Ch. 6 자기장 (Magnetic Field)

Ch. 6 자기장 (Magnetic Field)

 Ch. 1: 수학적 기초

 Ch. 2 ~ Ch. 5: 정전기장(전기장의 세기가 시간에 따라 변하지 않음)

 Ch. 6 & Ch. 7: 정자기장(자기장의 세기가 시간에 따라 변하지 않음)

1

6-1. 전류에 의한 자기장의 형성

- 1800년대 초까지:

자기장은 오로지 영구자석에 의해서만 발생한다고 생각

- 1821년, Hans Oersted(얼스텓):

전류에 의해서도 자기장이 발생할 수 있음을 발견 - 자기장: 전류에 의해 발생

- 영구자석: 원자, 전자의 움직임에 의한 원자 scale의

도선 주변의 자기장

Biot(

비오

싸발

앰페’어ㄹ

학자들은,

도선의 주변에 다음 형태로 자기장이 형성되는 것을 발견함

3

자기장(자계)

자기장(magnetic field): 자기력이 작용하는 공간

자기력(magnetic force):

- 자석끼리 밀어내거나 잡아당기는 힘 - 자성재료를 잡아당기는 자석의 힘 - 움직이는 전하에 가하는 힘

자기력선(Line of Magnetic Force)

영구자석 주변의 자기력선 영구자석 내부의 자기력선

5

전자석(Electromagnet)

• 전류가 흐르는 루프는 자석과 동일  전자석

• 두 루프의 전류방향이 동일  인력

• 두 루프의 전류방향이 반대  척력

자기력(Magnetic Forces)

7

자기장의 방향 = 오른손 법칙

6-2. 비오-사바르의 법칙(Biot-Savart Law)

- 자계강도(Intensity of Magnetic Field; Magnetic Field Intensity) - 주어진 위치에서의 자기장 세기

- 기호 H, 단위 A/m

- 비오 사바르 법칙: 전류가 흐르는 도선 주위의

Biot-Savart Law

9

예제 6-1

적분 공식유도

11

선분전류에 의한 자계강도: 임의 위치

무한 선전류의 자기장

L

2 ˆ I

 

H φ

13

선분전류에 의한 자기장 응용

응용: 임의 모양 선전류에 의한 자기장

예제 6-2

2

3 3 3

ˆ ˆ

0 : 2 2

ˆ ˆ

: 2 2 2

I I

z a S

a I SI

z H

z z z



 

  

    

H z z

z z m

이 공식을 임의형상 루프에 근사적으로 적용 가능

0 2

H a z

a

   



15

자속(Magnetic Flux)과 자속밀도(Magnetic Flux Density)

진공에서의 자속밀도 진공에서의 전속밀도





 자속(Magnetic Flux) : 어떤 면적 를 통과하는 자기력선의 양

B의 단위:

Wb/m

=T=10

G H의 단위: A/m

(진공의 투자율, permeability)

정사각형 루프 중심에서의 자기장

0

ˆ 0.886

ˆ 2

I I

a a

  

 

B z z

0

ˆ 0.900 I

a

  z

(원형루프 공식 이용)

17

연습문제

Magnetic Dipole = A Small Loop of Constant Current

i = 루프 전류, A = 루프면적벡터(방향=오른손법칙;

루프면에 수직이며 루프전류방향과 A의 방향은 오른손 법칙 만족; 왼쪽 그림에서는 +z 방향)

a = 루프 반경

a << R





B H

19

(magnetic moment)

원형루프 응용문제

솔레노이드: 원형코일

솔레노이드에서 먼거리에서의 자기장

 NiA

μ

선전류, 면전류, 체적전류에 의한 자계강도

평판, 체적도체의 경우 전류밀도를 이용하여 자계강도를 구할 수 있음

(A/m ) (volume current density) 2

v S



  I J v

(A/m) (suface current density)

s W



  I

K v

Id KWd dS

Id JSd dV

 

 

L L K

L L J

21

이동하는 점전하에 의한 자기장

Id dQ d dQ

 dt 

L L v

 속도 v로 이동하는 전하량

Q

2 2

ˆ ˆ

1 1

4 4

dQ Q

R R

 

 

  ^{v R}  ^{v R}

H

예제: 원운동 점전하

23

6-3. 암페어의 주회법칙(Ampere’s Circuital Law)

 가우스의 법칙: 쿨롱의 법칙보다 쉽게 전계강도를 구함

 암페어의 법칙: 비오-사바르의 법칙보다 쉽게 자계강도를 구함

Ampere’s Law: 임의의 폐경로에 대해서 자계강도를 선적분한 값은, 폐경로를 통 과하는 전류와 같다.

효과적인 폐경로의 설정

• 폐경로의 크기나 형태에 관계없음

• 자계강도에 수직 또는 수평한 폐경로를 설정하면 계산이 용이

 효과적인 폐경로를 설정할 수 있는 경우에만 암페어 법칙의 사용이 효율적임

25

자기장과 평행  원형 폐경로

• 선적분을 수행할 폐경로 설정

예제 6-3

i) 도체 내부의 자계강도,

•

• 원통형 도체(선형도체의 중첩)  원형 자기장  원형 폐경로 예제 6-4

27

ii) 도체 외부의 자계강도,

예제 6-5

29

6-4. 솔레노이드와 토로이드

• 코일을 감아서 자기장을 증폭

• 솔레노이드(solenoid): 직선형 코일

• 토로이드(toroid): 도너츠형 코일

Solenoid Coil (솔레노이드 길이 무한대)

용도: Air-core inductor Toroid Coil

용도: 고 인덕턴스 인턱터

6-4-1. 솔레노이드(Solenoid Coil)

