제1장. 수와 연산
수와 연산 지도의 의의
• ‘수’는 수학을 공부하는 가장 기본적인 수단인 동시 에 탐구의 대상
• 추상화 과정을 거치는 과정에서 실제 상황의 구체성 을 제거한 형식화된 결과
ü 예) 자연수 3이란 ?
- 구체적 대상 자체 혹은 이름: 사과3개, 연필3자루 등 - 기호 : 3, Ⅲ, 三, 셋 등
• 성인과 달리 학생(아동)은 수 개념을 추상화된 형식 적인 대상으로 곧바로 인식하는 것이 아니라 구체적 인 대상 및 그 대상에 대한 행동을 통해 획득함.
• 학교수학에서의 수 체계 학습
ü 자연수(초등학교) à 정수(중) à 유리수(중) à 실수 (중, 고) à 복소수(고)
ü 새로운 수 개념을 학습할 때 마다 학생들은 기존에 자신이 가지고 있던 지식 체계나 인지 구조를 수정, 발전시키는 과정에서 어려움을 겪음.
à수 개념이 (역사적으로 혹은 심리적으로) 어떻게 발 생하였는지, 각 수체계의 특징은 무엇인지 등에 대한 이해가 필요함.
살펴볼 내용
1. 자연수 개념은 어떻게 발생하였는가? - Dewey와 Piaget의 견해를 중심으로
2. 정수 개념과 유리수 개념은 각각 어떻게 발생하였 는가? - 역사적인 고찰 및 교수 현상학적인 분석을 중심으로
3. 각각의 수 체계가 지닌 특징은 무엇이고, 각 수 체 계가 보다 상위의 수 체계로 확장되는 원리는 무엇 인가?
4. 우리나라 교육과정에 제시된 수와 연산 영역의 내 용은 무엇이고, 이들 내용이 교과서에 어떻게 구체 화되어 구현되어 있는가? 특히, 각 단계에서 수 개 념을 어떻게 도입하고 수의 연산을 어떻게 설명하 는가?
1. (자연)수 개념의 발생
• 수 개념 : 일종의 추상(화된) 개념 ü 추상 개념
- 구체적인 대상에서 이질적인 속성을 제거하고 동질 적인 속성을 추출함으로써 얻어진 개념
- 예) ‘희다’
à수 개념 역시 구체적인 대상으로부터 추상된 것으로 볼 수 있는가?
à그렇다면 수 개념을 이러한 ‘사물(구체적인 대상)들 의 속성’이라고 할 수 있는가?
• 이 질문에 답하기 위해 다음 그림을 보자.
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ü 수 개념(예 : 6)은 사물(즉, 돌멩이)에 내재된 ‘속성’
인가?
ü 아니면 사물과는 무관하게 인간의 ‘머릿속에서 만들 어지는 것’인가?
à 수 개념이 ‘어디에서’ 추상되는가에 대한 견해 차이 에 따른 서로 다른 산술교수법 등장.
• 사물(things)에 의한 방법(실물교수법)
- 수 개념은 구체적인 사물 자체의 속성이므로 인간의 의식이 그것을 포착하기만 하면 된다.
- 수 개념 교육을 위해서는 학생들에게 다양한 사물을 여러 가지 방법으로 보여주면 충분하다.
- 학생들은 제시된 ‘사물을 관찰’함으로써 수 개념을 획득할 수 있다.
- 사물에 대한 학생의 경험이 수동적인 관찰 정도에 그 칠 가능성이 있음.
• 기호(symbols)에 의한 방법
- 수에 대한 기초 개념은 구체적인 사물이나 사물에 대 한 경험과는 무관하게 선천적으로 타고나는 것이다.
- 이러한 기초 개념을 출발점으로 추상적인 추론 과정 (즉, 경험과 무관한 정신활동)만 있으면 수 개념을 형성할 수 있다.
- 수를 표현하는 기호와 그 기호를 다루는 규칙을 학습 함으로써 수 개념을 학습할 수 있다.
