‡Corresponding author: +82-51-629-6626, E-mail: [email protected]
피크형의 변동성을 갖는 국가지하수 관측소 지하수위 결측자료 보완
정상용
부경대학교 지구환경과학과
요 약
국가 지하수 관측소의 장기 지하수위 관측자료는 전원이나 관측기기의 이상으로 지하수위가 간헐적으로 측 정되지 않는 경우가 발생한다. 측정이 되지 못한 결측자료는 장기 관측자료의 연속성을 떨어뜨리기 때문에, 적 절한 통계기법을 사용하여 보완할 필요가 있다. 본 연구에서는 피크형의 변동성을 갖는 대구비산 관측소에서 결측된 지하수위 자료의 보완을 위하여 크리깅과 조건모사를 이용하였다. 2 가지 기법의 적용 이전에 크리깅과 조건모사의 결측자료 보완능력을 검증하기 위하여 대구비산 관측소 충적층 지하수위 자료의 일부를 실험구간 으로 설정하고, 임의로 10일, 20일, 40일, 60일의 결측구간을 만들었다. 10일 및 40일 결측자료의 보완에서 조 건모사가 크리깅보다 통계적으로나 그래픽면에서 우수하였으며, 20일과 60일의 보완에서는 조건모사가 크리 깅보다 통계적으로 오차가 컸지만, 복잡한 변동성을 재생하는 데는 훨씬 우수하였다. 대구비산 관측소의 실제 결측구간에 대하여 크리깅에 의해서 보충된 지하수위 자료는 원시자료와 오차 없이 완벽하게 일치하지만, 크리 깅은 최소의 오차를 갖으면서 추정치를 만들기 때문에 결측된 부분은 거의 직선으로 나타나고 있다. 조건모사 에서 만들어진 자료들은 원시자료와 오차 없이 재생되었으며, 결측구간에서도 변동성을 잘 나타내었다. 이와 같이 조건모사는 불규칙한 변동성을 갖는 자료의 추정에서 상당히 신뢰성 있는 분포를 만들어낼 수 있었다. 그 런데 결측구간 이전의 자료수가 적으면서 결측구간이 너무 크거나, 결측구간 전후의 자료값의 차이가 너무 큰 경우에는 조건모사도 자료의 변동성을 재생하는 데 어느 정도 한계가 있었다. 조건모사는 크리깅보다 오차는 약간 더 크지만, 원래의 분포와 매우 유사한 분포를 만들 수 있기 때문에, 지하수위, 수리전도도, 조석변동 등 복 잡한 변동성을 나타내는 자료의 추정(내삽 또는 외삽)에서 널리 이용되고 있다.
주요어: 국가 지하수 관측소, 지하수위 결측자료, 피크형 변동성, 보완, 크리깅, 조건모사
Sang Yong Chung, 2011, Interpolation of Missing Data in Groundwater-Level Disitributions with Peak Type Variations at a National Groundwater Monitoring Well. Journal of the Geological Society of Korea. v.
47, no. 3, p. 277-288
ABSTRACT: Groundwater-level data at National Groundwater Monitoring Wells of Korea are often missed because of electrical power or digital sensor problems. The missing data need to be interpolated by proper statistical methods, because they degrade the continuity of monitored data. In this study, kriging and conditional simulation were applied for the supplement of the missing groundwater-level data in alluvium and bedrock aquifer with peak type variations at Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Well. Groundwater-level data of alluvial aquifer were artificially eliminated at the intervals of 10 days, 20 days, 40 days and 60 days to evaluate the capability of kriging and conditional simulation. Conditional simulation was statistically and graphically superior to kriging in the interpolations of 10 days and 40 days. Although conditional simulation produced larger statistical errors than kriging, it was more excellent than kriging in producing complicated fluctuations. Groundwater-level data reproduced by kriging at the actual missing intervals of Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Well were completely consistent with the original data, but the missing data nearly formed lines because kriging produced estimates with minimum errors. The interpolated data by conditional simulation were also reproduced without errors from the original data, and represented the fluctuations of original groundwater levels very well. Conditional simulation can produce quite reliable distributions in the estimation of data with irregular fluctuations. By the way, conditional simulation has a little limitations in the reproduction of fluctuations in case of a very large missing
1. 서 론
우리나라에서 산업의 발전과 경제의 고도성장으 로 지하수의 이용은 계속 증가하고 있으며, 그에 따 라 지하수 고갈이나 오염의 가능성이 증대되고 있 다. 정부에서는 국가 지하수자원의 적절한 보전과 관리를 위하여 1995년부터 국가지하수 관측망을 구 축하여, 2010년 현재 전국 16개 시도에 327개소를 운영하고 있다(국토해양부와 K-Water, 2010). 국가 지하수 관측소의 지하수위 장기 관측자료는 전원이 나 관측기기의 이상으로 지하수위가 간헐적으로 측 정되지 않는 경우가 발생한다. 측정이 되지 못한 결 측자료는 장기 관측자료의 연속성을 떨어뜨리기 때 문에, 적절한 통계기법을 사용하여 보완할 필요가 있다.
