A study on one-factor option pricing model and implied systematic risk factor^†

2018, 29

3)

717–733

원-팩터 옵션가격결정 모형 및 내재 경기변동요인에 관한 연구

^†

ᄀ

ᅩ광이

¹

²

12전남대학교 통계학과

ᄌ ᅥ

ᆸᄉ ᅮ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 15ᄋ ᅵ ᆯ, ᄉ ᅮᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 23ᄋ ᅵ ᆯ, ᄀ ᅦᄌ ᅢ ᄒ ᅪ ᆨᄌ ᅥ ᆼ 2018ᄂ ᅧ ᆫ 5ᄋ ᅯ ᆯ 24ᄋ ᅵ ᆯ

요 약

ᄆ

ᅵᄅ ᅢᄋ ᅴ ᄀ ᅧ ᆼᄀ ᅵᄉ ᅡ ᆼ ᄒ ᅪ ᆼᄀ ᅪ ᄀ ᅪ ᆫ ᄀ ᅨᄋ ᅥ ᆹᄋ ᅵ ᄒ ᅡ ᆼᄉ ᅡ ᆼ ᄀ ᅩᄌ ᅥ ᆼᄃ ᅬᄋ ᅥ ᄋ ᅵ ᆻᄂ ᅳ ᆫ ᄀ ᅵᄎ ᅩᄌ ᅡᄉ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄒ ᅪ ᆨᄅ ᅲ ᆯᄇ ᅮ ᆫ ᄑ ᅩᄅ ᅩᄇ ᅮᄐ ᅥ ᄋ ᅲᄃ ᅩ ᄃ ᅬ ᆫ ᄒ ᅧ ᆫᄒ ᅢ ᆼ Black- Scholes ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅦ ᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆫ ᄆ ᅮ ᆫ ᄌ ᅦᄌ ᅥ ᆷᄋ ᅳ ᆫ ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄋ ᅩ ᆸᄉ ᅧ ᆫᄀ ᅡᄀ ᅧ ᆨᄋ ᅳ ᆯ ᄆ ᅡ ᆫᄌ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄂ ᅢᄌ ᅢᄇ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᆼᄉ ᅥ ᆼᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄇ ᅩ ᄋ ᅪ ᆫ ᄒ ᅡᄀ ᅩ ᄋ ᅵ ᆻᄃ ᅡ. ᄇ ᅩ ᆫ ᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄋ ᅦ ᄉ

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ᆼ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳ ᆯ ᄌ ᅦᄋ ᅡ ᆫᄒ ᅡᄀ ᅩ, ᄄ ᅩᄒ ᅡ ᆫ ᄋ ᅯ ᆫ-ᄑ ᅢ ᆨᄐ ᅥ ᄋ ᅩ ᆸᄉ ᅧ ᆫᄀ ᅡᄀ ᅧ ᆨᄀ ᅧ ᆯᄌ ᅥ ᆼ ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼᄋ ᅳᄅ ᅩᄇ ᅮᄐ ᅥ ᄉ ᅵ ᆯᄌ ᅦ ᄋ ᅩ ᆸᄉ ᅧ ᆫᄀ ᅡᄀ ᅧ ᆨᄋ ᅳ ᆯ ᄆ ᅡ ᆫᄌ ᅩ ᆨ ᄒ ᅡᄂ ᅳ ᆫ ᄂ ᅢᄌ ᅢᄌ ᅥ ᆨ ᄀ ᅧ ᆼᄀ ᅵ ᄇ

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ᆼ, Black-Scholes ᄆ ᅩᄒ ᅧ ᆼ.

1. 서론

1973년 Black-Scholes에 의해 제안한 유로피언 옵션가격결정 모형 (Black-Scholes 모형)은기초자산 ᄋ

ᅴ 수익률이 정규분포를따르는 일반화 위너확률과정 (generalized Wiener stochastic process)에 기반 ᄒ

ᅡᆫ다. 그러나 실제 수익률의확률분포는 높은첨도와 두꺼운꼬리분포를가지며 경기변동에 따라 갑자 ᄀ

ᅵ 비연속적으로 점프하는경우도 존재하여 정규성을만족하지 못한다는사실이 여러 실증적 연구를 통 ᄒ

ᅢ 알려져 있다. 이와 같이 비정규성을갖는수익률의 확률분포로 인하여 Black-Scholes 모형으로부터 시

ᆯ제 옵션가격을만족하는내재변동성 (implied volatility)은 행사가격과 잔존만기에 따라 일정하지 않 느

ᆫ변동성 미소 (volatility smile) 현상이 나타난다 (Rubinstein, 1985). 이와 같은변동성 미소 현상은 1987년 미국 주식시장 폭락 사태 이후에 언제든지 경기상황이 악화되어 유사한 주식 폭락 가능성이 존 ᄌ

ᅢ한다는시장 참여자들의 공포증으로 나타나기 시작하였다 (Jackwerth and Rubinstein, 1996).

