강체의 공간운동장치 ( Loop-the-Loop Apparatus ) SG-5150

(1)

강체의 공간운동장치

( Loop-the-Loop Apparatus )

SG-5150

SEGYE

㈜ 세 계 과 학

본사: 서울특별 송파구 가락동41 덕봉 B/D

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(2)

● 소개

사면과 원주궤도를 따라 금속구를 굴려서 구의 회전 운동에너지를 포함하는 역학적에너지의 보존을 측정 한다.

● 규격 및 구성

·구의 트랙 : Φ 10 mm, 길이 2600mm, 스텐레스재질

·지지대 : 대 (Φ 13 mm, H 800mm) Χ 1ea 소 (Φ 13 mm, H 500mm) Χ 1ea

·클램프 Χ 2ea

·금속구 : Φ 25 mm Χ 1ea, Φ 19 mm Χ 1ea

● 관련기기

·광전식 스톱워치 ( SG-5122A )

강체의 공간운동장치 (SG-5150)

(3)

실험1 : 강체의 공간운동

1. 목적

사면과 원주 궤도를 따라 금속구를 굴리는 과정에서 구의 회전 운동 에너지를 포함하는 역학적 에너지의 보존을 살펴 본다.

2. 기본 원리

경사면의 높이 h 되는 곳에서 반지름

r

이고 질량이 m인 구가 정지상태에서 출발하여 굴러 내려 오 면 역학적 에너지 보존법칙은

2 2

1 1

2 2

mgh

=

mv

+

I ω

(1)

이다. 여기서 v와 ω는 경사면 바닥에서 구의 선속도와 각속도이다.

그림 1 강체의 공간운동

이 구의 관성모멘트

2 2

5

I

=

mr

이며, v

=

rω이므로 경사면 바닥에서 속력은

10

v

= 7

gh (2)

이다.

(4)

(1) 원형트랙 꼭지점에서 역학적 에너지

E

_t

원형트랙 꼭지점

T

[그림2] 에서의 총 역학적 에너지의 일반적 표현은

2 2

1 1

2 2 2

t t

E

=

mv

+

I ω

+

mgR

(3)

이다. 여기서

v

_t 는

T

에서 구의 선속력이고

ω

_t는 각속도로서

v

_t =

r ω

_t이며,

R

은 원형트랙의 반경이다.

구가 점

T

에 겨우 도달하는 경우 구심력은 중력과 같으므로

2

mv

t

R

=

mg

(4)

이다. 식 (4)와 의 관계를 식 (3)에 대입하면

27

t 10

E

=

mgR

(5)

이다.

출발점과 점

T

에서 역학적 에너지 보존법칙은

27 27

10 , 10

mgh

=

mgR h

=

R

(6)

로 표시한다.

(2) 점 B에서 속력 vb

출발점과 점 B에서 역학적 에너지 보존법칙은

2 2

1 1

2 ^b 2 ^b

mgh

=

mv

+

I ω

(7)

이다. 여기서

v

_b는 점 B에서 구의 선속력이고

ω

_b는 각속력이다.

(5)

10

b

7

v

=

gh (8)

이며, 꼭지점

T

를 겨우 통과하는 경우에는 식 (6)이 성립하여야 하므로

27

b

7

v

=

gR (9)

이 된다.

(3) 점 B의 속력

v

_b와 점 C의 속력

v

_c 의 관계 점 B와 점 C에서 역학적 에너지 보존법칙은

2 2 2 2

1 1 1 1

2

mv

^b +2

I ω

^b = 2

mv

^c +2

I ω

^c +

mgH

(10)

이다. 여기서

ω

_c는 점 C에서 구의 각속력이며,

H

는 기준점에서 트랙의 끝점인 점 C까지의 높이이다.

식 (10)을 정리하면

2 2 10

b c 7

v

=

v

+

gH

(11)

이다.

