정답

(1)

올 림 포 스 고 난 도 확률과 통계

정답 ^과 풀이

(2)

올림포스 고난도•확률과 통계

2 중복순열과 중복조합

01

내신 우수 문항

^기출

01

^④

02

^②

03

^③

04

^①

05

^③

06

^③

07

^⑤

08

^⑤

09

^①

10

^④

11

^④

12

^①

13

^⑤

14

^④

15

^①

16

^⑤

17

^⑤

18

^①

19

^④

20

^③

21

^④

22

⁹⁰

23

⁵⁴

본문 8~11쪽

01

5명의 학생이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 5개 를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로

m=(5-1)!=4!=24

a, b를 한 명으로 생각하여 나머지 3명의 학생과 함께 원형의 탁자에 둘 러앉는 경우의 수는 서로 다른 4개를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로

(4-1)!=3!=6

이 각각에 대하여 a, b가 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2

그러므로 5명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때 a, b가 이웃하여 앉는 경우 의 수는

n=6_2=12 따라서

m+n=24+12=36

 ④

02

여학생 3명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 3개 를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로

(3-1)!=2!=2

이 각각에 대하여 남학생이 여학생 사이에 앉는 경우의 수는 서로 다른 3개를 일렬로 나열하는 순열의 수이므로

3!=6

따라서 구하는 경우의 수는 2_6=12

 ②

03

A, B, C를 하나의 색으로 생각하여 나머지 3가지의 색과 함께 원 판에 칠하는 경우의 수는 서로 다른 4개를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로

(4-1)!=3!=6

이 각각에 대하여 A, B, C를 칠하는 자리를 바꾸는 경우의 수는 3!=6

따라서 원판에 A, B, C가 모두 서로 이웃하도록 칠하는 경우의 수는 6_6=36

 ③

04

한국인 2명과 외국인 4명 총 6명이 원형의 탁자에 둘러앉는 경우 의 수는 서로 다른 6개를 원형으로 나열하는 원순열의 수와 같으므로 (6-1)!=5!=120

한편 한국인 2명을 한 사람으로 생각하여 나머지 4명의 외국인과 함께 원형의 탁자에 둘러앉는 경우의 수는 서로 다른 5개를 원형으로 나열하 는 원순열의 수와 같으므로

(5-1)!=4!=24

이 각각에 대하여 한국인 2명이 서로 자리를 바꾸는 경우의 수는 2!=2

그러므로 6명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때 한국인 2명이 이웃하도록 앉 는 경우의 수는

24_2=48

따라서 한국인 2명이 서로 이웃하지 않게 앉는 경우의 수는 120-48=72

 ①

05

원판의 중심에 대하여 서로 마주보는 영역에 적힌 두 수의 합이 모 두 홀수이려면 두 수가 각각 홀수, 짝수이어야 한다.

4개의 영역 중 숫자 1을 적을 영역을 택하는 경우의 수는 1

이에 대하여 숫자 1을 적은 영역과 마주보는 영역에는 2 또는 4를 적어 야 하므로 이 경우의 수는 2

이 각각에 대하여 나머지 두 영역에 숫자 3과 2, 4 중 남은 한 숫자를 적 는 경우의 수는

2!=2

따라서 구하는 경우의 수는 1_2_2=4

 ③

참고 원판의 중심에 대하여 서로 마주보는 영역에 적힌 두 수의 합이 모두 홀수가 되도록 적는 경우는 다음과 같이 4가지가 있다.

1 3 4 2

1 4 3 2

1 2 3 4

1 3 2 4

06

1300보다 큰 자연수이려면 천의 자리의 숫자가 2 또는 3인 경우와 천의 자리의 숫자가 1이고 백의 자리의 숫자가 3인 경우가 존재한다.

Ú 천의 자리의 숫자가 2인 경우

백, 십, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 모두 0, 1, 2, 3이고 이것은 서로 다른 4개에서 중복을 허락하여 3개를 택하여 일렬로 나열하는 중복순열의 수와 같으므로 그 경우의 수는 ¢P£=4Ü`=64

Û 천의 자리의 숫자가 3인 경우

Ú과 마찬가지로 그 경우의 수는 ¢P£=4Ü`=64

Ü 천의 자리의 숫자가 1이고 백의 자리의 숫자가 3인 경우

십의 자리의 숫자가 0이면 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3 중 하나이므로 그 경우의 수는 3

해 01-20 올림포스(고난도)_확통_01강-삼1.indd 2 2019-02-15 오후 1:46:18

(3)

정답과 풀이

3

십의 자리의 숫자가 1 또는 2 또는 3이면 모두 일의 자리에 올 수 있는

숫자는 0, 1, 2, 3 중 하나이므로 그 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_4=12

그러므로 경우의 수는 3+12=15 Ú~Ü에서 구하는 경우의 수는 64+64+15=143

 ③

07

집합 X에서 집합 Y로의 함수의 개수는 서로 다른 3개에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

£P°=3Þ`=243

공역 Y={a, b, c}에서 n(Y)=3이므로 집합 X에서 집합 Y로의 함 수는 치역의 원소의 개수가 1 또는 2 또는 3인 경우만 존재한다.

치역의 원소의 개수가 1인 함수의 개수는 집합 X의 모든 원소가 집합 Y의 한 원소에 대응하는 경우이므로 £CÁ=3

또한 치역의 원소의 개수가 2인 함수의 개수는 다음과 같다.

집합 Y의 세 원소 중 치역에 속하는 두 원소를 택하는 경우의 수는

£Cª=£CÁ=3

이 각각에 대하여 집합 X의 원소가 집합 Y의 두 원소에 대응하는 함수 의 개수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 중복순열의 수에서 집합 X의 원소가 집합 Y의 한 원소에만 대응하는 함수의 개수 를 뺀 것과 같으므로 ªP°-2=2Þ`-2=30

그러므로 치역의 원소의 개수가 2인 함수의 개수는 곱의 법칙에 의하여 3_30=90

따라서 공역과 치역이 같은 함수, 즉 치역의 원소의 개수가 3인 함수의 개수는

243-(3+90)=150

 ⑤

08

Ú 숫자 9를 한 번 이용하여 만든 자연수의 개수

다섯 자리 중 숫자 9가 들어갈 한 자리를 택하는 경우의 수는

°CÁ=5

이 각각에 대하여 나머지 네 자리에 숫자 1부터 8까지의 자연수 중 중복을 허락하여 네 숫자를 정하는 경우의 수는 서로 다른 8개에서 4 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¥P¢=8Ý`=(2Ü`)Ý`=2Ú`Û`

그러므로 자연수의 개수는 5_2Ú`Û`

Û 숫자 9를 두 번 이용하여 만든 자연수의 개수

다섯 자리 중 숫자 9가 들어갈 두 자리를 택하는 경우의 수는

°Cª=10

이 각각에 대하여 나머지 세 자리에 숫자 1부터 8까지의 자연수 중 중복을 허락하여 세 숫자를 정하는 경우의 수는 서로 다른 8개에서 3 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 ¥P£=8Ü`=(2Ü`)Ü`=2á`

그러므로 자연수의 개수는 10_2á`

Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는

5_2Ú`Û`+10_2á` =(5_2Û`)_2Ú`â`+5_2Ú`â`

=(20+5)_2Ú`â`=25_2Ú`â`=n_2Ú`â`

따라서 자연수 n의 값은 25이다.

 ⑤

09

치역의 모든 원소의 곱이 짝수이려면 치역의 원소 중 적어도 한 원 소는 짝수이어야 한다.

