Nonlinear Static Analysis for Seismic Performance Evaluation of Multi-Span Bridges Considering Effect of Equivalent SDOF Methods

構 造 工 學

大 韓 土 木 學 會 論 文 集

第26卷 第3A 號·2006年 5月 pp. 473 ~ 484

등가단자유도 방법의 영향을 고려한 다경간 교량의 내진성능 평가를 위한 비탄성 정적해석

Nonlinear Static Analysis for Seismic Performance Evaluation of Multi-Span Bridges Considering Effect of Equivalent SDOF Methods

송종걸*·남왕현**·정영화***

Song, Jong-Keol ^· Nam, Wang-Hyun ^· Chung, Yeong-Hwa

···

Abstract

The capacity spectrum method (CSM) can be used to simply estimate the maximum displacement response of the nonlinear structures. To evaluate seismic performance of multi-span bridges using the CSM, the representative response for structural system should be derived from the multi-degree-of-freedom (MDOF) responses by using the equivalent single-degree-of-free- dom (ESDOF) method. The ESDOF method is used to calculate the capacity curve of the structural system from the pushover curves of all piers or structural members estimated by the pushover analysis. In order to evaluate an accuracy of ESDOF meth- ods used in the CSM, the maximum displacements estimated by the CSM incorporating the several ESDOF methods are com- pared to those by the inelastic time-history analysis for several artificial earthquakes corresponding to the design spectrum.

Keywords :

capacity spectrum method, pushover analysis, multi-span bridges, ESDOF method

···

요 지

역량스펙트럼 방법은 비선형 거동을 하는 구조물의 최대 변위응답을 간편하게 산정하는데 사용된다. 역량스펙트럼 방법을 사용하여 다경간 교량의 내진성능을 평가하기 위해서는 구조계를 대표하는 하나의 응답을 등가단자유도계 방법을 이용하여 다자유도 응답들로부터 유도하여야 한다. 등가단자유도 방법은 비탄성 정적해석에 의해 산정된 힘-변위 곡선들로부터 역량곡 선을 계산하는데 사용된다. 역량스펙트럼 방법에 사용되는 등가단자유도 방법의 정확성을 평가하기 위하여, 몇 개의 등가단 자유도방법과 결합된 역량스펙트럼 방법에 의해 산정된 최대변위응답을 설계지진스펙트럼에 대응되는 인공지진을 사용한 비 탄성 시간이력해석의 변위응답과 비교하였다.

핵심용어 : 역량스펙트럼방법, 비탄성 정적해석, 다경간 교량, 등가단자유도 방법

···

1. 서 론

최근에 구조물의 내진성능 평가기법으로 널리 사용되고 있 는 역량스펙트럼 방법은 구조물의 비탄성 변형능력을 나타 내는 역량곡선 (capacity curve) ^{과 지진하중의 크기를 나타내}

는 탄성 응답스펙트럼의 요구도 곡선 (demand curve) 을 하나 의 그래프에 나타내어 구조물의 비탄성 최대변위를 나타내 는 성능점 (performance point) 을 구하는 방법이다 . 역량곡선 과 요구도 곡선의 교차점인 성능점은 구조물의 동적 평형상 태를 의미하며 최대변위에 대한 강성과 강도의 영향을 효과 적으로 표현할 수 있으며 , 또한 두 곡선을 하나의 그래프에 나타내어 비교함으로써 설계지진 하중에 대한 구조물의 성 능수준을 간편하게 예측할 수 있는 장점이 있다 .

역량스펙트럼 방법은 비탄성 정적해석을 이용하여 구한 구

조요소들의 힘 - 변위 응답특성을 나타내는 여러 개의

pushover 곡선들을 구조시스템을 대표하는 하나의 역량곡선

으로 구하여야 하기 때문에 다자유도 구조계의 비탄성 지진 응답들로부터 시스템을 대표하는 하나의 지진응답을 산정하 는 방법이 필요하다 . ^{다자유도 교량구조물의 응답을 근사적}

인 동적 특성을 가지는 등가단자유도 (equivalent single- degree-of-freedom, ESDOF) 시스템 응답으로 전환하는 방 법이 필요하다 . 철근 콘크리트 구조물의 단자유도 시스템의 최대변위를 평가하기 위해 Qi 모델이 제안되었다 . 그러나 이 모델은 지반가속도가 일정한 변형형상과 질량을 이용하여 계 산되므로 지진응답을 과대평가할 수 있다 . 또한 이 모델은 구조물의 최상층 변위를 단자유도 시스템의 변위로 사용하 기 때문에 교량구조물과 같이 복잡한 경계조건을 갖는 구조 물에서 이 방법을 이용한 등가변위 산정은 적합하지 못하다 *

정회원ㆍ교신저자ㆍ강원대학교토목공학과부교수

(E-mail: [email protected])

**

강원대학교토목공학과박사수료

(E-mail: [email protected])

***

정회원ㆍ강원대학교토목공학과교수

(E-mail: [email protected])

(Qi and Moehle, 1991). 이외에도 Rothe 와 Sozen(1983), Miranda 와 Bertero(1994), Villaverde(1996) 등의 많은 연구 자들이 등가단자유도 시스템의 전환방법을 제안하고 있지만 교량 구조물에 대하여 적용하기에는 부적절하므로 연구에 포 함하지 않았다 .

