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[12차시 길이, 시간, 들이, 무게의 의미와 기초]

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[12차시 길이, 시간, 들이, 무게의 의미와 기초]

1. 측정과 측정값

1) 측정을 교육해야 하는 이유

초등학교에서 다루는 측정 지도 영역에는 길이, 시간과 시각, 들이, 무게, 넓이, 부피 등이 있고 측정 영역을 교육할 때는 학생들이 측정할만한 속성이 무엇인지 구분하고 그 속성을 측정하기 위해 사용하는 단위와 과정을 알게 해주는 것이 핵심입니다.

이러한 측정을 학생들에게 교육해야하는 이유는 다음과 같은 4가지로 요약됩니다.

첫째, 측정은 일상생활에 여러 가지로 적용되어 수학의 유용성을 이해하는데 도움이 됩니다.

둘째, 측정은 다른 수학 내용을 학습하는데 도움이 될 수 있습니다.

셋째, 측정은 학교 교육과정의 다른 분야와 관련될 수 있습니다.

넷째, 측정을 통해 학생들이 학습에 능동적으로 참여하게 됩니다(이수진, 김민경, 2017).

[참고문헌]

이수진, 김민경(2017). 초등학생들의 다양한 어림 전략을 통한 길이 어림 분석.

초등수학교육, 20(1), 1-18.

2) 측정과 측정값

① 측정과 측정값의 정의

측정이란 대상의 속성을 나타내는 특정 양을 수치화하기 위해 기준량을 정한 다음, 주어진 양이 기준량의 몇 배가 되는지 알아보는 방법을 의미합니다(Reys et al., 2009). 이때 기준이 되는 양을 단위라 하고, 측정에 의해 얻은 양을 그 단위에 따른 측정값이라고 합니다(NCTM, 2000).

② 측정값의 이해

측정값은 연속량을 측정하게 되면 자연수가 되지 않습니다.

측정값은 단위 미만의 나머지 부분을 가지는데 적절한 값의 처리를 해야합니다. 측정값을 나타내기 위해서는 올림, 반올림, 버림을 해야합니다.

측정값은 측정 도구로 얻게 되는데 이는 참값이 아니라 근삿값입니다(Reys et al., 2009).

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③ 측정값의 표현 (1) 단명수와 복명수

측정값은 단명수와 복명수로 나타낼 수 있습니다. 단명수란 한가지의 단위로 나타내는 것이고, 복명수는 두 가지 이상의 단위로 나타내는 방법입니다. 예를 들어 150cm는 1m 50cm와 같은데 150cm는 단명수로 나타낸 것이고 1m 50cm 복명수로 나타낸 것입니다.

(2) 단위의 수와 단위의 크기

120mm에서 단위의 수는 120이고, 단위의 크기는 mm입니다.

여기에는 단위의 수가 크면 단위의 크기는 작고, 단위 수가 작으면 단위의 크기가 큽니다. 120mm는 12cm와 같은데 단위의 수 120은 12보다 크지만 단위의 크기는 mm가 cm보다 작습니다. 단위의 수와 단위의 크기는 서로 역관계입니다(교육부, 2015).

교육부 (2015). 수학 3-1 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

2. 어림 측정

1) 어림 측정의 의미

측정 영역에서 일컫는 어림이란 측정도구 없이 머릿속이나 시각적인 정보를 이용하여 측정하거나 비교하는 과정을 의미합니다(이수진, 김민경, 2017).

Reys 외(2012)는 측정 도구를 사용하지 않고 측정값에 도달하는 것, 측정하지 않고 두양을 비교하는 정신적인 과정을 어림으로 정의하였습니다. 어림 측정은 속성 및 대상의 이름이 붙어 있으나 측정값은 모르는 경우, 측정값은 알고 있고 대상이 선택되는 경우의 2가지 형태로 나누어지며 두 가지 측정 활동은 모두 실생활 속에서 다양하게 이루어지고 있습니다(김잔디, 2009, 재인용).