집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 X로의 함수의 개수는 서로 다른 5개에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 °P°=5Þ`=3125

이때 치역의 모든 원소의 곱이 홀수이려면 치역의 원소는 모두 홀수로만 이루어져야 한다.

홀수로만 이루어진 치역은 {1}, {3}, {5}, {1, 3}, {1, 5}, {3, 5}, {1, 3, 5}이고 이러한 집합을 치역으로 하는 X에서 X로의 함수의 개수 는 집합 X={1, 2, 3, 4, 5}에서 집합 {1, 3, 5}로의 함수의 개수와 같 다.

그러므로 치역의 모든 원소의 곱이 홀수인 함수의 개수는 서로 다른 3개 에서 5개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

£P°=3Þ`=243

따라서 치역의 모든 원소의 곱이 짝수인 함수의 개수는 3125-243=2882

 ①

10

두 개의 숫자 1, 2를 중복 사용하여 만들 수 있는 서로 다른 n자리 자연수의 개수 f(n)은 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 n개를 택하 는 중복순열의 수와 같으므로

f(n)=ªPÇ=2Ç`

주어진 방정식 f(n) f(n+1)

f(1) f(2) =2Ú`â`에서 2ⁿ_2ⁿ⁺¹

2_2Û` =2Ú`â`, 2²ⁿ⁺¹=2Ú`Ü`

2n+1=13 n=6

 ④

11

일곱 개의 숫자 1, 2, 2, 3, 3, 3, 4를 모두 한 번씩 사용하여 만들 수 있는 일곱 자리의 자연수 중 홀수의 개수는 일의 자리의 수에 따라 다 음과 같다.

Ú 일의 자리의 수가 1인 경우

홀수의 개수는 일의 자리를 제외한 자리에 2, 2, 3, 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로

6!2!3! =60

Û 일의 자리의 수가 3인 경우

홀수의 개수는 일의 자리를 제외한 자리에 1, 2, 2, 3, 3, 4를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로

6!2!2! =180

(4)

4

Ú, Û에서 구하는 홀수의 개수는 합의 법칙에 의하여 60+180=240

 ④

12

C와 c를 양 끝에 나열하는 경우의 수는 2!=2

이 각각에 대하여 A는 a보다 왼쪽에 나열하고 B는 b보다 오른쪽에 나 열하는 경우의 수는 두 문자 A, a를 같은 문자 x, x로 생각하고, 두 문 자 B, b를 같은 문자 y, y로 생각하여 여섯 개의 문자 x, x, y, y, D, d 를 일렬로 나열한 경우의 수와 같으므로

2!2! =1806!

따라서 구하는 경우의 수는 2_180=360

 ①

13

^P

A

B Q

R

그림과 같이 세 지점을 각각 P, Q, R라 하면 A지점에서 B지점까지 최 단거리로 갈 때 세 지점 P, Q, R 중 한 곳을 반드시 지나야 한다.

이때 세 경로 A 2Ú P 2Ú B, A 2Ú Q 2Ú B, A 2Ú R 2Ú B는 서로 중복되는 것이 없다.

Ú 경로 A 2Ú P 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1_1=1

Û 경로 A 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 4!3! _4!

3! =4_4=16

Ü 경로 A 2Ú R 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1_ 5!4! =1_5=5

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 1+16+5=22

 ⑤

14

A

c b

a

B

오른쪽으로 1만큼 가는 방법을 a, 뒤쪽으로 1만큼 가는 방법을 b, 위쪽으 로 1만큼 가는 방법을 c라 하면 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수는 a, a, b, b, c, c를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같다.

따라서 최단거리로 가는 경우의 수는

2!2!2! =906!

 ④

15

여섯 개의 숫자 1, 2, 2, 3, 3, 3 중 다섯 개의 숫자를 택하는 경우 는 2, 2, 3, 3, 3 또는 1, 2, 3, 3, 3 또는 1, 2, 2, 3, 3이다.

Ú 2, 2, 3, 3, 3인 경우

2, 2, 3, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는 5!2!3! =10

Û 1, 2, 3, 3, 3인 경우

1, 2, 3, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는 5!3! =20

Ü 1, 2, 2, 3, 3인 경우

1, 2, 2, 3, 3으로 만들 수 있는 다섯 자리 자연수의 개수는 5!2!2! =30

Ú ~ Ü에서 만들 수 있는 서로 다른 다섯 자리 자연수의 개수는 10+20+30=60

 ①

16

같은 종류의 사탕 4개를 세 그릇 A, B, C에 남김없이 나누어 담는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15

이 각각에 대하여 같은 종류의 과자 3개를 세 그릇 A, B, C에 남김없이 나누어 담는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10

따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 15_10=150

 ⑤

17

구하는 경우의 수는 사과를 택하는 개수에 따라 다음과 같다.

Ú 사과를 택하지 않는 경우

배 5개, 귤 5개, 망고 5개 중에서 5개의 과일을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª=21 Û 사과를 1개 택하는 경우

배 5개, 귤 5개, 망고 5개 중에서 4개의 과일을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 21+15=36

 ⑤

(5)

정답과 풀이

5

18

a=b=0인 경우, a=b=1인 경우, a=b=2인 경우로 나누어 경 우의 수를 구하면 다음과 같다.

Ú a=b=0인 경우

세 개의 숫자 3, 4, 5 중에서 중복을 허락하여 5개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 5개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H°=£*°ÐÁC°=¦C°=¦Cª=21 Û a=b=1인 경우

£H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10 Ü a=b=2인 경우

£HÁ=£*ÁÐÁCÁ=£CÁ=3

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 21+10+3=34

 ①

19

빨간색, 주황색, 노란색, 초록색, 파란색의 5가지 색 중에서 서로 다른 2가지의 색을 택하는 경우의 수는 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로

°Cª=10

이 각각에 대하여 택한 2가지 색의 볼펜은 적어도 하나씩 있어야 하므로 나머지 4개를 택한 2가지 색의 볼펜 중에서 택하면 된다.

나머지 4개를 택하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복 조합의 수와 같으므로

ªH¢=ª*¢ÐÁC¢=°C¢=°CÁ=5

 ④

20

방정식 x+y+z=7 (x, y, z는 자연수) yy ㉠ 에서 x=x '+1, y=y '+1, z=z '+1이라 하면

(x '+1)+(y '+1)+(z '+1)=7

x '+y '+z '=4 (x ', y ', z '은 음이 아닌 정수) yy ㉡ 이므로 방정식 ㉠을 만족시키는 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 방정식

㉡을 만족시키는 모든 순서쌍 (x ', y ', z ')의 개수와 같다.

이때 방정식 ㉡을 만족시키는 모든 순서쌍 (x ', y ', z ')의 개수는 서로 다른 3개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15

따라서 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z)의 개수는 15이다.

 ③

21

(a+b+c)Ü`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 3개 에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H£=£*£ÐÁC£=°C£=°Cª=10

이 각각에 대하여 (d+e)Ý`의 전개식에서 서로 다른 항의 개수는 서로 다른 2개에서 4개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

ªH¢=ª*¢ÐÁC¢=°C¢=°CÁ=5

따라서 구하는 서로 다른 항의 개수는 곱의 법칙에 의하여 10_5=50

 ④

22

좌표평면 위에서 x축의 방향으로 1만큼 평행이동, x축의 방향으로 -1만큼 평행이동, y축의 방향으로 1만큼 평행이동, y축의 방향으로 -1 만큼 평행이동하는 것을 각각 A, a, B, b라 하자.

