• 검색 결과가 없습니다.

다음 닫힌 평면곡선들의 회전지표(rotation index)를 각각 구하시오

N/A
N/A
Protected

Academic year: 2022

Share "다음 닫힌 평면곡선들의 회전지표(rotation index)를 각각 구하시오"

Copied!
4
0
0

로드 중.... (전체 텍스트 보기)

전체 글

(1)

2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우 1

미분기하학1 기말고사 문제풀이

주의: 1번을 제외한 모든 문제의 풀이과정을 자세히 쓰시오. 1번은 답만 봄.

1. 다음 닫힌 평면곡선들의 회전지표(rotation index)를 각각 구하시오. (각 5점)

(1) (2)

답: (1) 3, (2) −1.

2. 다음 평면곡선들의 부호 붙은 곡률(signed curvature) κ(t)를 각각 구하시오. (각 10점) (1) α(t) = (a cos t, b sin t). (a > 0, b > 0)

α(t) = (a cos t, b sin t) = (x(t), y(t))로 두면

α(t) = (x(t), y(t)) = (−a sin t, b cos t) , α′′(t) = (x′′(t), y′′(t)) = (−a cos t, −b sin t) 이므로,

κ(t) = x(t)y′′(t)− x′′(t)y(t) n(x(t))2+ (y(t))2o32

= ab

a2sin2t + b2cos2t

3 2

.

(2) α(t) = Rt

0eucos 2u3 du, 1 + R0teusin 2u3 du .

α(t) = etcos 2t3 , etsin 2t3 = et· cos 2t3 , sin 2t3 . s를 α(t)의 arc length, θ(t) = 2t3으로 두면, dsdt =|α(t)| = et이므로

κ(t) = dθ ds = d

ds 2t3 = dt ds· d

dt 2t3 = 6t2

ds dt

= 6t2

et = 6t2e−t.

3. 회전지표 정리를 이용하여 다음 정적분의 값을 구하시오. (10점) Z 2π

0

1

2 sin2θ + 3 cos2θdθ.

타원 √x222+√y322 = 1은 단순 닫힌 평면곡선이므로, 회전지표 정리에 의하여, 이를 반시계방향으로 한 바퀴 도는 곡선 α(θ) = √

2 cos θ,√

3 sin θ, 0 ≤ θ ≤ 2π의 회전지표 iα는 1이다. α의 부호 붙은 곡률을 κ(θ)라고 하면,

(θ)| = 2 sin2θ + 3 cos2θ12

, κ(θ) =

√2√ 3

√

22sin2θ +√

32cos2θ

3 2

=

√6 2 sin2θ + 3 cos2θ

3 2

이므로(문제 2의 (1) 풀이 참조), 1 = iα= 1

2π Z 2π

0

κ(θ)· |α(θ)| dθ = 1 2π

Z 2π 0

√6 2 sin2θ + 3 cos2θ

3

2 · 2 sin2θ + 3 cos2θ

1 2 dt

=

√6 2π ·

Z 2π 0

1

2 sin2θ + 3 cos2θdθ.

(2)

2 2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우

→ Z 2π

0

1

2 sin2θ + 3 cos2θdθ = 2π

√6 =r 2 3π.

4. 다음과 같이 정의된 단사함수 X : R2 → R3로 매개화된 곡면 S = X R2에 대하여 다음에 답하시오.

(각 10점)

X(u, v) =

 2u

1 + u2+ v2, 2v

1 + u2+ v2, −1− u2− v2 1 + u2+ v2

 .

(1) X가 S의 좌표조각(coordinate patch)임을 보이시오.

Xu= 2 1− u2+ v2

(1 + u2+ v2)2, − 4uv

(1 + u2+ v2)2, 4u (1 + u2+ v2)2

!

= 2

(1 + u2+ v2)2 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u , Xv= − 4uv

(1 + u2+ v2)2, 2 1 + u2− v2

(1 + u2+ v2)2, 4v (1 + u2+ v2)2

!