본 연구의 목적은 등가단자유도 방법에 따른 다자유도 교 량구조물의 내진성능을 역량스펙트럼 방법을 이용하여 평가 하며 , 각 등가단자유도 방법의 특성을 비교 , 분석하고 제안 된 등가단자유도 방법의 타당성 및 적용성을 검토하는 것이 다 . 등가단자유도 방법의 비교를 위해서 Fajfar(1998) 가 제안 한 N2 방법에서 형상벡터를 해석초기에 결정하는 대신 구조 물의 응답으로부터 결정하는 방법으로 수정하여 보완한

MN2 방법 (Modified N2 method), Song(1997) 이 제안한 등 가단자유도 방법을 수정하여 교량구조물에 적용한 S1 방법 과 S2 방법 그리고 에너지 개념을 도입하여 Calvi(1995) 가 제안한 방법 등을 사용하였다 . 등가 단자유도 방법의 비교를 위하여 간단한 4 경간의 대칭 및 비대칭 교량을 각각 3 개 씩 설계하여 사용하였다 . 등가단자유도 방법에 따른 역량스 펙트럼 해석의 최대변위응답의 산정에 대한 정확성을 평가 하기 위하여 설계 스펙트럼에 대응하는 10 개의 인공지진을 작성하여 이를 이용한 비탄성 시간이력해석을 수행하여 최 대응답을 구하여 비교하였다 .

2. 등가단자유도 방법

2.1 MN2 방법(수정된 N2 방법)

N2 ^방법 (Fajfar and Gaspersic, 1996) ^{은 처음에는 빌딩구}

조물에 적용하도록 개발되었지만 교량구조물에도 적용 가능 하도록 N2 방법 (Fajfar and Gaspersic, 1998) 은 수정되었으 며 상세한 내용은 다음과 같다 .

비탄성 정적해석에 사용되는 횡하중 벡터 P는 다음과 같 이 나타낼 수 있다 .

P = p Ψ = p Mψ , P

i

= pm

iψi

(1)

여기서 , ^{M은 집중질량} m

i

를 나타내는 질량행렬이며 , p ^는

특성점에서 정규화된 하중이며 , ψ는 가정된 변형형상 벡터 이며 , Ψ는 횡하중의 분포를 나타내는 벡터이다 . 특성점은 최대변위가 발생하는 위치를 의미한다 . P

i

와

ψi

는 벡터 P와 ψ의 i 번째 자유도에 대한 성분이다 . N2 방법에서 적 절한 변형형상을 선택하는 것이 횡하중 분포의 결정에 영향

을 미치며 이것이 비탄성 정적해석의 정확성에 영향을 주는 중요한 과정이다 . 그림 1 에 나타낸 것처럼 변형형상은 교량 구조물에 발생할 수 있는 변형형상을 가장 잘 예측하도록 적절히 선택하여야 하지만 간편성도 고려하여야 하기 때문에 삼각형분포나 등분포의 형상이 사용되는 것이 일반적이다 .

N2 방법의 가장 기본적이며 중요한 가정은 변위형상 ψ는 상수벡터라는 것이다 . 즉 , 지진하중에 대한 구조물의 거동시 에 변형형상이 일정하다는 가정으로부터 변위벡터 X는 다음 과 같이 정의할 수 있다 .

X = ψ u

t

(2)

여기서 , u

t

는 최대 변위가 발생하는 특성점에서 시간에 따른 변위응답을 나타낸다 . 변형형상 ψ는 적용상의 편리를 위하 여 특성점에서의 값이 1 이 되도록 정규화하여 사용한다 . 식

(1) 에 나타낸 횡하중 분포와 식 (2) 의 변위응답의 가정을 이 용하면 다자유도계의 운동방정식으로부터 등가 단자유도계의 운동방정식을 다음과 같이 구할 수 있다 .

(3)

여기서 m

^*

, u

^*

^와 r

^*

^{는 각각 등가 단자유도계의 질량} , ^변위

및 저항력을 나타낸다 . 는 시간함수인지반가속도를 나타 낸다 .

m

^*

=

ψ^T

M1 = m

iψi

(4)

u

^*

= cu

t

(5)

r

^*

= c P

i

; P

i

=

ψ^T

M1 p = p m

iψi

= pm

^*

(6)

(7)

여기서 상수 c 가 다자유도 시스템에서 등가단자유도 시스템 으로 전환하는 것을 제어하는 역할을 한다 .

그림 1 과 같이 N2 방법은 해석 전에 가정된 변형형상벡 터를 이용하여 등가응답과 등가저항력을 산정한다 . ^그러나

N2 방법을 제외한 본 연구에 사용된 나머지 방법들은 가정

된 횡하중 분포를 적용하여 비탄성 정적해석결과를 수행하 여 얻은 탄성구간의 변형형상을 형상벡터로 사용한다 . 그러 므로 연구에 사용된 4 가지의 등가단자유도 방법들을 동일한 조건으로 비교하기 위해서 N2 방법을 수정하여 그림 1 과

m^*u

^··

^*

+

r^*

=

m^*x

^··

_g

x

^··

_g

∑

∑ ∑ ∑

c

=

ψ^T

M

ψ ψ^T

M1

--- = ∑

^miψi2

∑

^miψi

---

그림 1. N2 방법에 적용되는 교량형식에 따른 가정된 변형형상

같은 구조해석 전에 가정된 형상벡터를 이용하지 않고 해석 으로부터 얻어진 변위응답을 이용하여 형상벡터를 계산하고 이를 등가변위와 등가저항력 산정에 적용하였다. 본 연구에 서 사용한 N2 방법을 기존의 N2 방법과 구분하기 위하여 MN2 방법이라고 한다.

2.2 Calvi 등이 제안한 방법

Calvi와 Kingsley(1995)는 에너지 개념을 도입하여, 지진하 중을 받는 다자유도 교량구조물의 응답을 등가단자유도의 응 답으로 전환하는 방법을 제안하였으며 본 논문에서 이 방법 은 편의상 Calvi 방법이라고 한다. 그림 2에 나타낸 바와 같이 이상화된 다자유도 교량 구조물의 변위응답은 일정한 값을 갖는 변형형상벡터와 등가 단자유도계 응답으로 식 (8) 과 같이 표현할 수 있다. 또한 가속도의 응답도 변위응답과 같이 형상벡터에 의해 식 (9)와 같이 나타낼 수 있다.

