Exploring the Principle of Computation between Two-Digit Number and One-Digit Number: A Case Study of Using Cuisenaire Rods and Array Models

I. 서 론

곱셈은 덧셈과 더불어 가장 기본이 되는 연산 중 하나로 다양한 문제 상황을 표현하고 해결하 는데 활용된다(변희현, 2011; Otto, Caldwell, Hancock, & Zbiek, 2011). 보통 곱셈을 ‘한다’는 것은 어떤 두 개 이상의 수를 곱하여 결과값을 계산하는 것을 의미하는데, 이러한 계산 과정의 수학적 기반은 수와 연산의 기본 성질이라 할 수 있다(Otto et al., 2011). 즉, 자릿값 및 덧셈과 곱셈의 성질을 충분히 이해하는 것은 곱셈과 나 눗셈의 계산 절차를 의미 있게 수행하는 바탕이 되며, 더 나아가 대수적 사고를 신장시킬 수 있 다(강흥규, 심선영, 2010; Blanton, Levi, Crites, &

Dougherty, 2011).

수와 연산의 기본 성질에는 덧셈 및 곱셈의 항등원, 역원, 교환법칙, 결합법칙, 덧셈에 관한 곱셈의 분배법칙(이하 분배법칙)이 있다. 곱셈 계산과 관련하여 a×b=b×a로 표현되는 교환법칙 은 기본 곱셈 구구의 거의 반을 학습하기 쉽게 만들어준다. 예를 들어 4×7=7×4를 알고 있는 학 생은 4단의 구구를 학습한 뒤 7단의 구구에서 7×4=4×7=28을 자연스럽게 알 수 있다. 또한 (a×b)×c=a×(b×c)로 표현되는 결합법칙은 교환법 칙과 더불어 계산을 유연하게 할 수 있는 기반 이 된다. 마지막으로 a×(b+c)=(a×b)+(a×c)로 표현 되는 덧셈에 관한 곱셈의 분배법칙은 곱셈의 표 준 알고리즘의 토대로서 중요한 역할을 한다(변 희현, 2011; Common Core State Standards Initiative, 2010; Kinzer & Stanford, 2014; Neagoy, 2015).

대한수학교육학회지 수학교육학연구 제 27 권 제 2 호 Journal of Educational Research in Mathematics Vol. 27, No. 2, 249 ~ 267. May 2017

(두 자리 수)×(한 자리 수)의 계산 원리 탐구 - 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 활용한 수업 사례 연구 -

김 정 원^*․방 정 숙^**

3학년 1학기의 곱셈 단원에서는 2학년에서 다룬 (한 자리 수)×(한 자리 수)인 곱셈 구구를 바탕으로 (두 자리 수)×(한 자리 수)의 계산을 다룬다. 학생들은 종종 계산은 잘 하면서도 정 작 계산 원리를 이해하지 못하는 경향이 있다. 이에 본 연구는 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 활용하여 곱셈의 계산 원리를 학생들이 탐구할 수 있도록 수업을 설계하고 실행하였다. 연구 결과, 대부분의 학생들은 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 통하여 곱셈의 원리를 이해하고 이를 곱셈식으로 나타낼 수 있었으며, 특히 곱셈식을 다양하게 해결하는 과정에서 결합법칙이나 분배법칙을 자연스럽게 발견할 수 있었다. 몇몇 학생들은 처음에 모델이나 곱셈식을 표현하 는 과정에서 어려움을 드러내기도 하였으나 수업이 진행됨에 따라 보다 성공적으로 수행할 수 있었다. 본 연구 결과를 토대로 수와 연산의 성질을 적용하여 곱셈의 계산 원리를 의미 있게 지도할 수 있는 방안에 대한 시사점을 제공한다.

