1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

2011.9 충남대학교 경제학과

노 응원

1. 과점시장의 특성

2. 꾸르노-내쉬 균형(유한 전략인 경우) 1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 2) 기호 및 이윤의 계산

(a) π₁(s₁₃, s₂₂) = π₁(4.5, 3) 의 계산 (b) π₁(4.5, 3) 의 계산의 도해

(c)임의의 π₁(x₁, x₂) 의 계산 (d) 엑셀을 이용한 간편 계산 3) 전개형

4) 전략형

3. 꾸르노-내쉬 균형(무한 전략인 경우) 1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 2) 대략적 전개형

2) 전략형

4) 내쉬균형의 발견(계산) (1) 기업 1의 최적 대응

(a) x₂

=3일 경우 (b) x

=1일 경우

(2) 기업 2의 최적대응: 일반화

(3) 최적대응이 합치되는 전략 계산 (4) 도해

 4. 기업이 3개인 경우 꾸르노-내쉬 균형

 3인 게임의 해법 소개

 5. 버트란트 가격경쟁 모형(동질적 재화)

 논리적 추론으로 내쉬균형 도출

 6. 버트란트 가격경쟁 모형(이질적 재화)

 7. 네트워크 산업의 조정게임

 1) 과점(Oligopoly) 시장: 생산자(판매자)가 2개 이상이지만 소수인(너무 많지는 않은) 시장.

 판매자가 2개이면 복점(Duopoly)이라 함.

2) 예. 휴대폰 통신서비스, 라면, 자동차, 등등

 3) 과점업자들의 행태

(a) 담합(가격, 생산량 등을 합의함): 불법 (b) 경쟁: 수량경쟁(Cournot모형), 가격경쟁

(Bertrand모형) 등

 본 강의에서는 경쟁 행태를 다룸.

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

분석대상이 되는 시장을 X재 시장이라 하고, 분석을 단순화하기 위해 다음을 가정 한다:

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없 음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 x^d =10-p^이다. 여기서 x^d =시장수요량, p=가격.

A4. 기업은 2.25, 3 및 4.5단위 중에서 자신의 생산량(x_i)를 동시에 결정.

A5. 시장가격은 시장공급(x^s = x₁+ x₂)이 시장수요와 일치하도록 결정.

기호 x₁: s₁₁=2.25, s₁₂=3 및 s₁₃=4.5

x₂: s₂₁=2.25, s₂₂=3 및 s₂₃=4.5 각자의 이윤

π₁= π₁(s₁₃, s₂₂) = π₁(4.5, 3)

기업 1이 4.5단위, 기업2가 3단위 생산할 경우 기업 1 의 이윤

π₂= π₂(s₁₃, s₂₂) = π₂(4.5, 3)

기업 1이 4.5단위, 기업2가 3단위 생산할 경우 기업 2 의 이윤

(1) 시장공급 x^s = x₁+ x₂= 4.5+3 = 7.5

(2) 시장균형가격은 시장균형조건, 즉 x^d = x^S 다시 말해서

x^d = 10-p = 7.5(= x^s ) 10-p = 7.5

에 의해 p=2.5로 결정된다.

(3) 총수입=생산량ⅹ시장균형가격, 총비용=생산량ⅹ평 균비용. 가정 A2에 의해 평균비용은 한계비용(c=1)과 같다.

(4) π₁(4.5, 3) = pⅹ4.5 – c ⅹ4.5 = (p-c) ⅹ 4.5 = (2.5-1) ⅹ4.5 = 1.5 ⅹ 4.5 = 6.75

(5) π₂(4.5, 3) = (p-c) ⅹ 3 = (2.5-1) ⅹ3 = 1.5 ⅹ 3

= 4.5

p ¹⁰

시장수요곡선

1 평균비용 3 7.5 ¹⁰ x

p ¹⁰

시장수요곡선 x=10-p

시장공급곡선 x=7.5

2.25

1 평균비용 3 7.5 ¹⁰ x

기업2 이윤 기업 1이윤

p ¹⁰

시장수요곡선 x=10-p

시장수요곡선 x=7.5

2.25

1 평균비용 3 7.5 ¹⁰ x

기업2 이윤 기업 1이윤

(1) 시장공급 x^s = x₁+ x₂

(2) 시장균형가격은 시장균형조건, 즉 x^d = x^S 다시 말해서

x^d = 10-p = x₁+ x₂ (= x^s ) p = 10- x₁- x₂

로 결정된다.

(3) 총수입=생산량ⅹ시장균형가격, 총비용=생산량ⅹ평 균비용. 가정 A2에 의해 평균비용은 한계비용(c=1)과 같다.