δi

= c

iδe

(8)

a

i

= c

i

a

e

(9)

여기서,

δi

는 다자유도 교량의 i 번째 교각에 대한 변위응답,

δe

는 등가 단자유도계의 변위응답, c

i

는 교량구조물의 횡방향 변형형상을 나타내는 i 번째 교각의 형상벡터이다. a

i

는 다자 유도 교량의 i 번째 교각에 대한 가속도응답이고 a

e

는 등가 단자유도계의 가속도응답을 나타낸다.

다자유도 교량과 등가 단자유도계에 작용하는 하중의 합은 동일하므로, 등가 단자유도계의 등가 하중 p

e

와 등가 질량

m

e

은 각각 식 (10)과 식 (11)과 같이 나타낼 수 있다.

(10)

(11)

여기서, p

i

와 m

i

는 i 번째 교각에 가해지는 하중과 교각상부 에 작용하는 질량을 나타낸다. 다자유도교량에서 각각의 교각 에 작용하는 하중 p

i

는 등가 단자유도계의 등가 하중 p

e

를 이용하여 다음과 같이 쓸 수 있다.

(12)

식 (8)로부터 구한 c

i

를 식 (12)에 대입하여 정리하면 다음 과 같다.

(13)

구조물에 작용한 에너지의 총량은 다자유도 교량과 단자유도 계에 대하여 동일하다는 개념에 의해 식 (14)와 같이 나타 낼 수 있다.

(14)

식 (13)을 식 (14)에 대입한 후

δe

에 대해 정리하면, 등가 단자유도계에 대한 변위응답을 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(15)

2.3 제안된 방법(S1, S2 방법)

지진하중을 받는 다자유도 운동방정식으로부터 등가단자유 도계의 운동방정식을 유도하면 다음과 같다(Lee, Song, and Yun, 1997).

지진하중을 받는 다자유도 교량구조물의 운동방정식은 다 음과 같이 나타낼 수 있다.

(16) 여기서 X는 지반에 대한 상대변위벡터, M은 질량행렬, C 는 감쇠행렬, R(X)는 저항력 벡터, 그리고 1은 구조물의 자 유도에 대하여 입력지반가속도에 연관된 단위벡터이다.

구조물의 거동은 변형형상이 일정한다는 가정으로부터 변 형형상벡터와 등가단자유도 변위의 곱으로 다음과 같은 형 태로 근사적으로 나타낼 수 있다.

X = ψ u (17)

여기서 ψ는 교량구조물의 교축직각 방향의 횡방향 변형형상 을 나타내는 형상벡터이고 이것은 상수벡터이다. 이 변형형상 은 단조증가하중에 대한 비탄성 정적 해석을 수행하여 탄성 거동시의 횡방향 변형형상으로부터 구한다. u 는 구조시스템 을 대표하는 등가단자유도 변위이다. 위와 같이 교량구조물의 속도와 가속도를 다음과 같이 나타낼 수 있다.

(18) (19) 식 (17), 식 (18)과 식 (19)를 식 (16)에 대입하고 운동방 정식의 양변에 ψ

^T

를 곱해주면, 등가단자유도 방정식이 다음 과 같이 유도된다.

(20) 여기서, m = ψ

^T

M ψ, c = ψ

^T

C ψ, l = ψ

^T

M 1이고, r ( u ) 는 등가저항력으로써 식 (21)과 식 (22)와 같이 나타낼 수 있다. 식 (21)의 경우는 빌딩구조물의 등가저항력을 산정하는 데 유용한 방법이며, 교량 구조물인 경우에는 교축 직각방향

p_e

=

i 1= n

∑

^pi

⁼

i 1= n

∑

^miai

⁼

^ae

i 1= n

∑

^mici

m_e

=

i 1=

∑

n ^mici

p_i

=

m_ia_i

=

m_ic_ia_e

=

p_e m_ic_i

k 1= n

∑

^mkck

---

p_i

=

p_e m_i

δ

_i

k 1= n

∑

^mk

^δ

^k

---

p_e

δ

_e

=

i 1=

∑

n ^pi

^δ

ⁱ

δ

_e

=

^{i 1=}

n

∑

^mi

^δ

ⁱ²

i 1=

∑

n ^mi

^δ

ⁱ

---

MX··+CX·+R X ( ) = -M1

x

^··

_g

X · = ψ

u

^· X·· = ψ

u

^··

mu

^{·· +}

cu

^{· +}

r u

( ) = −

lx

^··

_g

그림 2. 이상화된 다자유도 교량구조물의 비탄성 정적해석

의 거동을 고려할 때 교대에서의 형상벡터의 값이 0 이기 때 문에 교대의 전단력을 등가저항력에 반영하지 못하는 단점이 있다 . 따라서 본 연구에서는 식 (21) 과 같이 형상벡터를 적 용하여 교각의 전단력만을 이용하여 등가저항력을 계산하는 경우 (S1 방법 ) 와 교대와 교각의 전단력을 모두 합하는 방법 인 식 (22) 를 이용하여 계산하는 경우 (S2 방법 ) 로 나누어 등가저항력을 산정하였다 . S1 방법과 S2 방법의 구분은 단 지 등가저항력을 구하는 부분에서만 차이가 나며 나머지는 동일하다 .

r ( u ) = ^ψ

^T

^R(X) (21)

r ( u ) = 1R(X) (22)

아래와 같은 조건을 만족하도록 형상벡터 ψ를 정규화 한다 .

