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1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

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(1)

2011.9 충남대학교 경제학과

노 응원

(2)

1. 과점시장의 특성

2. 꾸르노-내쉬 균형(유한 전략인 경우) 1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 2) 기호 및 이윤의 계산

(a) π1(s13, s22) = π1(4.5, 3) 의 계산 (b) π1(4.5, 3) 의 계산의 도해

(c)임의의 π1(x1, x2) 의 계산 (d) 엑셀을 이용한 간편 계산 3) 전개형

4) 전략형

(3)

3. 꾸르노-내쉬 균형(무한 전략인 경우) 1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 2) 대략적 전개형

2) 전략형

4) 내쉬균형의 발견(계산) (1) 기업 1의 최적 대응

(a) x2

=3일 경우 (b) x

2

=1일 경우

(c) 일반화 (d) 기호 변경

(2) 기업 2의 최적대응: 일반화

(3) 최적대응이 합치되는 전략 계산 (4) 도해

(4)

 4. 기업이 3개인 경우 꾸르노-내쉬 균형

3인 게임의 해법 소개

 5. 버트란트 가격경쟁 모형(동질적 재화)

논리적 추론으로 내쉬균형 도출

 6. 버트란트 가격경쟁 모형(이질적 재화)

 7. 네트워크 산업의 조정게임

(5)

 1) 과점(Oligopoly) 시장: 생산자(판매자)가 2개 이상이지만 소수인(너무 많지는 않은) 시장.

 판매자가 2개이면 복점(Duopoly)이라 함.

2) 예. 휴대폰 통신서비스, 라면, 자동차, 등등

(6)

 3) 과점업자들의 행태

(a) 담합(가격, 생산량 등을 합의함): 불법 (b) 경쟁: 수량경쟁(Cournot모형), 가격경쟁

(Bertrand모형) 등

 본 강의에서는 경쟁 행태를 다룸.

(7)

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

분석대상이 되는 시장을 X재 시장이라 하고, 분석을 단순화하기 위해 다음을 가정 한다:

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없 ) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 xd =10-p이다. 여기서 xd =시장수요량, p=가격.

A4. 기업은 2.25, 3 및 4.5단위 중에서 자신의 생산량(xi)를 동시에 결정.

A5. 시장가격은 시장공급(xs = x1+ x2)이 시장수요와 일치하도록 결정.

(8)

기호 x1: s11=2.25, s12=3 및 s13=4.5

x2: s21=2.25, s22=3 및 s23=4.5 각자의 이윤

π1= π1(s13, s22) = π1(4.5, 3)

기업 1이 4.5단위, 기업2가 3단위 생산할 경우 기업 1 이윤

π2= π2(s13, s22) = π2(4.5, 3)

기업 1이 4.5단위, 기업2가 3단위 생산할 경우 기업 2 이윤

(9)

(1) 시장공급 xs = x1+ x2= 4.5+3 = 7.5

(2) 시장균형가격은 시장균형조건, 즉 xd = xS 다시 말해서

xd = 10-p = 7.5(= xs ) 10-p = 7.5

의해 p=2.5로 결정된다.

(3) 총수입=생산량ⅹ시장균형가격, 총비용=생산량ⅹ평 균비용. 가정 A2에 의해 평균비용은 한계비용(c=1)과 같다.

(4) π1(4.5, 3) = pⅹ4.5 – c ⅹ4.5 = (p-c) ⅹ 4.5 = (2.5-1) ⅹ4.5 = 1.5 ⅹ 4.5 = 6.75

(5) π2(4.5, 3) = (p-c) ⅹ 3 = (2.5-1) ⅹ3 = 1.5 ⅹ 3

= 4.5

(10)

p 10

시장수요곡선

1 평균비용 3 7.5 10 x

(11)

p 10

시장수요곡선 x=10-p

시장공급곡선 x=7.5

2.25

1 평균비용 3 7.5 10 x

기업2 이윤 기업 1이윤

(12)

p 10

시장수요곡선 x=10-p

시장수요곡선 x=7.5

2.25

1 평균비용 3 7.5 10 x

기업2 이윤 기업 1이윤

(13)

(1) 시장공급 xs = x1+ x2

(2) 시장균형가격은 시장균형조건, 즉 xd = xS 다시 말해서

xd = 10-p = x1+ x2 (= xs ) p = 10- x1- x2

결정된다.