2) 어림 측정의 전략

Rey 외(2011) 또한 좋은 어림의 전략으로 3가지를 제시하였습니다.

첫째, 참조물(references)과 비교하기 전략으로 이는 벤치마크 전략과 유사하게 기준과 비교하여 어림하는 것입니다. 기준 척도는 개인적인 참조물로 자신이 길이를 알고 있는 뼘, 손가락 길이, 한 걸음의 길이, 팔의 길이 등이 될 수 있습니다. 교실의 폭을 잴 때 보폭을 이용하여 그 길이를 어림하는 것이 여기에 해당됩니다.

둘째, 의미있게 묶기(chunking) 또는 덩어리 짓기 전략으로 전체를 적절한 크기로 나누어 알아보는 것입니다. 의미있게 묶기 전략에서는 전체를

부분으로 나누고 각각의 부분을 어림합니다. 예를 들어 학교에서 학원을 지나

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도서관까지 가는 거리를 어림하여 학교에서 도서관까지의 거리를 어림하는 것입니다.

셋째는 단위화 하기(unitizing) 또는 단순화 하기 전략으로 전체를 같은 단위로 나누어서 크기를 어림하는 것으로 한 부분으로 어림하고 전체에 몇 부분이 있는가를 알아보는 것입니다. 예를 들어 타일이 깔린 욕실 바닥의 가로의 길이를 구하고자 할 때, 우선 타일 하나의 가로길이를 어림하고, 욕실 바닥에 타일이 몇 장 깔려 있는지를 이용하여 전체바닥의 가로의 길이를 어림하는 전략입니다(교육부, 2015).

[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-1 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

김잔디 (2007). 어림 측정 전략 지도가 초등학교 2학년 학생들의 측정 감각과 측정 능력에 미치는 영향. 한국교원대학교 교육대학원 석사학위 논문.

이수진, 김민경(2017). 초등학생들의 다양한 어림 전략을 통한 길이 어림 분석.

초등수학교육, 20(1), 1-18.

3. 길이와 시간 1) 길이

길이와 거리를 정확히 알고 구분하실 수 있을까요? 다음 그림을 보고

□안에 길이와 거리를 알맞게 써 넣고 각각 어떤 의미를 가지고 있는지 써 보시기 바랍니다.

길이 : 한 물체나 사물의 한 부분에서 어떤 부분까지의 공간적 간격 거리 : 두 물체나 장소 사이의 공간적 간격

2) 길이의 지도 방안

① 길이의 단원 학습 계열

1학년 때는 길이에 대한 길고 짧음을 배웠고, 2학년 1학기 4단원에서는 1cm(센티미터)와 1m(미터)의 이해와 양감 기르기, 1m가 100cm임을 알고 길이를 단명수와 복명수로 나타내기를 학습하였습니다. 또한 길이는 외연량이므로 길이의 합과 차를 계산하는 원리를 배웠습니다. 3학년 1학기에는 1cm가 10mm임을 알고 길이를 단명수와 복명수로 나타내기,

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1km가 1000m임을 알고 길이를 단명수와 복명수로 나타내기 그리고 길이를 어림하고 재어보기를 학습하게 됩니다. 단원의 학습 계열을 보면 다음과 같습니다(교육부, 2015, p.250).

② 길이의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항(교육부, 2015)

첫 번째로 실제로 재거나 어림하는 측정 활동을 통해서 길이에 대한 양감을 기르게 해야 합니다. 측정영역은 실제로 측정해보는 활동이 필요합니다. 그러므로 mm를 도입할 때는 발의 크기나 1cm보다 작은 측정값이 나오는 물건을 재어보는 활동을 하게 합니다. 그리고 km는 학교 주변의 건물이나 특정 장소까지의 거리를 어림전략을 활용하여 어림하게 하고 실제 재어보거나 지도에서 확인하는 방법으로 양감을 길러주어야 합니다.