(4) π₁(x₁, x₂) = px₁ – cx₁ = (p-c)x₁ = (9- x₁- x₂) x₁ (5) π₂(x₁, x₂) = px₂ – cx₂ = (p-c)x₂ = (9- x₁- x₂) x₂

Cournot-Nash payoff of player 1.xlsx

내쉬균형은 (3, 3)이다.

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정)

가정 A4만 A4’으로 변경

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없음) 자신의 이윤을

극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 x^d =10-p이다. 여기서 x^d =시장수요량, p=가격.

(A4. 기업은 2.25, 3 및 4.5단위 중에서 자신의 생산량(x_i)를 동시에 결정한 다.)

A4’. 기업은 자신의 생산량(x_i 단, 9 ≥ x_i≥0)를 동시에 결정한다.

A5. 시장가격은 시장공급(x^s = x1+ x2)이 시장수요와 일치하도록 결정된다.

A4’. 기업은 자신의 생산량(x_i 단, 9 ≥ x_i≥0)를 동시 에 결정한다.

기업 i의 전략집합은 S_i ={x_i : 0≤ x_i ≤9 }

로서, 0과 9 사이의 모든 실수들로 구성되므로 그 수 가 무한히 많다. -> 무한 전략

 각 경기자의 전략수가 무한히 많으므로 전략형으 로 표시할 수 없다!

 이 경우, 내쉬균형은 어떻게 구하는가?

최적대응 접근법으로 계산

(1) 기업 1의 최적 대응 위에서

π₁ = π₁(x₁, x₂) = px₁ – cx₁ = (9- x₁- x₂) x₁

= (9 – x₂)x₁ - x₁²

여기서 x₂는 기업 1의 입장에서 볼 때 정해진 값(상수)이다.

(a) 예컨대 x₂

=3일 경우,

π₁ = π₁(x₁, 3) = (9 – 3)x₁ - x₁² = 6x₁ - x₁²

이며 이 이윤은 1변수 x₁의 함수이다. 그 그래프는 다음과 같 다.

 따라서, x₂=3에 대한 기업 1의 최적 대응은 x₁=3이다.

 π₁ = π₁(x₁, 3) = 6x₁ - x₁² = (6 – x₁)x₁

의 그래프는 포물선으로서 x₁=0과 x₁=6에서 수평축(x₁ 축)을 지나며 좌우대칭이다.

따라서 x₁=3일 때 기업 1의 이윤 최대이다.

x₁ π

1

(b) 다음, x₂=1일 경우 최적대응은?

π₁ = π₁(x₁, 1) = (9 – 1)x₁ - x₁² = 8x₁ - x₁²= (8 - x₁)x₁

극대점은 x₁=4일 때 16이다. 따라서 최적대응=4이다.

x₂=a일 경우(a는 임의의 0≤ a ≤9 ), π₁ = π₁(x₁, a) = (9 – a)x₁ - x₁²

= (9-a-x₁)x₁

 π₁ 의 그래프는 x₁=0과 9-a-x₁= 0(즉, x₁=9-a) 일 때 수평축을 통과하는 포물선이다. 최대점은 x₁=(9-a)/2일 때.

 따라서 기업 1의 x₂=a 에 대한 최적대응은 x₁=(9-a)/2

π₁

π₁ = (9-a-x₁)x₁

^(9-a)/2

a값은 0에서 9까지 연속적으로 취할 수 있으므로, 그 각 값

에 대한 기업1의 최적대응을 연속적으로 표시하면 이 직선

을 이룸.

 위에서는 “x₂=a에 대해 최적대응”을 구하였으나, x₂가 일정한 값이라는 점을 염두에 두면 a라는 기 호를 도입할 필요없이 그냥 “x₂에 대한 기업 1의 최적대응”이라 말해도 무방하다.

 그러면 기업 1의 x₂에 대한 최적대응은 x₁=(9-x₂)/2

x₂ x₁

수평 축은 x₂ 이고, 수직 축은 x₁

x₁=b일 경우, 기업 2의 이윤

π₂ = π₂(b,x₂) = (9 – b)x₂ - x₂²

= (9-b-x₂)x₂

 π₂ 의 그래프는 x₂=0과 9-b-x₂= 0(즉, x₂=9-b) 일 때 수평축을 통과하는 포물선이다. 최대점은 x₂=(9-b)/2일 때.

 따라서 기업 2의 x₁=b 에 대한 최적대응은 x₂=(9-b)/2

 b를 도입하지 않고 바로 x₁에 대한 기업 2의 최적 대응을 구하면

x₂=(9- x₁)/2.

