DOI : 10.5515/KJKIEES.2011.22.3.312
「본 연구는2009년도 광운대학교 교내학술연구비 지원에 의해 연구되었음.」
광운대학교 전파공학과(Department of Radio Science & Engineering, Kwangwoon University) *강남대학교 전자공학과(Department of Electronics Engineering, Kangnam University)
․논 문 번 호 : 20101004-143
․교 신 저 자 : 장정석(e-mail : [email protected])
․수정완료일자: 2010년 12월 7일
DFP Method 기반의 새로운 적응형 디지털 전치 왜곡 선형화기 알고리즘 개발
A Design of New Digital Adaptive Predistortion Linearizer Algorithm Based on DFP(Davidon-Fletcher-Powell) Method
장정석․최용규․서경환*․홍의석
Jeong-Seok Jang․Yong-Gyu Choi․Kyoung-Whoan Suh*․Ui-Seok Hong 요 약
본 논문에서는 디지털 전치 왜곡 선형화기를 위한 새로운 선형화 알고리즘을 제안하였다. 제안된 알고리즘은 DFP(Davidon-Fletcher-Powell) method를 활용하였다. 또한, 기존의 알고리즘보다 빠른 수렴 속도를 가지며, 가중
치 갱신step-size를 초기 설정값 없이 매 루틴마다 최적의 값을 갱신한다. 전력증폭기 모델링에는 전력 증폭기의
기억 효과를 모델링할 수 있는memory polynomial 모델을 사용하였고, 선형화기의 전체적인 구성은 간접 학습
구조를 따랐다. 제안된 알고리즘의 성능 검증을 위해 기존의 LMS(Least Mean-Squares), RLS(Recursive Least squa- res) 알고리즘과 비교하였다.
Abstract
In this paper, a new linearization algorithm for DPD(Digital PreDistorter) is suggested. This new algorithm uses DFP(Davidon-Fletcher-Powell) method. This algorithm is more accurate than that of the existing algorithms, and this method renew the best-fit value in every routine with out setting the initial value of step-size. In modeling power ampli- fier, the memory polynomial model which can model the memory effect of the power amplifier is used. And the overall structure of linearizer is based on an indirect learning architecture. In order to verify for performance of proposed algorithm, we compared with LMS(Least Mean-Squares), RLS(Recursive Least squares) algorithm.
Key words : Adaptive Algorithm, DPD, DFP
Ⅰ. 서 론
디지털 선형화기(DPD: Digital PreDistorter)는 전치 왜곡 기술의 원리를 사용하여 기저 대역(base-band) 에서 신호가 변조되기 전에 디지털 신호 처리 기술 을 이용하여 미리 왜곡을 주는 선형화 기술이다. 이 디지털 선형화 기술 중 적응 필터를 이용한 적응형 선형화(adaptive linearization) 기법은 전력 증폭기 출
력 변동에 스스로 적응하며, 비교적 쉽고 정확하게 사전 왜곡시킬 수 있고, 다른 선형화 방식에 비해 개 선 효과가 크다는 장점을 가지고 있다.
전치 왜곡 선형화기에 이용되는 적응 필터는 전 력증폭기의 특성 변화에 대응하여 빠르고 정확하게 전치 왜곡 함수를 생성해 내는 것이 중요하다. 이를 위해서는 전력 증폭기의 입출력을 실시간으로 비교 해야 하는데, 이러한 알고리즘들로LMS(Least Mean-
Squares), RLS(Recursive Least squares) 알고리즘 등이
있다[1]～[3]. LMS 알고리즘은 구현상의 간략함과 안정
성 등으로 인해 많이 이용되고 있으나, 수렴 속도가 매우 느리다는 치명적인 단점을 가진다. 또한, RLS 알고리즘은 수렴 속도는 빠르나, 그 구현상의 복잡 한 특징을 가진다.
본 논문에서는 기존에 널리 사용되고 있던LMS, RLS 적응 알고리즘을 비교․분석을 통해 이들의 단점 을 보완하여 뛰어난 수렴 속도와 적은 오차값을 만 족하는DFP 기반의 새로운 알고리즘을 제안하였다.