두 번째로 길이의 단위를 지도할 때 단위 사이의 관계를 이해하는데 중점을 두고 지나친 단위 환산은 다루지 않습니다. cm와 mm, km와 m가 어떤 관계가 있는지 왜 그런 단위가 도입되었는지 지도하고 단위 환산을 하는 계산문제는 다루지 않도록 하고 평가에도 이를 반영해야 합니다.

세 번째로 길이를 측정할 때 측정 도구의 눈금이 일치하는 않는 측정값을

‘약’으로 표시하게 합니다. 측정값은 참값이 아닙니다. 학생들이 mm와 km의 정확한 값을 구하기는 쉽지 않습니다. 그런 경우에는 ‘약’으로 표시하여 길이나 거리를 나타내도록 지도합니다.

③ 여기서 잠깐

25cm와 230mm중에 더 긴 길이는 25cm이다. ( ○ , × )

25cm는 250mm이므로 더 긴 길이는 25cm이므로 ○입니다. 단위의 수와

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단위의 크기 사이에는 역관계가 있으므로 단순히 수가 크다고 더 긴 길이가 아니고 단위를 보고 길이를 비교하도록 지도합니다.

[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-1 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

2. 시간

1) 시간과 시각의 특성

시각과 시간의 측정영역은 다른 측정영역과는 다른 특성이 있습니다.

길이나 무게는 측정할 때 측정도구인 자나 저울에 있는 숫자를 그대로 읽으면 되지만 시각을 측정하는 시계를 읽을 때에는 시계 표면의 숫자 그대로 읽어서는 측정값을 바르게 나타낼 수 없습니다.

더불어 길이, 무게, 들이 등의 측정값은 우리에게 친숙한 십진체계를

따르지만, 시각과 시간 영역에서는 12진법, 60진법 심지어 24진법의 원리가 응용되어 있습니다. 또한 자, 저울, 비커에는 모두 눈금 0이 있지만

아날로그시계에는 0이 존재하지 않고, 디지털시계에서의 0은 저울과 자의 0과는 다른 의미를 지닙니다. 이는 아직 수 감각이 미흡한 초등학교 저학년에게는 매우 어려운 개념과 원리입니다.

(Monroe, Orme, & Erickson, 2002, 남지현, 장혜원, 2016에서 재인용).

[참고문헌]

남지현, 장혜원 (2016). 시각과 시간에 대한 초등학생의 수학적 이해 분석.

한국초등수학학회지, 20(3), 479-498.

2) 시간의 지도방안

① 시간의 단원 학습 계열

1학년 2학기 5단원 시계보기와 규칙찾기에서 시계를 보고 ‘몇 시’와 ‘몇 시 30분’ 읽기를 학습하였고, 2학년 2학기 4단원 시각과 시간에서 시각을 분 단위로 읽고 1시간은 60분임을 알기, 시간을 ‘시간’, ‘분’으로 표현하고 1분, 1시간, 1주일, 1개월, 1년 사이의 관계를 이해하는 학습을

하였습니다. 3학년 1학기에는 1분은 60초 임을 알고 시각을 초 단위로 읽기, 시간의 덧셈과 뺄셈하기를 학습하게 됩니다. 단원의 학습 계열을 보면 다음과 같습니다(교육부, 2015, p.250).

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② 시간의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항(교육부, 2015)

첫 번째로 시각과 시간의 의미는 구체적인 상황 속에서 구별하여 사용할 수 있는 정도로 이해하게 합니다. 시각과 시간을 구별하지 못하는 학생이 많으므로 수업이 시작하는 시각, 수업을 하는 시간 등 구체적인 상황을 제시하여 이해를 돕도록 해야 합니다.

두 번째로 시간의 단위를 지도할 때 단위 사이의 관계를 이해하는데 중점을 두고 지나친 단위 환산은 다루지 않습니다. 시간은 10진법이 아닌 60진법이므로 학생들이 시간의 계산을 더 어려워 합니다. 시간의 계산은 먼저 받아올림과 받아내림이 없는 계산을 십진법과 같은 방법으로 계산하는 것부터 지도하고 받아올림과 받아내림이 쉬운 계산을 순차적으로 지도합니다.