(3) 총수입=생산량ⅹ시장균형가격, 총비용=생산량ⅹ평 균비용. 가정 A2에 의해 평균비용은 한계비용(c=1)과 같다.

(4) π1(x1, x2) = px1 – cx1 = (p-c)x1 = (9- x1- x2) x1 (5) π2(x1, x2) = px2 – cx2 = (p-c)x2 = (9- x1- x2) x2

(14)

Cournot-Nash payoff of player 1.xlsx

(15)
(16)

내쉬균형은 (3, 3)이다.

(17)

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

가정 A4만 A4’으로 변경

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없음) 자신의 이윤을

극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 xd =10-p이다. 여기서 xd =시장수요량, p=가격.

(A4. 기업은 2.25, 3 및 4.5단위 중에서 자신의 생산량(xi)를 동시에 결정한 다.)

A4’. 기업은 자신의 생산량(xi , 9 ≥ xi≥0)를 동시에 결정한다.

A5. 시장가격은 시장공급(xs = x1+ x2)이 시장수요와 일치하도록 결정된다.

(18)

A4’. 기업은 자신의 생산량(xi 단, 9 ≥ xi≥0)를 동시 에 결정한다.

기업 i의 전략집합은 Si ={xi : 0≤ xi ≤9 }

로서, 0과 9 사이의 모든 실수들로 구성되므로 그 수 가 무한히 많다. -> 무한 전략

(19)
(20)

 각 경기자의 전략수가 무한히 많으므로 전략형으 로 표시할 수 없다!

 이 경우, 내쉬균형은 어떻게 구하는가?

(21)

최적대응 접근법으로 계산

(1) 기업 1의 최적 대응 위에서

π1 = π1(x1, x2) = px1 – cx1 = (9- x1- x2) x1

= (9 – x2)x1 - x12

여기서 x2 기업 1의 입장에서 볼 때 정해진 값(상수)이다.

(a) 예컨대 x2

=3일 경우,

π1 = π1(x1, 3) = (9 – 3)x1 - x12 = 6x1 - x12

이며 이 이윤은 1변수 x1 함수이다. 그 그래프는 다음과 같 .

(22)

따라서, x2=3에 대한 기업 1의 최적 대응은 x1=3이다.

(23)

π1 = π1(x1, 3) = 6x1 - x12 = (6 – x1)x1

그래프는 포물선으로서 x1=0과 x1=6에서 수평축(x1 )을 지나며 좌우대칭이다.

따라서 x1=3일 때 기업 1의 이윤 최대이다.

x1 π

1

(24)

(b) 다음, x2=1일 경우 최적대응은?

π1 = π1(x1, 1) = (9 – 1)x1 - x12 = 8x1 - x12= (8 - x1)x1

(25)

극대점은 x1=4일 때 16이다. 따라서 최적대응=4이다.

(26)

x2=a일 경우(a는 임의의 0≤ a ≤9 ), π1 = π1(x1, a) = (9 – a)x1 - x12

= (9-a-x1)x1

 π1 의 그래프는 x1=0과 9-a-x1= 0(즉, x1=9-a) 일 때 수평축을 통과하는 포물선이다. 최대점은 x1=(9-a)/2일 때.

 따라서 기업 1의 x2=a 에 대한 최적대응은 x1=(9-a)/2

(27)

π1

π1 = (9-a-x1)x1

(9-a)/2

x1

(28)

a값은 0에서 9까지 연속적으로 취할 수 있으므로, 그 각 값

에 대한 기업1의 최적대응을 연속적으로 표시하면 이 직선

을 이룸.

(29)

 위에서는 “x2=a에 대해 최적대응”을 구하였으나, x2가 일정한 값이라는 점을 염두에 두면 a라는 기 호를 도입할 필요없이 그냥 “x2에 대한 기업 1의 최적대응”이라 말해도 무방하다.

 그러면 기업 1의 x2에 대한 최적대응은 x1=(9-x2)/2

(30)

x2 x1

수평 축은 x2 이고, 수직 축은 x1

(31)

x1=b일 경우, 기업 2의 이윤

π2 = π2(b,x2) = (9 – b)x2 - x22

= (9-b-x2)x2

 π2 의 그래프는 x2=0과 9-b-x2= 0(즉, x2=9-b) 일 때 수평축을 통과하는 포물선이다. 최대점은 x2=(9-b)/2일 때.

