작동기수가 부족한 자율무인잠수정 그룹의 편대제어기법 Formation Control of a Group of Underactuated Autonomous
Underwater Vehicles
이 계 홍*, 전 봉 환, 이 판 묵, 임 용 곤 (Ji-Hong Li, Bong-Huan Jun, Pan-Mook Lee, and Yong-Kon Lim)
Abstract : This paper presents an asymptotic formation control scheme for a group of underactuated autonomous underwater vehicles (AUVs) where only three control inputs - surge force, yaw moment and pitch moment are available for each vehicle’s six degree of freedom (DOF) underwater motion. Usually, the dynamics agents applied in most of the formation algorithms presented so far have been modeled as particle systems, which is a simple double-integrator system. Therefore, these algorithms cannot be directly applicable to the practical systems, especially to the underwater vehicles whose dynamics are highly nonlinear. Moreover, the vehicles considered in this paper are underactuated. The formation control is derived using general potential function method, and the corresponding potential function consists of two parts: interactions between vehicles and virtual-leader following. Proposed formation scheme guarantees asymptotic local stability of closed-loop system. Numerical simulations are carried out to illustrate the effectiveness of proposed formation scheme.
Keywords : autonomous underwater vehicles (AUVs), formation control, multiple vehicles systems, underactuated systems
I. 서론
최근 들어 심해생태계 조사, 해저 광물자원 탐사, 및 해저 지도 제작 등 해저탐사가 활발히 진행됨에 따라 여러 대의 자율무인잠수정(AUV)을 이용한 해저탐사기법에 대한 연구 가 본격화 되고 있다[1-3]. 자율무인잠수정 그룹을 이용한 해 저탐사는 가격대 효율 면에서 큰 장점을 보유하고 있으며 또 한 운영이 간편하여 점차적으로 기존의 단일 무인잠수정 (ROV, Remotely Operated Vehicle) 또는 자율무인잠수정을 이용 한 해저탐사를 대체하고 있는 추세다. 그러나 이러한 새로운 기술이 본격적으로 실전에 응용되기 까지는 아직도 많은 연 구와 경험이 필요하다. 이러한 연구중의 하나가 곧 잠수정 그룹의 안정하고 효율적인 편대제어(formation control) 기법이 되겠다.
지난 20년간 다중 에이전트 시스템에 대한 편대제어 또는 협력제어에 대한 연구가 꾸준히 진행되어왔다. 1987년에 Reynolds[4]는 새떼, 짐승무리, 그리고 물고기떼에 대한 분산 행위 모델을 제시하였다. 이 모델은 떼 가운데로 모이기 (flocking center), 충돌회피(collision avoidance), 및 속도조화 (velocity matching) 세 가지 귀납적인 규칙으로 요약할 수 있 다. 또한 이 모델에서 개개의 다이내믹 에이전트들은 일정한 입자시스템(particle system) 즉 이중적분기(double-integrator)와 같은 간단한 선형화 시스템으로 모델링 되었다. 이러한 에이 전트 모델은 이후의 많은 연구들에서 그대로 적용되었다[3,5- 7]. 이러한 연구 외에도, 기타 연구들에서 비선형과 같이 좀
더 복잡한 에이전트 모델들이 적용되었지만[8-10] 이러한 모 델들은 모두 작동기수가 충분한(fully actuated) 시스템들이다.
본 논문에서는 작동기수가 부족한 어뢰모양의 외형을 갖 는 자율무인잠수정 그룹의 편대제어문제를 다룬다. 이러한 잠수정들은 전진방향의 추진력, 요 모멘트, 및 피치 모멘트 등 세 개의 제어입력만으로 잠수정의 6자유도 수중운동을 제어한다. 실제로, 작동기수가 부족한 시스템에 대한 추적문 제는 비선형제어이론 영역에서 또 하나의 어려운 도전으로 자리잡고 있으며 현재까지 많은 연구들이 이 문제를 다루고 있다[11-15]. 그러나 이러한 연구들에서 제안한 추적기법은 모두 시스템의 특정된 동특성과 긴밀히 연관되어 있으며 아 울러 일반적인 시스템에 직접 적용하기 어렵다. 또한 상기 연구들에서 제어입력들은 모두 서로 독립되어있다고 가정하 고 있다.