세 번째로 km에 대한 양감 형성을 위해 실제 1km의 거리를 재어보고 걸어보는 활동을 다른 교과나 창의적 체험활동과 통합하여 지도하고 거리를 어림하고 재어 보는 활동은 사회 교과의 우리 고장의 그림지도와 연계하여 학교와 주요 건물 사이의 거리를 활용하도록 합니다.

③ 여기서 잠깐

1시부터 3시까지는 4시간이다.

1시부터 3시까지 시간을 더하면 1+3=4라고 생각할 수도 있습니다.

그러나 시간을 구하기 위해서는 (시각)-(시각)을 해야 합니다. 그러므로 3-1=2(시간)입니다. 그러므로 ×입니다. 시간과 시간의 덧셈과 뺄셈은 구체적인 상황을 제시하며 계산하게 하여 원리를 이해하도록 지도합니다.

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[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-1 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

4. 들이와 무게 1) 들이

① 들이의 의미(교육부, 2015)

들이는 물체가 차지하는 크기(두산동아, 2003)로 제시하기도 하지만 통이나 그릇 따위의 안에 넣을수 있는 물건 부피의 최댓값(국립국어원, 2018)을 의미하기도 합니다. 들이는 L(리터), mL((한국표준과학연구원, 2007).

② 들이의 지도 방법(김지혜, 2013)

학생들에게 여러 가지 그릇의 들이를 직접비교와 간접 비교함으로써 들이의 측정 단위에 대한 필요성을 인식하게 합니다. 그릇의 들이를 표준 단위를 이용하여 재어 보는 방법으로 들이를 지도하는 방법은 다음과 같습니다(Reys et al., 2009).

첫째, 직접 비교 단계에서 똑같은 모양과 크기의 그릇일 경우에는 들이를 직접 비교할 수 있습니다. 그러나 그릇이 서로 다른 경우에는 한쪽 그릇에 가득 채웠다가 다른 그릇에 옮겨 담아 넘치는지 부족한지를 보고 들이를 비교할 수 있게 합니다.

둘째, 간접 비교 단계에서는 그릇을 옮길 수 없는 경우나 두 그릇의 모양이나 크기가 다른 경우에 비교하는 방법입니다. 이때에는 두 그릇에 물을 가득 채우고 각각을 모양과 크기가 같은 그릇에 담아 얼마나 되는가를 보고 비교합니다.

셋째, 임의 단위에 의한 측정 단계에서는 두 그릇의 들이를 컵을 이용하여 비교하는 방법입니다. 컵을 가득 채우지 못해 컵의 수를 정수로 나타내지 못할 경우에는 ‘좀 더 된다’, ‘약 몇 컵 정도이다’와 같은 어림수로

표현하도록 합니다.

넷째, 표준 단위에 의한 측정 단계에서는 들이를 측정하는 표준 단위로 1L를 지도하고, 그릇의 들이를 어림한 후 1L를 확인하는 과정을 통하여 1L에 대한 양감을 기르도록 지도합니다. 또한, 들이의 단위 사이의 관계는 1L=1000mL라는 것을 알도록 하고 들이의 합과 차를 구하도록

지도합니다.

수학 교실에서 들이를 측정할 때에는 실생활에서 많이 접할 수 있는 물건의 들이를 측정해 보는 경험을 제공하는 것이 바람직합니다. 측정 시 과학 실험 도구인 비커, 눈금실린더, 스포이트 등을 사용할 수 있으며

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측정하는 양에 따라 적절한 측정 도구를 선택하여 측정하고 이때 적절한 단위도 선택해 보도록 합니다(교육부, 2015).

[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-2 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

김지혜 (2013). 들이와 무게에 대한 한국과 일본의 초등수학교과서 비교 연구.

서울교육대학교 교육대학원 석사학위논문.

Reys, R. E., Lindquist, M. M., Lambdin, D.V., & Smith, N. L. (2009). Helping children learn mathematics (9th ed.) . Hoboken, NJ: John Wiley & Sons.