(4) 포물운동

트랙의 끝점C를 떠난 구는 포물운동을 하여 지면에 떨어진다. 점 C의 수직선이 지면과 만나는 점을 좌 표축의 원점으로 하고 지면과 평행한 방향을 x축, 수직방향을

y

축으로 하면 구의 궤도는 다음 식으로 표현한다. 즉,

2

0 0 2 2

0

(tan )

2

_c

cos

y y x g x

θ

v

θ

⎛ ⎞

= + − ⎜ ⎟

⎝ ⎠

⁽¹²⁾

(6)

이다. 여기서

y

는 구의 초기 위치의

y

좌표이고

θ

₀는 초기각이다. 이 구가 지면에 떨어진 좌표를 (x,0) 으로 표시하면 식 (12)에서

2 2

2

0 0 0

2( tan ) cos

f c

f

v gx

y x

θ θ

= +

⁽¹³⁾

이다.

그림 2 금속구의 운동경로

3. 실험 기구

·강체의 공간운동장치 ·Vernier Caliper

·줄자 ·갱지와 먹지

·수직자 ·각도기

4. 실험 방법

① 강체 공간운동장치를 그림 3과 같이 끝점 C가 수평을 유지하도록 실험대에 장치하고 트랙으로부터 지 면까지의 거리

y

를 측정한다.

② 구의 출발점의 높이를 변화시켜 가면서 구가 원형트랙의 꼭지점

T

를 간신히 접촉하면서 지나갈 때의 출발점의 높이 h를 측정한다.

③ 구가 낙하되리라고 추정되는 위치에 먹지와 갱지를 깔고 과정 ②에서 정한 높이 h에서 구를 굴려내 려 수평거리 x를 5회 측정한다.

④ 점C에서 구의 속력 v(실험)를 x와

y

를 사용하여 계산한다.

(7)

⑥ v(실험)과 v(이론)이 같지 않다면 이유를 생각해 보고 역학적 에너지의 손실 ∆

E

를 계산하라.

그림 3 실험장치

⑦ 강체 공간운동장치를 그림 2와 같이 끝부분이 수평면과 각

θ

₀를 이루도록 설치하고 과정

h

₀를 측정 하고, 점C와 지면의 수직거리

y

₀ 및 원형트랙의 반경

R

을 재어 기록한다.

⑧ 과정 ⑦에서 측정한

h

₀가 식 ⑥을 만족시키는지를 검토한다.

⑨ 구가 낙하되리라고 추정되는 위치에 먹지와 갱지를 깔고 과정 ⑦에서 정한 높이

h

₀에서 굴러 내려 수 평거리

x

_f 를 5회 측정한다.

⑩ 과정 ⑦과 ⑨에서 측정한

y

₀^,

θ

₀^및

x

_f 의 값을 식 ⑬에 대입하여 (실험)를 계산하고 이를 식 에 대 입하여 (실험)를 구한다.

⑪ 식 ⑨에서 (이론)를 계산하고 과정 ⑩에서 구한

v

_b(실험)와 비교하여 같지 않다면 이유를 생각해 보 고 과정 ⑥에서 구한 역학적 에너지 손실 ∆

E

^{를 고려하여}

v

₀(이론)을 계산한 후

v

_b^{(실험)과 다시 비}

교하여 검토하라.

(8)

5. 분석

(1) 측정값

측정횟수 1 2 3 4 5 평균

수평거리 x 수평거리

x

_f

트랙 끝점의 높이,

y

출발점 높이, h 트랙 끝점의 높이,

y

₀

트랙 끝점과 실험대의 거리,

H

트랙의 경사각,

θ

₀

출발점의 높이,

h

₀

원형트랙의 반경,

R

(2) 실험값 계산

① 점 C에서 구의 속력 실험값

2

v gx

=

y

=

실험

② 점 C에서 구의 속력 이론값

10

v_이론

= 7

gh

=

③

v

_실험과

v

_이론의 비

④ 에너지 손실 ∆ =

E

⑤ 측정값

R

과

h

₀의 비를 구하고 식 (6)과 비교

⑥ 식 (13)과 (11)에서

v

_b_실험을 계산

v

_b_실험=

⑦ 식 (9)를 이용하여

v

_b_이론을 계산

⑧ ^b

b

v v

실험 이론

(9)

● 문의 사항

문의 사항이 있으시면 다음의 연락처로 문의하여 주시기 바랍니다.

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