원점 O에서 출발한 점 P가 네 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위해 서는 A가 3번, B가 1번이어야 한다.

(가) 여섯 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하는 방법은 다음과 같다.

Ú A가 4번, B가 1번, a가 1번인 경우

이 경우의 수는 A, A, A, A, B, a를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로

6!4! =30

Û A가 3번, B가 2번, b가 1번인 경우

이 경우의 수는 A, A, A, B, B, b를 일렬로 나열하는 순열의 수와 같으므로

6!3!2! =60

(나) Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 30+60=90

(다)

 90

단계 채점 기준 비율

(가) 네 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위한 이동 방법

을 구한 경우 20`%

(나) 여섯 번 이동하여 점 (3, 1)에 도달하기 위한 경우의 수를 같은 것이 있는 순열의 수를 이용하여 구한 경우 60`%

(다) 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우 20`%

23

가능한 w의 값은 0, 1, 2이므로 w의 값에 따라 각 경우로 나누면 다음과 같다.

Ú w=0일 때

주어진 방정식은 x+y+z=7이고, 구하는 모든 순서쌍

(x, y, z, 0)의 개수는 서로 다른 3개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H¦=£*¦ÐÁC¦=»C¦=»Cª=36

(가)

(6)

6

Û w=1일 때

£H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15

(나) Ü w=2일 때

£HÁ=£*ÁÐÁCÁ=£CÁ=3

(다) Ú ~ Ü에서 구하는 모든 순서쌍 (x, y, z, w)의 개수는 합의 법칙에 의 하여

36+15+3=54

(라)

 54

(가) w=0일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 30`%

(나) w=1일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 30`%

(다) w=2일 때의 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 30`%

(라) 합의 법칙을 이용하여 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 10`%

내신 고득점 문항

24

^②

25

^④

26

^③

27

^①

28

^③

29

^③

30

^⑤

31

^②

32

^②

33

^①

34

^③

35

^③

36

^①

37

^④

38

^④

39

^①

40

^①

41

^③

42

^⑤

43

^③

44

^④

45

⁹

46

⁹⁶

본문 12~15쪽 7%상위

24

1부터 9까지의 자연수 중 홀수는 5개, 짝수는 4개이다.

이때 색칠된 4개의 정사각형에 모두 홀수를 적어야 하므로 색칠되지 않 은 5개의 정사각형에는 홀수 1개와 짝수 4개를 적어야 한다.

홀수 5개 중 4개를 택하는 경우의 수는 °C¢=°CÁ=5

이 각각에 대하여 이 홀수 4개를 색칠된 4개의 정사각형에 적는 경우의 수는 (4-1)!=3!=6

이 각각에 대하여 남은 홀수 1개와 짝수 4개를 색칠되지 않은 5개의 정 사각형에 적는 경우의 수는 5!=120

따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 5_6_120=3600

 ②

25

A, B가 정삼각형의 한 변에 이웃하여 앉는 경우는 그림과 같이 4가 지 경우가 있다.

A B

B A

이 각각에 대하여 나머지 7명의 학생이 남은 자리에 앉는 경우의 수는 7!

따라서 n=4_7!

이므로 6! =n 4_7!

6! =4_7=28

 ④

26

남자 3명을 각각 A, B, C라 하자.

회전하여 일치하는 것은 같은 것이므로 남자 A가 앉을 의자를 정하는 경우의 수는 1

이에 대하여 A가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우의 수 는 3

이 각각에 대하여 남은 의자 4개 중 B가 앉을 의자를 정하는 경우의 수 는 4

이 각각에 대하여 B가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우 의 수는 2

이 각각에 대하여 남은 의자 2개 중 C가 앉을 의자를 정하는 경우의 수 는 2

이 각각에 대하여 C가 앉은 자리의 맞은 편에 앉을 여자를 정하는 경우 의 수는 1

따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 1_3_4_2_2_1=48

 ③

27

1학년 학생 2명을 한 사람으로 생각하여 나머지 5명과 함께 원탁 에 둘러앉는 경우의 수는

(6-1)!=5!=120

이 각각에 대하여 1학년 학생 2명이 자리를 바꿔 앉는 경우의 수는 2!=2

그러므로 1학년 학생 2명이 이웃하여 앉는 경우의 수는 120_2=240

(7)

정답과 풀이

7

한편 1학년 학생 2명을 한 사람으로 생각하고, 2학년 학생 2명을 한 사

람으로 생각하여 나머지 3명과 함께 원탁에 둘러앉는 경우의 수는 (5-1)!=4!=24

이 각각에 대하여 1학년 학생 2명과 2학년 학생 2명이 자리를 바꿔 앉는 경우의 수는

2!_2!=4

그러므로 1학년 학생 2명이 서로 이웃하여 앉고, 2학년 학생 2명도 서로 이웃하여 앉는 경우의 수는

24_4=96

따라서 1학년 학생 2명은 서로 이웃하여 앉고, 2학년 학생 2명은 서로 이웃하지 않도록 앉는 경우의 수는

240-96=144

 ①

다른풀이 1학년 학생 2명과 3학년 학생 3명이 원탁에 둘러앉을 때, 1학 년 학생끼리 서로 이웃하게 원탁에 앉는 경우의 수는

(4-1)!_2!=12

이 각각에 대하여 1학년 학생 2명의 사이를 제외한 네 곳 중 두 곳을 택 하여 2학년 학생 2명이 앉는 경우의 수는

¢Pª=12

28

a

f c g

e

b d

주어진 도형의 7개의 영역을 그림과 같이 a, b, c, d, e, f, g 라 하자.

서로 다른 8개의 색 중 7개의 색을 택하는 경우의 수는 ¥C¦=¥CÁ=8 이 각각에 대하여 영역 a에 칠할 색을 택하는 경우의 수는 7

이 각각에 대하여 세 영역 b, c, d에 칠할 3개의 색을 택하는 경우의 수 는

¤C£= 6_5_43_2_1 =20

이 각각에 대하여 택한 3개의 색을 세 영역 b, c, d에 색칠하는 경우의 수는

(3-1)!=2!=2

이 각각에 대하여 세 영역 e, f, g에 남은 3개의 색을 칠하는 경우의 수는 3!=6

따라서 구하는 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 n=8_7_20_2_6=8_7_6_5_4_2 이므로

8!n = 8!

8_7_6_5_4_2 =3

 ③

29

서로 다른 n개의 물건을 서로 다른 2개의 주머니에 담는 경우의 수 a는

a=ªPÇ=2Ç`

서로 다른 n개의 물건을 서로 다른 4개의 주머니에 담는 경우의 수 b는 b=¢PÇ=4Ç`

이때

ab=2ⁿ_4ⁿ=2ⁿ_(2²)ⁿ=2ⁿ_2²ⁿ=2³ⁿ 이고

512=2á`

이므로 ab=512에서 2³ⁿ=2⁹, 3n=9, n=3

따라서 서로 다른 3개의 물건을 서로 다른 3개의 주머니에 담는 경우의 수는

£P£=3Ü`=27

 ③

30

X의 모든 원소 x에 대하여 f(-x)+f(x)=0이므로 x=0을 대입하면 f(0)+f(0)=0, f(0)=0

이때 f(-x)=-f(x)에서 f(-1)=-f(1)

f(-2)=-f(2) f(-3)=-f(3)

즉, f(1), f(2), f(3)의 값을 정하면 f(-1), f(-2), f(-3)의 값 이 정해진다.