Ⅱ. DFP(Davidon-Fletcher-Powell) Method 기반의 새로운 Algorithm 설계
2-1 적응형 선형화기의 구성
그림1은 일반적인 디지털 적응 전치 왜곡 선형화 시스템의 구성도이다. 전력 증폭기의 출력을 적응 필터로 전달받아 시스템의 입력 신호와 비교한다. 이 는 적응 필터의 메커니즘 즉, 적응 알고리즘(adaptive
algorithm)에 의해 처리되어 전치 왜곡 함수를 생성
하고, 생성된 왜곡함수는 전치 왜곡 신호로 변환된 다. 결과적으로 전치 왜곡 전달함수의 계수를 실시 간으로 생성 또는 갱신하여 전력 증폭기의 환경 변 화 및 소자들의 특성 변화에 능동적으로 대처할 수 있다는 장점을 가지게 된다. 또한, 전치 왜곡 함수를 보다 빠르게 생성할 수 있는 적응 알고리즘을 사용 한다면 전력 증폭기의 출력이 외부 환경에 의하여 변화되었을 때도 빠르게 정확한 전치 왜곡 함수를 생성할 수 있다.
본 논문에서는 간접 학습 방식을 이용한 모의실
그림 1. 적응형 선형화 과정의 구성도 Fig. 1. Configuration for adaptive linearization.
그림 2. 간접 학습 방식
Fig. 2. The indirect learning architecture for the predis- torter.
험을 하였다. 간접 학습 방식은 전치 왜곡 과정을 비 교적 간단하고 효과적으로 나타낼 수 있는 방식으로 그림2와 같은 구조를 가진다. 이 구조는 주 전치 왜 곡기(A)와 그와 똑같은 특성의 부 전치 왜곡기(Copy of A)가 위와 같이 위치하고 있다. 첫 루틴에서Copy of A 전치 왜곡기는bypass되어 입력을 그대로 전력 증폭기에 인가시킨다. 비선형 특성의 전력 증 폭기의 출력 은A 전치 왜곡기로 스케일링되어 인가된다. 주 전치 왜곡기에서는 전치 왜곡된 신호
과 출력을 비교하여 그 오차의 자승이 최 소가 되도록 전치 왜곡 함수를 생성하게 된다. 이상 적인 경우 오차의 자승은‘0’이고, 이 되 어 전력 증폭기의 비선형 특성에 대한 완벽한 역함 수를 생성한다고 할 수 있다.
2-2 적응 필터 알고리즘 개요
일반적은FIR 필터나IIR 필터는 그 계수가 고정 되어 있기 때문에 시간에 따라 필터의 파라미터가 변화해야 하는 경우에는 설계자가 원하는 결과를 얻 을 수 없다. 반면, 적응 필터는 실시간으로 설계자가 원하는 필터 응답에 가장 가까운 결과가 나올 수 있 도록 필터 계수를 적응적으로 변화시킬 수 있다. 이 와 같은 적응 필터의 특징을 이용하여 DPD에서는 실시간으로 변화하는 전력 증폭기 출력에 적응하여 전치 왜곡 함수를 생성하는 방법을 많이 사용한다. 그림 3은 적응 필터의 블록도이다.
적응 필터는 입력 과 필터 계수 이 곱 해져 생성되는 필터의 출력 과 이상적인 신호
을 비교하여 오차 의 제곱을 최소화하는 새로운 계수 1을 생성하는 것이 적응 필터
그림 3. 적응 필터 블록도
Fig. 3. Adaptive filter block diagram.
의 목적이다.
적응 필터의 출력 은 식(1)과 같고,
(1)
이 때,
⋯
⋯ 이고, 오차 에 관한 식은 다음 식(2)와 같다.
(2)
계수 벡터은 시간에 따라 조정된다. 일반적 으로 널리 사용되는 Newton 방법 관점에서의 계수 갱신식은 식 (3)과 같다.
∇ (3) 여기서과∇은 각각 예측Hessian 행렬과 기 울기이며, ∇는 식 (4)와 같이 표현할 수 있다[4].