본 논문에서 다루는 비행체모양의 자율무인잠수정의 경우, 세 개의 제어입력 즉, 전진방향 추진력, 요 모멘트, 및 피치 모멘트는 엄격히 말해서 서로 독립하지 않는다. 예로 요 모 멘트의 경우 그 크기는 잠수정의 전진방향의 속도의 제곱에 비례하며[16] 속도가 0일 때 잠수정의 방향타가 어떤 위치에 있든 간에 요 모멘트는 항상 0값을 갖는다. 상기 세 제어입 력들이 서로 유사하게 독립되기 위해서는 잠수정의 전진속 도가 일정한 조건을 만족해야 한다, 즉 잠수정이 일정한 크 기의 속도이상을 유지해야 한다. 이와 같은 고민에서 출발하 여 본 논문에서는 먼저 잠수정의 전진방향 속도가 일정한 제 약조건을 만족한다고 가정하고 잠수정 그룹의 편대제어기법 을 제시한다. 거꾸로, 제시한 편대제어기법은 실제로 상기와 같은 제약조건이 일정한 초기조건하에서 항상 만족하도록 보장할 수 있다.
기존에 알려진 편대제어기법들의 경우, 공통적인 특징이 곧 일정한 잠재함수(potential function)을 이용하여 그룹의 편 대운동을 유도한다. 잠재함수는 초기에 로봇공학에서 모바일 로봇의 경로계획에 이용되었었으며[17,18] 최근 들어 멀티 에
* 책임저자(Corresponding Author)
논문접수 : 2008. 9. 30., 채택확정 : 2008. 10. 30.
이계홍, 전봉환, 이판묵 : 한국해양연구원 해양시스템안전연구 소 해양시스템연구부(ghlee,bhjeon,[email protected])
임용곤 : 한국해양연구원 해양시스템안전연구소(yklim@moeri.
re.kr)
※ 본 연구는 국토해양부의 지원으로 수행중인 “차세대 심해용 무인잠수정 개발 (2 단계)” 사업과 한국해양연구원의 기본연 구과제인 “수중 탐사선단의 스마트 운용기술 개발” 사업의 지원으로 연구되었음.
이전트 시스템의 편대제어기법에 널리 적용되어왔다[5-7]. 앞 에서 언급한 Reynolds의 세 가지 규칙, 즉 떼 가운데로 모이 기, 충돌회피, 및 속도조화의 행위는 모두 특정된 잠재함수를 이용하여 구현 가능하다. [5]에서는 한번 미분 가능한 함수를 잠재함수로 적용하였고 이는 [6]에서 p( ≥p 2)번 미분 가능 한 함수로 대체되었으며 [7]의 경우에는 특정된 매끄러운 (smooth) 함수가 적용되었다. 본 논문에서는 일반적인 매끄러 운 잠재함수가 고려되었으며 기존의 연구결과[5-7]와 달리 입 자시스템으로 모델링 되던 개개의 에이전트는 작동기수가 부족한 비선형 시스템으로 모델링 된다. 아울러 잠수정 그룹 의 속도조화 외에도 잠수정의 자세(orientation)조화도 같이 고 려되어야 한다. 제안한 잠수정 그룹의 편대제어기법은 전체 폐루프시스템의 점진적 국부 안정성(local stability)과 그룹의 속도 및 자세조화를 보장한다.
II. 자율무인잠수정의 운동모델
앞에서 언급한 바와 같이 본 논문에서는 어뢰모양의 외형 을 갖는 n대의 자율무인잠수정 그룹을 고려한다. 이러한 잠 수정들은 하나의 전진방향 추진력과 하나의 요 모멘트로 잠 수정의 수평면에서의 3자유도 운동을 제어한다 (Fig. 1을 참 조. 본 논문에서는 토론의 편리를 위하여 잠수정의 6자유도 운동 대신에 수평면에서의 3자유도 운동만 고려한다). 기존 에 나와있는 REMUS AUVs[19], HUGIN AUVs[20] 등 대부분 의 상업용 자율무인잠수정들은 모두 상기와 같은 외형구조 를 갖는다. 이러한 잠수정들의 수평면에서의 운동모델은 다 음과 같이 표시할 수 있다[21-23].