Engle (1982)의 ARCH 모형, Bollerslev (1986)의 GARCH 모형 및 Hamilton과 Susmel (1994)의 SWARCH모형은시점의 변화에 따라확률적으로 변화하는수익률의 변동성을추정하는방법으로 수 이

ᆨ률의 변동성이 급격하게 변하거나 또는꼬리부분이 두꺼운 분포에 적합한 것으로 알려져 있다. 한편 Merton (1976)과 Kou (2002)는위너확률과정으로 설명되는확산요인 뿐만 아니라 경기변동에 따른비 ᄋ

ᅧᆫ속점프요인을추가한 점프확산 모형 (jump diffusion model)을제안하여 수익률의확률분포를 직접 ᄀ

ᅢ선하였다. Maekawa 등 (2008)은 Nikkei 225지수에 대한 수익률의 분포가 Kou의 점프확산 모형에 ᄀ

ᅳᆫ사하고, 또한 실제 옵션가격이 Black-Scholes 모형보다 Kou의 점프확산 모형에 의한 이론가격에근

†

ᄋ ᅵ ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫᄋ ᅳ ᆫ 2011ᄂ ᅧ ᆫᄃ ᅩ ᄌ ᅥ ᆼᄇ ᅮ (ᄀ ᅭᄋ ᅲ ᆨ ᄀ ᅪᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅵᄉ ᅮ ᆯ ᄇ ᅮ)ᄋ ᅴ ᄌ ᅢᄋ ᅯ ᆫ ᄋ ᅳᄅ ᅩ ᄒ ᅡ ᆫᄀ ᅮ ᆨᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄌ ᅢᄃ ᅡ ᆫᄋ ᅴ ᄀ ᅵᄎ ᅩᄋ ᅧ ᆫᄀ ᅮᄉ ᅡᄋ ᅥ ᆸ ᄌ ᅵᄋ ᅯ ᆫᄋ ᅳ ᆯ ᄇ ᅡ ᆮᄋ ᅡ ᄉ ᅮᄒ ᅢ ᆼᄃ ᅬ ᆫ ᄀ ᅥ

ᆺᄋ ᅵ ᆷ (NRF-2011-0022864).

1

(61186) ᄀ ᅪ ᆼ ᄌ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼᄇ ᅩ ᆼ ᄅ ᅩ 77, ᄌ ᅥ ᆫᄂ ᅡ ᆷᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄉ ᅵᄀ ᅡ ᆫᄀ ᅡ ᆼᄉ ᅡ.

2

ᄀ ᅭᄉ ᅵ ᆫᄌ ᅥᄌ ᅡ : (61186) ᄀ ᅪ ᆼ ᄌ ᅮ ᄀ ᅪ ᆼᄋ ᅧ ᆨᄉ ᅵ ᄇ ᅮ ᆨ ᄀ ᅮ ᄋ ᅭ ᆼᄇ ᅩ ᆼ ᄅ ᅩ 77, ᄌ ᅥ ᆫᄂ ᅡ ᆷᄃ ᅢᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅭ ᄐ ᅩ ᆼ ᄀ ᅨᄒ ᅡ ᆨᄀ ᅪ, ᄀ ᅭᄉ ᅮ.

E-mail: [email protected]

저

ᆸ함을보였다. 또한 Madan (1998)의 Variance Gamma 모형 및 Carr 등 (2002)의 CGMY³모형은레 ᄇ

ᅵ과정 (Levy process)에 의해 점프확산 모형을 일반화하였다.