∇ (4)
그리고 Hessian 행렬 의 선택에 따라 적응
알고리즘이 다음과 같이 분류된다[5]. (i) 일 때 : LMS 알고리즘 (ⅱ)
, ≤ , : RLS 알고리즘
적응 필터를 제어하는 적응 알고리즘은 LMS 알 고리즘으로, 이는 활용할 데이터로부터gradient vec- tor를 추정하여 사용한다. LMS 알고리즘은 계산량이 적어 구현이 간단하다. 하지만 수렴 속도가 느리기
때문에 외부 환경에 의해 전력 증폭기의 출력 신호 가 변하였을 때나 시스템의 리셋이 발생할 경우, 정 확한 전치 왜곡 함수를 생성하는데 오랜 시간을 가 진다. 이에 반해RLS 알고리즘은 빠른 수렴 속도를 나타내어 전력 증폭기의 외부 환경에 빠르게 대처할 수 있지만, 다소 많은 연산량이 필요로 하게 된다. 본 논문에서는RLS 알고리즘과 비슷한 연산량으 로 더욱 빠르고 정확한 전치 왜곡 함수의 생성을 위 한 DFP 알고리즘을 적용한 DPD 알고리즘을 간접 학습 구조로 설계하였다.
2-3 DFP Method 기반의 새로운 알고리즘 설계
제안된DFP method 기반의 새로운 알고리즘은 헤
시안 근사화 기법의 하나로 다음과 같은 과정으로 갱신간 양의 확정성(positive definite)를 유지한다[6],[7].
식(5)의 뉴튼 기법의 계수 갱신식에서
∇ (5) 우변의 역 헤시안 행렬 대신 근사화 역 헤시안 행렬 을 대체하여 새로운 함수 을 다음 식(6)과 같이 정의한다.
∇ (6)
의 초기 설정은n×n의 양 부호 확정된 대칭 행 렬로 단위 행렬를 사용한다. 그 결과 최적의 계수 갱신식은 다음 식 (7)과 같이 정의가 된다.
(7) 위 식의 우변의 두 번째 항은
(8) 과 같이 정리되며, 이는 과거 탭 계수에 더해지는 증 가량이다. 갱신되는 계수 간의 비용함수의 차를 식 (9)와 같이 정의하면
∇ ∇ (9) 이는 다음 식 (10)과 같은 근사역 헤시안의 갱신 식으로 유도가 된다.
(10)
입력의 자기상관 행렬 을 로 풀어 정리하면,
(11) 과 같다.
스텝 크기 을 시간의 함수로 매번 갱신시 키기 위해 비용 함수를 ≥0인 경우의
로 은
(12) 으로 결정된다. 위 식 (12)와 일차 미분 성분인
∇ 를 식 (7)에 대입하면, 적응 필 터의 계수 갱신식은 다음 식(13)과 같이 유도할 수 있다.
(13) 위 유도된 식들을 이용하여 식(11)을 간략화 하면,
(14) 으로 정리된다.
근사 역 헤시안 행렬 의 검증을 위하여
의 양의 확정을 입증하면, 다음과 같다. 식(14)의 오 른쪽 항 분모 부분이 갱신되는 상황을 살펴보면,
(15) 와 같다. 이 부분이‘0’이 된다면, 식은 수렴하지 못 하고 발산되며, 최적값에 도달하지 못하게 된다. 때 문에 양의 확정이 정의되어야 한다.
, 를 새롭게 정의하고 식을 정 리하면,
(16) 이고, 또한, 에서 이 비용함수의 최소화된 지 점을 기존에 정의하였기 때문에,
표 1. 제안된 DFP 알고리즘 Table 1. Proposed DFP algorithm.
Initialization : , Input vector :
Compute for n=0, 1, 2, … (i) (ii)
(iii)
(iv)
(v)
∇∇ (17) 과 같이 정의할 수 있다.
식 (16)의 오른쪽 항은 코시․스와르쯔 부등식 (Cauchy-Schwarz inequality)에 의해non-negative 성질 을 가지고 있으며, 오직a와b가 비례할 때, 첫 항이 사라진다. 즉 (는 임의의 상수)인 경우에 양의 확정성이 성립되지 않는다. 하지만 이 식의 경 우 스텝 크기에 의해 다음 식(18)과 같은 관계 를 갖는다.
∇∇≠ (18) 따라서, 0이 아닌 모든에서 식(19)를 만족한다.
(19)
표1은 본 논문에서 제안한DFP method 기반 알 고리즘의 계수 갱신식을 요약한 결과이다.
Ⅲ. 모의실험
본 논문에서는 신호원과 전력 증폭기의 출력 데 이터를 얻기 위해RF 시스템 설계 tool인 ADS(Ad- vanced Design System) ver. 2008을 사용하였다. ADS 에서 제공하는WCDMA 1FA 신호원과 그 신호원에
대한Class AB급의LDMOS 전력 증폭기 출력 데이
터를 그림4와 같이Matlab으로 연동하여 제안된 알 고리즘의 특성을 실험하였다. 신호원은 모델링 전력 증폭기 입력으로 사용되고, 전력 증폭기의 출력은 전력 증폭기 모델링에 활용한다.