따라서 구하는 함수 f는 f(1), f(2), f(3)의 값이 각각 될 수 있는 값 의 개수만큼 존재하고 이것은 서로 다른 7개에서 3개를 택하는 중복순열 의 수와 같으므로

¦P£=7Ü`=343

 ⑤

31

여섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 하락하여 네 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수 중에 4의 배수이면서 동시 에 5의 배수인 자연수는 존재하지 않는다.

여섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5, 6 중에서 중복을 허락하여 네 개를 택해 일렬로 나열하여 만든 네 자리의 자연수가 4의 배수이려면 십의 자리와 일의 자리의 수가 12, 16, 24, 32, 36, 44, 52, 56, 64 중 하나이어야 한 다.

이때 천의 자리와 백의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 여 섯 개의 숫자에서 중복을 허락하여 2개를 택하는 중복순열의 수와 같으 므로 4의 배수인 네 자리 자연수의 개수는

9_¤Pª=9_6Û`=324

또한 네 자리의 자연수가 5의 배수이려면 일의 자리의 수가 5이어야 한 다.

이때 천의 자리, 백의 자리, 십의 자리에 올 수 있는 숫자는 1, 2, 3, 4, 5, 6의 여섯 개의 숫자에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로 5의 배수인 네 자리 자연수의 개수는

(8)

8

¤P£=6Ü`=216

따라서 4의 배수 또는 5의 배수인 네 자리 자연수의 개수는 합의 법칙에 의하여

324+216=540

 ②

32

전체집합 U와 두 부분집합 A, B를 벤다이어그램으로 나타내면 그림과 같다.

A-B, A;B, B-A, A` ;B` 이 나타내는 영역을 각각 ⓐ, ⓑ, ⓒ,

ⓓ라 하자.

U

B A

ⓐ ⓑ ⓒ

ⓓ

조건 (가)에서 n(A-B)=1이므로 영역 ⓐ에 들어갈 원소 한 개를 정 하는 경우의 수는 ¤CÁ=6

이 각각에 조건 (나)에서 n(A;B)=2이므로 영역 ⓑ에 들어갈 원소 두 개를 정하는 경우의 수는 영역 ⓐ에 들어간 하나의 원소를 제외한 다 섯 개의 원소 중 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로 °Cª=10

이 각각에 대하여 나머지 세 개의 원소는 영역 ⓒ 또는 ⓓ에 들어가야 한다.

세 개의 원소가 들어갈 영역을 정하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 3개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

ªP£=2Ü`=8

따라서 두 집합 A, B를 정하는 경우의 수는 6_10_8=480

 ②

33

정의역 X={1, 2, 3, 4, 5}의 모든 원소 x에 대하여

xÛ`+x f(x)=x{x+f(x)}의 값이 짝수이려면 x가 홀수일 때 f(x)가 홀수이어야 하므로 1, 3, 5는 모두 1, 3, 5 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 £P£=3Ü`

이 각각에 대하여 2, 4는 모두 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응되어야 하므 로 그 경우의 수는 °Pª=5Û`

그러므로 xÛ`+x f(x)의 값이 짝수인 함수 f의 개수 m은 m=3Ü`_5Û`

한편 x f(x)의 값이 짝수이려면 x와 f(x)의 값 중 적어도 하나의 값이 짝수이어야 하므로 1, 3, 5는 모두 2, 4 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 ªP£=2Ü`

이 각각에 대하여 2, 4는 모두 1, 2, 3, 4, 5 중 하나에 대응되어야 하고 그 경우의 수는 °Pª=5Û`

그러므로 x f(x)의 값이 짝수인 함수 f의 개수 n은 n=2Ü`_5Û`

따라서 m =n 2Ü`_5Û`

3Ü`_5Û`= 827

 ①

34

흰 공의 개수와 검은 공의 개수가 모두 5로 같고, 모든 공의 개수가 10이고 주어진 상자의 개수가 10이다.

이때 세로로 같은 줄에 있는 상자에는 같은 색의 공이 있지 않도록 넣어 야 하므로 윗 줄에 있는 상자에 흰 공을 넣으면 같은 줄의 아랫 줄에 있 는 상자에는 검은 공을 넣고, 윗 줄에 있는 상자에 검은 공을 넣으면 같 은 줄의 아랫 줄에 있는 상자에는 흰 공을 넣으면 된다.

즉, 구하는 경우의 수는 윗 줄에 있는 5개의 상자에 흰 공 n(n=0, 1, 2, 3, 4, 5)개와 검은 공 (5-n)개를 넣는 경우의 수과 같다.

Ú 검은 공 5개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 1

Û 흰 공 1개, 검은 공 4개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 5!4! =5

Ü 흰 공 2개, 검은 공 3개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 5!2!3! =10

Ý 흰 공 3개, 검은 공 2개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 5!3!2! =10

Þ 흰 공 4개, 검은 공 1개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 5!4! =5

ß 흰 공 5개를 윗 줄에 있는 5개의 상자에 넣는 경우의 수 1

Ú ~ ß에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 1+5+10+10+5+1=32

 ③

다른풀이 세로로 같은 줄에 있는 상자에는 같은 색의 공이 있지 않도록 넣어야 하므로 흰 공은 각 세로줄마다 한 개씩만 넣을 수 있다.

즉, 5개의 흰 공을 각 세로줄마다 위 또는 아래의 상자 중 한 상자에 넣 으면 되므로 구하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 중복을 허락하여 5 개를 택하는 중복순열의 수와 같으므로

ªP°=2Þ`=32

35

A P Q

S B R

그림과 같이 점선으로 된 두 도로를 연결하여 도로가 서로 만나는 네 지 점을 각각 P, Q, R, S라 하자.

구하는 경우의 수는 A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수 에서 두 경로 A 2Ú P 2Ú Q 2Ú B, A 2Ú R 2Ú S 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수의 합을 뺀 것과 같다.

Ú A지점에서 B지점까지 최단거리로 가는 경우의 수

(9)

정답과 풀이

9

7!3!4! =35

Û 경로 A 2Ú P 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1_1_ 5!4! =5

Ü 경로 A 2Ú R 2Ú S 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 4!3! _1_1=4

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 35-(5+4)=26

 ③

36

조건 (나)에서 각 자리에 있는 네 개의 숫자 중 숫자 0이 적어도 하 나 존재하므로 숫자 0의 개수가 1인 경우와 2인 경우에 따라 네 자리 자 연수의 개수를 구하면 다음과 같다.

Ú 숫자 0의 개수가 1인 경우

나머지 숫자의 합이 5인 세 개의 숫자는 1, 1, 3 또는 1, 2, 2의 두 가지 경우가 있다.

0이 들어갈 자리를 정하는 경우의 수는 £CÁ=3

이 각각에 대하여 1, 1, 3 또는 1, 2, 2를 남은 세 자리에 나열하는 경 우의 수는

2_ 3!2! =6

그러므로 숫자 0의 개수가 1인 네 자리 자연수의 개수는 3_6=18 Û 숫자 0의 개수가 2인 경우

나머지 숫자의 합이 5인 두 개의 숫자는 1, 4 또는 2, 3의 두 가지 경 우가 있다.

0이 들어갈 두 자리를 정하는 경우의 수는 £Cª=£CÁ=3

이 각각에 대하여 1, 4 또는 2, 3을 남은 두 자리에 나열하는 경우의 수는 2_2!=4

그러므로 숫자 0의 개수가 2인 네 자리 자연수의 개수는 3_4=12 Ú, Û에서 구하는 자연수의 개수는 18+12=30

 ①

참고 숫자 0의 개수가 3인 경우는 조건 (가)를 만족시키지 않는다.

