i j k

(3) 두 벡터에 의한 평행사변형의 넓이가 이므로 두 벡터에 의한 삼각형의 넓이는 이다.

 = 65 a b

65 2