그림 4. 실험 과정
Fig. 4. Process of the whole simulation.
3-1 전력 증폭기 모델
전치 왜곡 선형화기의 동작에 대한 성능을 판단 하기 위해서는 실제 전력 증폭기에 전치 왜곡 함수 를 거친 입력 신호를 인가하여 그 결과를 분석해야 한다. 따라서 실제 전력 증폭기의 왜곡 특성을 수학 적으로 표현하여 최대한 그 특성을 나타내는 모델링 이 필요하다.
본 논문에서는 전력 증폭기 모델링 기법으로 메 모리 효과를 고려한 memory polynomial 방식을 5차 다항식 차수와3차 메모리 깊이를 주어 모델링을 하 였다[6].
그림5는 모델링된 전력 증폭기와 측정된 전력 증 폭기의 특성을 비교한 것이다. 그림에서 분석할 수 있듯이 전력 증폭기 모델이 전력 증폭기의 비선형 특성과 거의 일치함을 확인할 수 있었다. 그림 5(c) 는 모델링된 전력 증폭기의 스펙트럼 특성으로 ±5 MHz의 주파수 옵셋 지점에서 약 —42 dBc의ACLR (Adjacent Channel Leakage Ratio) 특성을 나타낸다.
3-2 적응 알고리즘 모의실험
적응 알고리즘의 수렴 속도는 시간에 따른 MSE (Mean Square Error)의 적응 속도로 판단이 가능하다. 그림6은 이상적인 신호와 전치 왜곡기의 출력 사이 의MSE를 샘플순서에 따라 나타낸 것으로 이를 학 습 곡선이라 한다.
그림6에서LMS 적응 필터는 총36,000개의 샘플
가운데 5,000개의 샘플 동안 적응 기간을 거쳐, 약
(a) 모델링된 전력 증폭기의 AM-to-AM 특성 (a) AM-to-AM characteristic of modeled PA
(b) 모델링된 전력 증폭기의 AM-to-PM 특성 (b) AM-to-PM characteristic of modeled PA
(c) 스펙트럼 특성 (c) Spectrum characteristic 그림 5. 전력 증폭기의 모델링 특성
Fig. 5. The characteristics of modeling for power am- plifier.
그림 6. 적응 알고리즘 별 학습 곡선 비교
Fig. 6. Experimental learning curves of adaptive algori- thm.
—25 dB의 수렴값을 나타내었다. 또한, RLS와 제안 된DFP 알고리즘은 적응 기간 없이 거의 곧 바로 수 렴값을 나타내었으며, 각 —60 dB, —70 dB의 수렴 값을 가졌다.
모의실험 결과, 제안된 알고리즘은 LMS 알고리 즘보다 빠른 수렴 속도를 가지며, 약45 dB의 더 정 확한 추정을 하며, RLS 알고리즘보다10 dB 정도 더 정확한 결과를 추정하는 것을 알 수 있다.
그림7은 전력 증폭기의AM-to-AM, AM-to-PM 특 성과 제안된 알고리즘을 통해 형성된 역함수 특성 이다.
그림8은 전치 왜곡기의 적응 필터에 제안한 알고 리즘을 적용하였을 때, 출력에서 나타난 선형화된 결과에 대한 비교이다. 또한, 표2는 각 알고리즘별 선형화된 스펙트럼의ACLR 결과를 정리한 것이다. 기존에 많이 사용되고 있는 LMS 알고리즘의 경우
±5 MHz offset 지점에서 약19 dB의 개선량을 갖는 반면, RLS 알고리즘의 경우 약30 dB의 개선량을 가
표 2. 각 알고리즘별 선형화 결과
Table 2. Comparison of linearization of each algori- thm.
구 분 하측파대 상측파대 개선량
PA only —42 dBc —42.5 dBc (reference) LMS —61 dBc —63 dBc 약 19 dB RLS —74 dBc —70 dBc 약 30 dB Proposed —75 dBc —73 dBc 약 32 dB (±5 MHz offset)
(a) AM-to-AM 특성 (a) AM-to-AM characteristic
(b) AM-to-PM 특성 (b) AM-to-PM characteristic 그림 7. 제안된 알고리즘의 역함수
Fig. 7. Inverse function of proposed algorithm.
