양 서론 . Ⅰ 를 ․연구 성 활용한 현 연립이차방정식 교수학습 방안 GeoGebra

(1)

2021 The Youngnam Mathematical Society

Ⓒ

(pISSN , eISSN ) 265

를 활용한 연립이차방정식 교수 학습 방안

GeoGebra ․

연구

A Study on the Teaching and Learning Method of Simultaneous Quadratic Equations Using GeoGebra

양 성 현

¹⁾

ABSTRACT. In the 2015 revised mathematics curriculum, the system of equations is first introduced in ‘Variables and Expressions’ of [Middle School Grades 1-3]. Then, It is constructed that after learning the linear function in

‘Functions’, the relationship between the graphs of two linear functions and the systems of linear equations are learned so that students could improve the geometric representation of the systems of equations.

However, in <Mathematics> of Elective-Centered Curriculum Common Courses, Instruction is limited to algebraic manipulation when teaching and learning systems of quadratic equations.

This paper presented the teaching and learning method that can improve students' mathematical connection through various representations by providing geometric representations in parallel using GeoGebra, a mathematics learning software, with algebraic solutions in the teaching and learning situation of simultaneous quadratic equations.

서론 .

Ⅰ

백 명의 수학 교사가 동일한 내용 영역에서 동일한 주제를 가지고 수업을 실행 한다 할지라도 백 가지의 수업 유형이 존재할 것이다 심지어 동일교사가 동일 주. Received January 31, 2021; Accepted February 22, 2021.

2010 Mathematics Subject Classification: 97U70

Key Words: Systems of Quadratic Equations, GeoGebra, Representation, Mathematical Connection

1) 제 저자 및 교신저자 1

(2)

제로 수업을 한다할지라도 교사의 내용교수지식(Pedagogical Content Knowledge(Shulman, 1986; 최승현, 2007)) 변화에 따라 수업을 진행할 때마다 분명 질적 차이가 존재할 것이며 이러한 백 가지의 수업 방식에 대하여 위부터 , 1 위까지 등위를 부여할 수는 없을 것이다 그렇다 할지라도 상당수의 학생들과

100 .

동료 수학교사들이 인정할 수 있는 좋은 수업이란 존재할 것이다 양성현 강옥기( ․ , 2009).

교사가 학생들에게 수학적 개념을 가르치거나 관련 문제 풀이를 위하여 여러 가 지 방법 대수적 기하적 해석적 으로 접근하고 다양한 활동을 통하여 결과를 도출( , , ) , 해 내며 학생들의 과거 경험을 바탕으로 수학 교수ㆍ학습 상황을 만들어 가는 것 은 학생들로 하여금 수학에 대한 자신감을 가지게 할 수 있다 이재돈( , 2000). 수학 적 개념이나 문제 상황에 대한 다양한 접근 방식으로의 이해 즉 다양한 표상을 , 통한 접근 방식은 수학적 개념에 대한 이해와 전이를 촉진하게 된다 양성현ㆍ이환( 철, 2012).

개정 수학과 교육과정 교육부 에서도 교육과정상 내용의 내ㆍ외적

2015 ( , 2015)

연결성(connections)에 관하여 각 교사가 내용을 재구성하여 수업을 운영하도록 독려하고 있으며 학생들의 융합적 사고를 키울 수 있도록 교과 내 교과 간 내용 , , 연계성을 고려하여 지도하도록 권장하고 있다 이는 다양한 표현과 연결성에서 유. 발되는 사고 과정을 중시하는 NCTM(2000)의 규준과도 일맥상통한다 수학적 연결. 성을 증진시키기 위하여 교수ㆍ학습 상황에서 수학 학습 소프트웨어를 활용하여 학생들에게 다양한 표상을 제공하는 것은 유용한 방안이 될 수 있으며 수학적 개, 념을 학습자 스스로의 지식으로 구성하는데 매우 효과적이다(Kaput, 1994;

양성현ㆍ강옥기 황우형ㆍ차순규

NCTM, 2000; , 2011; , 2002).

수학 학습 소프트웨어의 일종인 GoeGebra가 다양한 수학적 개념에 대하여 학생 들의 대수와 기하의 다면적 이해를 촉진할 수 있다는 연구 결과는 이미 많은 선행 연구(Alejandra et al., 2015; Bayazit & Aksov, 2010; Dikovic, 2009;

Hohenwarter & Jones, 2007; Martinez, 2017; Seloraji & Eu, 2017; Tatar &

양성현 양성현ㆍ강옥기

Zengin, 2016; Zulnaidi et al., 2019; , 2012; , 2009;

들을 통하여 도출되었다 는 표상과 아이디어를 연결할 수 있는 강

2011) . GeoGebra

력한 도구로써 연립방정식과 두 일차함수의 관계에 대한 교수ㆍ학습 상황에서도 유용하게 활용될 수 있다(Alejandra et al., 2015; Bayazit & Aksov, 2010;

양성현 또한 는 학생들에게 대수적ㆍ기하적 표

Dikovic, 2009; , 2012). GeoGebra

상을 증진시킴으로써 방정식 및 함수 개념과 관련된 사실적 지식을 이해할 수 있 는 기회를 제공할 수 있다(Bayazit & Aksov, 2010). Dikovic(2009)은 연립방정식 지도에서 GeoGebra의 활용은 학생들로 하여금 대수적 조작 보다 아이디어에 집중 할 수 있도록 할 수 있으며 흥미로운 시각화를 통해 학생들의 기하적 직감을 자극

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할 수 있다고 하였다.

그러나 연립방정식 교수ㆍ학습 방안에서 연결성과 GeoGebra를 활용한 기존 연 구들이 연립일차방정식에 국한되어 있다. 2015 개정 수학과 교육과정에서 집필된 중학교 수학< 2> 10종의 교과서 중 종에서 연립일차방정식 단원에서 4 GeoGebra를 활용한 내용이 수록되어 있고 GeoGebra를 활용하여 연립이차방정식까지 소개한 연구 양성현( , 2012)가 있으나 이 또한 기하적 표상과 연결성에 관하여 논하고 있, 을 뿐 GeoGebra를 활용한 구체적인 지도 방법까지 논하지는 못하였다.

개정 수학과 교육과정에서 학생들은 연립방정식을 중학교 학년 문자와

2015 2 ‘

식 영역에서 처음 학습을 하게 된다 그리고 함수 영역에서 일차함수를 학습한 ’ . ‘ ’ 후 다시 두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 관계를 학습하게 된다 그러나 . 고등학교 선택 중심 교육과정의 공통 과목 수학 에서는 연립이차방정식의 교수ㆍ< >

학습에 있어서 대수적 조작에 한정하여 지도하도록 구성하고 있다 심상길. (2009)은 학생들이 이처럼 대수적 조작에 치우쳐 학습할 경우 학생들이 방정식의 의미와 그 , 풀이 방법에 대해 깊이 이해하기 보다는 방정식의 풀이에 치중하게 되고 그 해를 구하는데 더 관심을 갖게 된다고 지적하였다 또한 심상길. (2009)은 우리나라 중학 교에서 학습하는 연립방정식은 단순히 가감법이나 대입법을 이용하여 기계적으로 방정식의 해를 구하는 연습에 많은 시간을 소요하기 때문에 그 과정이 왜 그렇게 되는지에 대하여 모른 상태로 문제 풀이를 한다고 지적하였다.