cos sin 0
sin cos 0 ,
0 0 1
( , , ) 0
( , , ) 0 0 , ( , , ) 0
i i i i
i i i i
i i
i ui i i i ui
ui
i vi i i i
ri
i ri i i i ri
x u
y v
r
u f u v r b
v f u v r
r f u v r b
ψ ψ
ψ ψ
ψ
τ τ
−
=
= +
(1)
여기서, (xi,yi) 및 ψi,i=1,,n는 i번째 잠수정의 지구 고정좌표계에서 위치 및 자세를 뜻하고; u ,i vi 및 ri는 잠 수정의 동체좌표계에서 전후, 좌우 및 요 방향에서의 속도성 분을 뜻하고; fui, fvi, fri∈C1는 잠수정의 전후, 좌우 및 요 방향에서 비선형 동특성으로 수중 damping, 부가질량을 포함한 관성성분 및 중력, 부력성분들을 포함하며; 전진방향 추진력 τui와 요 모멘트 τri는 유일한 두 개의 제어입력으 로 0이 아닌 상수게인 bui 및 bri를 갖는다.
상기와 같은 비행체모양의 자율무인잠수정의 경우, 다음과 같은 식이 항상 성립한다, 즉 τri∝u δi2 ri[21,16]. 여기서 δri
는 잠수정의 방향타 각도로 Fig. 1을 참조한다. 이러한 관점에 서 볼 때, τri 와 τui는 엄격하게 독립되어있지 않다. 이는 나중에 제어기 설계에 큰 제약을 주게 된다. 이 두 제어입력 을 유사하게 독립된다고 간주하기 위하여, 본 논문에서는 잠 수정의 동특성에 대하여 다음과 같은 가정을 설정한다.
가정 1. 주어진 잠수정의 개개의 동특성은 다음과 같은 조
건을 만족한다.
C1. ui≥ umin >0, 여기서 umin은 설계변수다.
C2. ui 및 ri 가 바운드될 경우 vi도 바운드되며 또한
| max
|vi ≤v 이 항상 성립된다. 여기서 vmax는 주어진 상수값이다.
Remark 1. 무인잠수정의 경우 일반적으로 수중에서 저항 력은 잠수정의 속도의 제곱에 비례한다 [16,21]. 아울러 잠수 정의 실제응용에 있어서 추진기 최대추력 및 방향타의 크기 가 정해지면 잠수정의 최대속도, 즉 umax, vmax 및 rmax값들 이 모두 결정된다. 이러한 값들은 잠수정을 이용한 간단한 수조시험을 통하여 쉽게 구해낼 수 있다. 아울러 가정1에서 C2는 실제적으로 쉽게 만족할 수 있는 조건이다.
어뢰모양의 잠수정의 경우 좌우방향에서의 추진력이 없기 때문에 이와 같은 비선형시스템에 대한 제어기 설계에서 가 장 어려운 점은 어떻게 잠수정의 좌우방향 동측성을 적절하 게 처리할 수 있느냐가 되겠다. 이와 같은 문제를 해결하고 자 본 논문에서는 잠수정의 동체좌표계에서 다음과 같은 극 좌표변환을 도입한다 [22,23] (Fig. 1을 참조).
2 2, ,
li i i li i ai
u = u +v ψ =ψ ψ+ (2)
여기서, ψai =arctan(vi/ui) 는 극각(polar angle)으로 또한 일명 미끄럼 각(sideslip angle)이라고도 한다 [21]. ui>0이기 때문에 ψai는 도메인 (−0.5π,0.5π)에서 정의되는 매끈한 (smooth) 함수가 된다.
(2)식의 첫 번째 수식을 미분하고 또한 관계식 u =i uli ψai
cos 과 v ui= lisinψai에 근거하여 다음과 같은 수식을 얻 을 수 있다.
cos sin .
li i ai i ai
u =u ψ +v ψ (3)
또한 극좌표 uli 와 ψli 을 이용하여 잠수정의 운동특성 (kinematics)은 다음과 같이 표시 가능하다.
cos , sin .
i li li i li li
x u = ψ y u = ψ (4)
그림 1. 수평면에서 자율무인잠수정의 좌표계.