ψ

^T

Mψ = ψ

^T

M1 (23)

위의 정규화 과정에 의하여 식 (20) 의 지진하중계수 l 은

m 과 같게 된다 . 그러면 식 (20) 은 다음과 같이 지진하중을 받는 단자유도계의 운동방정식의 형태와 같아진다 .

m + c + r ( u ) =

−

m (24)

식 (23) 을 이용하고 식 (17) 에 ψ

^T

M를 곱하면 식 (25)

의 구조시스템을 대표하는 등가단자유도 변위 u ^{를 다음과}

같이 평가할 수 있으며 이는 S1 방법과 S2 방법에 공통적 으로 사용된다 .

(25)

3. 예제교량 및 지진하중

등가단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석에 사용한 예 제구조물은 동일한 사각형 중공단면의 교각 3 개로 이루어 졌으며 , 50m 의 동일 경간장을 가지는 4 경간 PSC BOX

거더 교량으로서 교축방향으로 교각 높이의 좌우 대칭의 여 부에 따라서 크게 대칭교량과 비대칭교량으로 구분할 수 있 다 . 3 개의 대칭교량은 교각 3 개의 높이가 좌로부터 각각

7m:14m:7m, 14m:21m:14m 그리고 21m:7m:21m 인 교량으 로 설계되었으며 , 교각의 높이 비를 교량명칭에 적용하여 각 각 C121, C232 그리고 C313 이다 . 3 개의 비대칭 교량은 교

각의 높이가 각각 7m:14m:21m, 14m:7m:21m 그리고

21m:7m:7m 이며 이들 교량의 명칭은 C123, C213 그리고

C311 으로 정의하였다 . 예제 교량 6 개의 형상 및 단면 제원 은 그림 3 에 나타내었다 . 교각단면에서 주철근의 배치는

SD40 인 D29 의 사용철근 198 개를 그림 3(c) 에 나타낸 것처 럼 2 단으로 배근하였다 . 교각단면의 비탄성 거동특성을 규정 하는 모멘트 - 곡률 관계를 구하는데 중요한 물성치인 콘크리

트와 철근의 응력 - ^{변형율 관계를 각각 그림} 4(a) ^{와 그림}

4(b) 에 나타내었다 . 교각단면의 모멘트 - 곡률 관계는 그림

4(c) 에 나타낸 바와 같이 구하였으며 이를 IDARC-BRIDGE

프로그램 (Reinhorn, Simeonov, Mylonakis and Reichman, 1998) 에서 사용되는 tri-linear 모멘트 - 곡률 관계로 입력하기 위하여 근사화 하였다 .

등가단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석으로 구한 비 탄성 응답의 정확성을 평가하기 위하여 비탄성 시간이력해 석결과와 비교를 하였으며 , ^{비탄성 시간이력해석을 위하여}

설계스펙트럼에 대응하는 10 종류의 인공지진파를 작성하여 u·· u· x··

_g

u t() = ψ

^T

M X t ( ) ψ

^T

M 1 ---

그림 3. 예제교량의 형상 및 단면제원

그림 4. 재료의 응력-변형율 특성 및 교각단면의 모멘트-곡률 관계

사용하였다 . 10 ^{개의 인공지진의 생성을 위하여} 10 ^{종류의 실}

제지진기록을 이용하여 설계스펙트럼과 유사한 응답을 가지 도록 SIMQKE 프로그램 (Gasparini and Vanmarcke, 1976)

을 수정한 인공지진생성 프로그램을 이용하여 설계스펙트럼 의 형태에 부합하는 인공지진파형을 생성하였다 . 설계스펙트 럼은 도로교 설계기준 ( 건설교통부 , 2005) 에 의하여 내진등급 ,

지반계수 등급을 적용하여 작성하였다 . 10 개의 인공지진파와 설계스펙트럼은 관련논문 ( 송종걸 , 남왕현 , 정영화 , 2005) 에 설 명되어 있다 . 설계스펙트럼과 인공지진의 가속도와 변위 응 답스펙트럼을 그림 5 에 비교하여 나타내었는데 설계스펙트 럼과 비교적 잘 일치하므로 역량스펙트럼 방법과 비교의 목 적으로 인공지진 가속도 기록은 시간이력해석에 사용하기에 적합하다고 할 수 있다 .

4. 역량스펙트럼 해석에 의한 비탄성 변위응답 산정 시 등가단자유도 방법의 영향

4.1 대칭 및 비대칭 예제교량에 대한 역량스펙트럼 해석 비탄성 정적해석을 통해 구해진 교각별 힘 - 변위 관계는 등 가단자유도 방법을 이용하여 교량 시스템을 대표하는 하나 의 응답으로 나타낼 수 있다 . 비탄성 정적해석에 사용한 횡 하중 분포는 그림 6 과 같이 SRSS 조합 하중분포 (FEMA 440 보고서 , 2004) 를 사용하였다 . 이는 횡하중 분포에 관한 논문 ( ^송종걸 , ^남왕현 , ^정영화 , 2005) ^에서 SRSS ^{조합 하중분}

포가 대칭 교량뿐만 아니라 비대칭 교량에서도 역량스펙트 럼 방법에 적용하여 최대변위응답을 평가하였을 경우에 정

확성이 우수하기 때문에 본 연구에서 선택하였다 . SRSS ^조

합 하중분포는 다음과 같이 나타낼 수 있다 .

(26)

여기서 ,

φij

는 i 번째 교각에서 j 번째 모드에 대한 형상벡터의 크기이며 , m

i

은 i 번째 교각에 작용하는 질량을 나타낸다 .