37

빨간색, 주황색, 노란색의 색연필을 각각 R, O, Y라 하자.

Ú 3명의 학생이 받은 3개의 색연필이 모두 같은 색인 경우

한 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 RRR, OOO, YYY로 3 이 각각에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수 는 1

그러므로 이 경우의 수는 a=3_1=3

Û 3명의 학생이 받은 3개의 색연필 중 2개의 색연필만 같은 경우 두 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 RRO, RRY, OOR, OOY, YYR, YYO로 6

이 각각에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수 는 3!2! =3

그러므로 이 경우의 수는 b=6_3=18

Ü 3명의 학생이 받은 3개의 색연필이 모두 다른 색인 경우 세 종류의 색연필을 선택하는 경우의 수는 ROY로 1

이에 대하여 3명의 학생에게 각각 1개씩 나누어 주는 경우의 수는 3!=6

그러므로 이 경우의 수는 c=1_6=6

Ú ~ Ü에서 abc=3_18_6=324

 ④

38

A

B P

T S R Q

그림과 같이 다섯 지점을 각각 P, Q, R, S, T라 하면 구하는 경우의 수 는 A지점을 출발하여 다섯 지점 P, Q, R, S, T 중 한 지점을 지나 B 지점으로 가는 다섯 경로로 나누어 최단거리를 구할 수 있다.

Ú 경로 A 2Ú P 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1

Û 경로 A 2Ú Q 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 2_ 3!2! =6

Ü 경로 A 2Ú R 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 { 4!2!2! -1}_{ 4!

2!2! -1}=5_5=25 Ý 경로 A 2Ú S 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수

3!2! _2=6

Þ 경로 A 2Ú T 2Ú B로 최단거리로 가는 경우의 수 1

Ú ~ Þ에서 구하는 경우의 수는 1+6+25+6+1=39

 ④

39

한 필통에 볼펜 2자루가 들어가는 경우와 두 필통에 각각 볼펜 한 자루씩 들어가는 경우로 나누면 다음과 같다.

Ú 한 필통에 볼펜 2자루가 들어가는 경우

볼펜 2자루를 넣을 필통을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 1 개를 택하는 조합의 수와 같으므로

£CÁ=3

이 각각에 대하여 빈 필통이 없어야 하므로 볼펜 2자루를 넣은 필통 이 아닌 두 필통에는 연필 1자루씩 넣어야 한다.

남은 연필 2자루를 세 필통에 나누어 넣는 경우의 수는 서로 다른 3 개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

(10)

10

ªCÁ=2

그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 10_2=20

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 20+32+20=72

 ①

41

다섯 개의 상자 A, B, C, D, E에 넣는 공의 개수를 각각 a, b, c, d, e라 하면

a+b+c+d+e=10 yy ㉠

이고 구하는 경우의 수는 방정식 ㉠과 두 조건 (가), (나)를 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수와 같다.

이때 조건 (가)에서 a는 홀수이고, 조건 (나)에서 a<b이다.

a의 값에 따라 경우의 수는 다음과 같다.

Ú a=1일 때

a<b이므로 b>1이고, 방정식 ㉠에서

b+c+d+e=9 (b>1이고, c, d, e는 음이 아닌 정수) b=b '+2라 하면

(b '+2)+c+d+e=9

b '+c+d+e=7 (b ', c, d, e는 음이 아닌 정수) yy ㉡ 구하는 모든 순서쌍 (1, b, c, d, e)의 개수는 방정식 ㉡을 만족시키 는 음이 아닌 정수 b ', c, d, e의 모든 순서쌍 (b ', c, d, e)의 개수 와 같고 이 개수는 서로 다른 4개에서 7개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

¢H¦=¢*¦ÐÁC¦=Á¼C¦=Á¼C£=10_9_8 3_2_1 =120 Û a=3일 때

a<b이므로 b>3이고, 방정식 ㉠에서

b+c+d+e=7 (b>3이고, c, d, e는 음이 아닌 정수) b=b "+4라 하면

(b "+4)+c+d+e=7

b "+c+d+e=3 (b ", c, d, e는 음이 아닌 정수) yy ㉢ 구하는 모든 순서쌍 (3, b, c, d, e)의 개수는 방정식 ㉢을 만족시키 는 음이 아닌 정수 b ", c, d, e의 모든 순서쌍 (b ", c, d, e)의 개수 와 같고 이 개수는 서로 다른 4개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

¢H£=¢*£ÐÁC£=¤C£=6_5_4 3_2_1 =20 Ü a가 5 이상의 홀수일 때

a<b이므로 b의 최솟값은 6이다.

이때 a+b¾11이므로 가능한 경우가 없다.

Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 120+20=140

 ③

42

한 학생에게 2개 이상 6개 이하로 과자를 나누어 주므로 a의 최솟 값은 2이고 b의 최솟값은 3이고 c의 최솟값은 4이다.

£Hª=£*ªÐÁCª=¢Cª=6

Û 두 필통에 각각 볼펜 1자루씩 들어가는 경우

볼펜 1자루씩 넣을 두 필통을 택하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로

£Cª=£CÁ=3

이 각각에 대하여 빈 필통이 없어야 하므로 볼펜 1자루를 넣은 필통 이 아닌 한 필통에는 연필 1자루를 넣어야 한다.

남은 연필 3자루를 세 필통에 나누어 넣는 경우의 수는 서로 다른 3 개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

£H£=£*£ÐÁCª=°Cª=10

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 18+30=48

 ①

40

9의 약수는 1, 3, 9이므로 구입한 사과와 귤의 개수의 합에 따라 구하는 경우의 수는 다음과 같다.

Ú 구입한 사과와 귤의 개수의 합이 1인 경우

사과와 귤 중 1개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 1개를 택하는 조합의 수와 같으므로

ªCÁ=2

이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 9이고, 배와 포도 중 9개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 9개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로

ªH»=ª*»ÐÁC»=Á¼C»=Á¼CÁ=10

Û 구입한 사과와 귤의 개수의 합이 3인 경우

사과와 귤 중 3개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4

이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 7이고, 배와 포도 중 7개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 7개를 택하는 중 복조합의 수와 같으므로

ªH¦=ª*¦ÐÁC¦=¥C¦=¥CÁ=8

Ü 구입한 사과와 귤의 개수의 합이 9인 경우

사과와 귤 중 9개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 9개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

ªH»=ª*»ÐÁC»=Á¼C»=Á¼CÁ=10

이 각각에 대하여 구입한 배와 포도의 개수의 합이 1이고, 배와 포도 중 1개를 구입하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 1개를 택하는 조 합의 수와 같으므로

(11)

정답과 풀이

11

또한 c의 최댓값은 6이므로 c의 값에 따라 나누면 다음과 같다.