Fig. 1. General framework for an AUV in the horizontal plane.
토론의 편리를 위하여 지금부터 극좌표 uli와 ψli을 i번째 잠수정의 속도 및 자세로 부른다.
(3)식과 (4)으로부터 잠수정의 운동모델 (1)은 다음과 같이 표시할 수 있다.
0 cos 0
0 sin 0 ,
0 1
cos sin cos 0
0 .
i li
li
i li
i
li ai
li ui ai vi ai ui ai ui
i ri ri ri
x u
y r
u f f b
r f b
ψ ψ
ψ ψ
ψ ψ ψ τ
τ
= +
= + +
(5)
앞에서 언급하다시피 ψai∈(−0.5π,0.5π), 아울러 (5)으로 부터 알 수 있듯이 잠수정의 좌우방향 동특성은 전진방향 추 진력 τui을 이용하여 적절하게 처리할 수 있게 된다.
III. 그룹의 편대규칙
기존의 많은 편대제어기법과 마찬가지로 본 논문에서는 잠재함수를 이용하여 그룹의 편대를 구축한다. 본 논문에서 는 다음과 같은 잠재함수를 적용한다.
p ,
V =Vα+Vβ (6)
여기서
1
(|| ||, , ),
n n
p j i
i j i
Vα f q q a bα α
= ≠
=∑∑ − (7)
,
1 1 (|| ||, , ),
n m
p v k i
i k
Vβ f q q a bβ β
= =
=∑∑ − (8)
그리고 q =i (xi,yi)는 i번째 잠수정의 위치를 뜻하고 qv,k )
, (xv,k yv,k
= 는 k번째 가상리더[22,23]의 좌표이며, m은 잠수 정 그룹의 편대 구축에 필요한 가상리더 개수고 a ,α bα
0 , β >
β b
a 는 설계변수고 여기서 a <α bα 및 a <β bβ이며,
||
|| ⋅ 은 Euclidean norm을 뜻한다.
(7)식과 (8)식에서 fp(ζ,a,b), ζ∈[ +∞0, ), 0<a <b, 는 다음과 같은 조건들을 만족한다.
C3. ζ∈[ +∞0, )에서 매끈한 함수로 ζ∈[ a0, )의 경우 단조롭게(monotonically) 감소하고 ζ∈ a[ +∞, )에서는 단조롭게 증가한다.
C4. ζ =a에서 전역적 최소점(global minimum)을 가지며 b
≥
ζ 에서 ∂fp/∂ζ =0.
만약 fp(ζ,a,b)에서 b<+∞의 경우 finite cut-off [6]를 갖 는다고 한다. 이러한 함수특징은 그룹의 편대제어에서 중요 한 역할을 수행하게 된다.
Remark 2. 많은 함수들이 C3와 C4를 만족한다. 간단한 예 로 다음과 같은 함수가 있다.
( , , ) ( )2 1l ( / ) ,
p a
f ζ a b =c∫ζ τ−a + ρ τ b dτ (9) 여기서 c>0은 상수이며 l=0,1,이고 ρ(⋅)는 매끈한 범퍼함수로 다음과 같다.
그림 2. (9)식으로 표시되는 매끄러운 잠재함수.
Fig. 2. Plot of smooth function for (9).
(a) Straight line movement.
(b) Triangular movement.
그림 3. 다양한 잠수정그룹의 대형을 위한 다양한 가상 리더 배치.
Fig. 3. Different arrangements of virtual leaders lead to different geometry of group.
∈
−
−
−
∈
=
otherwise h h
h ,
0
] 1 , [ ], ) 1 /(
) ( exp[
) , 0 [ ,
1 )
( ξ 2 ξ 2 ξ
ξ ξ
ρ (10)
여기서, h∈(0,1)은 설계변수다.
Fig. 2는 (9)식으로 표시되는 매끈한 함수 fp(ζ,a,b)의 한 예를 보여준다.