비탄성 정적해석시 교량구조물에서 각 교각들의 모멘트 중

하나라도 그림 4(c) ^{에 나타낸 모멘트} - ^{곡률관계의 극한모멘트}

(ultimate moment) 를 초과하면 교량은 붕괴상태에 도달하는 것으로 가정하였다 . 예제교량의 교각별 힘 - 변위 응답들로부 터 등가 단자유도계의 힘 - 변위 관계를 구하기 위해 S1 과

S2 방법에서는 식 (23) 에 의해 정규화된 변형형상벡터를 사 용하였으며 , MN2 방법과 Calvi 방법에서는 최대변위가 예 상되는 교각의 변형형상벡터가 1.0 되도록 정규화하여 사용 하였다 . 그림 7 은 SRSS 조합 하중분포에 의한 예제 교량의 정규화된 변형형상을 나타내고 있다 . 그림 7 로부터 S1 과 S2

방법에서 사용된 형상벡터 값이 정규화 과정의 차이로 인하

여 MN2 방법과 Calvi 방법에 의해 정규화된 형상벡터의

경우보다 크게 나타나고 있지만 형상벡터의 상대적인 차이 인 형상은 모든 경우에 대하여 동일함을 알 수 있고 그림

6 에 나타낸 SRSS 조합 하중분포와도 유사함을 알 수 있다 .

대칭 및 비대칭 예제교량에 대한 4 가지 등가단자유도 방 법에 의한 등가단자유도 힘 - 변위 관계를 그림 8 에 나타내었 다 . 대칭교량과 비대칭교량에 상관없이 등가단자유도 방법들

가운데 S2 방법과 Calvi 방법은 상당히 유사한 등가단자유

도 힘 - 변위관계를 나타내고 있다 . 이러한 원인은 등가저항력 과 등가변위를 계산하는 과정이 두 방법이 유사하기 때문이 다 . 특히 그림 8 에 나타낸 등가단자유도 방법에 따른 등가 저항력 - 등가변위 관계의 차이는 주로 등가저항력의 차이에 기인하는 것을 알 수 있는데 , 등가저항력은 S2 방법과

Calvi ^{방법이 모두 교대와 교각에 발생하는 전단력의 총합으}

로써 구하기 때문에 동일하다 . 그러므로 그림 8 의 두 방법 의 차이는 등가변위에 의한 차이인데 , 등가변위는 S2 방법이

식 (25) 에 나타낸 바와 같이 일정한 변형형상벡터와 교각에

발생하는 변위를 이용하여 등가변위를 계산하는 반면 Calvi

방법은 식 (15) 에 나타낸 바와 같이 변형형상벡터는 사용하

C_i

=

j 1= n

∑ ( ^φ

ijm_i

)

²

그림 5. 설계 스펙트럼과 인공지진에 대한 응답스펙트럼의 비교

그림 6. 예제교량의 비탄성 정적해석에 사용된 SRSS 조합 하중

분포

지 않고 교각의 변위만을 이용하여 등가변위를 산정하게 된 다. 등가변위를 산정하는 방법에 약간의 차이가 있지만 식 (15)와 식 (25)에서처럼 등가변위 계산식은 유사한 형태를 가지므로 교각들의 변위응답의 형상이 처음에 가정한 변형 형상과 큰 차이 없다면 차이는 크지 않을 것이다.

S1 방법은 나머지 등가단자유도 방법들과 비교해서 가장 작은 등가저항력을 나타내고 있다. 이는 식 (21)과 같이 정 규화된 변형형상벡터를 이용하여 등가저항력을 계산하므로 변형형상벡터가 0인 교대의 전단력은 등가저항력 산정에서 제외된다. 따라서 교각에 발생하는 전단력만을 고려하여 등 가저항력을 산정하므로 다른 방법들에 비해서 작은 값을 나 타낸다. 그림 8로부터 각 방법에 따른 붕괴 변위는 S1 방법, S2 방법 및 Calvi 방법은 유사하지만, MN2 방법에서는 상 대적으로 작게 평가됨을 알 수 있다. 이는 MN2 방법에서 등가단자유도 시스템의 변위는 식 (5)와 같이 최대변위의 발 생이 예상되는 교각(특성점)의 변위( u

t

)에 다자유도 시스템을 단자유도 시스템으로 전환하는 역할을 하는 c 를 곱하여 등 가변위를 산정하므로 1보다 작은 값을 나타내는 c 로 인해 등가변위는 최대변위가 발생하는 교각의 변위보다 작아지기 때문이다.

그림 8에 나타낸 각 방법에 따른 등가 단자유도계의 힘- 변위(등가저항력-등가변위) 관계를 가속도-변위 관계(S

a

–S

d

곡 선)로 전환하여 그림 9에 나타내었다. 등가저항력을 각 등가 단자유도 방법에 의한 유효질량(혹은 등가질량)으로 나누면 가속도로 전환할 수 있다. 이와 같은 가속도-변위 관계를 역 량스펙트럼 방법에서 역량곡선이라고 한다. 역량곡선은 구조 물의 강성, 강도 및 비탄성 변형능력 등의 유용한 정보를 하나의 곡선으로 효과적으로 나타낸다.

등가 단자유도 방법에 따른 등가 단자유도계의 유효질량 ( M

ESDOF

), 유효강성( K

ESDOF

) 및 유효주기( T

ESDOF

)를 표 1에 정리하여 나타내었다. 유효질량은 교각에 작용하는 상부구조 물의 질량과 그림 7의 하중분포에 따른 정규화된 변형형상 벡터를 이용하여 계산하였다. MN2 방법과 Calvi 방법에서 의 유효질량은 각각 식 (4)와 식 (11)에 의하여 구할 수 있 으며, S1 방법과 S2 방법에서는 유효질량은 m = ψ

^T

M ψ 로서 구할 수 있다. 이 때의 형상벡터는 정규화된 형상벡터 를 사용한다. 유효강성은 그림 8에 나타낸 등가 단자유도계 에 대한 힘-변위 관계에서 탄성구간의 기울기로서 구한다.