Ú c=4인 경우

a<b<c=4이고 a¾2이므로 a=2, b=3, 즉 a, b를 정하는 경우 의 수는 1

이에 대하여 4=cÉdÉeÉ6이므로 d, e가 가능한 값은 세 수 4, 5, 6 중 중복을 허락하여 택한 두 수이다. 즉, d, e를 정하는 경우의 수 는 서로 다른 3개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 1_6=6 Û c=5인 경우

a<b<c=5이고 a¾2이므로 a, b가 가능한 값은 세 수 2, 3, 4 중 택한 두 수이다. 즉, a, b를 정하는 경우의 수는 서로 다른 3개에서 2 개를 택하는 조합의 수와 같으므로

£Cª=£CÁ=3

이 각각에 대하여 5=cÉdÉeÉ6이므로 d, e가 가능한 값은 두 수 5, 6 중 중복을 허락하여 택한 두 수이다. 즉, d, e를 정하는 경우의 수는 서로 다른 2개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로 ªHª=ª*ªÐÁCª=£Cª=£CÁ=3

그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 3_3=9 Ü c=6인 경우

a<b<c=6이고 a¾2이므로 a, b가 가능한 값은 네 수 2, 3, 4, 5 중 택한 두 수이다. 즉, a, b를 정하는 경우의 수는 서로 다른 4개에 서 2개를 택하는 조합의 수와 같으므로

¢Cª=6

이 각각에 대하여 6=cÉdÉeÉ6이므로 d=e=6, 즉 d, e를 정하 는 경우의 수는 1

그러므로 이 경우의 수는 곱의 법칙에 의하여 6_1=6 Ú ~ Ü에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 6+9+6=21

 ⑤

43

조건 (가)에서 a_b_c_d_e가 홀수이므로 a, b, c, d, e는 모 두 홀수이다.

이때 조건 (나)의 aÉbÉ10에서 1부터 10까지의 자연수 중 홀수는 1, 3, 5, 7, 9로 5개가 있다.

두 홀수 a, b의 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로 다른 5개에서 2개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

°Hª=°*ªÐÁCª=¤Cª=15

이 각각에 대하여 조건 (나)의 10Éc<d<e<20에서 10부터 19까지의 자연수 중에서 홀수는 11, 13, 15, 17, 19로 5개가 있다.

세 홀수 c, d, e의 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 서로 다른 5개에서 3 개를 택하는 조합의 수와 같으므로

°C£=°Cª=10

따라서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙에 의하여 15_10=150

 ③

44

음이 아닌 정수 a, b, c, d, e에 대하여 조건 (가)에서 a+b>1이 고 21=3_7=7_3=21_1이므로 조건 (나)를 만족시키는 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수를 세 가지 경우로 나누면 다음과 같다.

Ú a+b=3, c_d_e=7인 경우

방정식 a+b=3을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수와 같으므로

ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4

이 각각에 대하여 c_d_e=7=1_1_7을 만족시키는 모든 순서 쌍 (c, d, e)의 개수는 세 수 1, 1, 7을 나열하는 경우의 수와 같으므 로

3!2! =3

그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법칙 에 의하여

4_3=12

Û a+b=7, c_d_e=3인 경우

ªH¦=ª*¦ÐÁC¦=¥C¦=¥CÁ=8

이 각각에 대하여 c_d_e=3=1_1_3을 만족시키는 모든 순서 쌍 (c, d, e)의 개수는 세 수 1, 1, 3을 나열하는 경우의 수와 같으므 로

3!2! =3

8_3=24

Ü a+b=21, c_d_e=1인 경우

ªHªÁ=ª*ªÁÐÁCªÁ=ªªCªÁ=ªªCÁ=22

이 각각에 대하여 c_d_e=1을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e) 의 개수는 c=d=e=1로 1

그러므로 이 경우의 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 곱의 법 칙에 의하여

22_1=22

Ú ~ Ü에서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 합의 법칙에 의하여

12+24+22=58

 ④

45

빨간 공을 a, 파란 공을 b, 노란 공을 c라 하면 구하는 경우의 수는 a, a, b, b, c, c, c를 나열할 때, 같은 문자끼리는 이웃하지 않고 마지막 에 a가 나열되는 경우의 수이다.

c, c, c가 이웃하지 않게 나열되는 경우는 다음과 같다.

Ú c c c a 인 경우

비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, a, a가 이웃하지 않게 나

(12)

12

열되어야 하므로 세 번째 빈 자리에는 b가 나열되어야 한다.

c c c b a

그러므로 비어 있는 두 자리에 a, b를 나열하는 경우의 수는 2!=2

(가)

Û c c c a 인 경우

비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, b, b가 이웃하지 않게 나열 되어야 하므로 첫 번째 빈 자리에 b가 나열되어야 한다.

c b c c a

(나)

Ü c ^c c a 인 경우

비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열할 때, b, b가 이웃하지 않게 나열 되어야 하므로 세 번째 빈 자리에 b가 나열되어야 한다.

c c b c a

(다)

Ý c c c a 인 경우

비어 있는 세 자리에 a, b, b를 나열하는 경우의 수는 3!2! =3 (라) Ú ~ Ý에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여

2+2+2+3=9

(마)

 9

(가) c c c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우 20`%

(나) c c c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우 20`%

(다) c c c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우 20`%

(라) c c c a 일 때의 경우의 수를 구한 경우 20`%

(마) 합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한 경우 20`%

46

a, b, c, d, e가 자연수이므로 a+b¾2, c+d+e¾3

이때 1이 아닌 두 자연수의 곱이 35인 경우는 5_7 또는 7_5이므로 두 가지 경우로 나누면 다음과 같다.

(가) Ú a+b=5, c+d+e=7인 경우

방정식 a+b=5 (a, b는 자연수) yy ㉠

에서 a=a '+1, b=b '+1이라 하면 (a '+1)+(b '+1)=5

a '+b '=3 (a ', b '은 음이 아닌 정수) yy ㉡

이므로 ㉠을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 ㉡을 만족시키 는 모든 순서쌍 (a ', b ')의 개수와 같다.

이 순서쌍의 개수는 서로 다른 2개에서 3개를 택하는 중복조합의 수 와 같으므로

ªH£=ª*£ÐÁC£=¢C£=¢CÁ=4

이 각각에 대하여 방정식 c+d+e=7 (c, d, e는 자연수) yy ㉢ 에서 c=c '+1, d=d '+1, e=e '+1이라 하면

(c '+1)+(d '+1)+(e '+1)=7

c '+d '+e '=4 (c ', d ', e '은 음이 아닌 정수) yy ㉣ 이므로 ㉢을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 ㉣을 만족 시키는 모든 순서쌍 (c ', d ', e ')의 개수와 같다.

£H¢=£*¢ÐÁC¢=¤C¢=¤Cª=15

4_15=60

(나) Û a+b=7, c+d+e=5인 경우

방정식 a+b=7 (a, b는 자연수) yy ㉤

에서 a=a '+1, b=b '+1이라 하면 (a '+1)+(b '+1)=7

a '+b '=5 (a ', b '은 음이 아닌 정수) yy ㉥ 이므로 ㉤을 만족시키는 모든 순서쌍 (a, b)의 개수는 ㉥을 만족시키 는 모든 순서쌍 (a ', b ')의 개수와 같다.

ªH°=ª*°ÐÁC°=¤C°=¤CÁ=6

이 각각에 대하여 방정식 c+d+e=5 (c, d, e는 자연수) yy ㉦ 에서 c=c '+1, d=d '+1, e=e '+1이라 하면

(c '+1)+(d '+1)+(e '+1)=5

c '+d '+e '=2 (c ', d ', e '은 음이 아닌 정수) yy ㉧ 이므로 ㉦을 만족시키는 모든 순서쌍 (c, d, e)의 개수는 ㉧을 만족 시키는 모든 순서쌍 (c ', d ', e ')의 개수와 같다.