한국수자원공사에서 운영되고 있는 국가지하수 관측망에서 측정된 지하수위 장기 관측자료는 크게 4가지의 유형으로 나타난다(건설교통부와 한국수자 원공사, 1999). 즉, 지하수위의 변동성이 적으면서 계 절에 따라 완만한 변동이 반복되는 사인커브형(sinusoidal type), 지하수위의 변동성이 크면서 불규칙하게 나 타나는 피크형(peak type), 사인커브와 피크가 혼합 되어 나타나는 혼합형(mixed type), 그리고 주기성 이 없고 단순 변동성만을 보여주는 단순형(simple type)으로 구분된다.
지하수위 자료는 시계열자료로서 그 변화가 다양 하고 또한 불규칙한 양상을 나타내기 때문에, 이 자 료의 재생을 위해서는 지구통계학적인 기법이 필요 하다. 일반적으로 많이 사용되고 있는 지구통계학 적인 기법은 크리깅(Kriging)과 조건모사(Conditional Simulation)이다. 크리깅은 연속적인 자료의 변화 가 비교적 완만한 경우에 최소의 오차로 결측자료 의 보완을 할 수 있다. 정상용 외(2001)는 사인커브
형의 장기지하수위 관측자료에서 결측된 부분을 보 완하기 위하여 정규크리깅을 이용한 결과, 최소의 오차로 가장 적합한 결측자료를 보완하였다. 크리 깅은 완만한 변동성을 나타내는 2차원의 지하수 수 위나 수질 자료의 추정(정상용 외, 1999; 심병완 외, 2000; 정상용 외, 2000), 지하수위 관측망의 최적화 모델링(Theodossiou and Latinopoulos, 2006), 지 하수 오염의 평가(Hu et al., 2005), 지열수 온도의 공간적 분포 재생(Fabbri and Trevisani, 2005), 지 하수 수질자료의 요인분석치 분포(Dragon, 2006; Wang et al., 2007) 등 지하수 분야에서 많이 이용되고 있 다.
그러나 연속적인 자료의 변화가 다양하고 불규칙 한 경우에 크리깅은 자료의 변동성을 모사하는 데 어려움을 갖는다. 이 경우에 조건모사는 크리깅보 다는 통계적 오차가 크지만, 원시 자료의 불규칙한 변동성을 재생할 수 있다(Journel and Huijbregts, 1978; Chiles and Delfiner, 1999; Olea, 1999). 미국 과 캐나다의 학자들이 지하수오염에 대한 종합적인 연구를 위하여 실증시험 부지로 선정한 캐나다 Boden Site에서 채취한 토양시료의 수리전도도 자 료를 이용하여 2-D의 불규칙한 분포특성을 갖는 자 료의 추정에서 크리깅보다 조건모사가 우수하다는 것이 입증된 바 있다(Chung and Wheatcraft, 1993). 이러한 특성 때문에, 조건모사는 지하수에서 매우 불규칙한 변화를 나타내는 수리전도도의 추정 을 통한 지하수 유동이나 오염물질의 확산 모델링 에 많이 이용되고 있다(Capilla et al., 1997; Gómez- Hernánez et al., 1997; Hendricks Franssen et al., 2003). 또한 최근에는 불규칙한 변동성을 보여주는 강수의 모델링에도 이용되고 있다(Vischel et al., 2009).
본 연구에서는 국토해양부와 한국수자원공사에서 interval or a very large difference of data value in a missing interval. Conditional simulation can make very similar fluctuations to original distributions, although its estimates have larger statistical errors than kriging estimates.
Therefore, conditional simulation is widely used for the reproduction of irregular fluctuations such as groundwater level, hydraulic conductivity and tidal fluctuation.