- 학생들이 ‘수 = 숫자’로 인식하여 숫자를 맹목적이고 기계적으로 다루는 학습에 치우칠 가능성이 있음.
(3보다 큰 수를 하나 써 보아라.)
• ‘사물’에 대한 ‘활동’에 의한 방법
- 수 개념이 추상화되는 원천을 ‘구체적인 사물’ 그 자 체나 ‘경험과 무관한 인간의 정신 활동’의 어느 한 가 지에 국한하여 설명하지 않음.
- 수 개념의 원천을 ‘사물에대한 인간의 능동적인 활동’
으로 간주
- 듀이(J. Dewey), 피아제(J. Piaget)
ü 듀이(J. Dewey)
- 사물을 다루는 인간의 ‘활동으로부터’ 수 개념 발생.
- ‘활동’은 그냥 생겨나는 것이 아니라 인간에게 문제 상황으로 주어지는 사물에 의해 촉발
ü 피아제(J. Piaget)
- 논리-수학적 개념은 사물의 속성을 추상함으로써가 아니라 ‘사물에 대한 인간의 행동을 추상함으로써’
획득.
- 경험적 추상화 (reflective abstraction)와 반영적 추 상화 (empirical abstraction) 구분
* 경험적 추상화
- 사물 자체에 속한 속성을 추상해내는 과정
- 예) 사물을 눈으로 보아서 색깔을 추상하는 경우
- 사물을 보는 조건(빛의 상태나 보는 사람 등)에 따라 추상 되는 지식이 변화
* 반영적 추상화
- 사물의 속성과는 무관하게 ‘사물에 대한 행동의 결과’로부 터 추상적인 개념을 만들어내는 과정
- 예) 다양한 형태로 배열된 사물을 세어 보았을 때 같은 개수 를 가진다는 개념을 추상하는 경우
- 사물의 개수로서 얻어지는 수의 개념은 주어진 조건이나 사 물의 속성에 상관없이 ‘세어보는 행동’에 관련되어 있음.
수 개념의 원천으로서의 활동 : 듀이의 견해
• 기본 가정 : 수 는 객관적인 관념이나 구체물의 성질이 아니라 사회적 삶의 필요에서 비롯된 도구적 개념
• 개요
ü 인간은 한계(limit)를 지니고 있기에 측정을 필요로 하 는 현실적 한계 상황이 존재.
- 예) 어린 아이가 막대기를 가지고 놀다가 화살을 만들 겠다는 ‘목적’이 생기면, 그 목적을 달성하기 위해 모종 의 측정활동을 시작(한정된 길이의 막대기와 활의 크 기, 필요한 화살의 개수 등에 필요에 따라)
ü 한계상황(문제) 해결을 위한 분석 수단으로 단위 도입 ü 단위를 이용한 측정 활동
ü 측정 활동의 결과(즉, 단위에 대한 전체량의 비)로서 수 개념 구성
J. Dewey(1859-1952)의 교육사상
• 실용주의, 도구주의 철학에 입각한 경험주의 교육사 상의 대표자
• 민주시민의 교육에서 <지식>은 생활문제를 해결하 는 도구로서 교육되어야 한다.
• <교육>은 삶을 영위하기 위한 필연적 조건이자, 삶 의 사회적 연속성을 유지하고 발전시켜 나가는 필수 적인 수단이다.
• <지식교육>은 무엇보다 학습자의 관심사인 현실생 활과의 관련 속에서, 문제를 해결하는 반성적 사고과 정을 통해 도구적 지식의 구성으로 이루어져야 한다.