(7)식에서 보다시피 Vα는 잠수정들 사이 상호작용을 보여 준다. 잠수정 사이 거리가 a보다 작으면 서로 배척하고 a보 다 크고 b보다 작을 경우엔 서로 흡인하며 b보다 크면 서로 영향을 주지 않는다. (7)식이 실제로 적용 가능하기 위하여 하기와 같은 가정이 필요하다.
가정 2. 임의의 i번째 잠수정에 대하여 그룹내의 다른 모 든 잠수정들의 위치, 속도 등 정보가 이용 가능하다.
Remark 3. 실제로 기존의 여러 대의 잠수정으로 구성된 선단의 운영은 주로 계층(hierarchical)구조를 갖는다. 이 경우 임의의 잠수정은 수상 관제선과의 교신을 통하여 다른 잠수 정들의 정보를 알 수 있다. 만약 계층구조가 아닌 분산 (heterarchical) 구조의 경우 문제가 비교적 복잡하게 되지만 잠수정 그룹에 대한 재정의를 통하여 가정 2를 항상 만족할 수 있다.
일반적으로 멀티 에이전트 그룹의 운항은 가상리더를 통 하여 수행된다[5-7,22,23]. (8)식으로 표시되는 잠재함수 Vβ은 가상리더와 잠수정들 사이 상호작용을 나타낸다. 실제로 주 어진 잠수정 그룹에 대하여 선정한 가상리더 개수 및 그에 상응한 개개의 기준운동궤적(reference path)에 따라 다양한 형 태의 잠수정 편대를 구축할 수 있다. 본 논문에서는 토론의 편리를 위하여 가상리더의 기준운동에 대하여 다음과 같은 가정을 설정한다.
가정 3. 모든 가상리더는 동일한 속도 ulv 및 자세 ψlv로 움직인다.
앞에서 언급하다시피 주어진 잠수정 그룹에 대하여 적절 한 수의 가상리더 및 이들의 상이한 배치에 따라 서로 다른 잠수정 편대를 구축할 수 있다. Fig. 3은 이와 같은 몇 개의 간단한 경우를 보여준다.
IV. 편대제어기 설계
극좌표로 표시되는 잠수정의 운동모델 (5)식은 널리 알려 진 2차 비선형 완전궤환형(strict-feedback)의 구조를 갖는다.
아울러 본 논문에서는 일반적인 백스태핑기법[24]을 적용하 여 잠수정 그룹의 편대제어기를 설계한다.
1단계. 앞에서 언급하다시피 본 논문에서는 (6)식으로 표 시되는 잠재함수를 이용하여 잠수정 그룹의 편대를 구축하 며 동시에 잠수정들의 속도 및 자세조화를 보장하고자 한다.
아울러 본 단계에서는 하기와 같은 Lyapunov 함수를 고려한 다.
2 2
1 p p n1( u lei lei),
i
V γ V γ u γ ψψ
=
= +∑ + (11)
여기서, γp,γu,γψ >0 는 가중변수고 ulei =ulv−uli 및
li lv
lei ψ ψ
ψ = − .
(11)식을 미분하고 (6)식을 대입하면
1 1
,
1 ,
, ,
,
, ,
(|| ||, , ) (|| ||)
( ) ( )
|| || || ||
(|| ||, , ) (|| ||)
( ) (
|| || || ||
n n
p j i
pi j i j i
j i j i
j i j i
j i j i
m p v k i
k v k i
v k i v k i
v k i
v k i v k i
f q q a b
V q q
x x y y
x x y y
q q q q
f q q a b
q q
x x y y
x x
q q q q
α α
β β
γ
= ≠
=
∂ −
= ∂ −
− −
− + −
− −
∂ −
+ ∂ −
− −
− +
− −
∑ ∑
∑
,
1
)
( ) ( ) .