Key words: national groundwater monitoring wells, missing data of groundwater level, peak type variations, interpolation, kriging, conditional simulation
(Sang Yong Chung, Department of Earth Environmental Sciences, Pukyong National University, 599-1 Daeyeon- dong Nam-gu, Busan 608-737, Korea)
개발하여 관리하고 있는 국가지하수 관측소 중에서 피크형을 갖는 대구 비산관측소의 지하수위 관측자 료에서 결측된 부분을 보완하기 위하여 크리깅과 조 건모사를 이용하였다. 그런데 2 가지 기법으로 결측 자료를 보완하기 이전에 그들의 능력을 검증하기 위 하여 연속적인 자료에서 인위적으로 결측구간을 만 들어 두 기법으로 재생한 후에, 원시자료와 추정치 들을 그래픽 방법과 통계적 방법으로 비교하여 평가 하였다. 인위적 결측보완 자료에 대한 평가 이후에 2 가지의 기법으로 대구비산 관측소 장기 지하수위 자 료에서 발생된 실제의 결측구간을 보완하여 피크형 의 변동성을 갖는 지하수위 자료를 만들었다. 그리 고 크리깅과 조건모사 중에서 어느 기법이 더 합리 적으로 적합하게 보완할 수 있는지를 교차타당성 검 정을 통하여 비교 검토하였고, 또한 2 가지 기법의 장단점과 한계점을 평가하였다.
2. 관측소 개황
본 연구에서는 대구광역시 공장지역에 위치한 대 구 비산관측소의 지하수위를 이용하였다. 이 관측소 는 대구광역시 서구 비산동 3048번지 달서천 환경사 업소내에 위치하며, 경도 128° 32'35'', 위도 35° 53' 02''이고, 표고는 해발 23.76 m이다. 본 지구는 낙동 강 유역권의 중류지점인 금호강 소유역의 하류부에 위치한다. 지질은 백악기 신라층군에 해당하는 대구 층과 신라역암 사이의 함안층이 기반암으로 분포하 며, 금호강 및 낙동강의 영향을 받은 제4기 충적층에 의해 부정합으로 피복되어 있다. 본 함안층은 이암 또는 셰일이 주를 이루며, 충적층은 모래와 자갈로 구성되어 있다(국토해양부 국가지하수정보센터, 2012).
비산 국가 지하수 관측소는 충적층 지하수 관측 정과 암반 지하수 관측정으로 이루어 졌으며, 충적 지하수 관측정은 연암상층부 비고결암층인 실트질 점토, 실트질 모래와 자갈층에 대하여 직경 350 mm
로 12 m까지 굴착되어 있다. 관측정 설치 초기 지하 수 수위는 지표하 8.6 m이며, 수질은 pH가 8.6, 전기 전도도가 322 μS/cm이었다(건설교통부와 한국수자 원공사, 1995). 암반지하수 관측정은 연암층 상부의 13.5 m까지는 직경 350 mm로 굴진되었으며, 하부 암반층 70.0 m까지는 250 mm로 굴착되었다. 상부 비고결암층까지는 직경 250 mm 무공관이 설치되 고, 암반층에는 직경 200 mm PVC 케이싱이 설치되 어 있다(표 1). 대수층에 설치된 스트레이너 구간은 길이가 약 16 m 이다. 관측정 설치 초기 지하수의 수 위는 지표하 11.68 m이며, 수질은 pH가 6.9, 전기전 도도가 315 μS/cm 이었다.
3. 피크형의 불규칙 관측자료
대구 비산 국가지하수 관측소에서 측정된 충적층 및 암반층의 장기 지하수위 변동자료는 모두 매우 불규칙하며 피크유형의 변동성을 나타낸다(그림 1).
분석대상 자료는 1996년 4월 13일부터 1998년 8월 Table 1. Dimensions of Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Wells.
Well Type Well Depth
(m) Well Diameter
(mm) Casing Depth
(m) Strainer Interval (m)
Hydraulic Conductivity
(cm/sec) Main Aquifer
Alluvium Well 12.0 350 12.0 9.0~12.0 0.19 sand, gravel
Bedrock Well 70.0 350 (upper)
250 (lower) 12.0 (outer)
70.0 (inner) 46.0~62.0 2.70×10-3 fractured rock
Fig. 1. Missing interval in groundwater levels of Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Well.
31일까지의 지하수위 자료이다. 충적층 지하수위의 경우에는 다수의 결측구간이 1개소, 소수의 결측구 간이 1개소이며, 제 1구간은 40일, 제 2구간은 24일 의 자료가 계측기 이상으로 비어 있다. 암반 지하수 위 경우에는 다수의 결측구간이 2개소, 소수의 결측 구간이 2개소이며, 제 1구간은 60일, 제 2구간은 22 일, 제 3구간은 22일 그리고 제 4구간은 7일간이다.