솔레노이드 코일 내외부의 자계강도

n: 단위길이당 감은 수

사각형 폐경로

31

솔레노이드:

• 코일 중심부에 강한 자기장, 코일외부의 자계강도=0

• 영구자석의 역할(전기에너지  자기에너지  기계에너지)

유한길이 솔레노이드:

• 자기장 분포 영구자석과 유사

6-4-2. 토로이드(Toroid Coil)

• 토로이드 주변의 자기장

• 토로이드 내부의 자기장

를 통과하는 전류가 0

1 , 2

 C C

N: 토로이드 권선의 감은 수

33

6-5. 컬(Curl)

• 정전기장의 발산(divergence)과 상대적인 개념

• 벡터회전의 방향과 세기를 계산하는 벡터연산

• 발산: 어떤 점에서 벡터가 퍼져나가는 정도를 계산

• 컬: 어떤 점에서 벡터가 회전하는 정도를 계산

• 전속밀도의 발산: 그 점의 전하밀도

• 자계강도의 컬: 그 점의 전류밀도

컬연산( )은 벡터의 회전정도를 표현

• 컬연산의 크기: 회전속도

• 컬연산의 방향: 오른손 법칙의 엄지방향

 컬연산의 방향 성분

35

6-5-2. 순환(Circulation)을 이용한 컬의 정의

Minimum 순환 Maximum 순환

단위면적당 순환

• 컬(Curl)의 정의

: “한 점에서의 단위면적당 순환”이 크기이고 폐경로에 수직한 방향을 가지는 벡터

37

외륜을 이용한 컬의 설명

벡터를 물의 흐름으로 비유  외륜의 회전강도와 방향이 컬의 결과

외륜이 돌지 않음

6-5-3. 자기장의 컬

39

자기장의 컬 유도

 

ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ _x ˆ _y ˆ _z ˆ

x y z

H H H

x y z x y z

H H H

       

                   

x y z

H x y z x y z J

41

예제 6-6

의 의미

 를 계산하면 그 공간의 전류밀도를 알 수 있고, 반대로 전류밀도로부터 자계강도를 계산할 수 있다.

발산은 퍼지는 정도를, 컬은 회전 정도를 표현 (전기장은 발산, 자기장은 회전)

(Ampere 법칙의 미분형)

43

원통, 구좌표계에서의 컬

1 2 3

1 2 3

1 2 3

ˆ ˆ ˆ

1

u v w

h h h

h h h u v w

h H h H h H

  

  

  

u v w

H

원통, 구좌표계에서의 컬

1

z

z

z

H H H

 

 



  



  

  

  

a a a

H

2

sin 1

sin

sin

r

r

r r

r r

H rH r H

 

 



 





  

  

  

a a a

H

45

Helmholtz Theorem

and specified

determined with an additive constant

  A   A 

A

예제 6-7

47

6-5-4. 맥스웰의 2번째, 3번째 방정식

: 전류에 의해서 회전하는 형태의 자기장이 발생 : 정전기장은 회전성분이 없음

맥스웰의 제1방정식: 가우스법칙



  D 

6-6. 스토크의 정리(Stokes’ Theorem)

Stoke’s theorem

미소평면에 대한 자기장의 컬

양변에 미소평면을 내적

전체 표면적으로 확장

공유경로에 대한 선적분은 서로 상쇄

 공유되지 않은 가장자리에 대한 선적분만 남음

49

Sir George Stokes, 1 ^st Baronet (1819-1903)

- 영국의 물리학자, 수학자 - 아일랜드 출신

- 캠브리지대학 교수 - 왕립학회 회장

- 유체운동역학, 광학, 수리물리학

암페어 법칙의 증명

맥스웰 3번 방정식

Ampere’s Law

 양변을 면적분

 스토크의 정리 적용

51

발산정리

스토크 정리 예제 6-8

0 (rotational field)

0 V (irrotational or conservative field)

      

     

H H A

E E

Stokes 정리를 이용하여 다음을 증명하라.

0

( ) ( ) 0

S C

V

V d V d V a V a

 

       

 ^S   ^L

53

를 증명 예제 6-9

6-7. 자속(Magnetic Flux)과 자속밀도(Magnetic Flux Density)

진공에서의 자속밀도 진공에서의 전속밀도





 자속(Magnetic Flux) : 어떤 면적 를 통과하는 자기력선의 양

B의 단위:

Wb/m

=T=10

G H의 단위: A/m

(진공의 투자율, permeability)

55

예제 6-10

를 구함  를 면적분  자속

원통도체에 의한

자기장은 성분만 가짐 예제 6-11

57

무한 선전하에 의한 자계강도

예제 6-12

자기단극(Magnetic Monopole)

자기장은 전류(전자의 흐름)에 의해서 발생하기 때문 N극과 S극이 같이 존재한 다.(두 극을 분리할 수 없다)

자기단극 : N극, 혹은 S극만을 가지는 자석  존재하지 않음

59

4th 맥스웰 방정식

 4개의 맥스웰 방정식

6-8. 벡터 포텐셜 함수(Vector Magnetic Potential)

전기장의 전위에 해당하는 자기장의 포텐션 함수가 존재하는가??

YES!!

0 0

      V

      

E E

B B A

  

B A

0 L 4 Id

 R





  ^L  A

0 S 4 dS

 R





  ^K  A

0 V 4 dV

 R





  ^J  A

(선전류에 의한 벡터자위)

(면전류에 의한 벡터자위)

(체적전류에 의한 벡터자위)

61

벡터자위를 이용한 자속계산

i) 벡터자위를 이용한 계산

ii) 비오-사바르 법칙을 이용한 계산

예제 6-13

63

예제 6-14

를 이용