6_6=36

(다) Ú, Û에서 구하는 모든 순서쌍 (a, b, c, d, e)의 개수는 합의 법칙에 의하여

60+36=96

(라)

 96

(13)

정답과 풀이

13 내신 변별력 문항

47

⁶

48

^⑤

49

^②

50

²⁴⁰

51

^③

52

^⑤

53

¹⁸⁶

54

^⑤

55

^④

56

⁶⁹

57

⁵⁷

58

^②

본문 16~18쪽 4%상위

47

자연수 n에 대하여 n쌍의 부부 2n명이 원형의 탁자에 둘러앉을 때, 부부끼리 이웃하여 앉는 경우의 수를 f(n)이라 하자. 방정식

3 f(n+2)

2 f(n)+f(n+1) =nÛ` 을 만족시키는 n의 값을 구하시오.

(단, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.) 6

순열과 원순열을 이용하여 f(n)을 구한 후, 방정식의 해를 구한다.

순열과 원순열을 이용하여 f(n)을 구한다.

한 쌍의 부부를 각각 한 명으로 생각하여 n명이 원형의 탁자에 둘러앉 는 경우의 수는 (n-1)!

이 각각에 대하여 n쌍의 부부가 각각의 부부끼리 자리를 서로 바꿔 앉 는 경우의 수는

2!_2!_2!_y_2!=2Ç` `

따라서 n쌍의 부부 2n명이 부부끼리 이웃하여 원형의 탁자에 앉는 경 우의 수 f(n)은

f(n)=(n-1)!_2Ç`

방정식의 해를 구한다.

3 f(n+2)

2 f(n)+f(n+1)= 3_(n+1)!_2ⁿ⁺² 2_(n-1)!_2ⁿ+n!_2ⁿ⁺¹

= 3_(n+1)!_2ⁿ⁺²

2ⁿ⁺¹_(n-1)!_(n+1)=6n이므로 주어진 방정식 3 f(n+2)

2 f(n)+f(n+1)=nÛ`에서 6n=nÛ`, n(n-6)=0

이때 n은 자연수이므로 n=6

 6

풀이전략

문제풀이

( \ | { | \ 9n개

3_2ⁿ⁺²

2ⁿ⁺¹ _ (n+1)_n_(n-1)!(n+1)_(n-1)!

=3_2_n=6n

(가) 두 가지 경우로 나누는 과정을 이해한 경우 10`%

(나) a+b=5, c+d+e=7일 때의 모든 순서쌍의 개수를

구한 경우 40`%

(다) a+b=7, c+d+e=5일 때의 모든 순서쌍의 개수를

구한 경우 40`%

(라) 합의 법칙을 이용한 모든 순서쌍의 개수를 구한 경우 10`%

48

그림과 같이 7등분한 원판이 있다. 1부터 10까지의 자연수 10개 중 7개를 택해 7개 의 영역에 각각 하나씩 적을 때, 짝수끼리 는 이웃한 영역에 있지 않도록 적는 경우의 수는 n_5!이다. 자연수 n의 값은? (단, 적힌 숫자와 모양, 크기, 위치 등은 고려하

지 않으며, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

① 60 ② 70 ③ 80

④ 90 ⑤ 100

짝수끼리는 이웃한 영역에 있지 않도록 홀수의 개수와 짝수의 개수의 경우를 나누어 각각의 경우의 수를 구한다.

가능한 짝수의 개수를 구한다.

1부터 10까지의 자연수에는 홀수 5개와 짝수 5개가 있다.

이 10개의 숫자 중 7개를 택할 때 짝수의 개수가 3보다 크면 7개의 영 역 중 이웃한 영역에 짝수가 적힐 수 밖에 없으므로 택한 7개 중 짝수 의 개수는 3 이하이다.

이때 홀수의 개수가 5이므로 택한 7개 중 가능한 짝수의 개수는 2 또는 3이다.

홀수 5개, 짝수 2개를 택한 경우의 수를 구한다.

Ú 홀수 5개, 짝수 2개를 택한 후, 7개의 영역에 각각 하나씩 적는 경우 짝수 5개 중 짝수 2개를 택하는 경우의 수는 °Cª=10

이 각각에 대하여 택한 두 짝수를 a, b라 할 때 짝수 2개를 이웃하 지 않게 적는 경우의 수는 그림과 같이 4

a

b

a

b

a

b a

b

이 각각에 대하여 홀수 5개 중 홀수 5개를 택하여 남은 5개의 영역 에 적는 경우의 수는

°C°_5!=5!

그러므로 이 경우의 수는 10_4_5!=40_5!

홀수 4개, 짝수 3개를 택한 경우의 수를 구한다.

Û 홀수 4개, 짝수 3개를 택한 후, 7개의 영역에 각각 하나씩 적는 경우 짝수 5개 중 짝수 3개를 택하는 경우의 수는

°C£=°Cª=10

이 각각에 대하여 택한 세 짝수를 c, d, e라 할 때 짝수 3개를 이웃 하지 않게 적는 경우의 수는 그림과 같이 6

풀이전략

문제풀이

a를 고정하고 b를 이웃하지 않게 적는다.

c를 고정하고 d, e를 c, d, e가 이웃하지 않 게 적는다.

(14)

14

c

d e

c

d

e c

d e

c

e d

c

e d

c d e

이 각각에 대하여 홀수 5개 중 홀수 4개를 택하여 남은 4개의 영역 에 적는 경우의 수는

°C¢_4!=°CÁ_4!=5_4!=5!

그러므로 이 경우의 수는 10_6_5!=60_5!

합의 법칙을 이용하여 경우의 수를 구한다.

Ú, Û에서 구하는 경우의 수는 합의 법칙에 의하여 40_5!+60_5!=100_5!=n_5!

따라서 n=100

 ⑤

49

그림과 같이 8등분한 원판의 각 영역에 1 부터 8까지의 자연수를 모두 사용하여 하 나씩 적으려고 한다. 이웃한 두 영역에 적 힌 두 수의 합이 12인 경우가 있도록 적는 경우의 수는 n_5!이다. 자연수 n의 값 은? (단, 적힌 숫자와 모양, 크기, 위치 등

은 고려하지 않으며, 회전하여 일치하는 것은 같은 것으로 본다.)

① 19 ② 20 ③ 21

④ 22 ⑤ 23

두 수의 합이 12인 경우는 4+8=12와 5+7=12인 경우가 있다.

두 수의 합이 12인 경우를 구한 후 순열과 원순열의 수를 이용한다.

두 수의 합이 12인 두 가지 경우를 구한다.

1부터 8까지의 자연수 중 서로 다른 두 수의 합이 12인 경우는 4+8=12와 5+7=12인 두 가지 경우가 존재한다.

순열과 원순열의 수를 이용하여 각각의 경우의 수를 구한다.

한편 4와 8을 하나의 수로 생각하여 나머지 6개의 수와 함께 총 7개의 수를 원판에 적는 경우의 수는

(7-1)!=6!

이 각각에 대하여 4와 8을 바꿔 적는 경우는 수는 2!=2

그러므로 두 수 4, 8이 이웃하도록 적는 경우의 수는 2_6!

마찬가지로 두 수 5, 7이 이웃하도록 적는 경우의 수는 2_6!

또한 두 수 4, 8과 두 수 5, 7을 각각 하나의 수로 생각하여 나머지 4개 의 수와 함께 총 6개의 수를 원판에 적는 경우의 수는

풀이전략

문제풀이

(6-1)!=5!

이 각각에 대하여 4와 8을 바꿔 적는 경우의 수는 2!=2

이 각각에 대하여 5와 7을 바꿔 적는 경우의 수는 2!=2

그러므로 두 수 4, 8이 이웃하고 동시에 5, 7이 이웃하도록 적는 경우 의 수는

5!_2_2=4_5!