지구통계기법을 적용하여 결측자료를 보완하기 위 한 구간은 점선의 박스로 표시되어 있다. 충적층 지 하수의 분석대상 지하수위는 총 447개이며, 이 중에 서 결측된 자료수는 64개이다. 암반층 지하수는 총 520개 중에서 111개가 결측되어 있다.
대구비산 관측소의 충적층 및 암반층 지하수위 결측보완 대상 자료의 일반통계분석(표 2)에서 왜도 와 첨도에 의하면, 충적층 지하수위 자료 분포는 거 의 완벽한 형태의 정규분포를 이룬다(그림 2(a)). 그 러나 암반층 지하수위 자료 분포는 정규분포보다 왼 쪽으로 많이 치우치고 매우 평탄한 형태의 곡선을
이루고 있다(그림 2(b)).
4. 지구통계 기법
4.1 크리깅
크리깅은 최선의 선형 불편 추정자(BLUE: best linear unbiased estimator)이며, 그 공식은 다음과 같다.
(1)
여기서 는 공간상에 분포하는 표본자료의 값, 는 에 배당되는 가중치, 는 추정치이다.
크리깅의 가중치는 추정치가 불편(unbiased)이 고, 추정분산(estimation variance)이 최소가 되도 록 결정된다.
크리깅의 불편조건은
Table 2. General statistics for groundwater levels of Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Well.
Statistics Statistical Values
Alluvium Bedrock
No. of Data 383 409
Mean 17.77 15.43
Median 17.72 14.72
Standard Deviation 0.48 1.55
Variance 0.23 2.40
Skewness 0.51 1.16
Kurtosis 1.02 -0.09
Minimum Value 16.24 13.77
Maximum Value 19.31 20.74
Fig. 2. Histograms of water level data in (a) alluvium and (b) bedrock.
(2)
여기서 는 미지의 참값이고, 는 추정치이다.
이 조건으로부터 가중치의 합은 1.0이 된다.
(3)
크리깅의 추정분산은
(4)
로서 최소가 되어야 한다. 추정분산은 크리깅분산 (kriging variance)이라고도 하며, 다음과 같이 나타 낼 수 있다.
(5)
여기서 C(V, V)는 표본자료간의 공분산, μ는 Lagrange multiplier, C(vi- V)는 표본자료와 추정치간의 공분 산이다.
4.2 베리오그램
크리깅에 의한 자료 추정에는 표본자료의 공분산이 필요하며, 이것은 표본자료의 반베리오그램(semivariogram) 으로부터 얻어진다. 즉,
(6)
여기서 C( h ),γ ( h)는 거리 h만큼 떨어진 자료들간 의 공분산과 반베리오그램이다. sill은 h가 일정한 범 위(range)를 넘어 반베리오그램의 상관성이 없어지 면서 안정된 상태의 반베리오그램 값이다. 반베리오 그램을 결정하기 위해서 Matheron (1963)의 베리오 그램 산출 공식을 이용하였다.
(7)
여기서 γ ( h)는 반베리오그램이고, N(h)는 z(xi)에서
거리 h내에 위치하는 실험자료 z(xi+ h)의 갯수이다.
반베리오그램의 모델은 sill의 존재 유무에 따라 여러 가지 모델로 구분되어지나, 대부분의 지질관련 자료의 분석에는 sill을 갖는 경우의 모델이 많이 이 용된다. 대표적인 3가지의 모델은 구상형모델(spherical model), 지수형모델(exponential model), 그리고 가우시안모델(Gaussian model)이다. 실험 자료에 적합한 베리오그램 모델의 결정은 교차타당성검정 (cross validation test; Davis, 1987; Solow, 1990)에 의하여 이루어졌으며, 베리오그램 상수는 비선형 최 소자승법을 이용하여 결정되었다.
4.3 조건모사
조건모사는 자료가 불규칙하고 변화가 심한 경우 에 그 자료의 불규칙성을 재생할 수 있다(Journel and Huijbregts, 1978). 조건모사의 공식은 다음과 같다.
(8) 여기서 ZSC*(x)는 조건모사에 의한 추정치이고, ZOK*(x) 는 크리깅에 의한 추정치, ZS(x)는 미지의 확율함수 Z(x)에 대한 비조건 추정치(Nonconditional real- ization), 그리고 ZSK*(x)는 ZS(x)의 크리깅에 의한 조건 추정치이다.
조건모사의 구체적 이용절차는 다음과 같다.
(1) 실험 자료들을 이용한 베리오그램을 구하여 sill, range, nugget 값들을 얻어낸다.
(2) 회전대방법(Turning Bands Method, TBM)에 의한 비조건모사를 이용하여 비조건 추정치 ZS(x) 를 만들어 낸다.