그러나 앞서 언급한 바와 같이 2015 개정 중학교 수학과 교육과정에서는 연립‘ 방정식 을 학습한 후 두 일차함수와 연립방정식의 관계 를 학습하도록 구성되어 ’ ‘ ’ 있기 때문에 이러한 지적은 고등학교와는 달리 중학교에서는 충분히 해소될 수 있 는 여지가 존재한다 본고에서는 고등학교 선택 중심 교육과정 공통 과목 수학. < >

의 문자와 식 내용 영역 중 연립이차방정식 지도 시 대수적 풀이와 함께 수학 ‘ ’ ‘ ’ 학습 소프트웨어인 GeoGebra를 활용하여 기하적 표상을 병렬적으로 제공함으로써 다양한 표상을 통하여 학생들의 수학적 연결성을 향상시킬 수 있는 교수ㆍ학습 방 안을 제시하고자 한다.

이론적 배경 .

Ⅱ

표상 1.

수학적 대상에 대한 정보를 하나의 표현으로 나타내는 것은 한계가 존재하므로 다양한 표상을 고려하여 표상들 사이의 연결 과정에서 더 많은 정보가 획득될 수 있으며 이러한 활동은 학생들의 이해와 유연성을 증진시키는데 도움이 된다,

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은 테크놀로지

(Duval, 2006). Kaput(1994) (CABRI Geometry, the Geometer’s 등 에 의한 역동적 표상을 연결하는 것에 대하여 Sketchpad, Super-Supposer )

강조하며 이러한 활동이 함수와 같은 수학적 대상에 대한 정신적 조작의 효과성을 , 언급하였다. Coxford(1995)는 교수 학습 상황에서 가능하다면 언제라도 개념의 다․ 양한 표상이 제시되고 탐구되어야 한다고 제안하며 표상의 중요성을 강조하였다.

잘 선택된 표상은 수학 개념의 의미의 일부를 전달할 수 있지만 표상들 사이에 , 연결성이 확립되면 더 일관되고 통일된 메시지를 제공할 수 있다(Bayazit &

또한 학생들에게 다양한 수학적 표상을 제공하게 되면 동일한 개념 Aksov, 2010).

에 대한 다양한 정신적 표상들이 상호 보완되어 결국에 그 개념에 대한 단일한 표 상으로 통합될 수 있다(Dreyfus, 1991). 또한 Dreyfus(1991)는 이러한 과정의 결 과로써 여러 가지 표상들을 동시에 이용할 수 있는 다중 연결 표상을 가지게 되어 적절한 순간에 문제나 상황에서 요구하는 표상들을 효과적으로 적용할 수 있게 된 다고 하였다.

또한 연결성은 학생들의 표상을 더욱 자극하여 또 하나의 재료가 될 것이고 학 생들은 수학적 지식의 연결고리들을 찾아가는데 많은 도움을 받게 된다 학생들이 . 수학에서 서로 다른 영역 사이의 연결성을 이해할 수 있을 때 수학을 통합된 전체 로 보게 되며 이미 알고 있는 수학 개념을 토대로 새로운 수학 개념을 구성할 때 학생들은 다양한 수학 영역 사이의 연결성을 더 깊이 인식하게 된다(NCTM, 2000;

정영우ㆍ김부윤ㆍ표성수, 2011). 이처럼 표상은 수학적 연결성에서 가장 중요한 요 소 중의 하나임과 동시에 수학적 연결성에 의하여 생성되는 또 하나의 결과물이기 도 하다 양성현ㆍ이환철( , 2012).

수학적 의미는 수학적 개념들 사이에 존재하는 관계를 말하며 이러한 관계는 수 학적 개념이나 내용의 일부분만을 강조하거나 연습함으로써 얻어지는 것이 아니고 개념과 개념을 연결하는 학습 전체를 들여다보는 학습을 통하여 얻어진다고 할 수 , 있다 양성현ㆍ이환철( , 2012). 이러한 수학적 개념들 사이의 관계에 대한 이해를 의 관점에서 살펴보면 수학적 연결성을 토대로 생성된 다중 연결 표 Dreyfus(1991)

상(multi-linked representation)이 동반된 이해라 할 수 있다 내적 연결성을 통. 하여 형성된 표상은 Dreyfus(1991)가 언급한 바와 같이 동일한 개념에 대한 다양 한 정신적 표상들이 서로 보완되어 결국에 그 개념에 대한 하나의 표상으로 통합 될 수 있다 다시 말해 수학적 연결성에 기반한 이러한 표상을 통하여 생성된 이. , 해는 다중 연결 표상을 구축하고 이는 다시 다면적 이해로 옮아가게 된다.

수학적 개념에 대한 다중 연결 표상은 다면적 이해를 증진하며 다면적 이해를 통하여 다시 표상이 수정되고 형성될 수 있으며 수학적 개념에 대한 다면적 이해, 는 수학적 연결성을 더욱 견고히 할 수 있으며 표상과 마찬가지로 다면적 이해도 다시 수학적 연결성을 자극하는 재료가 될 수 있다(Dofour-Janvier et al., 1987;

(5)

양성현 또한 표상은 마치 화산의 마그마와 같이 잠재적 에 Kaput, 1994; , 2012).

너지를 소유하고 있으며(Kaput, 1987; 1994) 다면적 이해를 통하여 다양한 수학적 사고로 그림 과 같이 화산처럼 폭발할 수 있다[ 1] .

그림 수학적 연결성 표상 다면적 이해의 관계 양성현

[ 1] , , ( , 2012)

다양한 표상이 구성되고 그들 사이의 작용 관계가 이루어질 때 유의미한 수학 학습이 이루어질 수 있으며(Goldin & Shteingold, 2001), 학생들이 이러한 표상을 생성하고 연결하는데 GeoGebra와 같은 수학 학습 소프트웨어를 활용하는 것은 매 우 효과적이다.

수학적 연결성 2.

은 학생들의 수학에 대한 이해를 촉진하기 위해서 수학교수 프로그 NCTM(1998)

램에서 수학적 연결성이 강조되어야 함을 주장하며 다음과 같이 수학적 연결성에 대하여 세 가지 세부 규준을 언급한다.

서로 다른 수학적 개념들 사이의 연결성을 인식하고 사용하기

•

일관된 전체를 생성하기 위하여 수학적 개념이 어떻게 구축되는지 이해하기

•

수학 외적 상황에서 수학을 인식하고 사용하고 학습하기

•

학생들이 수학적 아이디어를 연결할 수 있을 때 학생들의 이해는 더 깊어지고 지속가능해 진다(NCTM, 2000). 또한 이러한 각각의 연결성은 학생의 이해를 형성 하며 모든 수준에서 수학을 가르치는데 포함되어져야 한다(Dossey et al., 2002).