경우의 수를 구한다.

따라서 구하는 경우의 수는 2_6!+2_6!-4_5!

=4_6!-4_5!

=4_(6_5!)-4_5!

=(4_6-4)_5!

=20_5!=n_5!

이므로 n의 값은 20이다.

 ②

50

두 집합 X={1, 2, 3, 4}, Y={1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}에 대하여 함수 f`:`X 2Ú Y 중에서 다음 조건을 만족시키는 함수 f의 개수

를 구하시오. 240

(가) f(1)< f(2)

(나) f(1)은 홀수이고, f(2)는 6의 약수이다.

(다) f(3) f(4)는 짝수이다.

f(1)은 1, 3, 5, 7 중 하나

f(2)는 1, 2, 3, 6 중 하나

주어진 조건을 만족시키는 함수 f의 개수를 중복순열을 이용하여 구한다.

f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수를 구한다.

조건 (나)에서 f(1)은 홀수이므로 f(1)이 될 수 있는 값은 1, 3, 5, 7 이고, f(2)는 6의 약수이므로 f(2)가 될 수 있는 값은 1, 2, 3, 6이다.

조건 (가)에서 f(1)<f(2)이므로 f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 다음과 같다.

f(1)=1일 때 f(2)의 값은 2, 3, 6 중의 하나이므로 경우의 수는 3 f(1)=3일 때 f(2)의 값은 6이므로 경우의 수는 1

f(1)=5일 때 f(2)의 값은 6이므로 경우의 수는 1 f(1)=7일 때 f(2)가 될 수 있는 값은 없다.

그러므로 f(1)과 f(2)의 값을 정하는 경우의 수는 3+1+1+0=5 f(3)과 f(4)의 값을 정하는 경우의 수를 구한다.

한편 조건 (다)에서 f(3) f(4)의 값이 짝수이므로 f(3)과 f(4)의 값 은 모두 짝수이거나 두 값 중 하나의 값이 짝수이어야 한다.

즉, f(3)과 f(4)의 값을 정하는 경우의 수는 Y의 원소 8개에서 2개를 택하는 중복순열의 수에서 Y의 원소 중 홀수인 원소 4개에서 2개를 택

풀이전략

문제풀이

(15)

정답과 풀이

15

하는 중복순열의 수를 뺀 것과 같으므로 그 경우의 수는

¥Pª-¢Pª=8Û`-4Û`=64-16=48

곱의 법칙을 이용하여 함수 f의 개수를 구한다.

따라서 구하는 함수 f의 개수는 곱의 법칙에 의하여 5_48=240

 240

51

세 개의 숫자 1, 3, 5를 중복 사용하여 네 자리의 자연수를 만들 때, 만들 수 있는 모든 자연수의 개수는 m이고, 이 m개의 모든 자 연수의 총합은 n이다. nm 의 값은?

① 3113 ② 3223 ③ 3333

④ 3443 ⑤ 3553

중복순열을 이용하여 만들 수 있는 모든 자연수의 개수와 총합을 구한다.

만들 수 있는 모든 자연수의 개수를 구한다.

세 개의 숫자 1, 3, 5를 중복을 허락하여 나열해서 만들 수 있는 네 자 리의 자연수의 개수는

m=£P¢=3Ý`

천, 백, 십, 일의 자리로 나누어 각각의 총합을 구한다.

81개의 자연수의 총합은 다음과 같이 나누어 구할 수 있다.

Ú 천의 자리의 수의 총합

1 꼴의 네 자리의 자연수의 개수 : £P£=3Ü`

그러므로 3Ý`개의 자연수의 천의 자리의 수의 총합은 1000_3Ü`+3000_3Ü`+5000_3Ü`

=9000_3Ü`

Û 백의 자리의 수의 총합

Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 백의 자리의 수의 총합은 100_3Ü`+300_3Ü`+500_3Ü`

=900_3Ü`

Ü 십의 자리의 수의 총합

Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 십의 자리의 수의 총합은 10_3Ü`+30_3Ü`+50_3Ü`

=90_3Ü`

Ý 일의 자리의 수의 총합

Ú과 마찬가지 방법으로 3Ý`개의 자연수의 일의 자리의 수의 총합은 1_3Ü`+3_3Ü`+5_3Ü`

=9_3Ü`

모든 자연수의 총합을 구한다.

Ú ~ Ý에서 3Ý`개의 자연수의 총합은

풀이전략

문제풀이

백, 십, 일의 자리에 올 수 있는 숫자는 모두 1, 3, 5 중 하나로 세 가지씩 존재한다.

n =9000_3Ü`+900_3Ü`+90_3Ü`+9_3Ü`

=9999_3Ü`

이므로

m =n 9999_3Ü`

3Ý` =3333

 ③

52

다섯 개의 숫자 1, 2, 3, 4, 5 중에서 숫자 1과 숫자 2는 중복을 허 락하지 않고 숫자 3과 숫자 4와 숫자 5는 중복을 허락하여 택한 네 개의 숫자로 만들 수 있는 네 자리 자연수의 개수는?

① 401 ② 402 ③ 403

④ 404 ⑤ 405

두 숫자 1, 2의 포함여부에 따라 중복순열을 이용하여 네 자리 자연수의 개수 를 구한다.

두 숫자 1, 2의 포함여부에 따라 각각의 경우의 자연수의 개수를 구한다.

네 자리 자연수 중 두 숫자 1, 2를 모두 포함하는 경우, 숫자 1은 포함 하고 숫자 2는 포함하지 않는 경우, 숫자 1은 포함하지 않고 숫자 2는 포함하는 경우, 두 숫자 1, 2를 모두 포함하지 않는 경우로 나누면 다 음과 같다.

Ú 두 숫자 1, 2를 모두 포함하는 네 자리 자연수

천, 백, 십, 일의 자리 중 두 숫자 1, 2가 들어갈 두 자리를 택하는 경우의 수는 ¢Pª=12

이 각각에 대하여 두 숫자 1, 2가 들어간 자리를 제외한 나머지 두 자리에 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는 경우의 수는 £Pª=3Û`=9

그러므로 이 경우의 자연수의 개수는 12_9=108

Û 숫자 1은 포함하고 숫자 2는 포함하지 않는 네 자리 자연수 천, 백, 십, 일의 자리 중 숫자 1이 들어갈 자리를 택하는 경우의 수 는 ¢CÁ=4

이 각각에 대하여 숫자 1이 들어간 자리를 제외한 나머지 세 자리에 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는 경우의 수는 £P£=3Ü`=27

그러므로 이 경우의 자연수의 개수는 4_27=108

Ü 숫자 1은 포함하지 않고 숫자 2는 포함하는 네 자리 자연수 Û와 마찬가지 방법으로 이 경우의 자연수의 개수는 108 Ý 두 숫자 1, 2를 모두 포함하지 않는 네 자리 자연수

천, 백, 십, 일의 자리에 세 숫자 3, 4, 5가 중복을 허락하여 들어갈 자리를 택하는 경우의 수는

£P¢=3Ý`=81

풀이전략

문제풀이

정답

올 림 포 스 고 난 도 확률과 통계

정답 과 풀이

2

중복순열과 중복조합

01

내신 우수 문항

01

02

03

04

05

06

07

08

09

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

20

21

22

23

01

02

03

04

05

06

3

07

08

09

10

11

4

12

13

14

15

16

17

5

18

19

20

21

22

23

6

내신 고득점 문항

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

38

39

40

41

42

43

44

45

정답 ^과 풀이