(3) 비조건 추정치에 대하여 크리깅을 적용해서 조건 추정치 ZSK*(x)를 만들고, 비조건 추정치와 조 건 추정치간의 차이를 구한다.
(4) 크리깅을 이용하여 실험 자료의 추정치 ZOK*
(x) 를 만들어 낸다.
(5) (3)에서 구해진 차이를 (4)에서 구한 크리깅의 추정치에 합해주면 조건모사에 의한 추정치 ZSC*(x) 가 얻어진다.
3차원 비조건모사
미지의 참 확율함수 Z(x)와 같은 평균과 공분산을
갖는 확율함수 ZS(x)의 값들을 구해내는 것을 비조 건모사라고 하는데, 이것이 조건모사의 첫 단계이 다. 정상 확율함수에 대한 일차원적인 모사는 여러 가지 방법이 이용 가능하지만, 2차원이나 3차원에서 의 모사는 많은 컴퓨터 사용 시간이 필요하다. 회전 대방법(TBM)은 이러한 고차원의 모사를 일련의 일 차원의 모사로 변환시켜서 처리하는 방법인데, 컴퓨 터 사용 시간이 많이 절감된다.
TBM의 특성은 다음 공식으로 표현된다.
zs(x) = 1 ( N) ∑N
i = 1zi(x) (9)
여기서 zs(x) : 고차원의 비조건 모사 zi(x) : 1차원의 비조건 모사
N : Turning Band Line의 개수이다.
TBM은 Matheron (1973)에 의해 개발되었으며, Journel (1974)에 의해 실제적인 문제에 이용되기 시작하였다.
5. 보완기법 능력의 비교
크리깅과 조건모사의 결측자료 보완능력을 검증 하기 위하여 대구비산 관측소 충적층 지하수위 자료 의 일부를 실험구간으로 설정하였다. 실험구간은 1997년 11월 1일부터 1998년 4월 15일까지이며, 이 구간에서 1998년 1월 1일부터 1월 10일까지 10일간의 결측구간, 1월 1일부터 1월 20일까지 20일간의 결측 구간, 1월 1일부터 2월 19일까지 40일간의 결측구간, 1월 1일부터 3월 10일까지 60일간의 결측구간을 임 의로 설정하였다.
5.1 통계적 검정
크리깅과 조건모사를 이용하여 추정된 자료의 정확 성을 검정하기 위하여 추정치와 원시자료간의 차이인 오차를 구하여 몇 가지의 통계 값들을 이용하였다.
이용된 통계 값들은 다음과 같으며, 추정치가 정확 성을 갖기 위해서는 이 값들이 최소가 되어야 한다.
① 평균 오차 (ME)
(10)
② 오차의 표준편차 (SDE)
(11) (12)
③ 평균 제곱오차의 제곱근 (SRMSE)
(13) (14)
5.2 인위적 결측자료 보완
4가지 경우의 결측자료에 대한 베리오그램 분석 결과가 표 3에 있으며, 모두 구상형모델이 가장 적합 하였고, 각각의 베리오그램 인자들이 크리깅과 조건 모사에 이용되었다.
① 10일간의 결측구간에 대한 보완은 그림 3(a)와 같으며, 이것을 확대한 것이 그림 3(b)이다. 크리깅은 결측구간을 거의 직선의 형태로 보완하였으나, 조건 모사는 변동성을 갖고 보완하였다. 원시자료와 각 기 법들에 의한 추정치간의 오차를 분석한 통계치는 표 4에 있으며, 조건모사의 SDE와 SRMSE가 크리깅보 다 약간 크게 나타났다. 각 기법의 추정치와 원시자 료간의 편차의 크기가 작은 갯수는(표 5) 조건모사와 크리깅이 같게 나타났다. 따라서 오차의 통계치에서 조건모사가 약간 크게 나타났지만, 자료의 변동성을 나타내는 데는 조건모사가 우수하였다.
② 20일간의 결측구간에 대한 보완은 그림 3(c)와 같으며, 이것을 확대한 것이 그림 3(d)이다. 크리깅은 결측구간을 거의 직선의 형태로 보완하였으나, 조건 Table 3. Variogram Parameters for four kinds of missing data.
Data Model Nugget Sill Range (Day)
10 Missing Spherical 0.0001 0.0324 210.9
20 Missing Spherical 0.00077 0.00671 33.49
40 Missing Spherical 0.00010 0.0332 210.9
60 Missing Spherical 0.00176 0.02302 210.9
(a) (b)
(c) (d)
(e) (f)
Fig. 3. Interpolations of (a) 10 missing data, (b) magnified graph of 10 missing data, (c) 20 missing data, (d) magnified graph of 20 missing data, (e) 40 missing data and (f) 60 missing data.