본고는 이 세 가지 규준 중 첫 번째와 두 번째 규준에 초점을 맞추고자 한다 즉. , 대수와 기하 사이의 연결성을 고려하여 교수ㆍ학습을 진행함으로써 수학적 개념과

(6)

개념 사이의 연결성을 구축하여 대상에 대한 다면적 이해를 높이고 나아가 스스로 확장할 수 있는 능력을 키워주고자 하는 것이다.

학생들은 수학적 개념들 사이의 같은 개념의 동치 표현의 인식을 다양한 측면으 로 이해함으로써 수학적 개념들 사이의 연결성을 구축하여 통합된 전체로서 개념 을 인식할 수 있다(Coxford, 1995; NCTM, 2000; 양성현, 2012). 수학 내적 연결 성에 대한 이러한 형식적 측면 중 표상과 가장 밀접한 관련이 있는 전략은 조직성 이라 할 수 있으며 여기서 조직성은 하나의 개념이나 문제 상황에 대

(Threaded) ,

하여 다양한 접근 방식으로 이해를 함으로써 문제 상황을 조직적으로 이해하고 전 이가 촉진되도록 하는 것을 의미한다(Fogarty, 2009; 양성현ㆍ이환철, 2012).

은 기하와 대수의 배타적이고 분리적인 수학교육을 비판하며 대수와 기하를 Klein

분리해 가르치는 것은 수학을 개별적 지식으로 이해하고 개념 또는 현상을 부분적 으로 파악하는 것이라 하였다 우정호ㆍ강현영( , 2007). NCTM(2000)의 연결성 규준 에서도 수학적 아이디어 사이의 연결성을 인식하고 활용 (Connections Standard)

할 것과 수학적 아이디어가 서로 어떻게 연결되어 있는지 이해하고 각각의 아이디 어에 기초하여 일관된 전체를 산출할 것을 강조하고 있다 이에 대수와 기하를 독. 립적이고 분리적으로 이해하는 것이 아니라 수학적 연결성에 기반하여 관계적이고 반영적으로 이해해야 할 것이다 양성현ㆍ강옥기( , 2011).

는 어떤 것을 이해한다는 것은 어떤 것을 적당한 도식 에

Skemp(1987) (schema)

동화(assimilation)시키는 것으며 도식에 대한 내적 구성이 더 좋아지면 이해를 , 증진할 수 있을 것이라 하였다 이종희. (1994)는 이해는 그 이전의 학습을 통해서 ‘ 얻어진 지식을 바탕으로 한 사고의 결과 라고 하였다 이처럼 수학적 이해가 통상’ . 적 이해와 선행지식으로부터 구축된다고 주장한다 바꿔 말하면 우리는 새로운 생. 각과 우리가 이미 알고 있는 것의 일부분에 대한 생각의 관계 연결성 를 만들어감( ) 으로써 수학을 학습한다 이러한 관점으로부터 연결성은 수학 교수ㆍ학습 상황에서 . 가장 중요한 요소 중의 하나라 할 수 있다.

교육과정과 교과서 분석 .

Ⅲ

연립방정식 관련 교육과정 1.

개정 수학과 교육과정 교육부 은 중학교 학년 에서 연립방정식

2015 ( , 2015) [ 1 3∼ ]

과 관련하여 개의 성취기준을 제시하고 있다3 . ‘문자와 식 영역에서는 ’ ‘[9수 02-11] 미지수가 개인 연립일차방정식을 풀 수 있고 이를 활용하여 문제를 해결2 , 할 수 있다.’, ‘함수 영역에서는 ’ ‘[9 03-07] 일차함수와 미지수가 개인 일차방정수 2

(7)

식의 관계를 이해한다 와 .’ ‘[9 03-08] 두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 수 관계를 이해한다 이다 다시 말해 일차적으로 대수적 조작을 통해 해를 구하는 방.’ . , 법을 학습한 후 두 일차함수의 그래프와 연립일차방정식의 관계를 학습함으로써 , 학생들로 하여금 연립방정식에 대한 기하적 표상을 증진시킬 수 있도록 구성하고 있다.

그러나 고등학교 선택 중심 교육과정의 공통 과목 수학 에서는 연립방정식과 < >

관련하여 개의 성취기준1 ([10수학01-13] 미지수가 개인 연립이차방정식을 풀 수 2 있다 만을 제시하고 있다 다시 말해 연립이차방정식의 교수 학습에 있어서 대수.) . , ․ 적 조작에 한정하여 지도하도록 구성하고 있다 뿐만 아니라 . 2015 개정 수학과 교 육과정의 연립이차방정식의 교수 학습 방법 및 유의 사항에서 미지수가 개인 연･ ‘ 2 립이차방정식은 일차식과 이차식이 각각 한 개씩 주어진 경우 두 이차식 중 한 , 이차식이 간단히 인수분해되는 경우만 다룬다 라고 명시하고 있다 교사용지도서.’ . 를 통해서도 그림 와 같이 학생들의 학습 부담 경감을 위하여 두 이차식이 모두 [ 2]

인수분해되지 않는 형태는 다루지 않도록 하고 있다.

그림 연립이차방정식 지도 시 유의점 박교식 외

[ 2] ( , 2020, p.85)

이 점에 대해서는 다시 한 번 재고가 필요해 보인다 일반적으로 가감법에서 하. 나의 미지수를 없애기 위하여 소거하고자 하는 미지수의 계수들의 최소공배수를 구하여 소거하는 방식과 그림 에 주어진 연립이차방정식에서 상수항을 소거하는 [ 3]

과정은 동일한 과정이라 할 수 있다 그림 에 주어진 형태의 연립방정식을 다루. [ 3]

지 않는 것이 학생들의 학습 부담 경감에 과연 얼마나 기여할 수 있을지 의문이 다 또한 학생들은 바로 인수분해가 되는 형태의 연립이차방정식만을 다루게 될 경. 우 오히려 기계적 계산에 더 치우칠 우려도 존재한다.

(8)

그림 두 이차식이 모두 인수분해되지 않는 연립이차방정식 황선욱 외

[ 3] ( , 2014, p.88)

연립방정식 관련 교과서 2.

가 중학교 교과서.

통상적으로 학생들은 중학교 학년에서 연립일차방정식을 학습하게 된다2 . 2015 개정 수학과 교육과정 기반하여 집필된 중학교 수학< 2> 10종의 교과서들이 그림 [ 와 같이 대입법과 가감법을 이용하여 해를 구하는 것으로 구성되어 있다 교육과

4] .