v k i
n
u lei lv li lei lv li
i
y y
u u u ψ
γ γ ψ ψ ψ
=
−
+∑ − + −
(12)
수식전개의 편리를 위하여 다음과 같이 수식 간소화를 적용 한다. 즉, ∂fp(ζ,a,b)=∂fp(ζ,a,b)/∂ζ,ξji =ξj−ξi ,
y x
i q
k v
vki=ξ , −ξ,ξ = , ,
ξ . 가상리더들이 모두 동일한 속
도 및 자세, 즉 ulv 및 ψlv를 갖기 때문에 (가정 3에 근거하 여) xv,k = ulvcosψlv와 yv,k =ulvsinψlv이 성립된다. (5) 식을 (12)식에 대입하고 전개하면
) cos
||( ) ||
,
||,
1 (||
1 j lv lv
n i
n i
j ji
ji ji
p
p x u
q b x a q f
V γ α α − ψ
∂
= ∑ ∑
= ≠
) sin
||( ) ||
cos
||(
|| ji j lv lv
i ji lv lv ji
ji y u
q x y q u
x ψ − + − ψ
+
−
+ ( sin )
||
|| ji lv lv i
ji u y
q
y ψ
) cos
||( ) ||
,
||, (||
1 lv lv i
m
k vki
vki vki
p u x
q b x a q
f −
∂ +∑
= β β ψ
−
+ ( sin )
||
|| vkivki ulv lv yi q
y ψ
[ ]
∑= − + −
+ n
i uulei ulv uli lei lv li
1γ ( ) γψψ (ψ ψ )
) cos
||( ) ||
,
||, (||
1 2 lv lv i
n i
n i
j ji
ji ji p
p u x
q b x a q
f −
∂
= ∑ ∑
= ≠ ψ
γ α α
−
+ ( sin )
||
|| ji lv lv i
ji u y
q
y ψ
) cos
||( ) ||
,
||, (||
1 lv lv i
m
k vki
vki vki
p u x
q b x a q
f −
∂ +∑
= β β ψ
−
+ ( sin )
||
|| vkivki ulv lv yi q
y ψ
[ ]
∑= − + −
+ n
i uulei ulv uli lei lv li
1γ ( ) γψψ (ψ ψ )
[ yi lv lv n
i xi(ulvcosψlv ulicosψli) (u sinψ
1Λ − +Λ
=∑
=ulisinψli)+γuulei(ulv−uli)+γψψlei(ψlv−ψli)]
−
[ lei
n
i xi lv yi li u
∑= Λ +Λ
= 1( cosψ sinψ )
sin 2 sin 2
cos 2
2ulv yi ψlv ψli xi ψlv ψli ψlei
Λ + −Λ +
+
) cos sin
cos
( lv ui ai vi ai ui ai ui
lei
uu u f ψ f ψ b ψ τ
γ − − −
+
]
) ( lv ai ri ri
lei − − +e
+γψψ ψ ψ α , (13)
여기서, eri = αri−ri이고 αri는 가상 제어입력 ri를 위한 안정화 함수(stabilizing function) [24]이며
1
2 (|| ||, , )
|| ||
(|| ||, , ) ,
|| ||
n ji
xi p p ji
j i ji
m vki
p vki
k vki
f q a b x q f q a b x
q
α α
β β
γ
≠
=
Λ = ∂
+ ∂
∑
∑
(14)
그리고 Λyi 는 Λxi와 동일한 형태를 가지며 다만 x 대신 에 y만 교체한다.
(14)식에 근거하여 1단계에서 제어법칙은 다음과 같이 선 정한다.
( [ )
1 1
sec cos sin
cos sin ,
ui ui ai lv ui ai vi ai
u u lei xi li yi li
b u f f
k u
τ ψ ψ ψ
γ ψ ψ
−
−
= − −
+ + Λ + Λ
(15)
1 cos
2 sin( / 2)
sin 2 / 2
lv li
ri lv ai lei lv yi
lv li lei
xi
lei
k u
ψ ψ ψ ψ
α ψ ψ γ ψ
ψ ψ ψ
ψ
− +
= − + + Λ +
−Λ
(16)
여기서 ku,kψ >0은 설계변수다.
Remark 4. fui, fvi, fri∈C1, 아울러 (15)식으로부터 쉽게 알 수 있듯이 τui∈C1이 성립되며 더 나아가서 u 및 v이 미분 가능함을 알 수 있다. 결과적으로 ψai∈C1, 따라서 (16)식으로부터 알 수 있듯이 αri∈C1.