수직축은 x₁ 수평축은 x₂

 기업 1의 x₂에 대한 최적대응은 x₁=(9-x₂)/2 (a)

 기업 2의 x₁에 대한 최적대응은 x₂=(9-x₁)/2. (b)

 (a)와 (b)를 연립으로 풀면 x₁^c = x₂^c =3

이므로 Counot-Nash균형은 (3,3)이다.

 두 최적대응을 동일한 x₁x₂ 평면에 도시하면

-2 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0 1 2 3 4 5 6 7 8

기업2최적대응 기업1 최적대응

x₁ x₂

p ¹⁰

시장수요곡선 x=10-p

시장수요곡선 x= x₁^c + x₂^c =6

4

1 평균비용 3 6 ¹⁰ x

 (1) 기업 1의 최적대응의 도출

π₁ = π₁(x₁, x₂) = px₁ – cx₁ = (9- x₁- x₂) x₁ = (9- x₂) x₁ – x₁²

1계 필요조건: ∂π₁ / ∂x₁ = 9 – x₂ - 2x₁ = 0 ∴ x₁ = (9 – x₂)/2

2계 충요조건: ∂²π₁ / ∂x₁² = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x₁ = (9 – x₂)/2

 (2) 기업 2의 최적대응의 도출

π₂ = π₂(x₁, x₂) = px₂ – cx₂ = (9- x₁- x₂) x₂ = (9- x₁) x₂ – x₂²

1계 필요조건: ∂π₂ / ∂x₂ = 9 – x₂ - 2x₂ = 0 ∴ x₂ = (9 – x₁)/2

2계 충요조건: ∂²π₂ / ∂x₂² = - 2 < 0

따라서 기업 2의 최적대응은 x₂ = (9 – x₁)/2

1) 꾸르노(-내쉬) 과점게임 스토리(가정) 가정 A1를 A1’으로 변경

A1’. 3개의 기업(i=1,2,3)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정 비용은 없음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 x^d =10-p이다. 여기서 x^d =시장수요량, p=가격.

A4’. 기업은 자신의 생산량(x_i 단, 9 ≥ x_i≥0)를 동시에 결정.

A5. 시장가격은 시장공급(x^s = x₁+ x₂)이 시장수요와 일치하도록 결정.

n인 게임

경기자 i=1,2, …,n

경기자 i의 전략집합 S_i, i=1,2, …,n

내쉬균형

어떤 전략조합

s* = (s_1*, s_2*, …, s_n*), 단 s_i*∈ S_i, i=1,2, …,n

이 각 경기자에게 단독으로 이탈할 유인을 허용하지 않으면, 그것을 순수전략 내쉬균형이라 한다

경기자 i의 이득: u_i = u_i(s₁, s₂, …, s_n), s* = (s_1*, s_2*, …, s_n*)이 내쉬균형일 때, 경 기자 1에게 이탈유인이 없을 조건

모든 s₁∈ S₁에 대해

u₁(s_1*, s_2*, …, s_n*) ≥

u

경기자 i의 이득: u_i = u_i(s₁, s₂, …, s_n), s* = (s_1*, s_2*, …, s_n*)이 내쉬균형일 때, 경 기자 i에게 이탈유인이 없을 조건

모든 s_i∈ S_i에 대해

u₁(s_1*, …, s_i-1*, s_i*, s_i+1*, …, s_n*) ≥

u

다른 경기자들의 전략이 (s₁, …, s_i-1, s_i+1, …, s_n)으 로 주어져 있을 때, i의 이득

u_i = u_i(s₁, s₂, …, s_n) 을 극대화 하는 i의 전략

 시장공급 x^s = x₁+ x₂ + x₃

 시장수요 x^d =10-p

 시장균형 조건 x^s = x^d

 따라서 시장균형가격은

 x₁+ x₂ + x₃ ^=10-p

 즉 p=10-(x₁+ x₂ + x₃⁾

 π_i = π_i(x₁, x₂, …, x_n)=px_i-cx_i

 = [10-(x₁+ x₂ + x₃)]x_i-cx_i

 = (9 - x₁ - x₂ - x₃)x_i

 π₁ = (9 -x₂ - x₃)x₁ – x₁²

1계 필요조건: ∂π₁/ ∂x₁ = 9 – x₂

- x

2계 충요조건: ∂²π₁ / ∂x₁² = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x₁ = (9 – x₂ - x₃ )/2