정과 교과서의 구성상 일차함수의 그래프 를 학습하지 않은 상태이므로 교과서의 ‘ ’ 이러한 구성은 당연하다 학생들은 문자와 식 영역에서 연립일차방정식의 해를 . ‘ ’ 구하는 방법에 대하여 학습한 후 함수 영역에서 일차함수의 그래프를 학습하게 , ‘ ’ 된다.

개정 수학과 교육과정 기반하여 집필된 중학교 교과서에서는 표 과 같

2015 [ 1]

이 연립방정식의 해와 두 일차함수의 그래프의 교점의 좌표와의 관계를 제시하고 있다.

그림 대입법과 가감법 장경윤 외

[ 4] ( , 2020, pp.76 78)∼

(9)

내용 출처

류희찬 외 (2020b) pp.134∼135

이준열 외 (2020)

p.128

고호경 외 (2020) pp.133∼134

표 두 일차함수의 그래프와 연립방정식의 관계 [ 1]

더 나아가 많은 교과서들이 그림 와 같이 수학 학습 소프트웨어를 활용하여 [ 5]

학생들이 연립방정식의 해의 의미에 대하여 기하적 표상을 갖출 수 있도록 구성 하고 있다.

그림 를 활용한 연립방정식 지도 이준열 외

[ 5] GeoGebra ( , 2020, p.133)

종의 중학교 교과서 중 표 에 제시된 바와 같이 종의 교과서가 수학 학습

10 [ 2] 7

소프트웨어(Desmos 2 , GeoGebra 4 , 종 종 이지그래프 종1 )²⁾를 활용한 교수 학습 ․ 상황을 제시하고 있다 이와 같이 중학교 교과서는 학생들이 연립방정식에 대하여 . 다양한 표상을 갖출 수 있도록 구성되어 있다고 할 수 있다.

2) Desmos(www.desmos.com), GeoGebra(www.geogebra.org) 이지그래프, (www.ebsmath.co.kr)

(10)

교과서 수록 여부 소프트웨어 부제 수록 페이지

A × - - -

B ○ Desmos 컴퓨터로 만나는 수학 134

C ○ Desmos 컴퓨터 프로그램을 이용하여 연립방정식의 해 구하기 157

D ○ GeoGebra 탐구해 봅시다 129

E ○ GeoGebra 컴퓨터로 연립방정식 풀기 129

F ○ 이지그래프 공학적 도구를 이용하여 연립방정식을 풀어 볼까? 131

G × - - -

H × - - -

I ○ GeoGebra 컴퓨터를 이용하여 두 직선의 교점 구하기 138

J ○ GeoGebra 컴퓨터로 해 보는 수학 134

표 연립방정식의 해와 일차함수의 그래프 관계 에 대한 교과서별 수학 학습

[ 2] ‘ ’

소프트웨어 활용 현황

나 고등학교 교과서.

개정 수학과 교육과정 고등학교 선택 중심 교육과정 공통 과목 수학 을

2015 < >

통하여 학생들은 연립이차방정식을 학습하게 된다. 2015 개정 수학과 교육과정에 기반하여 집필된 수학 교과서는 총 종이며 표 과 같이 종 모두 연립이차방< > 9 [ 3] 9 정식의 교수ㆍ학습에 있어서 대수적 조작에 한정하여 지도하도록 구성하고 있다.

평면 위의 두 직선 과 연립일차방정식 이 두 수학적 개념은 개념들 사이의 상

‘ ’ ‘ ’

호 변환이 가능하다 다시 말해 한 점에서 교차하는 서로 다른 두 직선은 그 교점. , 을 지나는 또 다른 직선으로 생성될 수 있다 그러나 . 2007 개정 수학과 교육과정 까지는 연립방정식과 행렬 사이의 관계를 다루었으나, 2009 2015 ㆍ 개정 수학과 교육과정에서는 이 내용이 고급수학< Ⅰ>에서 다루어짐에 따라 이 또한 쉽지 않게 되었다.

내용 출처

류희찬 외 (2020a) pp.80∼81

고성은 외 (2020a) pp.76∼77 표 공통 과목 수학 에 수록된 연립이차방정식의 풀이

[ 3] < >

교과서는 물론이고 교사용지도서에서도 지도상의 유의점 등을 통하여 그림 ‘ ’ [ 6]

(11)

과 같이 대수적 조작에 한정하여 지도하도록 명시하고 있다.

그림 연립이차방정식의 유의점 배종숙 외

[ 6] ( , 2020b, pp.124 125)∼

이로 인하여 종의 수학 교과서 모두 표 와 같이 연립이차방정식 중 한 이9 < > [ 4]

차식이 간단히 인수분해되는 경우만을 다루고 있다.³⁾ 또한 수학 교과서 종 모< > 9 두 개의 서로 다른 실근을 가지는 경우만을 다루고 있다 다시 말해4 . , 2개의 실근 과 개의 허근을 갖는 경우나 개의 중근을 갖는 경우가 전혀 다루어지고 있지 않2 2 다 이러한 한정된 예제는 학생들로 하여금 더욱 대수적 계산에 치우치게 할 우려. 가 있으며 연립이차방정식의 해에 대한 오개념을 생성할 우려도 존재한다.

문항 출처 문항 출처

배종숙 외 (2020a)

p.85

황선욱 외 (2020)

p.88

표 연립이차방정식 교과서 수록 예제 [ 4]

를 활용한 연립이차방정식 교수ㆍ학습 . GeoGebra

Ⅳ

연립방정식의 다양한 표현과 연립방정식의 해결에서 가장 많이 이용하는 해결 전략인 소거법에 대하여 김진환ㆍ박교식(2015)은 직선 표현을 활용하여 표 [ 5]⁴⁾와 3) 2009 개정 수학과 교육과정에 기반하여 집필된 수학< Ⅰ> 교과서는 종이며 이중 종에서 그림 과 같이 두 식10 5 [ 3]

의 상수항이 이 아닌 항으로 이루어진 연립이차방정식을 다루었다0 .

(12)

같이 유효성을 언급하였으나 연립일차방정식에 한정하여 논하였다. GeoGebra를 교수ㆍ학습 상황에서 활용할 경우 연립일차방정식은 물론 연립이차방정식까지 대 수적으로 변화하는 두 방정식을 기하적으로 표현하는 것이 가능하다 뿐만 아니라 . 방정식의 해에 대한 기하적 개념을 제공하는 것이 매우 용이하다.

방정식

표현

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,#$+& '-.

,#*/& '*)%

!

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!

^{# '*-}& ') 첨가행렬

표현

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12 3

45

" % ( ) *" *+

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12 3

45 , + -.

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0 12 3

45 - . *- . - )

직선 표현

표

[ 5] 방정식ㆍ첨가 행렬ㆍ직선 표현을 기본 작용을 작용시킨 과정 김진환ㆍ박교식( , 2015) 본 장에서는 GeoGebra를 활용하여 연립이차방정식을 입력하여 시각적으로 표현 하는 방법, GeoGebra의 CAS 기능을 이용하여 해를 구하는 방법 두 개의 연립이, 차방정식의 해를 표현하는 방법 등을 포함하여 GeoGebra를 활용한 교수ㆍ학습 방 안을 안내하고자 한다 더불어 연립이차방정식의 풀이에 대한 집합론적 이해에 대. 해서도 추가적으로 논하고자 한다.