 따라서 기업 2의 x1=b 에 대한 최적대응은 x2=(9-b)/2

(32)

 b를 도입하지 않고 바로 x1에 대한 기업 2의 최적 대응을 구하면

x2=(9- x1)/2.

수직축은 x1 수평축은 x2

(33)

 기업 1의 x2에 대한 최적대응은 x1=(9-x2)/2 (a)

 기업 2의 x1에 대한 최적대응은 x2=(9-x1)/2. (b)

 (a)와 (b)를 연립으로 풀면 x1c = x2c =3

이므로 Counot-Nash균형은 (3,3)이다.

(34)

 두 최적대응을 동일한 x1x2 평면에 도시하면

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

기업2최적대응 기업1 최적대응

x1 x2

(35)

p 10

시장수요곡선 x=10-p

시장수요곡선 x= x1c + x2c =6

4

1 평균비용 3 6 10 x

(36)

(1) 기업 1의 최적대응의 도출

π1 = π1(x1, x2) = px1 – cx1 = (9- x1- x2) x1 = (9- x2) x1 – x12

1계 필요조건: ∂π1 / ∂x1 = 9 – x2 - 2x1 = 0 ∴ x1 = (9 – x2)/2

2계 충요조건: ∂2π1 / ∂x12 = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x1 = (9 – x2)/2

(37)

(2) 기업 2의 최적대응의 도출

π2 = π2(x1, x2) = px2 – cx2 = (9- x1- x2) x2 = (9- x1) x2 – x22

1계 필요조건: ∂π2 / ∂x2 = 9 – x2 - 2x2 = 0 ∴ x2 = (9 – x1)/2

2계 충요조건: ∂2π2 / ∂x22 = - 2 < 0

따라서 기업 2의 최적대응은 x2 = (9 – x1)/2

(38)

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 가정 A1를 A1’으로 변경

A1’. 3개의 기업(i=1,2,3)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정 비용은 없음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 xd =10-p이다. 여기서 xd =시장수요량, p=가격.

A4’. 기업은 자신의 생산량(xi 단, 9 ≥ xi≥0)를 동시에 결정.

A5. 시장가격은 시장공급(xs = x1+ x2)이 시장수요와 일치하도록 결정.

(39)

n인 게임

경기자 i=1,2, …,n

경기자 i의 전략집합 Si, i=1,2, …,n

내쉬균형

어떤 전략조합

s* = (s1*, s2*, …, sn*), 단 si*∈ Si, i=1,2, …,n

이 각 경기자에게 단독으로 이탈할 유인을 허용하지 않으면, 그것을 순수전략 내쉬균형이라 한다

(40)

경기자 i의 이득: ui = ui(s1, s2, …, sn), s* = (s1*, s2*, …, sn*)이 내쉬균형일 때, 경 기자 1에게 이탈유인이 없을 조건

모든 s1∈ S1에 대해

u1(s1*, s2*, …, sn*) ≥

u

1(s1, s2*, …, sn*)

(41)

경기자 i의 이득: ui = ui(s1, s2, …, sn), s* = (s1*, s2*, …, sn*)이 내쉬균형일 때, 경 기자 i에게 이탈유인이 없을 조건

모든 si∈ Si에 대해

u1(s1*, …, si-1*, si*, si+1*, …, sn*) ≥

u

1(s1*, …, si-1*, si, si+1*, …, sn*)

(42)

다른 경기자들의 전략이 (s1, …, si-1, si+1, …, sn)으 로 주어져 있을 때, i의 이득

ui = ui(s1, s2, …, sn) 을 극대화 하는 i의 전략

(43)

 시장공급 xs = x1+ x2 + x3

 시장수요 xd =10-p

 시장균형 조건 xs = xd

 따라서 시장균형가격은

 x1+ x2 + x3 =10-p

p=10-(x1+ x2 + x3)

(44)

 πi = πi(x1, x2, …, xn)=pxi-cxi

 = [10-(x1+ x2 + x3)]xi-cxi

 = (9 - x1 - x2 - x3)xi

(45)

 π1 = (9 -x2 - x3)x1 – x12

1계 필요조건: ∂π1/ ∂x1 = 9 – x2

- x

3 - 2x1 = 0 ∴ x1 = (9 – x2 - x3 )/2

2계 충요조건: ∂2π1 / ∂x12 = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x1 = (9 – x2 - x3 )/2

 (기업 3이 추가됨에 따라

- x

3 항이 추가되었음)

(46)

