기 계 역 학

(1)

1998. 4. 28.

1.[9점] 다음 물음에 각각 하나의 문장으로 답하시오.

(a) 기계공학(mechanical engineering)이란 무엇인가?

(b) 역학적 진동(mechanical vibration)이란 물리적으 로 어떤 현상인가?

(c) 자유도(degree of freedom)의 정의는 무엇인가?

2.[6점] 다음 그림과 같이, 길이가 L이며 질량을 무시 할 수 있고 굽힘 강성이 EI인 외팔보에 질량 m인 물 체가 달려 있고, 그 물체에 강성 k인 스프링 두 개가 연결되어 있다. 물체의 수평방향 운동방정식을 유도 하고, 등가스프링상수 및 고유진동수를 구하시오.

3.[20점] 다음 그림에 보인 1자유도 계에 대하여 가진 력이 F(t) = m f0 sinωt 로 주어질때

(a) 운동방정식을 유도하시오.

(b) 파라미터들을 m, c, k 대신 비감쇠 고유진동수 ωn, 감쇠비 ζ로 대체하여 표준형 운동방정식을 표현하시 오.

(c) 주어진 조화가진에 따른 정상상태 응답을 구하시 오.

(d) 가진력이 없고 (즉 f0 = 0), 초기조건이 x(0) = x0, x˙(0) = 0 일때의 자유진동응답을 구하시오.

4.[8점] 선반(lathe)은 강재 테이블 위에 설치된 전기 모터로 모델링할 수 있다. 테이블과 모터의 질량은 50 kg 이다. 선반의 회전 부분은 센터로부터 0.1 m 의 거리에 10 kg의 불균형 질량을 가진다. 시스템의 감쇠비는 ζ= 0.06 으로 측정되었고, 고유진동수는 7.5 Hz이다.

(a) 고유진동수 ωn, 감쇠비 ζ, 불균형 질량 m0, 전체 질량 m, 회전 진동수 ω인 경우에 회전불균형으로 인 한 진동의 정상상태 변위의 진폭을 유도하시오.

(b) 모터의 회전수가 1800 rpm 일 때, 주어진 수치들 을 사용하여 모터의 정상상태 변위의 진폭을 계산하 시오.

5.[7점] 외부 진동의 영향에 민감한 정밀계측기를 설 치함에 있어서, 진동 차단을 위하여 다음 두가지 방안 을 구상하였다. 이중 어느 방안이 진동차단에 유리하 며, 그 이유는 무엇인지 설명하시오. 단, 고무줄의 강 성은 0에 가깝고, 철봉의 강성은 무한히 크며, 이 둘 의 감쇠는 0에 가깝다고 가정.

---

정 답

---

2. keq = 2k + 3EI

L³ , ω =

2k + 3EI L³ m 3. (a) m ¨x + c ˙x + k x = m f0 cosωt (b) ¨x + 2 ζ ωn ˙x + ωn2

x = f0 sinωt (d) xh(t) = ^x⁰

1- ζ² e^{- ζω}ⁿ^tsin

(

^ω^d^{t + tan}^{- 1} ^{1- ζ}^ζ ²

)

4. (b) X = 21.3 mm

기 계 역 학

1998년 중간시험(50점) 문제

L EI

m k k

x

k

c x(t)

m F(t)

고 무 줄

철 봉 천정

계측기 계측기

x(t)

y(t) = Y sinωt

(2)

1998. 6. 16.

1.[9점] 자동차 또는 모터사이클에 사용되는 충격흡수 기(shock absorber)는 스프링과 댐퍼로 이루어진 기계 요소이다.

(a) 한 충격흡수기에 질량 20 kg의 추를 매달고 측정 한 정적 처짐이 19.6 mm 라면, 이 충격흡수기의 강성 k는? (중력가속도는 9.8 m/s²)

(b) 충격흡수기에 질량 20 kg의 추를 매달고 초기변 위를 가한후 관찰한 변위응답은 부족감쇠응답이었다.

응답 변위의 극대값이 처음에 45 mm, 그 다음에 15 mm로 측정되었다. 이 충격흡수기의 감쇠비 ζ는?