그림 8. 제안된 알고리즘을 이용한 선형화 결과 Fig. 8. Linearization results using proposed algorithm.
진다. 제안된 알고리즘의 경우 약32 dB의 개선량을 나타내었다. RLS와 비교하였을 경우 그 개선량이 거 의 차이가 없었으나, 이는DFP 알고리즘과RLS 알 고리즘의 연산량과 구현상의 난이도 등을 고려하였 을 경우, 제안된 알고리즘이 더 효율적이다.
Ⅳ. 결 론
본 논문에서는 DPD 시스템에서 보다 효과적인 알고리즘을 제안하였다. 이를 위해 기존에 개발되었 던 알고리즘들을 비교 분석하였으며, 이를 토대로
DFP method를 적용한 새로운DFP 알고리즘을 개발
하였다.
제안된DFP 알고리즘은 의사-뉴튼법의 헤시안 행 렬에 대한DFP 기법을 도용하는 방식으로, 근사 역 헤시안 갱신에 대한 양의 확정을 보장하였으며, 식 의 발산을 줄이고 기존 알고리즘들보다 빠른 수렴 속도를 가진다. 연산량에 관해서는 기존RLS 알고리 즘과 동일한 연산량을 가지며, 성능과 시스템 복잡 도의trade-off 관계 효율을 개선하였다. 또한, 이 알 고리즘을 적용한 디지털 전치 왜곡 선형화기는 외부 환경 변화에 빠르고 정확하게 대처할 수 있는 우수 한 성능을 선형화기임을 증명하였다.
제안된 알고리즘은 기존의 알고리즘들의 단점을 보완할 수 있고, 향후 실제FPGA 구현을 통한 성능 검증이 이루어져야 하겠다.
참 고 문 헌
[1] W. Jian, C. Yu, J. Wang, J. Yu, and L. Wang,
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[2] X. Yu, "Stability enhancement of digital predistor- tion through iterative methods to solve system of equations", Microwave Conf., APMC 2008, pp. 1-4, Dec. 2008.
[3] C. Eun, E. J. Powers, "A new volterra predistorter based on the indirect learning architecture", IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, no. 1, pp. 223- 227, Jan. 1997.
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[6] W. Sun, Y. X. Yuan, Optimization Theory and Methods(Nonlinear Programming), Springer Verlag, 2007.
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[8] C. Eun, E. J. Powers, "A new volterra predistorter based on the indirect learning architecture", IEEE Trans. Signal Processing, vol. 45, no. 1, pp. 223- 227, Jan. 1997.
장 정 석
2005년 2월: 강남대학교 전자공학 과(공학사)
2006년 3월～2008년 2월: 광운대학 교 전파공학과(공학석사) 2008년 3월～2011년 2월: 광운대학
교 전파공학과(공학박사) [주 관심분야] 마이크로파 회로, RF 모뎀 및 무선전송 시스템 등
최 용 규
1999년～현재: 한국공항공사 R&D 사업센터 선임연구원
2009년 8월: 광운대학교 정보통신 대학원(공학석사)
2009년 9월～현재: 광운대학교 전 파공학과 박사과정
2004년: Doppler VHF Omni-direc- tion Range Development Manager
2007년: Distance Measuring Equipment Development Ma- nager
2008년: Instrument Landing System Development Manager 2010년: Tactical Air Navigation Development Manager [주 관심분야] Aviation Navigation Aid System Integration,
Radiation Pattern Analysis for Instrument Landing System
서 경 환
1983년 2월: 경북대학교 전자공학 과(공학사)
1988년 2월: 한국과학기술원 전기 및 전자공학과(공학석사) 1991년 8월: 한국과학기술원 전기
및 전자공학과(공학박사) 1983년 1월～1998년 10월: 삼성전 자 정보통신본부 수석연구원
1999년 3월～현재: 강남대학교 전자공학과 교수 [주 관심분야] 마이크로파 회로, RF 모뎀 및 무선전송 시
스템, 전파자원 및 간섭 분석 등
홍 의 석
1982년 11월: 독일 Aachen 공대 전 자공학과(공학박사)
2002년 5월～2003년 12월: 한국 ITS 학회 초대회장
2001년 1월～2001년 12월: 한국통신 학회 회장
1973년 3월～현재: 광운대학교 전자 공학부 교수
[주 관심분야] 초고주파 능동회로 설계, 안테나