 (기업 3이 추가됨에 따라

^{- x}

 π₂ = (9 -x₁ - x₃)x₂ – x₂²

1계 필요조건: ∂π₂/ ∂x₂ = 9 – x₁

- x

2계 충요조건: ∂²π₂ / ∂x₂² = - 2 < 0

따라서 기업 1의 최적대응은 x₂ = (9 – x₁ - x₃ )/2

 (기업 3이 추가됨에 따라

^{- x}

 π₃ = (9 -x₁ - x₂)x₃ – x₃²

1계 필요조건: ∂π₃/ ∂x₃ = 9 – x₁ - x₂ - 2x₃ = 0 ∴ x₃ = (9 – x₁ - x₂ )/2

2계 충요조건: ∂²π₃ / ∂x₃² = - 2 < 0

따라서 기업 3의 최적대응은 x₃ = (9 – x₁ – x₂)/2

 (기업 3이 추가됨에 따라 이 식이 ^{추가되었음)}

3기업의 최적대응식 x₁ = (9 – x₂ - x₃ )/2 x₂ = (9 – x₁ - x₃ )/2 x₃ = (9 – x₁ - x₂ )/2 을 연립으로 풀면

x₁^c = x₂^c = x₃^c =9/4 = 2.25

이므로 Counot-Nash균형은 (2.25, 2.25, 2.25) 이다.

 이 내쉬균형에서

 시장공급 = (9/4)ⅹ3 =27/4 =6.75

 시장균형가격 = 10-6.75=3.25

p ¹⁰

시장수요곡선 x=10-p

시장공급곡선 x= x₁^c + x₂^c =6

시장공급곡선 x= x₁^c + x₂^c + x₃^c =6.75

4 3.25

1 평균비용 3 6 6.75 ¹⁰ x

1) 스토리(가정)

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 동질적인 X재를 생산하여(고정비용은 없 음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X재의 시장수요는 x^d =10-p^이다. 여기서 x^d =시장수요량, p=가격.

A4B. 각 기업 (i=1,2)은 자신이 판매할 가격 p_i (≥ 0)를 동시에 결정한다.

A5B. 시장균형은 두 가격 중 낮은 것과 그 가격에서 수요되는 수량으로 결정된다.

 s_i={1,2,3,4,5}일 때 전략형(가격 1씩 증가)

s_i={1,1.5,2,2.5,3}일 때 전략형(가격 0.5씩 중가)

s_i={1, 1.1, 1.2, 1.3, 1.4}일 때 전략형(가격 0.5씩 중가)

내쉬균형은 (1, 1)과 (1.1, 1.1)의 2개이다. 가

격 호가 단위에 따라 후자는 달라진다.

 (1) 각 기업에게 최적 대응은 존재하지 않는다!

 기업 1의 이윤곡선을 보자. p₁이 p₂보다 낮은 한 1보다 높을수록,

시장을 독차지하는 기업1의 이윤은 증가한다. 그러다가 p₁=p₂때 이

윤이 반으로 줄며, p₁>p₂으로 역전되는 순간, 이윤은 0이 된다.

 따라서 이 이윤의 극대점은 없다!

(p₁ , p₂)= (1, 1)이 내쉬균형임을 증명하자. 이탈대상이 되는 전략조 합은 0≤p₁≤10 및 0≤p₂≤10인 (p₁ , p₂)점들이다.(아래 4각형) p₂

10

0

10 p₁

a) p₂<p₁인 영역(삼각형 OAB)의 점: π₁=0이다.

p2

10 B : π₁=0

0 10 A p₁

a1) p₂<p₁ 이고 p₂>1인 영역(삼각형 O’A’B)의 점: π₁=0, π₂>0. D점에서 기업 1이 E점으로 이탈 유인 보유. p₁ 인하(그러나 p₁> 1 )로 π₁>0이 됨.

p₂

B 10

: π₂>0 E D

1 O’ A’

O 1 10 A p₁

a2) p₂<p₁ 이고 p₂<1인 영역(사다리꼴 OAA’O’)의 점: π₁=0, π₂<0. D점에서 기업 2가 O’점의 p₂=1로 이탈하면, 이윤이 음에서 0으로 상승

p₂

B 10

:

1 O’ A’

D π₂<0

O 1 10 A p₁

a3) p₂<p₁ 이고 p₂=1인 영역(선분 OA’)의 점: π₁=0, π₂=0. D점에서 기업 2가 E점의 p₂>1(단, p₂<p₁ )로 이탈하면, 이윤이 0에서 양으로 상승 p₂

B 10

: E

1 O’ A’

D

O 1 10 A p₁

b1) 경계선 p₁= p₂이고 p₂>1인 영역(선분 O’B)의 점: π₁=π₂>0. 점

D에서 기업 1이 p₁을 조금 인하하면 이윤 급증하므로 이탈 유인.