표 1에서 알 수 있듯이 S1 방법에 의한 유효강성이 나머지 방법들보다 과소평가되었는데 이러한 원인은 S1 방법이 식 그림 7. 비탄성 정적해석에서 SRSS 조합 하중분포를 적용한 경우의 예제교량의 횡방향 변형형상

그림 8. 등가단자유도 방법에 따른 등가단자유도계의 힘-변위 관계 비교

(21)에 나타낸 등가저항력 계산시 교대의 변형형상이 0이기 때문에 교대에 작용하는 전단력의 영향을 반영하지 못하기 때문이다. 유효강성은 교량 C213, C311 등과 같이 상대적 으로 인접한 교각과의 높이 차가 크면서 교량중앙부의 교각 높이가 상대적으로 작은 경우와 교량 C121과 같이 전체적인 교각의 높이가 작은 경우에 유효강성이 크게 나타난다. 등가 단자유도계의 고유진동주기는 유효질량(M

ESDOF

)과 유효강성 (K

ESDOF

)을 이용하여 식 (27)과 같이 계산할 수 있다.

(27)

고유진동해석에 의한 예제 교량의 고유진동주기(T

MDOF

)와 등가 단자유도방법에 의해 등가 단자유도계로 치환된 경우 의 고유진동주기(T

ESDOF

)를 그림 10에 비교하여 나타내었다.

그림 10에 나타낸 점들이 대각선에 가까울수록 등가 단자유 도계의 주기가 예제교량의 주기와 잘 일치함을 나타내고, 대 각선 위쪽에 분포하는 경우는 등가단자유도 방법에 의한 T

ESDOF

가 T

MDOF

보다 크게 평가함을 의미하고 그 반대의 경우는 작게 평가함을 의미한다. 그림 10(a)에 나타낸 대칭 교량에서는 전반적으로 S1 방법에 의한 T

ESDOF

가 T

MDOF

보다 약 10% 정도 크게 평가하였으나, 나머지 방법들은 작 T

_ESDOF

= 2 π M

_ESDOF

/ ^K

_ESDOF

그림 9. 등가단자유도 방법에 따른 등가단자유도계의 역량곡선 비교 표 1. 등가단자유도 방법에 따른 등가 단자유도계의 질량, 강성 및 주기 비교

구분 교량

명칭 등가단자유도계

특성 등가단자유도 방법

MN2 방법 Calvi 방법 S1 방법 S2 방법

대 칭 교 량

C121 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 12453 12453 16697 16697

유효강성 (kN/m) 746848 1001388 585249 1001388

유효주기 (sec) 0.811 0.701 1.061 0.811

C232 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 17618 17618 22747 22747

유효강성 (kN/m) 221239 285648 249247 285648

유효주기 (sec) 1.773 1.560 1.898 1.773

C313 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 19265 19265 21354 21354

유효강성 (kN/m) 672202 745075 311197 745075

유효주기 (sec) 1.064 1.010 1.646 1.064

비 대 칭 교 량

C123 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 14532 14532 17503 17503

유효강성 (kN/m) 293556 353570 188059 353570

유효주기 (sec) 1.398 1.274 1.917 1.398

C213 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 17206 17206 21265 21265

유효강성 (kN/m) 726831 898289 496339 898289

유효주기 (sec) 0.967 0.870 1.301 0.967

C311 ^유효질량 (kN-sec

²

/m) 11900 11900 15388 15388

유효강성 (kN/m) 673841 871342 341489 871342

유효주기 (sec) 0.835 0.734 1.334 0.835

게 평가하는 경향을 나타내었다. 특히, 교량 C232에 비해 교량 C121과 교량 C313에서 작게 평가의 정도가 20%를 초과하는 것으로 나타났다. 이러한 원인은 교량 C121과 교 량 C313에서 교각의 높이가 상대적으로 낮거나, 인접교각과 높이의 차이가 크기 때문에 등가 단자유도계의 강성을 크게 평가하게 되므로 식 (27)를 이용한 고유진동주기가 작게 평 가되기 때문으로 판단된다. 반면 교량 C232에서는 교각의 높이 차이가 크지 않기 때문에 다자유도 교량의 고유진동주 기와의 일치정도가 다른 예제교량에 비하여 높은 것으로 나 타났다. 그림 10(b)의 비대칭 교량에서는 S1 방법만이 다자 유도 교량의 고유진동주기보다 크게 평가하는 것으로 나타 났고 다른 등가단자유도 방법들은 모두 작게 평가의 정도가 20%를 초과하였다. 이러한 원인으로는 표 1에 나타낸 바와 같이 S1 방법은 등가 단자유도계의 강성을 작게 평가하기 때문이다. Calvi 방법은 4가지 등가단자유도 방법들 중 가장 작은 주기를 나타내고 있다. 그림 10으로부터 교량 C232에 대한 등가단자유도 방법에 따른 등가 단자유도계의 진동주 기의 차이가 다른 예제교량에 비하여 가장 작게 나타나고 정확성도 우수하다. 이는 교량이 대칭이며 인접 교각의 강성 의 차이가 작을 수록 등가 단자유도계로 치환한 경우의 정

확성이 뛰어나며 등가 단자유도방법에 따른 영향도 작음을 알 수 있다. 고유진동주기의 비교에서 대칭 교량의 경우가 T

ESDOF

와 T

MDOF

의 일치성이 비대칭 교량에 비하여 양호하 나 그 차이가 크지 않고, 등가단자유도계의 진동주기 산정에 서 대칭 및 비대칭성의 영향은 크지 않고 등가 단자유도 방 법에 따른 영향이 지배적이라고 할 수 있다.