* 대전신탄진초등학교, nymph019@hanmail.net (제1 저자)

** 한국교원대학교, jeongsuk@knue.ac.kr (교신저자)

실제 2009 개정 교육과정에 따른 수학 교과서 를 살펴보면 이와 같은 수와 연산의 기본 성질 이 명시적으로 또는 암묵적으로 포함되어 있다. 예를 들어 곱셈의 교환법칙과 관련하여, 2학년 2 학기 2. 곱셈구구 단원에서는 곱셈구구표를 대각 선 방향으로 접었을 때 만나는 두 수가 같다는 것을 발견하면서 두 수의 순서를 바꾸어 곱해도 결과가 같다는 사실을 다룬다(교육부, 2016a). 한 편 4학년 1학기 2. 곱셈과 나눗셈 단원에서 세 수의 곱셈을 다룰 때 결합법칙의 아이디어가 포 함되어 있다(교육부, 2016d). 또한 3학년 1학기 4. 곱셈 단원에서 곱셈의 세로 계산이 처음 제시 되는데, 이 때 피승수를 십의 자리와 일의 자리 로 나누어 부분합을 구한 뒤 서로 더하여 결과 값을 계산하는 과정에는 분배법칙의 아이디어가 포함되어 있다(교육부, 2016b). 이렇게 볼 때 현 재 초등학교 수학 교과서에 수와 연산의 기본 성질이 어느 정도 내재되어 있지만, 그 중요성에 비하여 이러한 성질을 집중적으로 다루지 않거 나 알고리즘 학습 과정에 감추어져 학생들이 파 악하는데 어려움이 있다고 사료된다.

초등학교에서 수와 연산의 성질을 좀 더 명시 적으로 깊이 있게 다루는 것이 무리인가? 실제 기본 성질 가운데 하나인 분배법칙은 2015 개정 교육과정에서 중학교 1~3학년의 수와 연산의 학 습 요소 가운데 하나로 포함되어 대수식으로 처 음 도입되며(교육부, 2015), 초등학교에서는 명시 적으로 언급하고 있지 않는 실정이다. 한편, 이 와 다르게 미국의 수학교육과정 규준인 The Common Core State Standards for Mathematics (CCSSM)에서는 분배법칙이 어린 학년에서 시작 하여 곱셈을 이해하는 시초가 될 수 있다고 설 명한다(CCSSI, 2010). 예를 들어 2학년 학생이 곱셈 구구를 학습할 때, 8×5는 8×4에서 8이 하 나 더 있는 것이므로 8×4=32에 8을 더한 40이 된다고 설명한다면 이 학생은 암묵적으로 분배

법칙을 사용하고 있다고 말할 수 있다. 곱셈의 성질은 이미 초등학교에서 다양한 연산 상황에 서 비형식적으로 사용하고 있으며 이를 이해하 는 것이 중요하다는 주장이 제기되고 있는 가운 데, 우리나라 교과서에서도 곱셈의 성질을 연산 의 계산 과정에서 좀 더 명시적으로 다루어 줄 필요가 있다고 여겨진다.

한편, 적절한 모델은 개념이나 원리의 이해를 도울 수 있다(Lesh & Harel, 2003). 정영옥(2013) 은 곱셈 지도에 적합한 모델로서 묶음, 직선, 배 열, 조합의 4가지를 제시하고 다양한 곱셈 상황 을 표현하고 유의미한 계산을 하는데 유용하다 고 설명한다. 이 가운데 배열 모델은 곱셈식의 승수와 피승수를 직사각형 배열로 나타냄으로써, 보통 곱셈을 동수누가의 의미로만 한정하여 이 해하는 것을 넘어서 보다 다양한 의미로 곱셈을 이해할 수 있는 기회를 제공한다. 뿐만 아니라 가로와 세로를 자릿값으로 분해하는 것은 곱셈 의 표준 알고리즘과 연결되기 때문에 알고리즘 을 의미 있게 학습할 수 있다. 나아가 산술과 기 하 및 측정을 연결함으로써, 앞으로 배우게 될 넓이 개념의 바탕이 된다. 또한 묶음 모델의 하 나인 퀴즈네어 막대는 수 사이의 관계를 탐구하 여 곱셈식을 다양하게 해결하는데 도움이 될 수 있다(김지선, 2008; 류성림, 2002).

이에 본 연구에서는 수와 연산의 성질의 중요 성을 바탕으로, 본격적으로 곱셈의 계산 원리를 학습하기 시작하는 3학년 1학기 곱셈 단원을 재 구성하여 지도하였다. 이 때 퀴즈네어 막대와 배 열 모델을 활용함으로써 수와 연산의 성질을 적 용하여 곱셈 계산을 의미 있고 유연하게 하는데 도움을 주고자 하였다. 특히 여러 성질 가운데 분배법칙에 초점을 둠으로써, 곱셈의 세로 계산 절차를 이해하는데 주력하였다. 이러한 연구를 통하여 초등학교 학생들의 곱셈 지도 방안에 대 한 시사점을 제공할 수 있을 것이라 기대한다.