 π2 = (9 -x1 - x3)x2 – x22

1계 필요조건: ∂π2/ ∂x2 = 9 – x1

- x

3 - 2x2 = 0 ∴ x2 = (9 – x1 - x3 )/2

2계 충요조건: ∂2π2 / ∂x22 = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x2 = (9 – x1 - x3 )/2

 (기업 3이 추가됨에 따라

- x

3 항이 추가되었음)

(47)

 π3 = (9 -x1 - x2)x3 – x32

1계 필요조건: ∂π3/ ∂x3 = 9 – x1 - x2 - 2x3 = 0 ∴ x3 = (9 – x1 - x2 )/2

2계 충요조건: ∂2π3 / ∂x32 = - 2 < 0

따라서 기업 3의 최적대응은 x3 = (9 – x1 – x2)/2

 (기업 3이 추가됨에 따라 이 식이 추가되었음)

(48)

3기업의 최적대응식 x1 = (9 – x2 - x3 )/2 x2 = (9 – x1 - x3 )/2 x3 = (9 – x1 - x2 )/2 을 연립으로 풀면

x1c = x2c = x3c =9/4 = 2.25

이므로 Counot-Nash균형은 (2.25, 2.25, 2.25) 이다.

(49)

 이 내쉬균형에서

 시장공급 = (9/4)ⅹ3 =27/4 =6.75

 시장균형가격 = 10-6.75=3.25

(50)

p 10

시장수요곡선 x=10-p

시장공급곡선 x= x1c + x2c =6

시장공급곡선 x= x1c + x2c + x3c =6.75

4 3.25

1 평균비용 3 6 6.75 10 x

(51)

1) 스토리(가정)

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없 ) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 xd =10-p이다. 여기서 xd =시장수요량, p=가격.

A4B. 각 기업 (i=1,2)은 자신이 판매할 가격 pi (≥ 0)를 동시에 결정한다.

A5B. 시장균형은 두 가격 중 낮은 것과 그 가격에서 수요되는 수량으로 결정된다.

(52)
(53)

si={1,2,3,4,5}일 때 전략형(가격 1씩 증가)

si={1,1.5,2,2.5,3}일 때 전략형(가격 0.5씩 중가)

(54)

si={1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4}일 때 전략형(가격 0.5씩 중가)

내쉬균형은 (1, 1)과 (1.1, 1.1)의 2개이다. 가

격 호가 단위에 따라 후자는 달라진다.

(55)

 (1) 각 기업에게 최적 대응은 존재하지 않는다!

기업 1의 이윤곡선을 보자. p1 p2보다 낮은 한 1보다 높을수록,

시장을 독차지하는 기업1의 이윤은 증가한다. 그러다가 p1=p2

윤이 반으로 줄며, p1>p2으로 역전되는 순간, 이윤은 0이 된다.

따라서 이 이윤의 극대점은 없다!

(56)

(p1 , p2)= (1, 1)이 내쉬균형임을 증명하자. 이탈대상이 되는 전략조 합은 0≤p110 및 0≤p210인 (p1 , p2)점들이다.(아래 4각형) p2

10

0

10 p1

(57)

a) p2<p1 영역(삼각형 OAB)의 점: π1=0이다.

p2

10 B : π1=0

0 10 A p1

(58)

a1) p2<p1 이고 p2>1인 영역(삼각형 O’A’B)의 점: π1=0, π2>0. D점에서 기업 1이 E점으로 이탈 유인 보유. p1 인하(그러나 p1> 1 )로 π1>0이 됨.

p2

B 10

: π2>0 E D

1 O’ A’

O 1 10 A p1

(59)

a2) p2<p1 이고 p2<1인 영역(사다리꼴 OAA’O’)의 점: π1=0, π2<0. D점에서 기업 2가 O’점의 p2=1로 이탈하면, 이윤이 음에서 0으로 상승

p2

B 10

:

1 O’ A’

D π2<0

O 1 10 A p1

(60)

a3) p2<p1 이고 p2=1인 영역(선분 OA’)의 점: π1=0, π2=0. D점에서 기업 2가 E점의 p2>1(단, p2<p1 )로 이탈하면, 이윤이 0에서 양으로 상승 p2

B 10

: E

1 O’ A’

D

O 1 10 A p1

(61)

b1) 경계선 p1= p2이고 p2>1인 영역(선분 O’B)의 점: π12>0.