박성선・김민경・방정숙・권점례 공역 (2012). 초등교사를 위한 수학과 교수법.

서울: 경문사.

2) 들이의 지도방안

① 들이의 단원 학습 계열

1학년 1학기 4단원 비교하기에서 들이를 비교하는 학습을 하였습니다.

2학년과 3학년 1학기에서 길이와 시간의 양감 기르기와 단명수와 복명수로 나타내는 방법에 대하여 공부하였습니다. 3학년 2학기 5단원 들이와 무게에서 들이에 대한 개념을 처음이자 마지막으로 학습하게 됩니다. 학생들이 들이에 대한 정확히 이해하도록 지도해야 합니다.

들이와 관계된 단원의 학습 계열은 다음과 같습니다(교육부, 2015, p.250).

② 들이의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항(교육부, 2015)

첫 번째로 실제로 재거나 어림하는 측정 활동을 통하여 들이에 대한 양감을 기르게 한다. 들이는 실생활과 직접적으로 연관되어 있으므로 직접 측정하는 활동과 어림하는 활동이 이루어지도록 지도합니다.

두 번째로 들이의 단위를 지도할 때 단위 사이의 관계를 이해하는데

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중점을 두고 지나친 단위 환산은 다루지 않습니다. L(리터)와 mL(밀리리터)의 관계를 정확히 알게하고 양에 따라 적절한 단위를 사용하도록 지도하며 단위 환산을 목적으로 하는 평가는 지양하도록 합니다.

세 번째로 길이를 측정할 때 측정 도구의 눈금이 일치하는 않는 측정값을

‘약’으로 표시하게 합니다. 들이는 눈금을 보고 측정하는 값입니다.

그러므로 정확한 측정값은 구하기는 어려우므로 측정값을 참값에 가깝게 구하고 ‘약’이라는 표현을 써서 나타내도록 지도합니다.

③ 여기서 잠깐

크기가 큰 그릇이 작은 그릇보다 무조건 물을 더 많이 담을 수 있다.

들이는 그릇이나 통안에 넣을 수 있는 공간의 최대값입니다. 부피는 차지하고 있는 공간의 크기입니다. 그러므로 그릇의 크기가 크다고 하여 항상 물을 더 많이 담을 수 있는 것이 아니라 그릇 안에 담을 수 있는 공간이 커야 물을 많이 담을 수 있습니다. 그러므로 정답은 ×입니다.

[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-2 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

3) 무게

① 무게의 의미(교육부, 2015)

무게는 길이나 부피와 같은 연속량이지만 눈으로 가늠할 수 없는 양으로 무거운 정도를 나타내는 양입니다.

② 무게의 특성(이유미, 2010)

무게는 사물의 질량과 이에 적용되는 중력에 의해 결정됩니다. 질량은 중력에 영향을 받지 않는데 반해 무게는 중력에 의해 결정되기 때문에 지구에서의 10kg의 물체가 다른 행성에서는 같은 무게를 가지지 않습니다. 그래서 달에서의 중력은 지구에서의 중력의

에 해당되므로 무게는 지구보다 더 가볍게 되나 질량은 변함이 없습니다.

무게는 길이나 부피와 같이 시각적인 접근이 불가능하여 쉽게 판정할 수가 없습니다. 무게를 직접 비교하는 과정에서 불편성을 체득하고 간접 비교의 방법을 사용하여 임의 단위를 사용하여 그들 무게의 몇 개 분인가를 실험합니다. 즉, 무게는 외연량 중에서 가장 가법성이 강한 양입니다.

무게는 길이, 넓이, 부피와 같은 시각적인 양이 아니기 때문에 이들

(10)

단위로부터 유도될 수 없으나, 물체의 부피에 비례하기 때문에 무게는 부피와는 밀접한 관련이 있습니다. 무게의 단위는 kg(킬로그램), g(그램) 외에 큰 무게를 재기 위하여 t(톤)을 도입합니다.