II. 이론적 배경

1. 곱셈 및 곱셈의 성질

초등학교 수학 교과서에서 덧셈과 관련지어 곱셈을 도입하지만 곱셈 개념을 이해하는 것은 단순히 같은 수를 반복적으로 더하는 것 이상을 의미한다. 정영옥(2013)은 곱셈이 배의 개념, 더 나아가서는 선형 함수까지 연결되어야 한다고 주장하면서 덧셈과 곱셈 개념의 본질적인 차이 를 언급한다. 그 차이점을 정리해 보면, 첫째, 곱 셈 a×b=c와 덧셈 a+b=c에서 b의 의미가 완전히 다른데, 즉 덧셈에서는 개수 혹은 기수의 개념이 라면 곱셈에서는 묶음, 횟수, 배의 개념이다. 둘 째, 곱셈은 합성 단위의 구성이라는 곱셈의 본질 과 추상의 수준차를 고려해야 한다. 마지막으로 곱셈 개념은 덧셈 개념과 달리 네 항의 관계이 며 합성 단위의 변환이 이루어진다. 비슷한 측면 에서, Otto 외(2011)는 곱셈과 나눗셈에 관한 핵 심 아이디어와 필수 이해를 제시하면서 곱셈을 스칼라 요소에 의한 양의 변화로 정의하며, 이는 곱셈식 A×B에서 B를 곱셈 인자(scaling factor)로

바라보는 것이다.

또한 곱셈 개념은 다양한 상황을 나타내고 해 결하는데 적절하게 쓰일 수 있다. 연구자에 따라 곱셈 상황의 유형을 조금씩 다르게 구분하지만, 공통적으로 곱셈 상황은 똑같은 묶음, 곱셈적 비 교, 직사각형 넓이와 배열, 데카르트 곱의 4가지 로 분류할 수 있다(정영옥, 2013). 더불어 이러한 상황을 표현할 수 있는 모델에는 묶음 모델, 직 선 모델, 배열 모델, 조합 모델이 있다. <표 II-1>은 각각의 모델이 나타낼 수 있는 곱셈 상 황을 관련지어 나타낸 것으로, 예를 들어 묶음 모델은 똑같은 묶음과 곱셈적 비교 상황을 나타 내기에 적절한 모델이라는 의미로 해석할 수 있다. 한편, 수와 연산의 기본 성질 가운데 곱셈과 관련된 기본 성질만을 정리하면 <표 II-2>와 같 다(Blanton et al., 2011). 이와 같은 기본 성질은 문제를 해결할 때 계산 과정에 유연성을 제공하 고 암산, 어림 전략, 비표준 알고리즘 및 표준 알고리즘 등을 이해할 수 있는 기반을 제공한다. 또한 중등에서 학습할 대수식을 이해하고 능숙 하게 조작할 수 있는 기반이 된다.

모델 설명

곱셈 상황 똑같은

묶음

곱셈적 비교

직사각형 넓이와 배열

데카르트 곱 묶음

모델 여러 사물을 몇 씩 몇 묶음으로 만드는 모델 ○ ○ 직선

모델

직선 형태를 일정한 간격으로 나누어 일정한 호 등

을 그려서 곱셈을 나타내는 모델 ○ ○

배열 모델

여러 사물을 가로 방향과 세로 방향으로 일정하게 배열하여 전체적으로 직사각형 모양으로 만들고 낱 개의 개수나 넓이를 알아보는 모델

○ ○ ○ ○

조합 모델

두 개 이상의 집합 사이에 만들 수 있는 가능한 순

서쌍을 알아보는 모델 ○

<표 II-1> 곱셈 상황과 곱셈 모델

성질 (a, b, c는 실수) 예 결합법칙 (a×b)×c=a×(b×c) (4×5)×2=4×(5×2) 교환법칙 a×b=b×a 11×51=51×11

항등원 a×1=a 이고 1×a=a 43×1=43

역원

a≠0, a×

=

×a=1인 실수



이 있다.