모사는 큰 변동성을 갖고 보완하였다. 원시자료와 각 기법들의 추정치간의 오차를 분석한 통계치(표 4)에 의하면, 조건모사의 SDE와 SRMSE가 크리깅보다 크게 나타났다. 각 기법의 추정치와 원시자료간의 편 차의 크기가 작은 갯수는(표 5) 조건모사가 7개로서 크리깅보다 적었다. 따라서 오차의 통계치와 편차의 크기에서 크리깅이 우수하였지만, 자료의 변동성을 나타내는 데는 조건모사가 우수하였다.
③ 40일간의 결측구간에 대한 보완은 그림 3(e)와 같다. 크리깅은 결측구간을 직선의 형태로 보완하였 으나, 조건모사는 원시자료와 매우 유사한 변동성을 갖고 보완하였다. 원시자료와 각 기법들에 의한 추 정치간의 오차를 분석한 통계치는 표 4에 있으며, 조 건모사의 SDE가 크리깅보다 약간 크지만, SRMSE는 크리깅보다 훨씬 작게 나타났다. 각 기법의 추정치와 원시자료간의 편차의 크기가 작은 갯수는(표 5) 조 건모사가 23개로서 크리깅보다 크게 나타났다. 따라 서 오차의 통계치와 편차의 크기, 그리고 자료의 변 동성에서 모두 조건모사가 우수하였다.
④ 60일간의 결측구간에 대한 보완은 그림 3(f)와 같다. 크리깅은 결측구간을 거의 직선의 형태로 보완 하였으나, 조건모사는 큰 변동성을 갖고 보완하였다.
원시자료와 각 기법들의 추정치간의 오차를 분석한 통계치(표 4)에 의하면, 조건모사의 SDE와 SRMSE가 크리깅보다 크게 나타났다. 각 기법의 추정치와 원시 자료간의 편차의 크기가 작은 갯수는(표 5) 조건모사 가 20개로서 크리깅보다 적었다. 따라서 오차의 통계 치와 편차의 크기에서 크리깅이 우수하였지만, 자료 의 변동성을 나타내는 데는 조건모사가 우수하였다.
6. 실제 결측자료 보완
Peak 유형의 대구 비산관측소의 충적층 및 암반 층의 지하수위 자료들에서 실제로 결측된 부분을 크 리깅과 조건모사를 이용하여 보완하였다.
6.1 크리깅 적용
결측자료 보완에 지구통계기법을 적용하기 위하 Table 4. Statistics of errors for four kinds of missing data.
Statistics 10 Missing Data 20 Missing Data 40 Missing Data 60 Missing Data Mean Error (ME)
Kriging 0.002 -0.051 -0.0774 -0.052 Conditional
Simulation -0.019 -0.012 -0.0258 0.108 Standard
Deviation of Error (SDE)
Kriging 0.0354 0.0355 0.0448 0.0538 Conditional
Simulation 0.0429 0.0981 0.0503 0.0935 Square Root of
Mean Square Error (SRMSE)
Kriging 0.0336 0.0620 0.0892 0.0748 Conditional
Simulation 0.0450 0.0964 0.0560 0.1424
Table 5. Number of smaller deviations from original data.
Data Kriging Conditional Simulation No. of Data Ratio (%) No. of Data Ratio (%)
10 Missing 5 50 5 50
20 Missing 13 65 7 35
40 Missing 17 42.5 23 57.5
60 Missing 40 66.7 20 33.3
Table 6. Variogram parameters for groundwater levels of Daegu Bisan National Groundwater Monitoring Well.
Aquifer Type Model Nugget Sill Range (Day)
Alluvium Spherical 0.001 0.441 511
Bedrock Spherical 0.01 3.612 370
여 베리오그램 분석이 실시되었으며, 충적층 및 암 반층 지하수위 자료의 베리오그램은 모두 구상형모 델이 적용되었다. 각 베리오그램들의 인자들이 표 6에 있다. 암반층 지하수위의 베리오그램이 충적층 지하 수위의 베리오그램에 비하여 상관성의 범위는 작지 만, nugget 및 sill의 값이 훨씬 크다. 그 이유는 암반 층 지하수위의 최대값과 최소값의 차이(6.97)와 분 산(2.40)이 충적층의 지하수위에서의 값들(3.07; 0.23) 보다 훨씬 크기 때문이다.