대칭 및 비대칭 예제교량에 대한 역량스펙트럼 방법의 적 용 예를 등가단자유도 방법에 따라 그림 11~그림 14에 나 타내었다. 역량스펙트럼 방법의 적용에 대한 자세한 적용과 정은 관련 참고문헌(송종걸, 2004)에 설명되어 있다. MN2 방법과 S2 방법에 의한 역량곡선을 이용한 역량스펙트럼 해 석으로부터 구한 최대변위응답의 평가결과가 동일하게 나타 나고 있음을 알 수 있다. 이와 같은 원인은 그림 9에 나타 낸 바와 같이 두 방법에 의한 역량곡선이 유사하기 때문이 다. S1 방법은 등가저항력을 다른 등가단자유도 방법에 비하 여 가장 작게 평가하기 때문에 최대 비탄성 변위를 가장 크 게 평가하는 경향을 나타낸다.

등가단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석으로부터 계 산된 최대변위 결과값의 정확성을 평가하기 위하여 가속도 와 주파수 성분을 수정한 10개의 인공지진파형을 이용한 비 그림 10. 다경간 예제교량의 주기(T

MDOF

)와 등가단자유도 방법에 따른 등가단자유도계의 주기(T

ESDOF

)의 비교

그림 11. MN2 방법을 이용한 예제교량의 역량스펙트럼 해석

탄성 시간이력해석의 최대변위와 비교하였다. 역량스펙트럼 해석에 의한 최대변위(D

C

)와 비탄성 시간이력해석에 의한 최 대변위(D

T

)를 비교하여 그림 15에 나타내었다. 역량스펙트럼 방법에 의한 최대변위는 등가단자유도계의 최대변위를 나타 냄으로 이 값을 최대변위 발생교각의 변위로 환산하여 표 2 에 나타내었다. 최대변위의 환산과정은 그림 11~14에서 구 한 성능점에 해당하는 등가단자유도계의 최대변위에 그림 7 에 나타낸 최대변위 발생교각의 형상벡터 값을 곱하면 된다.

표 2에서 알 수 있듯이 MN2 방법과 Calvi 방법은 최대변 위 발생 교각의 변형형상 벡터 값이 모두 1이므로 등가단자 유도 방법의 최대변위와 최대변위 발생 교각의 변위로 환산 한 값이 동일하다. 그러나 S1 방법과 S2 방법에서는 형상벡 터의 값이 1보다 크기 때문에 역량스펙트럼 방법을 이용해 계산된 등가 단자유도계의 최대변위보다 큰 값을 나타낸다.

역량스펙트럼 방법에 의해 계산된 1개의 최대변위와 비교

되는 비탄성 시간이력해석의 결과는 사용한 인공지진기록이 10개이므로 10개이다. 그러므로 그림 15에서 가로축인 시간 이력해석의 결과는 최소 및 최대값의 영역과 평균값의 형태 로 나타내었다. 최소값과 최대값의 분포영역의 크기 즉, 분 산정도가 크고 작음은 인공지진에 따른 파형의 영향이 최대 변위에 미치는 영향의 민감정도를 나타낸다고 할 수 있다.

특히 대칭교량 C232의 경우가 인공지진의 파형에 따른 최대 변위에 미치는 영향이 민감한 것으로 나타났다. 그림 15로부 터 S1 방법을 이용한 역량스펙트럼 해석이 다른 방법들과 비교해서 최대변위를 가장 크게 평가하고 있음을 알 수 있 다. 이는 그림 10에서 고유진동주기를 다른 방법들에 비해 과대 평가하는 경향과 유사하며 또한 S1 방법에 의한 역량 곡선의 등가저항력을 과소평가하기 때문에 비탄성 변위응답 이 다른 방법들보다 과대평가 되기 때문이다. 즉, 단자유도 구조물의 항복강도가 작을수록 비탄성 응답이 증가하는 현 그림 12. Calvi 방법을 이용한 예제교량의 역량스펙트럼 해석

그림 13. S1 방법을 이용한 예제교량의 역량스펙트럼 해석

상과 동일한 현상이다. 또한 고유진동주기가 다른 방법보다 과대평가 되었기 때문에 이에 따른 변위응답의 증가하는 경 향도 복합적으로 작용했으리라 판단된다. 그림 5에 나타낸 변위 응답스펙트럼처럼 구조물의 주기가 증가함에 따라 변 위응답도 증가하는 것이 일반적인 경향이기 때문이다. 그러 나 S2 방법을 이용한 등가단자유도계의 주기는 그림 10에 나타낸 바와 같이 고유치 해석에 의한 주기에 비하여 과소 평가하는 경향을 나타내고 있지만, 역량스펙트럼 해석에 의 한 다자유도 교량의 최대변위는 비탄성 시간이력해석의 경 우보다 약간 과대평가하는 경향을 나타낸다. 이는 역량스펙 트럼 방법으로 계산된 단자유도계의 변위응답에 그림 7에 나타낸 최대변위 발생교각의 1보다 큰 형상벡터의 값(대략 1.15~1.4)을 곱하여 구하기 때문인 것으로 판단된다. 대칭교 그림 14. S2 방법을 이용한 예제교량의 역량스펙트럼 해석

표 2. 등가단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석에 의한 최대 변위와 비탄성 시간이력해석에 의한 최대변위의 비교

( 단위 : cm)