= 2

(1 + u2+ v2)2 · −2uv, 1 + u2− v2, 2v ,

Xu× Xv= 4

(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u × −2uv, 1 + u2− v2, 2v

= 4

(1 + u2+ v2)4 ·

−2u 1 + u2+ v2 , −2v 1 + u2+ v2 , 1 − u2+ v22

= 4

(1 + u2+ v2)3 · −2u, −2v, 1 − u2− v2 = − 4

(1 + u2+ v2)2 · X.

X가 미분가능, 단사이고, 모든 (u, v)∈ R2에 대하여 Xu(u, v)× Xv(u, v)6= 0이므로, X는 좌표조 각이다.

(2) X에 의한 제1 기본형식(the first fundametal form)의 계수들 E, F , G를 각각 구하시오.

E = Xu• Xu= 4

(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u • 1 − u2+ v2,−2uv, 2u

= 4

(1 + u2+ v2)4 · 1 + u2+ v22

= 4

(1 + u2+ v2)2, F = Xu• Xv= 4

(1 + u2+ v2)4 · 1 − u2+ v2,−2uv, 2u • −2uv, 1 + u2− v2, 2v

= 0,

G = Xv• Xv= 4

(1 + u2+ v2)4 · −2uv, 1 + u2− v2, 2v • −2uv, 1 + u2− v2, 2v

= 4

(1 + u2+ v2)4 · 1 + u2+ v22

= 4

(1 + u2+ v2)2.

(3) φ : S→ R, φ(p) = |p − (2, 0, 0)|2일 때, dφp= 0(영함수)인 p들을 모두 구하시오.

(3)

2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우 3

p∈ S, w ∈ TpS라고 하자. α : [−ǫ, ǫ] → S가 α(0) = p, α(0) = w를 만족하는 정칙곡선이라고 하면,

dφp(w) = d

dtφ (α(t)) t=0

= d

dt|α(t) − (2, 0, 0)|2 t=0

= d

dt{(α(t) − (2, 0, 0)) • (α(t) − (2, 0, 0))}

t=0

= 2α(t)• (α(t) − (2, 0, 0))|t=0= 2α(0)• (α(0) − (2, 0, 0))

= 2w• (p − (2, 0, 0)) .

dφp= 0.⇔ 모든 w ∈ TpS에 대하여, w와 p− (2, 0, 0)이 수직.

⇔ X(u, v) = p인 (u, v)에 대하여, Xu(u, v)× Xv(u, v)와 p− (2, 0, 0)이 평행.

⇔ X(u, v) = p인 (u, v)에 대하여, {Xu(u, v)× Xv(u, v)} × (p − (2, 0, 0)) = 0.

0={Xu(u, v)× Xv(u, v)} × {X(u, v) − (2, 0, 0)}

=− 4

(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × {X(u, v) − (2, 0, 0)}

=− 4

(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × X(u, v) + 4

(1 + u2+ v2)2 · X(u, v) × (2, 0, 0)

= 4

(1 + u2+ v2)3 · 2u, 2v, − 1 − u2− v2 × (2, 0, 0)

= 4

(1 + u2+ v2)3 · 0, −2 1 − u2+ v2 , −2v .

⇔ 1 − u2− v2= 0, v = 0.⇔ (u, v) = (1, 0) 혹은 (−1, 0).

⇔ p = X(1, 0) = (1, 0, 0) 혹은 X(−1, 0) = (−1, 0, 0).

5. 다음과 같이 정의된 S가 정칙곡면임을 보이시오. (10점)

S =(x, y, z) ∈ R3 | exyz+ xyz = 1 + e .

F (x, y, z) = exyz+xyz로 놓으면 주어진 곡면은 S = F−1(1+e) =(x, y, z) ∈ R3| F (x, y, z) = 1 + e 이다.