크리깅을 이용하여 보완된 충적층의 결측자료 분 포는 그림 4(a)와 같으며, 암반층의 결측자료 분포는 그림 4(b)와 같다. 이 그림들에서 보는 바와 같이 크 리깅에 의해서 보충된 지하수위 자료는 원시자료와 오차가 없이 완벽하게 일치하지만, 결측된 부분은 거의 직선으로 나타나고 있다. 이와 같이 크리깅에 의하여 보완된 자료는 지하수위 변동의 불규칙성을 재현하지 못하였다. 그 이유는 크리깅은 최소의 오 차를 갖으면서 추정치를 만들어내기 때문에, 불규칙
4/14/96 7/23/96 10/31/96 2/8/97 5/19/97 8/27/97 16
17 18 19 20
GroundwaterLevel(m)
4/14/96 7/23/96 10/31/96 2/8/97 5/19/97 8/27/97 12/5/97 12
14 16 18 20 22
GroundwaterLevel(m)
(a) (b)
Fig. 4. Interpolation of missing data in groundwater levels of (a) alluvium and (b) bedrock using kriging.
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GroundwaterLevel(m)
Groundwater Level in Alluvium Original Data Conditional Simulation
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GroundwaterLevel(m)
(a) (b)
Fig. 5. Interpolation of missing data in groundwater levels of (a) alluvium and (b) bedrock using conditional simulation.
한 변화는 만들 수 없기 때문이다.
6.2 조건모사 적용
조건모사를 이용하여 재생된 충적층의 지하수위 자료 분포는 그림 5(a)에, 암반층의 지하수위 자료 분포는 그림 5(b)에 있다. 그림 5(a)에서 보면 조건모 사에서 만들어진 자료들은 원시자료와 오차가 없이 재생되었으며, 결측구간에서도 변동성을 잘 나타내 고 있다. 그림 5(b)에서도 조건모사에서 만들어진 자 료들은 원시자료와 오차 없이 재생되었으며, 결측구 간에서도 변동성을 잘 나타내고 있다. 그러나 첫 번 째 결측구간에서 결측간격이 60일로 크고, 결측이전 의 자료수가 적기 때문에, 보완된 지하수위의 변동 성이 잘 나타나지 않았다. 4번째 결측구간에서는 결 측구간 전후에서 지하수위 자료의 편차가 2.21 m로 너무 커서 보완된 자료의 변동성이 역시 작게 나타 났다. 2번째와 3번째 결측구간에서의 자료들은 변동 성을 잘 나타내고 있다.
이와 같이 조건모사는 불규칙한 변동성을 갖는 지하수위 자료의 결측구간 보정에서 상당히 신뢰성 이 있는 분포를 만들어낼 수 있었다. 그런데 결측구 간 이전의 자료수가 적으면서 결측구간이 너무 크거 나, 결측구간 전후의 자료값의 차이가 너무 큰 경우 에는 조건모사도 자료의 변동성을 재생하는 데 어느 정도 한계가 있었다.
6.3 교차 타당성 검정
크리깅과 조건모사에 의하여 보완된 자료의 정밀성을 평가하기 위해서 교차타당성 검정이 이용되며, 그 절차는 다음과 같다(Davis, 1987).
첫째, 1개의 자료를 전체의 실험자료에서 뽑 아내고, 그 지점에서 나머지 자료들을 이용하여 크리깅과 조건모사로 값을 추정해낸다.
둘째, 뽑아낸 실험자료의 원시값과 추정치와 의 오차를 계산하고, 크리깅분산을 이용하여 감 소오차(reduced error; RE)를 계산한다. 즉,
(15)
보완기법이 가장 적합하다면 감소오차의 평균이 0.0이고, 감소오차의 표준편차가 1.0이 되어야 한다 (Davis, 1987; Solow, 1990).
그러나 조건모사에서는 크리깅분산을 구할 수 없 기 때문에, 감소오차 대신에 다른 통계치(ME, SDE, SRMSE)를 이용하여 크리깅과 조건모사의 정밀성 을 평가하였다. 표 7에 의하면, 조건모사에서 ME, SDE, SRMSE가 크리깅보다 2배정도 크게 나타났다. 따라 서 통계치에서는 크리깅이 조건모사보다 우수하였 다. 그러나 크리깅은 최소의 오차를 갖으면서 결측 구간을 보완하기 때문에, 지하수위 변동의 복잡성을 나타낼 수가 없었다.
7. 결 론
본 연구에서는 국가 지하수 관측소의 지하수위 자료 중에서 피크형의 변동성을 갖는 대구비산 관측 소에서 결측된 지하수위 자료의 보완을 위하여 크리 깅과 조건모사를 적용하였으며, 다음과 같은 결론을 도출하였다.