③ 무게의 측정 어림 전략(교육부, 2015)

참조물과 비교하기 전략 : 1kg, 500g, 1g 등의 기본적인 기준으로 이보다 무겁고 가벼운 정도를 통해 무게를 어림하는 것

의미 있게 묶기 전략 : 자신이 알고 있는 무게를 몇 개의 단위로 구분하여 전체의 양을 어림하는 것으로 예를 들어 1kg과 500g으로 덩어리를 지어 어림한 후이를 합해 물체의 무게를 1kg 500g으로 어림하는 것

단위화하기 전략 : 단위량을 어림한 다음 그 단위가 전체에 몇 번 들어가는지를 파악하여 어림하는 것으로 예를 들어 1kg이 몇 개 정도 있는 무게인지를 어림한 후 전체 무게가 얼마인지 파악하는 것

[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-2 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

이유미 (2010). 초등학교 3, 4학년 학생들의 측정 감각에 관한 실태 분석 –들이와 무게를 중심으로-. 한국교원대학교 교육대학원 석사학위논문.

4) 무게의 지도방안

① 무게의 단원 학습 계열

1학년 1학기 4단원 비교하기에서 무게를 비교하는 학습을 하였습니다.

2학년과 3학년 1학기에서 길이와 시간의 양감 기르기와 단명수와 복명수로 나타내는 방법에 대하여 공부하였습니다. 3학년 2학기 5단원 들이와 무게에서 무게에 대한 개념을 들이와 마찬가지로 처음이자 마지막으로 학습하게 됩니다. 학생들이 무게에 대한 정확히 이해하도록 지도하고 무게에 대한 양감을 기르도록 합니다. 무게와 관계된 단원의 학습 계열은 다음과 같습니다(교육부, 2015, p.250).

(11)

② 무게의 교수ㆍ학습 방법 및 유의 사항(교육부, 2015)

첫 번째로 실제로 재거나 어림하는 측정 활동을 통하여 무게에 대한 양감을 기르게 합니다. 무게는 실제 생활속에서 몸무게나 물건의 무게와 밀접한 관계가 있으므로 어림하는 활동을 통한 어림값과 측정도구를 이용하여 얻은 측정값과 비교하는 활동을 통해 양감을 기르도록 합니다.

두 번째로 무게의 단위를 지도할 때 단위 사이의 관계를 이해하는데 중점을 두고 지나친 단위 환산은 다루지 않습니다. 무게도 g, kg, t의 관계를 정확히 알게하도록 지도합니다. 그리고 무게 단위 사이의 관계에 대해 평가할 때 1g과 1t 사이의 단위 환산은 다루지 않습니다.

세 번째로 표준 단위에 대한 양감 형성을 위해 실제 1kg, 1g의 양을 알아보고, 1t의 양이 어느 정도일지 예상해 보도록 지도합니다. 또한 무게와 관련된 내용은 과학 교과와 연계하여 지도하도록 합니다.

네 번째로 해당 단원 지도시 교실에 들이와 무게를 측정해 볼 수 있는 도구를 비치하여 학생들이 수시로 들이와 무게를 재어 보거나 수학 익힘에 들이나 무게를 재야 하는 활동을 해결할 수 있도록 지도합니다.

③ 여기서 잠깐

1000g은 0.9kg보다 가볍다.

kg이 g보다 단위의 크기는 더 큽니다. 그렇지만 1000g은 1kg과 같습니다.

1000g은 1kg이고 1kg은 0.9kg보다 무겁습니다. 그러므로 정답은 ×입니다.

무게를 비교할 때는 단위의 크기를 같게 해야 무게를 정확히 비교할 있습니다. 무게를 나타내는 단위는 물건의 무게에 따라 적절하게 사용해야 합니다. 몸무게나 과일 상자와 같이 무게가 있는 경우는 kg으로 연필, 클립, 동전과 같이 가벼운 물건의 무게는 g으로 나타내게 되면 무게의 양감을 적절하게 알 수 있습니다.

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[참고문헌]

교육부 (2015). 수학 3-2 교사용 지도서. 서울: 천재교육.

참조

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