(c) 위의 실험에서 변위응답의 처음 극대값 그다음 극 대값 사이의 시간 간격을 측정한다면 몇 초로 나타나 겠는가?

* 시간 t = τ인 순간에 가해진 단위 임펄스 δ(t-τ)에 대한 진동계의 응답은 다음과 같다.

x( t) =

{

h( t - τ) = 1 ⁰ ^{t < τ}

mωd e^{- ζ ω}ⁿ^{(t- τ)}sin ωd(t- τ) t > τ 2.[8점] 질량 2 kg, 감쇠계수 1 kg/s, 강성 4 N/m인 1 자유도계에 t = 0초 일 때 단위 임펄스를 가하고 이 어서 t= 0.5초 일 때 또 하나의 단위 임펄스를 가했 을 때,

(a) 0 ≤ t ≤ 0.5초 일 때의 계의 응답

(b) t > 0.5초 일 때의 계의 응답을 각각 구하시오.

3.[7점] F(t) = F0t (t>0) 형태의 램프 입력(ramp input)에 대한 1자유도 비감쇠계 (질량 1 kg, 강성 100 N/m)의 응답을 F0 = 50 N 의 경우에 대해 구하 시오.

4.[8점] 2π초 주기로 반복되는 톱니곡선을 0≤t≤2π 구간에서 F(t) = t/(2π) 로 표현할 수 있다면, (a) 전 구간에서 F(t) 를 Fourier급수로 표현하고, (b) F(t) 함수로 가진되는 1자유도 감쇠계(질량 1 kg, 감쇠비 0.1, 비감쇠 고유진동수 1.0 rad/s)의 정상상태 (steady-state)응답을 구하시오.

5.[5점] 다음과 같은 2자유도 비감쇠계의 운동방정식 을 유도하고, 그 결과를 행렬 형태로 표현하시오.

6.[8점] 어느 2자유도 비감쇠계의 운동방정식에 x(t) = u e^jωt를 대입하면 다음과 같다.

K u - ω² M u = 0

여기서 u =

{

^u^u¹²

}

, K =

[

^{- 3}^{27 - 3}³

]

(강성행렬),

M =

[

^{9 0}^{0 1}

]

^{(질량행렬)}

(a) u에 관한 해(solution)가 존재하기 위한 ω값을 구 하고,

(b) 그때의 해 u를 구하되, u1과 u2 중 큰 값을 1로 놓으시오.

7.[5점] 어느 2자유도 비감쇠계의 진동해석 결과, 고유 진동수와 모드형상이 각각 다음과 같이 구해졌다.

ω1 = 2 rad/s ω2 = 2 rad/s u1 =

{

¹³¹

}

^u²⁼

{

^-¹¹³

}

초기조건이 x1(0) = 1/3 mm, x2(0) = 1 mm, x˙1(0) = 0, x˙2(0) = 0 일 때, 자유진동 응답 x1(t) 와 x2(t)를 구 하시오.

---

정 답

--- 1. (a) k = 10,000 N/m

(b) ζ = 0.172 (c) T = 0.285 s

2. (a) x1(t) = 0.359 e^-0.25t sin1.392t (b) x(t) = 0.359 e^-0.25t sin1.392t + 0.359 e-0.25(t-0.5)

sin1.392(t-0.5) 3. x(t) = 0.5(t - 0.1 sin10t) m

4. (a) F(t) = 1 2 - 1

π ∑^∞

n = 1

1 n sin nt (b) xp(t) = 0.5 - 1

π ∑

∞ n = 1

1

n ( 1 - n²)²+ ( 0.2 n)² sin(nt - φn) φn = tan^{- 1} 0.2n

1 - n²

5.

[

^m⁰¹ ^m⁰²

] {

^ẍ^ẍ²¹

}

⁺

_[

_{- k}^k ^{- k}_k

_] _{

_x^x¹

2

}

⁼

^{

⁰⁰

^}

6. (a) ω = ± 2, ±2

(b) u1 =

{

¹³¹

}

^u²⁼

{

^-¹¹³

}

7. x1(t) = 1

3 cos 2 t , x²(t) = cos 2 t

기 계 역 학

1998년 학기말시험(50점) 문제

m2

k

x2

x1