D에서 기업 1이 p1을 조금 인하하면 이윤 급증하므로 이탈 유인.

p2 B

10

: E D

1 O’ A’

O 1 10 A p1

(62)

b2) 경계선 p1= p2이고 p2<1인 영역(선분 OO’)의 점: π12<0.

D에서 기업 1이 p1을 조금 인상하면 이윤이 0으로 상승.

p2 B

10 :

1 O’ A’

D E

O 1 10 A p1

(63)

c) p2>p1 영역(π2=0)에 대하여도 위와 같이 이탈유인이 있음 증명가능.

p2

10 B π2=0

0 10 A p1

(64)

(p1 , p2)= (1, 1)에서는 어느 기업이든 이탈할 유인이 없으므로 유일한 내쉬 균형이다.

p2 10

B

1

0

1 10 p1

(65)

1) 스토리(가정)

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 이질적인 Xi재를 생산하여(고정비용은 없음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. Xi 재의 시장수요는

x1d =10- p1 + p2 , x2d =12- p2 + 0.5p1

여기서 xid =i재 시장수요량, pi =i재 가격.

A4B. 각 기업 (i=1,2)은 자신이 판매할 가격 pi (≥ 0)를 동시에 결정한다.

A5B. 각 기업은 두 가격 (p1 , p2)에서 수요되는 수량을 생산한다.

(66)

π1 = (p1 - c) x1 = (p1 - 1) (10- p1 + p2) = p1(10- p1 + p2) – 10 + p1 - p2

1계 필요조건: ∂π1/ ∂p1 = 10 – 2p1 + p2 +1 = 0 ∴ p1 = (11 + p2 )/2 (a) 2계 충요조건: ∂2π1 / ∂p12 = - 2 < 0

(67)

π2 = (p2 - c) x2 = (p2 - 1) (12- p2 + 0.5p1) = p2(12- p2 + 0.5p1) – 12 + p2 – 0.5p1

1계 필요조건: ∂π2/ ∂p2 = 12 – 2p2 + 0.5p1 +1 = 0 ∴ p2 = (13 + 0.5p1 )/2 (b)

2계 충요조건: ∂2π2 / ∂p22 = - 2 < 0

(68)

두 최적대응

BR1: p1 = (11 + p2 )/2 (a) BR2: p2 = (13 + 0.5p1)/2 (b) 을 연립으로 풀면, Bertrand 균형은

p1B = 10, p2B = 9.

(69)

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

p_2

p_1

BR1 BR2

(70)

Bertrand 균형에서 생산량과 이윤

x1B = 9, x2B = 8,

π1 = (p1 - 1) (10- p1 + p2) = 9(9)=81

π2 = (p2 - 1) (12- p2 + 0.5p1) = 8(3+5) = 64

(71)

 1) 경쟁시장:C

 2) 과점시장

 (1) 꾸르노:N (2) 버트란드 :B

 3) 담합(독점시장):M

 (강의시간에 칠판에 설명함)

(72)
(73)

1) 네트워크 산업의 특성(교재 3장 5절)

(1) 네트워크 외부효과: 규모증가에 따라 그 생산자나 소비자가 유리해지는 성질.

예) IBM vs Apple Computers (2) positive feedback효과

이용자 증가>(생산증가로 평균비용하락)이윤증 >R&D증가>(가격하락 및) 품질향상

>이용자 증가….

일정기간 경쟁후 폭발적인 성장

예) 컴퓨터 운영체제: Windows vs Unix. [기타 OS/2 등]

(74)

 2) 공조게임

 개인용 컴퓨터 발전 초기에 개인용 컴퓨터산업에 서 Apple의 Macintosh 와 IBM의 PC(및 호환기종) 간 경쟁이 있었다. 우수한 품질과 성능(및 고가)에 도 불구하고 Mac이 쇠퇴함.

 갑과 을이 두 품목 중에 하나를 선택하는 게임을 생각해 보자.

(75)

을 갑

애플 IBM

애플 (3, 3) (0, 0) IBM (0, 0) (5, 5)

애플 균형과 IBM균형의 두 가지 NE

(76)

 (1) VCR게임(비디오 포맷)

비디오 테이프 업종에서, 1975년 5월 Sony가 베타맥스 Betamax(or Bata) 도입, 1976년 10월 JVC가

VHS(video home system) 도입하여 치열한 경쟁. VHS 승리.

 (2) 철도산업: 광괘 대 협괘

참조

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