à수 교육은 구체물을 이용한 측정 활동을 통해서 수발 생의 과정을 경험시키는 ‘구성적 활동 방법’을 통해 이루어져야 한다고 주장
à당시의 산술교육 비판 : 수 개념은 사물에 의해 마음 에 새겨지는 것이 아니라 구체적 대상을 다루는 측정 활동과 관련되므로, 구체물의 관찰을 중시하는 당시 의 실물교수법을 잘못된 생각이라 하여 비판
• 합리적인 산술교수법(구성적 활동 방법) 제안:
“막연한모호한) 전체 à 단위 à 확정된(명확한) 전체”
의 3단계로 도식화
ü 1단계 : 막연한(모호한) 전체
- 명확히 규정될 필요가 있는 한정된 크기나 양, 문제 상황 경험하는 단계
ü 2단계 : 단위
- 측정을 위한 단위 즉, 막연한 전체를 확정된 전체로 구성하는 데 필요한 부분을 파악하는 단계
ü 3단계 : 확정된(명확한) 전체
- 막연한(모호한) 전체를 단위의 반복을 통해 표현함 으로써 확정된(명확한) 전체를 나타내는 단계
• 수 개념 구성과 관련하여 심리적 측면에서 두 가지의 상반된 활동인 ‘분석’과 ‘종합’ 강조
ü 분석 : 대상을 서로 다른 몇 개의 개별적인 단위로 인 식하는 것.
ü 종합 : 단위의 유사성의 인식으로 대상을 하나의 전 체로 보는 것.
à수 개념의 형성은 측정활동에 수반되는 <분석>과
<종합>의 결과이며, 분석을 통하여 단위를 선택하고, 종합을 통하여 전체량과 단위 사이의 비의 값으로서 수개념을 구성하도록 지도해야 한다고 주장.
à수 개념 교육에서 모호한 전체를 부분으로 변별(분석) 하는 활동, 그리고 구별되어 있는 개체들을 통합된
관점에서 관계 짓는 활동(종합)의 수행을 강조.
• ‘단위’에 대한 듀이의 관점
ü 단위는 고정된 것이 아니라 상대적인 것이다.
ü 단위의 적절한 선택에 의해 막연한 전체가 보다 명확 한 전체로 확정되어 가며, 이 과정이 바로 자연수의 심리적 발생의 본질이다.
ü 고정 단위 방법 비판
ü 고정 단위 방법
- 개개의 사물이 질적으로 구별된다는 것을 전제로 ‘개 별 사물을 단위로 고정’하는 방법을 의미.
- 단위를 전체량과의 관련 없이 즉, 측정이라는 활동과 는 무관하게 사물 자체에 내재한 성질로 규정하는 관 점에 근거
- 측정해야 할 전체량이 아닌 분리되고 고정된 단위에 서 출발
- 전체를 부분으로 변별하는 분석 과정이 생략되어 있 음.
어린 학생에게 한 무더기의 쌀을 보여주고 다음과 같 은 두 종류의 질문을 던진다고 생각해 보자. 이 질문 은 제한된 양의 쌀을 여러 사람들에게 공평하게 분배 하기 위해 불가피하게 제기되는 질문이다.
(1) 이 쌀이 몇 개나 되느냐? (How many) (2) 이 쌀이 얼마나 되느냐? (How much)
ü (1)번 질문은
- 고정 단위 방법을 단적으로 드러내는 질문
- 쌀알의 개수를 세고 있을 학생을 생각해 보라.
ü (2)번 질문에서
- 쌀은 어떤 식으로든 측정을 필요로 하는 막연한 전체 의 성격을 띠며,
- 아동은 자신의 주변에 활용 가능한 도구들(그릇이나 바가지 등의 단위가 될 수 있는 물건들)이 어떤 것들 이 있는지 살펴볼 것이고,
- 자기 나름의 측정 도구(단위)를 이용하여 쌀의 양을 측정할 것이다.
- 그 결과 즉, How much에 대한 답은 몇 그릇이 될 수 도 있고, 몇 바가지가 될 수도 있으며 (2)번 질문의 대답과 같은 몇 개가 될 수도 있다.(단위의 상대성)
à 결국 Dewey에게 있어 ‘수’는
ü 측정으로부터 생기는 '도구적 지식'이고,
ü 측정결과 확정된 '전체량과 단위의 비(ratio)'이며, ü 대상으로부터 추상된 개념이 아닌, ‘대상에 대한 행
위 즉, 측정 활동’으로부터 추상된 개념이다.