p₂ B

10

: E D

1 O’ A’

O 1 10 A p₁

b2) 경계선 p₁= p₂이고 p₂<1인 영역(선분 OO’)의 점: π₁=π₂<0. 점

D에서 기업 1이 p₁을 조금 인상하면 이윤이 0으로 상승.

p₂ B

10 :

1 O’ A’

D E

O 1 10 A p₁

c) p₂>p₁인 영역(π₂=0)에 대하여도 위와 같이 이탈유인이 있음 을 증명가능.

p2

10 B π₂=0

0 10 A p₁

(p₁ , p₂)= (1, 1)에서는 어느 기업이든 이탈할 유인이 없으므로 유일한 내쉬 균형이다.

p₂ 10

B

1

0

1 10 p₁

1) 스토리(가정)

A1. 2개의 기업(i=1,2)만 존재한다(복점).

A2. 각 기업은 일정한 한계비용(c=1)으로 이질적인 X_i재를 생산하여(고정비용은 없음) 자신의 이윤을 극대화한다.

A3. X_i 재의 시장수요는

x₁^d =10- p₁ + p₂ , x₂^d =12- p₂ + 0.5p₁

여기서 x_i^d =i재 시장수요량, p_i =i재 가격.

A4B. 각 기업 (i=1,2)은 자신이 판매할 가격 p_i (≥ 0)를 동시에 결정한다.

A5B. 각 기업은 두 가격 (p₁ , p₂)에서 수요되는 수량을 생산한다.

 π₁ = (p₁ - c) x₁ = (p₁ - 1) (10- p₁ + p₂) = p₁(10- p₁ + p₂) – 10 + p₁ - p₂

1계 필요조건: ∂π₁/ ∂p₁ = 10 – 2p₁ + p₂ +1 = 0 ∴ p₁ = (11 + p₂ )/2 (a) 2계 충요조건: ∂²π₁ / ∂p₁² = - 2 < 0

 π₂ = (p₂ - c) x₂ = (p₂ - 1) (12- p₂ + 0.5p₁) = p₂(12- p₂ + 0.5p₁) – 12 + p₂ – 0.5p₁

1계 필요조건: ∂π₂/ ∂p₂ = 12 – 2p₂ + 0.5p₁ +1 = 0 ∴ p₂ = (13 + 0.5p₁ )/2 (b)

2계 충요조건: ∂²π₂ / ∂p₂² = - 2 < 0

두 최적대응

BR1: p₁ = (11 + p₂ )/2 (a) BR2: p₂ = (13 + 0.5p₁)/2 (b) 을 연립으로 풀면, Bertrand 균형은

p₁^B = 10, p₂^B = 9.

-3 -1 1 3 5 7 9 11 13 15

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13

p_2

p_1

BR1 BR2

Bertrand 균형에서 생산량과 이윤

x₁^B = 9, x₂^B = 8,

π₁ = (p₁ - 1) (10- p₁ + p₂) = 9(9)=81

π₂ = (p₂ - 1) (12- p₂ + 0.5p₁) = 8(3+5) = 64

 1) 경쟁시장:C

 2) 과점시장

 (1) 꾸르노:N (2) 버트란드 :B

 3) 담합(독점시장):M

 (강의시간에 칠판에 설명함)

1) 네트워크 산업의 특성(교재 3장 5절)

(1) 네트워크 외부효과: 규모증가에 따라 그 생산자나 소비자가 유리해지는 성질.

예) IBM vs Apple Computers (2) positive feedback효과

이용자 증가>(생산증가로 평균비용하락)이윤증 대>R&D증가>(가격하락 및) 품질향상

>이용자 증가….

일정기간 경쟁후 폭발적인 성장

예) 컴퓨터 운영체제: Windows vs Unix. [기타 OS/2 등]

 2) 공조게임

 개인용 컴퓨터 발전 초기에 개인용 컴퓨터산업에 서 Apple의 Macintosh 와 IBM의 PC(및 호환기종) 간 경쟁이 있었다. 우수한 품질과 성능(및 고가)에 도 불구하고 Mac이 쇠퇴함.

 갑과 을이 두 품목 중에 하나를 선택하는 게임을 생각해 보자.

을 갑

애플 IBM

애플 (3, 3) (0, 0) IBM (0, 0) (5, 5)

애플 균형과 IBM균형의 두 가지 NE

 (1) VCR게임(비디오 포맷)

_비디오 테이프 업종에서, 1975년 5월 Sony가 베타맥스 Betamax(or Bata) 도입, 1976년 10월 JVC가

VHS(video home system) 도입하여 치열한 경쟁. VHS 가 승리.

 (2) 철도산업: 광괘 대 협괘