2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우 1
미분기하학1 기말고사 문제풀이
주의: 1번을 제외한 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오. 1번은 답만 봄.
1. 다음 닫힌 평면곡선들의 회전지표(rotation index)를 각각 구하시오. (각 5점)
(1) (2)
답: (1) 3, (2) −1.
2. 다음 평면곡선들의 부호 붙은 곡률(signed curvature) κ(t)를 각각 구하시오. (각 10점) (1) α(t) = (a cos t, b sin t). (a > 0, b > 0)
α(t) = (a cos t, b sin t) = (x(t), y(t))로 두면
α′(t) = (x′(t), y′(t)) = (−a sin t, b cos t) , α′′(t) = (x′′(t), y′′(t)) = (−a cos t, −b sin t) 이므로,
κ(t) = x′(t)y′′(t)− x′′(t)y′(t) n(x′(t))2+ (y′(t))2o32
= ab
a2sin2t + b2cos2t
3 2
.
(2) α(t) = Rt
0eucos 2u3 du, 1 + R0teusin 2u3 du .
α′(t) = etcos 2t3 , etsin 2t3 = et· cos 2t3 , sin 2t3 . s를 α(t)의 arc length, θ(t) = 2t3으로 두면, dsdt =|α′(t)| = et이므로
κ(t) = dθ ds = d
ds 2t3 = dt ds· d
dt 2t3 = 6t2
ds dt
= 6t2
et = 6t2e−t.
3. 회전지표 정리를 이용하여 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점) Z 2π
0
1
2 sin2θ + 3 cos2θdθ.
타원 √x222+√y322 = 1은 단순 닫힌 평면곡선이므로, 회전지표 정리에 의하여, 이를 반시계방향으로 한 바퀴 도는 곡선 α(θ) = √
2 cos θ,√
3 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π의 회전지표 iα는 1이다. α의 부호 붙은 곡률을 κ(θ)라고 하면,
|α′(θ)| = 2 sin2θ + 3 cos2θ12
, κ(θ) =
√2√ 3
√
22sin2θ +√
32cos2θ
3 2
=
√6 2 sin2θ + 3 cos2θ
3 2
이므로(문제 2의 (1) 풀이 참조), 1 = iα= 1
2π Z 2π
0
κ(θ)· |α′(θ)| dθ = 1 2π
Z 2π 0
√6 2 sin2θ + 3 cos2θ
3
2 · 2 sin2θ + 3 cos2θ
1 2 dt
=
√6 2π ·
Z 2π 0
1
2 sin2θ + 3 cos2θdθ.
2 2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우
→ Z 2π
0
1
2 sin2θ + 3 cos2θdθ = 2π
√6 =r 2 3π.
4. 다음과 같이 정의된 단사함수 X : R2 → R3로 매개화된 곡면 S = X R2에 대하여 다음에 답하시오.
(각 10점)
X(u, v) =
2u
1 + u2+ v2, 2v
1 + u2+ v2, −1− u2− v2 1 + u2+ v2
.
(1) X가 S의 좌표조각(coordinate patch)임을 보이시오.
Xu= 2 1− u2+ v2
(1 + u2+ v2)2, − 4uv
(1 + u2+ v2)2, 4u (1 + u2+ v2)2
!
= 2
(1 + u2+ v2)2 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u , Xv= − 4uv
(1 + u2+ v2)2, 2 1 + u2− v2
(1 + u2+ v2)2, 4v (1 + u2+ v2)2
!
= 2
(1 + u2+ v2)2 · −2uv, 1 + u2− v2, 2v ,
Xu× Xv= 4
(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u × −2uv, 1 + u2− v2, 2v
= 4
(1 + u2+ v2)4 ·
−2u 1 + u2+ v2 , −2v 1 + u2+ v2 , 1 − u2+ v22
= 4
(1 + u2+ v2)3 · −2u, −2v, 1 − u2− v2 = − 4
(1 + u2+ v2)2 · X.
X가 미분가능, 단사이고, 모든 (u, v)∈ R2에 대하여 Xu(u, v)× Xv(u, v)6= 0이므로, X는 좌표조 각이다.
(2) X에 의한 제1 기본형식(the first fundametal form)의 계수들 E, F , G를 각각 구하시오.
E = Xu• Xu= 4
(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u • 1 − u2+ v2,−2uv, 2u
= 4
(1 + u2+ v2)4 · 1 + u2+ v22
= 4
(1 + u2+ v2)2, F = Xu• Xv= 4
(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u • −2uv, 1 + u2− v2, 2v
= 0,
G = Xv• Xv= 4
(1 + u2+ v2)4 · −2uv, 1 + u2− v2, 2v • −2uv, 1 + u2− v2, 2v
= 4
(1 + u2+ v2)4 · 1 + u2+ v22
= 4
(1 + u2+ v2)2.
(3) φ : S→ R, φ(p) = |p − (2, 0, 0)|2일 때, dφp= 0(영함수)인 p들을 모두 구하시오.