ᄎ

ᅬ근기초자산의 가격을설명할 수 있는 빅데이터활용 및 통계이론발전에 따라 투자자들은미래 시 ᄌ

ᅥᆷ의 가격에 대한 예측을 통해서 합리적인 투자 의사결정을 실시하려는경향이 있다. 기초자산의 수익 류

ᆯ은해당 자산에 한정하여 영향을미치는내부 고유요인 (idiosyncratic risk factor)과 모든자산에 공 ᄐ

ᅩᆼ적으로 영향을미치는외부 경기변동요인 (systematic risk factor)에 의해 결정되며, 최근금융시장의 ᄀ

ᅢ방화 또는 국제화에 따라 외부 경기변동요인은기초자산의 수익률에 대한 영향력이 더욱확대되어진 ᄉ

ᅡᆼ태이다. 특히 기초자산이 주가지수인 경우에는지수를구성하는모든기업들의 고유요인을예측할 수 어

ᆹ기 때문에 옵션시장 참여자들은향후 경기상황에 대한 예측을 통해서 기초자산에 대한 예측을 실시한 ᄃ

ᅡ. Dennis과 Myhew (2002)는개별 주식에 대해 경기변동요인과 같이 전체 주식에 영향을미치는체 ᄀ

ᅨ적인 위험요인이 존재하여 체계적인 위험요인의 영향력이 클수록수익률의 분포가 음 (-)의 왜도를갖 느

ᆫ경향이 있다는것을 입증하였으며, Duan과 Wei (2008)는체계적 위험요인에 대한 영향력이 높을수 ᄅ

ᅩᆨ 행사가격에 따른내재변동성의 변화가 심하다고 주장하였다. 이와 같이 Black-Scholes 모형에서 변 ᄃ

ᅩᆼ성 미소 현상이 발생하는주된원인은예측되는미래의 경기상황을구조적으로 반영할 수 없기 때문이 ᄃ

ᅡ.

보

ᆫ연구에서는미래의 경기상황과관계없이 항상 고정되어 있는수익률의 확률분포에 대한 문제점을 ᄒ

ᅢ결하기 위한 방법으로 해당 기업만의 내부 고유요인 위너확률과정과 시장 전체에 영향을미치는 외 ᄇ

ᅮ 경기변동요인 위너확률과정으로 구분한 Vasicek (2002)의 원-팩터 (One-factor) 위너확률과정을고 ᄅ

ᅧ하기로 한다. 이와 같은 원-팩터 위너확률과정으로부터 미래의 경기변동요인에 대한 예측값이 반영된 ᄋ

ᅯ

ᆫ-팩터 자산가치 모형을도출하며, 또한 원-팩터 자산가치 모형으로부터 원-팩터 옵션가격결정 모형을 ᄌ

ᅦ안한다. 원-팩터 자산가치 모형은미래의 경기변동요인에 대한 예측값에 따라 분포의 중심위치가 이 ᄃ

ᅩ

ᆼ한다. 따라서 원-팩터 옵션가격결정 모형을이용한 옵션가격은미래의 경기변동요인에 대한 예측값에 ᄋ

ᅴ존한다. 기초자산의 가격에 대한 변동성이 커진다는것은향후 가격에 대한 불확실성이확대되어진다 ᄂ

ᅳᆫ것을의미하며, Black-Scholes 모형에 대한 한계성을 보완하는내재 변동성은 옵션시장 참여자들이 ᄋ

ᅨ상하는향후 기초자산의 가격에 대한 불확실성을나타낸다. 본연구에서도 옵션시장 참여자들이 예상 ᄒ

ᅡ는향후 경기상황을알아보기 위하여 원-팩터 옵션가격결정 모형으로부터 행사가격에 대한 옵션의 실 ᄌ

ᅦ가격을만족하는내재 경기변동요인을제안한다. 향후 기초자산의 가격에 대한 불확실성을의미하는 ᄂ

ᅢ재 변동성과는달리 내재 경기변동요인은 옵션시장 참여자들이 예상하는향후 경기상황을나타낸다.

보

ᆫ 논문의 구성은 다음과 같다. 다음제2장 본론에서는 원-팩터 위너확률과정으로부터 원-팩터 자산 ᄀ

ᅡ치 모형과 원-팩터 옵션가격결정 모형을도출하며, 제3장에서는 원-팩터 옵션가격결정 모형으로부터 오

ᆸ션의 실제가격을만족하는내재 경기변동요인을제안한다. 제4장 실증분석에서는 KOSPI200지수에 ᄃ

ᅢ해서 내재 변동성과 비교하여 질적인 내재 경기변동요인의 특성을살펴본다. 그리고 원-팩터 가격결 저

ᆼ 모형에 대한 종합적인 결론은제5장에서 제시하기로 한다.

2. 원-팩터 옵션가격결정 모형 ᄋ

ᅥ느금융기초자산의 t시점 가격 S(t) 에 대해 무한히 작은시간증분 dt에 따른주가 S(t + dt) 의 순 ᄀ

ᅡᆫ 수익률이 다음과 같은브라운이안 운동 (Brownian motion)또는 일반화 위너확률과정 (generalized Wiener stochastic process)을따른다고 가정하자.

3

ᄂ ᅩ ᆫᄆ ᅮ ᆫ ᄌ ᅥᄌ ᅡᄃ ᅳ ᆯ ᄋ ᅴ ᄋ ᅵᄅ ᅳ ᆷᄋ ᅳ ᆯ ᄋ ᅣ ᆨᄎ ᅵ ᆼᄒ ᅡ ᆷ