에서 함수와 방정식 입력하기 1. GeoGebra

는 중ㆍ고등학교 교육과정에서 다루어지는 모든 함수와 방정식을 표

GeoGebra [

과 같이 간단한 명령어를 사용하여 입력할 수 있다 그림 과 같이

6] . [ 7] GeoGebra

의 보기 메뉴를 클릭하면 10가지의 하위창 메뉴를 확인할 수 있다 그러나 초기 . 화면에서는 그림 과 같이 개 대수창 기하창 입력창 의 창으로 구성되어 있다[ 7] 3 ( , , ) . 물론 사용자가 설정을 변경하여 초기화면의 구성을 지정할 수 있다 입력창에 표 . [

의 명령어를 입력하면 그 대상이 대수창과 기하창에 동시에 나타나게 된다

6] .

4) 표 는 김진환ㆍ박교식 [ 5] (2015)의 연구를 본 연구자가 GeoGebra를 이용하여 재구현한 것이다.

(13)

수학적 대상 GeoGebra

명령어 수학적 대상 GeoGebra

명령어 수학적 대상 GeoGebra 명령어 6"7 %8 (3,4) 96#8 ' #⁾ f(x)=x^2 & ' log₎# y=ld(x)

y=log(2,x) #⁾$&⁾' / x^2+y^2=9

=>

?' 6@7 )8 v=(7,2) & ' =)

-#⁾$" y=1/2x^2+3 & ' log_-.# y=lg(x)

y=log(10,x) &⁾' +# y^2 =8x

& ' )#$- y=2x+1 & 'A⁼)# y= sqrt(2x) & ' ln# y=ln(x) =)(

#⁾

$ =/

&⁾

' - x^2/25+y^2/9=1

& ' =")

#$- y=2/3x+1 & ' =#*"

) $% y=2/(x-3)+4 & ' sin)# y=sin(2x) #⁾*&⁾' - x^2-y^2=1

표 수학적 대상과 명령어

[ 6] GeoGebra

그림 의 초기 화면 구성

[ 7] GeoGebra 연립방정식 입력하기

2.

개정 수학과 교육과정에서는 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항 에 의하여 다

2015 ‘ ’

루질 수 없는 연립이차방정식의 형태인 다음과 같은 연립이차방정식을 생각해 보 자.

!

^#⁾$#& * "&⁾' * " ⋯⋯ ①

#⁾* #& $ &⁾' " ⋯⋯ ②

식 과 식 를 더하여 ① ② #⁾* &⁾' .⋯⋯③을 쉽게 도출할 수 있다 앞서 장에서. Ⅲ 도 언급한 바와 같이 상수항을 소거하여 새로운 연립방정식까지 만드는 절차를 교 수 학습 상황에서 삭제한 것이 학생들의 학습 부담 경감에 얼마나 도움이 될지는 ․ 의문이 아닐 수 없다 얻어진 식 을 식 와 연립하면 다음과 같이 나타낼 수 있. ③ ② 고 이후 계산과정은 표 과 같다[ 8] .

!

^##⁾⁾^{* &}* #& $ &⁾^{' .}⁾' " ⋯⋯ ②^{⋯⋯ ③}

위에 얻어진 연립방정식은 현행 교육과정에서도 충분히 다루어질 수 있는 연립

(14)

이차방정식의 형태이다 위의 두 연립이차방정식을 . GeoGebra를 활용하여 나타내 보자.

구분 두 이차식이 모두 인수분해되지 않는 경우 두 이차식 중 하나의 이차식이 인수분해되는 경우

입력

대상

!

^#⁾$#&*"&⁾' *"

#⁾*#&$&⁾'"

!

^##⁾⁾^*&*#&$&⁾^'.⁾' "

방정식 명령어

x^2 + x y 3y^2 = -3–

x^2 - x y + y^2 = 3 x^2 y^2 = 0– x^2 - x y + y^2 = 3

대수창 화면

기하창 화면

표 를 활용한 연립이차방정식 입력과 화면 구성

[ 7] GeoGebra

에서는 두 개의 기하창을 동시에 구현하는 것이 가능하다 다시 말해

GeoGebra . ,

표 에 표현된 두 연립방정식을 동시에 두 개의 기하창에 나타내어 식의 변화 과 [ 7]

정을 통해 나타난 상황을 학생들에게 인식하게 함으로써 연립이차방정식에 대한 기하적 표상을 제공할 수 있다.

개정 수학과 교육과정 기반하여 집필된 모든 수학 교과서와 교사용지

2015 < >

도서에서는 그림 과 같이 학생들로 하여금 두 개의 이차방정식으로 이루어진 연[ 8]

립이차방정식의 경우 하나의 이차방정식을 두 일차식의 곱으로 인수분해한 후 각 각의 일차방정식을 또 다른 이차방정식에 대입하여 표 과 같이 해를 구하도록 [ 8]

하고 있다.

(15)

그림 연립이차방정식 지도 방법 고성은 외

[ 8] ( , 2020b, p.112)

구분 풀이 비고

과정1

!

^##⁾⁾^*&*#&$&⁾^'.⁾' " ⋯⋯②^⋯⋯③^에서

#⁾*&⁾' .을 인수분해 하면 6#$&86#*&8 '.이므로

과정2 )

ⅰ & '*# ⋯④일 때

#⁾*#․6*#8 $6*#8⁾'"이므로

!

^{# '-}& '*- ^또는

!

^{# '*-}& ' -

표 에서 [ 7]

두 점 A7 B의 좌표를 구하는 과정

과정3 )

ⅱ & ' # ⋯⑤일 때 #⁾*#․#$#⁾'"이므로

!

^{# '}& 'A^A⁼⁼"^" ^또는

!

^{# '*}& '*A^A⁼"⁼^"

표 에서 [ 7]

두 점 C7 D의 좌표를 구하는 과정

표 연립이차방정식 풀이 예시 [ 8]

표 의 풀이 과정을 해의 집합 개념으로 해석해 보자 식 을 만족하는 해집합

[ 8] . ③

을

J

라 하고 식 를 만족하는 해집합을 ②

K

라 하면 위 연립방정식의 해는 식 과 , ③ 식 의 교집합 ②

J

∩

K

를 구하는 것이다 여기서 집합 .

J

는 식 를 만족하는 해집합 ④

M

와 식 를 만족하는 해집합 ⑤

N

의 합집합으로 표현 가능하다 즉. ,

J

'

M

∪

N

이다.