1) 크리깅과 조건모사의 결측자료 보완능력을 검 증하기 위하여 대구비산 관측소 충적층 지하수위 자 료의 일부(1997년 11월 1일부터 1998년 4월 15일)를 실험구간으로 설정하였으며, 임의로 10일, 20일, 40 일, 60일의 결측구간을 만들었다. 40일 결측구간 보 완에서 조건모사가 크리깅보다 통계치(SDE와 SRMSE) Table 7. Statistics of errors for the cross validation test of original data.
Statistics Alluvium Bedrock Mean Error (ME) Kriging 0.00003 -0.00032 Conditional Simulation 0.00028 -0.00064 Standard Deviation of Error (SDE) Kriging 0.02199 0.10755
Conditional Simulation 0.05171 0.23271 Square Root of Mean Square Error (SRMSE) Kriging 0.02198 0.10742 Conditional Simulation 0.05164 0.23245
가 적고, 추정치와 원시자료간의 편차의 크기가 작 은 갯수가 많았으며, 또한 지하수위의 복잡한 변동 성을 만들었다. 10일 결측구간에서는 조건모사가 크 리깅보다 통계치(SDE와 SRMSE)가 약간 크지만, 추정치와 원시자료간의 편차의 크기가 작은 갯수는 같게 나타났다. 또한 조건모사는 크리깅과는 달리 지하수위의 복잡한 변동성을 만들었다. 20일과 60일 의 결측구간 보완에서 크리깅은 조건모사보다 통계 치(SDE와 SRMSE)가 적고, 추정치와 원시자료간의 편차의 크기가 작은 갯수가 많았다. 그러나 추정치 는 거의 직선의 분포를 나타냈으며, 지하수위의 복 잡한 변동성을 만들지 못하였다. 반면에, 조건모사 는 크리깅보다 통계적으로는 우수하지 못하였지만, 지하수위의 복잡한 변동성을 재현할 수 있었다.
2) 대구비산관측소의 실제 결측구간의 보완에 있 어서 크리깅에 의해서 보충된 지하수위 자료는 원시 자료와 오차 없이 완벽하게 일치하지만, 결측된 부 분은 거의 직선으로 나타나고 있다. 그 이유는 크리 깅은 최소의 오차를 갖으면서 추정치를 만들기 때문 에, 지하수위 분포의 불규칙성을 재현할 수 없었다.
반면에, 조건모사에서 만들어진 자료들은 원시자료 와 오차가 없이 재생되었으며, 결측구간에서도 변동 성을 잘 나타내었다. 크리깅과 조건모사의 우수성을 비교하기 위하여 교차타당성 검정을 실시한 결과, 크리깅에서 ME, SDE, SRMSE가 조건모사보다 2배 정도 작게 나타났다. 그러나 크리깅은 지하수위 분 포의 복잡한 변동을 나타낼 수가 없었다. 조건모사 는 불규칙한 변동성을 갖는 자료의 결측구간 보정에 서 상당히 신뢰성이 있는 분포를 만들어낼 수 있었 다. 그런데 결측구간 이전의 자료수가 적으면서 결 측구간이 너무 크거나, 결측구간 전후의 자료값의 차이가 너무 큰 경우에는 조건모사도 자료의 변동성 을 재생하는 데 어느 정도 한계가 있었다.
3) 크리깅은 최소한의 오차와 분산을 갖는 분포를 만들어내는 특성이 있기 때문에, 대구비산 관측소의 지하수위 자료와 같이 매우 복잡한 변화에 대하여 직선에 가까운 추정치만을 만든다. 그러나 조건모사 는 크리깅보다 오차는 약간 더 크지만, 원래의 분포 와 유사한 분포를 갖는 추정치를 만들 수 있다. 따라 서 지하수위, 수리전도도, 조석변동 등 복잡한 변동 성을 나타내는 자료의 추정(내삽 또는 외삽)에서 조 건모사는 널리 이용되고 있다.
사 사
본 논문은 2006년도 부경대학교 연구년 교수지원 에 의하여 연구되었다(과제번호: P S-2006-029).
본 연구를 위하여 대구비산 국가 지하수 관측소의 자료를 제공해준 한국수자원공사와 본 논문의 심사 과정에서 유익한 조언을 해주신 익명의 심사위원님 들께 감사드린다.
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투 고 일 : 2011년 4월 18일 심 사 일 : 2011년 4월 20일 심사완료일 : 2011년 6월 19일