∇F = (yzexyz+ yz, zxexyz+ zx, xyexyz+ xy) = (1 + exyz)· (yz, zx, xy)

이므로, 만일 (x0, y0, z0)가 F 의 critical point, 즉 ∇F (x0, y0, z0) = 0이라면, y0z0 = z0x0= x0y0 = 0 이고, 따라서 F (x0, y0, z0) = ex0y0z0 + x0y0z0 = 1이다. 그러므로 1이 F 의 유일한 critical value이고, 따라서 1 + e는 F 의 regular value이다. F (1, 1, 1) = e1·1·1+ 1· 1 · 1 = 1 + e이므로 F−1(1 + e)6= ∅이고, 따라서 S = F−1(1 + e)는 정칙곡면이다.

6. 다음 각 곡면 S에 대하여, S를 한 번에 전부 덮는 좌표조각 하나와, S의 면적을 구하시오. (각 10점) (1) 현수선(catenary) α(u) = (cosh u, 0, u), 0 ≤ u ≤ 1을 z축을 중심으로 회전하여 얻어진 현수면

(catenoid) S. (참고: cosh2x = (1 + cosh 2x) /2.)

X(u, v) = (cosh u cos v, cosh u sin v, u) , 0≤ u ≤ 1, 0 ≤ v ≤ 2π 로좌표조각을 잡는다.

Xu= (sinh u cos v, sinh u sin v, 1) , Xv = (− cosh u sin v, cosh u cos v, 0) 이므로, E, F , G를 X에 의한 제1 기본형식의 계수들이라고 하면

pEG− F2=|Xu× Xv| = |(− cosh u cos v, − cosh u sin v, cosh u sinh u)|

= cosh u·p

1 + sinh2u = cosh2u.

(4)

4 2017년 1학기 미분기하학1 기말고사: 덕성여자대학교 수학과 최성우

→ S의 면적 =

Z 2π 0

Z 1

0

pEG− F2du dv = Z 2π

0

dv· Z 1

0

cosh2u du

= 2π Z 1

0

1 + cosh 2u 2 du = π

 u +1

2sinh 2u

1

0

=

 1 +1

2sinh 2

 π.

(2) 나선(helix) α(u) = (cos u, sin u, u), 0≤ u ≤ 2π의 각 점에서 출발하여 xy평면에 평행이면서 z축과

만나는 선분들의 집합인 나선면(helical surface) S. (참고:R sec3θ dθ = 12{sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)}+

C.)

X(u, v) = (v cos u, v sin u, u) , 0≤ u ≤ 2π, 0 ≤ v ≤ 1 로좌표조각을 잡는다.

Xu= (−v sin u, v cos u, 1) , Xv = (cos u, sin u, 0)

이므로, E, F , G를 X에 의한 제1 기본형식의 계수들이라고 하면 pEG− F2=|Xu× Xv| = |(− sin u, cos u, −v)| =p

1 + v2.

→ S의 면적 =

Z 1

0

Z 2π 0

pEG− F2du dv = Z 2π

0

du· Z 1

0

p1 + v2dv

= 2π Z π4

0

p1 + tan2θ· sec2θ dθ ← v = tan θ, dv = sec2θ dθ

= 2π Z π4

0

sec3θ dθ = 2π· 1

2{sec θ tan θ + ln (sec θ + tan θ)}

π4

0

= π·n secπ

4 · tanπ 4 + ln

secπ

4 + tanπ 4

o=n√

2 + ln√

2 + 1o π.

참조

관련 문서

다음 글을 읽고 빈칸에 들어갈 가장 적절한 다음 글을 읽고 빈칸에 들어갈 가장 적절한 다음 글을 읽고 빈칸에 들어갈 가장 적절한 다음 글을 읽고 빈칸에 들어갈 가장 적절한 한 단어를

다음 주제와 시간적, 공간적으로 가까운 개념을 적어보자. 다음 주제와

다음 물음에 답하여라...

다음

다음

고혈압과 고지혈증은 독립인지

Newton 방법을 이용하여, 다음 방정식의 해를 소수점 아래 6자리까지 정확하게 구하시오... 고정점 반복법을 이용하여, 다음 수를 소수점

다음 글의 공간에 대한 설명으로 적절하지 않은 것은.. 시(市)를 남북으로 나누며 달리는 철도는 항만의