따라서 드모르간의 법칙에 의하여,

J

∩

K

' 6

M

∪

N

8∩

K

' 6

M

∩

K

8∪6

N

∩

K

8

이다 즉. , <과정 와 과정 에서 나온 해가 모두 연립방정식의 해가 된다 그2> < 3> . 러나 현행 교육과정은 교수ㆍ학습 상황에서 연립이차방정식에 대한 다양한 개념과 표상 기하적 집합적 을 제공하지 못하고 대수적 조작에 한정하여 지도하도록 구성( , ) 하고 있다 학생들은 이러한 다양한 개념과 표상이 제공될 때 자신이 행하고 있는 . 수학적 활동이 무엇인지에 대하여 더 확신할 수 있게 된다.

(16)

연립방정식의 해 구하기와 교점의 좌표 나타내기 3.

에는 미분 적분 인수분해 전개 등 대수적 계산을 수행할 수 있는

GeoGebra , , ,

기능이 내장되어 있어 연립방정식의 해를 쉽게 구하여 확인할 수 있다 연립

CAS .

방정식의 해를 구할 수 있는 명령어는 풀기‘ (solve)’이며 구체적인 실행 방법은 크 게 가지이다 첫째는 연립방정식을 직접 사용하는 방법 둘째는 연립방정식에 레3 . , 이블된 명칭을 사용하는 방법 셋째는 리스트를 사용하는 방법이 있으며 구체적인 , 명령어는 표 와 같다 실행 후 입력 결과는 그림 와 같이 나타난다 이러한 [ 9] . [ 9] . 활동은 교수ㆍ학습 상황에서 교사가 학생들에게 제공할 수도 있으며 학생들이 대, 수적 계산 과정을 수행한 후 자신의 결과를 확인하기 위하여 직접 실행할 수도 있 다.

구분 방법1 방법2 방법3

입력 순서 및 명령어

두 연립방정식과 변수를 -

입력하는 방법 - 명령어

풀기[{x^2 y^2=0, x^2-x y+y^2=3}, – {x,y}]

연립방정식을 입력한 후 -

레이블된 명칭(eq1, eq2)을 사용하는 방법

- 명령어

x^2-y^2=0, x^2-x y+y^2=3, 풀기[{eq1, eq2}, {x,y}]

방정식의 집합과 변수의 집합을 -

리스트(l1, l2)로 만든 후 사용하는 방법

- 명령어

{x^2-y^2=0, x^2- x y+y^2=3}, {x,y}, 풀기[l1, l2]

표 의 기능을 활용하여 연립이차방정식 풀기

[ 9] GeoGebra CAS

그림 표 의 입력 결과 화면 [ 9] [ 9]

다음으로 연립방정식의 해의 기하적 개념과의 연결성을 위하여 두 연립방정식의 교점을 GeoGebra를 이용하여 직접 생성하는 방법과 그 좌표를 나타내는 방법에 대하여 알아보자 연립방정식을 입력 표 . ([ 7] 참조 하면 기하창에 방정식이 표현된) 다 이때 도구 메뉴 중 교점 기능. ( )을 클릭한 후 교점을 클릭하면 표 [ 10]의 과<

정 과 같이 점이 생성된다1> .⁵⁾ 생성된 교점에 마우스의 커서를 위치하게 되면 표 [

(17)

의 과정 와 같이 자동으로 좌표가 나타난다 과정 과 같이 연속적으로 좌 10] < 2> . < 3>

표를 나타내기 위해서는 교점에서 마우스의 오른쪽 버튼을 클릭하여 설정사항( ) 에서 그림 [ 10]과 같이 레이블 보이기 를 이름과 값 으로 전환하여 표현할 수 있‘ ’ ‘ ’ 다.

구분 GeoGebra 화면 구분 GeoGebra 화면

과정1 과정3

과정2 과정4

표 에서 교점의 좌표 나타내기

[ 10] GeoGebra

그림 레이블 설정

[ 10]

5) 교점을 생성하는 경우 교점의 위치에 마우스의 커서를 위치한 후 두 대상을 동시에 선택하여 클릭할 수도 있으며, 두 대상을 차례로 선택하여 클릭할 수도 있다.

(18)

는 초기 설정값이 소수 둘째 자리까지 나타나도록 설정되어 있다 물

GeoGebra .

론 이 자릿수도 선택사항 에서 변경할 수 있으며‘ ’ , <과정 와 같이 무리수나 분4>

수의 형태로도 표현이 가능하다. [표 10]의 과정 에서 사용된 명령어는 무리< 4> ‘ 수화[C]’이다. Ⅳ장에서 언급한 GeoGebra의 기능을 활용하여 연립이차방정식의 교수ㆍ학습 상황 예시를 제시하면 그림 [ 11]과 같다.

!

^#⁾$#&*)&⁾' .

#⁾$#&$&⁾'@

!

^#⁾$"#&$&⁾' -

#⁾$%#&$(&⁾' )

그림 를 활용한 연립이차방정식 교수ㆍ학습 상황

[ 11] GeoGebra

(19)

결론 및 제언 .

Ⅴ

연립이차방정식에 대한 교수 학습 상황에서 ․ GeoGebra를 도입하는 것이 최적의 방법이기 때문이 아니라 학생들에게 다양한 표상을 제공함으로써 대수와 기하의 , 연결성을 강화하는 방안으로 제안된 것이다. Ⅲ장에 제시한 연립이차방정식 관련 교육과정 교과서 분석 결과와 ․ Ⅳ장에 제시한 GeoGebra를 활용한 연립이차방정식 교수 학습 방안을 토대로 연립이차방정식 관련 교육과정 구성에 대한 연구자의 소․ 고(小考)를 정리하면 다음과 같다.

첫째, 2015 개정 수학과 교육과정과 이에 기반하여 집필된 교과서 및 교사용지 도서에 대한 분석 결과 연립방정식 교수ㆍ학습에 있어서 중학교와 고등학교에 상, 당한 차이가 있음을 확인하였다 중학교는 연립일차방정식에 대한 교수ㆍ학습 상황. 에서 학생들의 수학적 연결성을 증진시킬 수 있도록 다양한 표상 대수적 기하적( , ) 을 활용하여 지도하도록 구성하고 있는 반면 고등학교는 연립이차방정식에 대한 , 교수ㆍ학습 상황에서 대수적 계산에 국한하여 지도하도록 구성하고 있었다 그러나 . 중학교 교과서도 방정식의 변화 과정과 방정식에 대응하는 직선의 변화 과정을 대 응하여 지도하도록 구성한 교과서는 존재하지 않았다. GeoGebra를 활용할 경우, 이러한 변화를 보다 쉽게 학생들에게 시각화하여 지도할 수 있으며 연립방정식에 대한 다양한 표상을 제공할 수 있다.

둘째, 2015 개정 수학과 교육과정에서는 고등학교 학생들의 학습 부담 경감을 위하여 연립이차방정식 지도 시 두 방정식 중 하나의 식이 간단히 인수분해되는 , 형태만을 다루도록 하고 있다 그러나 . GeoGebra를 활용할 경우 두 식이 인수분, 해되지 않는 형태와 한 식이 간단히 인수분해되는 형태의 차이점을 시각적으로 제 공하는 것이 가능하다 이를 통하여 학생들이 연립이차방정식의 대수적 계산 과정. 왜 상수항을 으로 만들어야 하는지 왜 인수분해를 하여 일차식의 곱으로 표현

( 0 ?

