모든 실수 a에 대하여 a<k 인 자연수 k가 존재한다.
T1. 임의의 실수 r에 대하여 r>0 이면 0<(1/n)<r 인 자연수 n이 있음을 보여라.
T2. 임의의 두 양의 실수 a, b에 대하여 a<nb인 자연수 n이 존재한다.
T1 증명.
r>0 이므로 1/r > 0.
1/r < n 을 만족하는 자연수 n이 존재한다.
(아르키메데스 공리에 의하여) 적당한 자연수 n에 대하여,
0 < 1/n < r.
T2. 증명
자연수 집합을 유계라 가정하자
즉 어떤 양의 실수 a, b에 대해 모든 자연수 n에 대하여 nb < a 을 만족한다고 하자.
그럼 n < a/b 을 만족한다.
완비성공리(: 공집합이 아닌 실수의 모든 위로 유계인 부분집합은 최소상계를 가진다.) 에 의해 a/b 는 자연수 집합의 상계이다.
자연수 집합은 최소상계를 가지고 그 값을 u라 하자 즉 sup N = u
이때 u-1 은 자연수의 상계가 아니다(u가 최소상계) 즉 u-1 은 자연수 집합안에 있는 수.
그러므로 자연수 집합안에 u-1 보다 크고 u보다 작은 어떤 수가 존재해서 그 수를 t라 하면 u-1 < t 이고 t 는 자연수이다.
자연수의 성질에 의해서 t가 자연수이면 t+1도 자연수.
그러나 u < t+1 의 관계가 성립되어 모순.
u가 자연수의 최소상계인데 이것보다 큰 t+1 이라는 자연수가 있어, 따라서 가정의 모순.
즉 모든 자연수 n 에 대하여 nb < a을 만족하지 않는다.
따라서 어떤 적당한 자연수에 대해서 nb > a 을 만족하게 된다.
비유클리드 기하학
비아르키메데스 산술학
비뉴톤 물리학
비라브와지에 화학
비라플라스 천문학
비아리스토텔레스 놀리학
비테카르트 인식론
[1단계] 문제에 대한 이해
⇒ 많은 학생들이 수학 문제를 풀고 나서도 자신이 푼 문제의 의미에 관심을 가지지 않는다. 하지만 문제에 좀 더 관심을 가지고 관찰하면 때로는 다른 문제를 풀 때 큰 도움이 되는 의미를 얻을 수도 있다. 이를테면 수와 식 단원에서 x+y, xy 가 주어질 때 xn+yn을 계 산했던 문제는 방정식 단원의 근과 계수의 관계와 연 결된다.
(1) 문제에서 주어진 것(조건)이 정확히 무엇 무엇이 있는 지 서술할 수 있는가? 그림이나 기호 등을 통해서 간단히 표현하거나 복잡한 조건을 쪼개서 생각할 수 있는가
(2) 문제에서 구해야 할 것(목표)이 무엇인지 확실하게 이 해하고 있는가 ?
(3) 문제를 자신의 표현으로 (남에게 설명할 수 있을 정도 로) 쉽게 서술할 수 있는가 ?
(4) 목표를 구하기 위해 문제에서 주어진 조건이 부족하지 않은가 ?
부족하다면 어떠한 것 들이 필요한가 ? 그것이 정리인가 ? 정의인가 ?
(5) 문제의 각 부분을 다른 문제에서 본 적은 없는가 ?
[2단계]문제 해결 전략
문제를 이해했다면, 어떻게 문제를 풀지 머릿속 으로 계획의 윤곽을 잡아야 한다.
하지만 머릿속에서만 계획을 잡아보았자 보통은 뜬구름 잡기에 그칠 뿐이다.
한편, 아무런 생각 없이 손만 움직이는 경우도 있
다. 하지만 그런 문제는 생각할 필요도 없는 쉬
운 문제에서나 가능하다. 따라서 문제를 해결하
기 위해서는 손과 머리가 같이 움직여야 한다.
(1) 새로운 변수 두기 : 치환 (2) 그림 그려보기
(3) 동치인 문제 구하기(문제 바꾸어 써보 기) :
예: f(x) 를 x-1로 나눈 나머지가 3이 라는 조건은 f(1)=3과 동치이다.
(4) 도표로 정리해보기
(5) 결론에서 시작해서 거꾸로 풀기 (6) 규칙성 찾기
(7) 방정식 세워보기
(8)수의 성질 이용하기
(9)다항식의 차수 살펴보기 (10)대칭성 이용하기
(11)경우를 나누어 풀기(수형도 그리기) (12)구체화하기(간단한 경우, 특별한 경
우를 생각해보기),일반화하기(조건의 수 를 줄이기)
(13)반례들기
(14)예상과 확인
[3단계] 계획의 실행
문제를 어떻게 풀지 결정했다면 이를 실제로 실 천해야할 것이다. 이 과정에서 자신이 세운 계획대 로 진행이 되는가 계속 점검할 필요가 있다. 이를테 면 검산 등을 통해서 중간 중간에 계산 실수가 있지 않은지, 진행 과정에 논리의 비약이 있지 않은지 살 필 필요가 있다. 한편, 계획을 실행하는 중에 이 계 획으로는 문제를 해결할 수 없다면, 앞 단계로 돌 아가서 계획을 다시 세워야 할 것이다.
어림짐작으로 (이를테면 계산이 복잡할 것 같다 는 것만으로)못 풀겠다고 생각하는 건 효과적인 문 제 해결 방법이 아니다.
[4단계] 반성하기
문제의 답을 구해냈다면, 풀이 과정과 결론을 재 검토해야 한다. 문제를 풀 때의 컨디션이 좋아서 답 을 구해낸 것 일지도 모르기 때문이다. 따라서 자신 의 풀이를 다시 한번 훑어 보고, 모범 답안이나 문 제를 푼 다른 사람의 풀이 방법을 알아보면서 문제 해결을 통해 얻은 문제 해결 능력을 견고하게 해야 한다. 이외에도
(1) 일반적인 경우로 결론을 확장시킬 수 있는지 (2)결론이 다른 문제를 푸는 데 도움이 될 수는 없는
지
(3) 이 문제 해결 과정에서 어떠한 수학적 개념이 등 장했는지 등을 검토하도록 해야 한다.