2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우 3
p∈ S, w ∈ TpS라고 하자. α : [−ǫ, ǫ] → S가 α(0) = p, α′(0) = w를 만족하는 정칙곡선이라고 하면,
dφp(w) = d
dtφ (α(t)) t=0
= d
dt|α(t) − (2, 0, 0)|2 t=0
= d
dt{(α(t) − (2, 0, 0)) • (α(t) − (2, 0, 0))}
t=0
= 2α′(t)• (α(t) − (2, 0, 0))|t=0= 2α′(0)• (α(0) − (2, 0, 0))
= 2w• (p − (2, 0, 0)) .
dφp= 0.⇔ 모든 w ∈ TpS에 대하여, w와 p− (2, 0, 0)이 수직.
⇔ X(u, v) = p인 (u, v)에 대하여, Xu(u, v)× Xv(u, v)와 p− (2, 0, 0)이 평행.
⇔ X(u, v) = p인 (u, v)에 대하여, {Xu(u, v)× Xv(u, v)} × (p − (2, 0, 0)) = 0.
0={Xu(u, v)× Xv(u, v)} × {X(u, v) − (2, 0, 0)}
=− 4
(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × {X(u, v) − (2, 0, 0)}
=− 4
(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × X(u, v) + 4
(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × (2, 0, 0)
= 4
(1 + u2+ v2)3 · 2u, 2v, − 1 − u2− v2 × (2, 0, 0)
= 4
(1 + u2+ v2)3 · 0, −2 1 − u2+ v2 , −2v .
⇔ 1 − u2− v2= 0, v = 0.⇔ (u, v) = (1, 0) 혹은 (−1, 0).
⇔ p = X(1, 0) = (1, 0, 0) 혹은 X(−1, 0) = (−1, 0, 0).
5. 다음과 같이 정의된 S가 정칙곡면임을 보이시오. (10점)
S =(x, y, z) ∈ R3 | exyz+ xyz = 1 + e .
F (x, y, z) = exyz+xyz로 놓으면 주어진 곡면은 S = F−1(1+e) =(x, y, z) ∈ R3| F (x, y, z) = 1 + e 이다.
∇F = (yzexyz+ yz, zxexyz+ zx, xyexyz+ xy) = (1 + exyz)· (yz, zx, xy)
이므로, 만일 (x0, y0, z0)가 F 의 critical point, 즉 ∇F (x0, y0, z0) = 0이라면, y0z0 = z0x0= x0y0 = 0 이고, 따라서 F (x0, y0, z0) = ex0y0z0 + x0y0z0 = 1이다. 그러므로 1이 F 의 유일한 critical value이고, 따라서 1 + e는 F 의 regular value이다. F (1, 1, 1) = e1·1·1+ 1· 1 · 1 = 1 + e이므로 F−1(1 + e)6= ∅이고, 따라서 S = F−1(1 + e)는 정칙곡면이다.
6. 다음 각 곡면 S에 대하여, S를 한 번에 전부 덮는 좌표조각 하나와, S의 면적을 구하시오. (각 10점) (1) 현수선(catenary) α(u) = (cosh u, 0, u), 0 ≤ u ≤ 1을 z축을 중심으로 회전하여 얻어진 현수면
(catenoid) S. (참고: cosh2x = (1 + cosh 2x) /2.)
X(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sin v, u) , 0≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π 로좌표조각을 잡는다.
Xu= (sinh u cos v, sinh u sin v, 1) , Xv = (− cosh u sin v, cosh u cos v, 0) 이므로, E, F , G를 X에 의한 제1 기본형식의 계수들이라고 하면
pEG− F2=|Xu× Xv| = |(− cosh u cos v, − cosh u sin v, cosh u sinh u)|
= cosh u·p
1 + sinh2u = cosh2u.
4 2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우
→ S의 면적 =
Z 2π 0
Z 1
0
pEG− F2du dv = Z 2π
0
dv· Z 1
0
cosh2u du
= 2π Z 1
0
1 + cosh 2u 2 du = π
u +1
2sinh 2u
1
0
=
1 +1
2sinh 2
π.
(2) 나선(helix) α(u) = (cos u, sin u, u), 0≤ u ≤ 2π의 각 점에서 출발하여 xy평면에 평행이면서 z축과
만나는 선분들의 집합인 나선면(helical surface) S. (참고:R sec3θ dθ = 12{sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)}+
C.)
X(u, v) = (v cos u, v sin u, u) , 0≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1 로좌표조각을 잡는다.
Xu= (−v sin u, v cos u, 1) , Xv = (cos u, sin u, 0)
이므로, E, F , G를 X에 의한 제1 기본형식의 계수들이라고 하면 pEG− F2=|Xu× Xv| = |(− sin u, cos u, −v)| =p
1 + v2.
→ S의 면적 =
Z 1
0
Z 2π 0
pEG− F2du dv = Z 2π
0
du· Z 1
0
p1 + v2dv
= 2π Z π4
0
p1 + tan2θ· sec2θ dθ ← v = tan θ, dv = sec2θ dθ
= 2π Z π4
0
sec3θ dθ = 2π· 1
2{sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)}
π4
0
= π·n secπ
4 · tanπ 4 + ln
secπ
4 + tanπ 4
o=n√
2 + ln√
2 + 1o π.