해야 하는지 등 에서 또 다른 표상 기하적 을 생성할 수 있도록 도와줄 수 있다? ) ( ) . 또한 단순히 두 방정식의 상수항의 최소공배수를 구하여 소거하는 형태의 연립방 정식을 다루지 않는 것이 학생들의 학습 부담 경감에 효과적인지에 대해서는 다시 한 번 재고가 필요하다.

셋째, GeoGebra의 방정식 입력 기능과 CAS 기능을 활용할 경우 학생들은 자, 신의 계산 결과에 대한 정오 확인을 통하여 보다 빠른 피드백을 받을 수 있으며, 연립이차방정식의 기하적 표상을 통하여 해의 기하적 의미에 보다 쉽게 접근할 수 있다 고등학교 선택 중심 교육과정의 공통 과목 수학 교과서 종 모두 연립이. < > 9 차방정식 단원에서 두 식이 이차식으로 구성된 예제와 문제로 개의 서로 다른 실4 근을 가지는 경우만을 다루고 있다 다시 말해. , 2개의 실근과 개의 허근을 갖는 2 경우나 개의 중근을 갖는 경우가 전혀 다루어지고 있지 않다 대수적 계산에만 2 .

(20)

치중한 학생들은 개의 서로 다른 실근이 도출되지 않을 경우 중근 또는 허근이 4 ( 도출되는 경우 자신의 계산이 잘못되었다고 착각을 할 수도 있다 이는 ) . 2015 개 정 수학과 교육과정에서 모든 교과서가 극대와 극소의 정의 를 불연속인 경우까지 ‘ ’ 확장하여 정의한 후 예제를 연속으로 한정하여 제시함으로써 학생들에게 오개념이 발생한다는 양성현(2019)의 연구와 유사한 상황이라 할 수 있다. GeoGebra의 방 정식 입력 기능과 CAS 기능을 활용한다면 연립이차방정식에 대한 보다 다양한 예 제를 구성하여 학생들에게 제시할 수 있으며 연립이차방정식의 해의 다양한 표상, 을 제공할 수도 있다.

수학과 교육과정의 개정은 그에 따르는 수학과의 체계 및 내용상의 변화와 함께 학교수학에서 평가를 비롯하여 수업의 모든 측면에 변화를 가져오게 된다 김성준( , 교육과정 개정 때마다 수학과에서는 어떠한 내용을 어느 학교급 또는 어느 2009).

학년에서 다루어야 하는가 어떠한 내용 영역을 이동ㆍ삭제ㆍ축소 하는가 학교급, ‘ ’ , 에 따른 적절한 성취기준의 수는 얼마인가 등이 가장 큰 관심의 대상이었다 양성( 현, 2019).

이러한 내용 영역의 이동ㆍ삭제ㆍ축소 로 인하여 학생들의 학습 부담 경감이 이‘ ’ 루어질 수도 있지만 수학적 개념에 대한 다양한 표상을 제공하는 것이 불가능해지 는 경우도 발생하게 되며 교사의 입장에서 표상의 제공 방식에도 혼란이 올 수 , 있다 예를 들어. , 2009 개정 수학과 교육과정에서 행렬 관련 내용 영역이 삭제‘ ’ ‘ ’ 되면서 연립방정식과 행렬 사이의 관계를 설명할 수 없게 되었으며, 2015 개정 수 학과 교육과정에서 구분구적법 관련 내용 영역이 이동 되어 정적분의 정의 방‘ ’ ‘ ’ ‘ ’ 식에 변화가 발생하였다 또한 삼각함수 관련 내용 영역은 . ‘ ’ 2009 개정 수학과 교 육과정에서는 축소 되었다가 ‘ ’ 2015 개정 수학과 교육과정에서는 다시 확대 되었‘ ’ 다 이로 인하여 수학적 개념에 대한 표상과 표상 사이의 연결성을 강화하기 보다. 는 오히려 표상과 표상 사이의 다리를 끊는 것과 같은 일이 발생하고 있다.

내용교수지식과 다양한 표상을 사용하는 것이 교사의 교수학적 능력에 영향을 미친다(Sanchez & Llinares, 2003)는 점과 수학의 다양한 표상과 수학적 연결성 을 강조하고 있다는 점에서 본 연구는 수학 학습 소프트웨어 활용에 대한 교사들 의 전문성 신장과 학생들의 수학적 연결성 증진에 기여할 것으로 본다 학생들에게 . 다양한 표상을 제공할 수 있는 교수ㆍ학습 방안과 수학적 연결성 증진에 대하여 폭넓은 내용 영역에서 연구와 실험수업이 지속적으로 이루어질 필요가 있다.

(21)

참고문헌

고성은 외 명 고등학교 수학 서울 좋은책 신사고

[1] 6 (2020a). . : .

고성은 외 명 고등학교 수학 교사용지도서 서울 좋은책 신사고

[2] 6 (2020b). . : .

고호경 외 명 중학교 수학 서울 교학사

[3] 12 (2020). 2. : ㈜ .

교육부 수학과 교육과정 교육부 고시 제 호 별책

[4] (2015). . 2015-74 [ 8].

김성준 년 수학과 교육과정 개정에 따른 초등수학과의 변화 및 현 [5] (2009). 2007

장적용방안 탐구.

초등교육연구

, 24, 1-29.

김진환ㆍ박교식 연립일차방정식의 다양한 표현과 소거법의 의미에 관한 [6] (2015).

연구.

학교수학

, 17(3), 407-421.

류희찬 외 명 고등학교 수학 서울 천재교과서

[7] 10 (2020a). . : .

류희찬 외 명 중학교 수학 서울 천재교육

[8] 6 (2020b). 2. : .

박교식 외 명 고등학교 수학 교사용지도서 서울 동아출판

[9] 19 (2020). . : .

배종숙 외 명 고등학교 수학 서울 금성출판사

[10] 6 (2020a). . : ㈜ .

배종숙 외 명 고등학교 수학 교사용지도서 서울 금성출판사

[11] 6 (2020b). . : ㈜ .

심상길 교과서 연립방정식 단원에 제시된 수학사의 소재 분석 및 교수 [12] (2009).

학적 분석.

학교수학

, 11(3), 415-429.

양성현 수학 교수학습에서 의 역할과 활용 방안에 관한 연 [13] (2012). GeoGebra

구 성균관대학교 대학원 박사학위논문. .

양성현 극대와 극소 의 정의에 대한 고등학교 학생의 인식 조사

[14] (2019). ‘ ’ .

학교

수학

, 21(1), 155-172.

양성현ㆍ강옥기 기하와 대수의 연결성에 관한 적용 사례 연구

[15] (2009). .