(15)식 및 (16)식을 (13)식에 대입하면
( 2 2 )
1 1 n .
u lei lei ri lei
i
V k u kψψ γ ψψe
=
=∑ − − +
(17)
2단계: 이는 마지막 단계로서 제어법칙 τri을 유도한다.
다음과 같은 Lyapunov 함수를 고려한다.
2 1 2
1
1 .
2
n ri i
V V e
=
= + ∑ (18)
(18)식을 미분하고 (17)식 및 eri = αri−ri을 대입하면
2 2
2 1
( ) .
n
u lei lei ri lei ri ri ri ri ri
i
V k u kψψ γ ψψe e α f bτ
=
=∑− − + + − −
(19)
(19)식에 근거하여 다음과 같이 제어법칙을 선정한다.
( )
1 ,
ri b k eri r ri ri fri ψ lei
τ = − +α − +γ ψ (20)
여기서, kr>0은 설계변수다. (20)식을 (19)식에 대입하면
( 2 2 2)
2 n1 u lei lei r ri .
i
V k u kψψ k e
=
=∑ − − −
(21)
정리: n대의 작동기수가 부족한 자율무인잠수정으로 구성 된 그룹의 편대를 고려한다. 개개의 잠수정 운동모델은 (1)식 과 같고 가정 1~3을 만족한다. 만약 (15)식 및 (20)식과 같이 편대제어법칙을 선정할 경우 잠수정 그룹의 편대는 점근적 으로 지역적 최소점(local minimum)으로 수렴하게 되며 동시 에 개개의 잠수정은 점근적으로 동일한 속도 및 자세로 움직 인다.
Remark 5. 지금까지 편대제어기 설계는 ui≥ umin >0이 란 조건하에서 진행되어왔다 (가정1에서 C1). 실제로 (15)식 을 (3)식에 대입하면
1 1( cos sin ).
lei u u lei u xi li yi li
u = −γ−k u −γ− Λ ψ + Λ ψ (22) (9)식에 근거하여 fp(ζ,a,b)≤max{fp(0,a,b), fp(b−a,a,b)}
및 |∂fp(ζ,a,b)| ≤max |{ ∂fp(0, , ) |,a b ∂f b a a bp( − , , )} 이 항상
성립함을 알 수 있으며 따라서 항상 바운드됨을 알 수 있다.
아울러 (14)식에 근거하여 Λxi 및 Λyi도 항상 바운드됨을 알 수 있다. 이로부터 (22)식을 이용하여 다음과 같은 관계식 을 얻을 수 있다.
1 1 1
| ( ) | | 0 ( cos
sin ) | | (0)
u uk t t u uk
lei u xi li
yi li lei
u t e e
d u
γ γ τγ ψ
ψ τ
− −
− −
≤ Λ
+Λ +
∫
( kt) lei kt
u
lei t
k u t k
u u u
u u u u u
e u k e
u d e
e
1 1
1 1
| ) 0 (
| 1
|]
) 0 (
| [
max
0 1 max
−
−
−
−
−
−
−
−
+ Λ −
=
+ Λ
≤ ∫
γ γ
τ γ
γ γ τ
max | lei(0) | max u1k tu,
u u
u e
k k
γ−
−
Λ Λ
= + −
(23)
여기서 maxi |Λxicosψli+Λyisinψli|≤Λmax이며 Λmax값 은 주어진 잠재함수 fp(ζ,a,b)로부터 사전에 구할 수 있 다. 설계변수 ku를 적절히 선정하여 |ulei(0)|≥Λmax/ku을 만족할 경우 (23)식의 오른쪽 수식은 항상 시간에 따라 감소 함을 알 수 있으며 결과적으로 다음과 같은 조건을 항상 만 족함을 알 수 있다.
|u tlei( ) | |≤ulei(0) | . (24)
만약 가상리더의 속도가 ulv ≥ u2min+vmax2 +U 을 만족할 경우 주어진 초기조건 |ulei(0)|≤U 하에서 ui(t)≥umin 이 항상 만족함을 알 수 있다. 즉, 주어진 적절한 초기조건하에 서 설계변수들을 적절히 선정하므로 가정 ui≥ umin >0을