구분 교량 명칭

역량스펙트럼 방법 비탄성

시간이력 해석

MN2 방법 Calvi

방법 S1

방법 S2

방법 대 칭

교 량

C121 4.17 3.43 7.99 5.68 4.08

C232 11.82 9.77 16.71 14.95 12.59

C313 5.98 5.58 11.87 6.63 4.77

비대칭 교 량

C123 8.61 7.61 15.80 9.70 9.93

C213 5.27 4.58 9.67 6.51 5.13

C311 4.33 3.65 10.46 5.60 5.89

그림 15. 예제교량에 대한 비탄성 시간이력해석과 역량스펙트럼 방법의 최대변위 비교(D

C

=역량스펙트럼 해석에 의한 최대변위, D

T

=인공

지진을 이용한 비탄성 시간이력해석에 의한 최대변위)

량에 대한 MN2 방법과 Calvi 방법은 교량 C313을 제외한 교량 C121와 교량 C232에서는 10~20% 정도 과소평가하였 다. 이는 그림 10(a)에 나타낸 주기의 경향과 유사하다. 비 대칭 교량에서는 교량 C213을 제외한 교량에서는 MN2 방 법과 Calvi 방법이 비탄성 시간이력해석과 비교하여 최대변 위를 20% 이상 과소평가하는 것으로 나타났다.

그림 15에 나타낸 비탄성 시간이력해석에 의한 최대변위 의 평균값과 역량스펙트럼 해석에 의한최대변위와의 불일치 율을 계산하여 그림 16에 나타내었다. S1 방법과 S2 방법 에 의한 역량스펙트럼 해석은 비탄성 시간이력해석에 비해 과대평가를 하며, MN2 방법과 Calvi 방법에 의한 역량스펙 트럼 해석은 과소평가하는 것을 알 수 있다. S1 방법은 교 각의 강성비 즉, 길이의 차이가 큰 교량일수록 특히 교량 C313에 대하여 불일치율이 크게 나타나는 것을 알 수 있다.

S1 방법과 Calvi 방법은 과대 및 과소의 평가의 정도가 S2 방법과 MN2 방법에 비하여 크기 때문에 최대변위의 평가에 대한 정확성이 떨어지며, MN2 방법은 구조물의 최대변위를 잘 예측하지만 약간 과소평가하는 경향이 있기 때문에 설계 의 목적으로 사용될 경우에는 안전측의 설계가 되지 못하는 단점이 있을 수 있다. 그러므로 S2 방법이 약간 과대평가를 하지만 최대변위응답의 평가에 대한 정확성과 더불어 설계 의 목적으로 사용하였을 경우에 보수적인 평가에 의한 안전 성 확보가 가능하기 때문에 가장 적합한 방법이라고 판단 된다.

5. 결 론

본 연구에서 4가지의 등가단자유도 방법을 적용하여 비탄 성 정적해석에 의한 다경간 교량구조물의 지진응답들로부터 구조 시스템을 대표하는 하나의 등가 단자유도계의 지진응 답을 산정한 후 이를 역량스펙트럼 방법에 적용하여 교량구 조물의 최대 비탄성 변위응답을 평가하였으며 이를 설계스 펙트럼에 대응되는 10개의 인공지진에 대한 비탄성 시간이 력해석 결과와 비교·분석하여 다음과 같은 결론을 얻었다.

1. 4가지의 등가단자유도 방법을 통해 구한 역량곡선을 역량 스펙트럼 해석에 적용하여 6개의 대칭 및 비대칭 예제 교 량의 주기 및 최대변위 응답을 평가한 결과를 분석하여 볼 때, 응답의 정확성에 미치는 영향은 교량의 대칭 및 비대칭성에 따른 영향보다는 등가단자유도 방법의 차이에 따른 영향이 보다 더 지배적임을 알 수 있다.

2. 등가단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석에서 MN2 방법과 Calvi 방법은 비탄성 시간이력해석보다 최대변위 응답을 과소평가하는 경향을 나타내며 S1 방법과 S2 방 법은 과대평가하는 경향을 나타낸다. MN2 방법과 Calvi 방법을 이용하여 역량스펙트럼 해석에 의해 구조물의 내 진성능을 평가하는 경우 안전하지 못한 설계가 이루어질 수 있으므로 사용에 주의가 요구된다.

3. S1 방법은 빌딩과 같은 경계조건을 갖는 경우에 등가 단 자유도계 응답을 유도하는데 매우 유용한 방법이지만 교 량구조물과 같이 양쪽 끝단에 교대가 있는 경우에는 교대 에 작용하는 전단력의 영향을 고려할 수 없다. 그러므로 S1 방법은 등가저항력의 과소평가로 인하여 강성을 과소 평가 하기 때문에 교량의 고유진동주기를 과대평가하는 경 향이 있으며, 과소평가된 등가저항력과 과대평가된 주기의 복합적인 영향에 의해 역량스펙트럼 방법에 적용하는 경 우에는 최대변위응답을 과대평가의 경향이 있다.

4. S2 방법은 S1 방법의 단점을 보완하여 등가저항력 계산 시 교각뿐만 아니라 교대에 작용하는 전단력의 영향도 고 려하였다. 제안된 S2 방법을 이용한 역량스펙트럼 해석은 다른 등가단자유도 방법들과 비교할 때 구조물의 진동주 기를 비교적 정확히 예측하며 또한, 최대변위 산정시 비탄 성 시간이력해석과의 불일치 정도를 작게 평가하면서 보 수적으로 평가하기 때문에 내진설계의 목적으로 적용하는 데 가장 적합하다고 할 수 있다.

감사의 글

본 연구는 한국과학재단 목적기초연구(과제번호: R05- 2003-000-10493-0)지원으로 수행되었으며 이에 감사 드립 니다.

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그림 16. 등가 단자유도 방법에 따른 역량스펙트럼 해석과 비탄

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C

− D

T

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T

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