대한수

학교육학회 수학교육학논총

35 , 597-602.제 집

양성현ㆍ강옥기 를 활용한 역동적인 시각적 표상에 기반한 [16] (2011). GeoGebra

이차곡선 지도 방안.

학교수학

, 13(3), 447-468.

양성현ㆍ이환철 수학 내적 연결성에 관한 형식적 측면 연구

[17] (2012). .

한국학교

수학회논문집

, 15(3), 395-410.

우정호ㆍ강현영 심성함양으로서의 수학교육 의 수학적 사고

[18] (2007). : F. Klein

교육을 중심으로.

수학교육학연구

, 17(4), 333-357.

이재돈 과거에 대한 반성과 새로운 년대 수학교육의 전망

[19] (2000). 2000 .

한국수

학교육학회지 시리즈 E < 수학교육 논문집 >

, 10, 441-457.

이종희 수학 교육에서 이해와 지식

[20] (1994). .

수학교육학연구

, 4(1), 169-180.

이준열 외 명 중학교 수학 서울 천재교육

[21] 7 (2020). 2. : .

장경윤 외 명 중학교 수학 서울 지학사

[22] 11 (2020). 2. : ㈜ .

정영우ㆍ김부윤ㆍ표성수 수학적 연결성을 고려한 수 체계의 지도에 관

[23] (2011).

(22)

한 연구.

한국수학교육학회 시리즈 E < 수학교육 논문집 >

, 25(2), 473-495.

최승현 교육과정 개정에 따른 수학과 내용교수지식 연구 연구보

[24] (2007). (PCK) ,

고 RRI 2007-3-2. 서울 한국교육과정평가원: .

황선욱 외 명 고등학교 수학 서울 좋은책 신사고

[25] 11 (2014). Ⅰ. : .

황선욱 외 명 고등학교 수학 서울 미래엔

[26] 8 (2020). . : ㈜ .

황우형 차순규 탐구형 소프트웨어를 활용한 고등학교 해석 기하 교육 [27] , (2002).

에 관한 사례 연구.

한국수학교육학회지 시리즈 A < 수학교육 >

, 41(3), 341-360.

[28] Alejandra, A., Fernando, B. & Leonardo, L. (2015). An Approach to the Study of Systems of Equations with GeoGebra: Learning Opportunities Provided by the Integration of CAS View: Story of a Workshop Experience with Teachers.

International Journal for Technology in Mathematics Education

, 22(4), 141-146.

[29] Bayazit, I. & Aksov, Y. (2010). Connecting Representations and Mathematical Ideas with GeoGebra. GeoGebra The New Language for the Third Millennium,

GeoGebra International Joournal of Romania

, 1(1), 93-106.

[30] Coxford, A. F. (1995). The Case for Connections. In: House, P. A., Coxford, A. F. (Eds.), Connecting Mathematics Across the Curriculum, pp. 3-13. 1995 Yearbook.

[31] Dikovic, L. (2009). Applications GeoGebra into Teaching Some Topics of Mathematics at the College Level. Computer Science and Information Systems, 6(2), 191-203.

[32] Dossey, J. A., Giordano, F. R., McCrone, S. & Weir, M. D. (2002).

Mathematics Methods and Modeling for Today's Mathematics Classroom: A Contemporary Approach to Teaching Grades 7-12, p.81. Wadsworth Group.

[33] Dreyfus, T. (1991). Advanced mathematical thinking process. In D.

Tall (Ed.), Advanced Mathematical Thinking, pp. 25-41. Kluwer Academic Publishers.

[34] Dufour-Janvier, B., Bednarz, N. & Belanger, M. (1987). Pedagogical Considerations Concerning the Problem of Representation. In C.

Janvier (Ed.), Problems of Representation in the Teaching and Learning of Mathematics, pp. 109-122. Lawrence Erlbaum Associates: Hillsade, New Jersey.

(23)

[35] Duval, R. (2006). A Cognitive Analysis of Problems of Comprehension in the Learning of Mathematics.

Educational Studies in Mathematics

, 61, 103-131.

[36] Fogarty, R. (2009). How to Integrate the Curricula(3rd Ed.). Model 7.

Threaded, pp. 79-91. Thousand Oaks, CA: Corwin.

[37] Goldin, G. & Shteingold, N. (2001). Systems of Representations and the Development of Mathematical Concepts. In Cuoco, A. A. &

Curcio, F. R. (Ed.), The role of representation in school mathematics, pp. 1-23. Reston. NCTM Yearbook.

[38] Hohenwarter, M. & Jones, K. (2007). Ways of Linking Geometry and Algebra_The Case of GeoGebra.

Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics

, 27(3), 126-131.

[39] Kaput, J. (1987). Toward a Theory of Symbol Use in Mathematics. In C. Janvier (Ed.), Problems of Representation In the Teaching and Learning of Mathematics, pp. 159-195. Lawrence Erlbaum Associates: Hillsade, New Jersey.

[40] Kaput, J. (1994). The Representational Roles of Technology in Connecting Mathematics with Authentic Experience. In R. Biehler, R.

W. Scholz, R. Strasser, & B. Winkelman (Eds.), Didactics in Mathematics as a Scientific Discipline, pp. 379-397. Netherlands:

Kluwer Academic Publishers.

[41] Martinez, A. R. (2017). The Effects of Using GeoGebra on Student Achievement in Secondary Mathematics. Capstone Projects and Master's Theses. 137.

[42] NCTM (1998). Principle and Standards for School Mathematics:

Discussion Draft. Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

[43] NCTM (2000). Principle and Standards for School Mathematics.

Reston, VA: National Council of Teachers of Mathematics.

[44] Sanchez, V. & Llinares, S. (2003). Four student teachers’ pedagogical reasoning on functions.

Journal of Mathematics Teacher Education

, 6(1), 5-25.

[45] Seloraji, P. & Eu, L. K. (2017). Students’ Performance in Geometrical Reflection Using GeoGebra.

Malaysian Online Journal of Educational

Technology

, 5(1), 65-77.

(24)

[46] Shulman, L. S. (1986). Those who understand: Knowledge growth in teaching,

Educational Researcher

15(2), 4-14.

[47] Skemp, R. R. (1987). The Idea of a Schema. The Psychology of Learning Mathematics. pp. 22-34. Lawrence Erlbaum Associates:

Hillsade, New Jersey.

[48] Tatar, E. & Zengin, Y. (2016). Conceptual Understanding of Definite Integral with GeoGebra.

Computer in the Schools

, 33(2), 120-132.

[49] Zulnaidi, H., Oktavika, E. & Hidayat, R. (2019). Effect of use of GeoGebra on achievement of high school mathematics students.

Education and Information Technologies

, 25, 51-72.

Yang, Seong Hyun

Korea Institute for Curriculum and Evaluation

8, Gyohak-ro, Deoksan-eup, Jincheon-gun, Chungcheongbuk-do, Korea E-mail address: yangsh90@kice.re.kr