Attaching Coordinate Frames

Dongjun Lee

Rigid Body Rotation and SO(3)

Dongjun Lee (이동준)

Department of Mechanical & Aerospace Engineering Seoul National University

Dongjun Lee

Attaching Coordinate Frames

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Coordinate Frames: Examples

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Joint Space Q and Workspace W

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Configuration Space C

posture C

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Rigid Body Transformation

{B(0)}

{B(t)}

{A}

p(0)

p(t)=g(p(0))

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Free Vector

{B(0)}

{B(t)}

{A}

p

g(p)

r g(q)

s q g(r)

g(s)

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Rigid Transformation: Definition

{B(0)} {B(t)}

{A}

p

g(p) g(q) q

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Rotation Matrix R

{A}

x_b

y_b z_b

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Three Roles of R

q(0) {A}

q(t)

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Properties of R

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Properties of R

v w x

Rv Rw x

v x w R(v x w)=Rv x Rw

R R

R

body‐frame inertial‐frame

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Properties of R

x_b y_b

x_a y_a

R

body‐frame

inertial‐frame w^

R (Rw)^

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Composition of Rotations

{A} {A}

y

z

x {C}

xa

y_a z_a

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Composition of Rotations

x_b y_b

x_a y_a

R1

frame {B}

frame {A}

R2^b

R1 R2^a

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Special Orthogonal Group SO(3)

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Exponential of w

{A}

w q(0) {B(t)}

q(t)

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Angular Velocity and so(3)

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Rodrigues’ Formula

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Exponential Coordinates for SO(3)

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Logarithm Map for SO(3)

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Equivalent Axis Representation

{A}

w {B(t)}

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Exponential Coordinates in Different Frames

x_b y_b

x_a y_a

R_ab R_ab

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Geometric Meaning of exp(w_at) and exp(w_bt)

{A}

{B1} w t

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Rotational Velocity

{A}

g(t) w

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Parameterization of SO(3): Euler Angle

{A}

x_b

y_b z_b

x

y z

Dongjun Lee

Parameterization of SO(3): Euler Angle

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Parameterization of SO(3): Quaternions

Dongjun Lee

Parameterization of SO(3): Quaternions