×

=1

분배법칙 a×(b+c)=(a×b)+(a×c) 4×(10+6)

=(4×10)+(4×6)

<표 II-2> 곱셈의 성질 (Blanton et al., 2012, p. 12)

2. 곱셈의 계산 원리와 분배법칙의 중요성

여러 가지 성질 가운데 분배법칙은 덧셈과 곱 셈이라는 기본적인 두 연산을 이어주며, 범자연 수와 관련된 여러 가지 성질을 설명할 수 있다. 학생들이 곱셈 문제를 해결하기 위해 흔히 사용 하는 알고리즘의 바탕 또한 분배법칙이라 할 수 있다. [그림 II-1]은 3학년 1학기 4. 곱셈 단원에 서 수모형과 세로셈의 두 가지 방법으로 18×3의 값을 구하는 과정이다. 이 두 방법은 피승수 18 을 십의 자리와 일의 자리 수인 10과 8로 나누고 이들 각각을 승수인 3과 곱한 뒤 그 값을 서로 더해 18×3의 값을 구하는 계산 원리와 관련된다.

이 때 수모형과 세로셈이 나란히 배열되어, 세로 셈 알고리즘의 의미를 수모형과 관련지어 이해할 수 있다. 또한 수모형을 십 모형과 낱개 모형으 로 나누어 계산을 하는 것의 바탕이 분배법칙이 므로 분배법칙은 곱셈을 수행하는데 있어 매우 기본적이며 필수적인 성질이라 할 수 있다.

[그림 II-1] 18×3의 수모형과 세로 계산 (교육부, 2016, p. 136)

굳이 세로 계산이 아니더라도, 예를 들어, 28×8을 해결해야하는 상황에서 한 학생이

“20×8=160이고, 8×8=64가 되니까, 160과 64를 더 하면 160+64=224, 답은 224가 돼.”라고 해결했다 면, 이 학생은 분배법칙이 무엇인지 정확히 알지 못하더라도 암묵적으로 분배법칙을 사용한 것이 라 할 수 있다. 이처럼 분배법칙은 곱셈을 이해 하기 위한 기반으로서, 곱셈의 의미가 무엇인지, 어떻게 복잡한 곱셈 문제를 간단히 분해할 수 있는지 설명할 수 있다(CCSSI, 2010). 더불어, 분 배법칙은 범자연수의 여러 상황에서 사용될 수 있을 뿐만 아니라 분수, 소수, 더 나아가 실수 범위에서도 적용된다(Kinzer & Stanford, 2014).

또한 산술뿐만 아니라 대수식에서도 사용되는 성질로, 분배법칙에 대한 이해는 산술과 대수를 연결하고 초기 대수적 사고를 신장시키는 기회 가 될 수 있다(Baek, 2008; Neagoy, 2015).

분배법칙을 다루기 위한 첫 단계는 두 인수 가운데 하나를 분해하는 것이다. 이 때, 분배법 칙의 목적은 곱셈을 쉽게 하기 위한 것이므로 인수를 효율적으로 분해해야한다(Neagoy, 2015).

이와 같이 큰 수를 더 작은 수로 분해하는 능력 은 덧셈에서 배우기 시작하는 것으로 수 가르기 와 모으기가 이에 해당한다. 곱셈식에서 수를 분 해하는 가장 일반적인 방법은 각 자리에 따라 수를 분해한 뒤 각각에 나머지 인수를 곱하여 계산하는 것인데 이는 표준 알고리즘의 계산 방 법과 일치한다. 그 밖에도 곱셈식의 승수와 피승 수에 따라 또는 개인에 따라 수를 분해하는 방 법이 다양할 수 있다. 앞서 살펴본 18×3의 경우 18을 십의 자리 수와 일의 자리 수인 10+8로 분 해할 수도 있지만, 20-2로 분해하여 계산할 수도 있다. 본 연구에서는 자릿값에 따라 수를 분해하 기 이전에 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 이용하 여 다양한 방식으로 수를 분해하여 곱셈의 다양 한 방법을 탐색하고자 한다.

3. 분배법칙의 이해에 유용한 배열 모델

배열 모델은 초등학교 학생들이 분배법칙을 이해하는데 도움을 줄 수 있는 모델이다(CCSSI, 2010; Kinzer & Stanford, 2014; Neagoy, 2015). 배 열 또는 넓이 모델은 동일한 크기의 묶음을 직 사각형 모양으로 나타냄으로써 곱셈을 수치적이 면서도 기하적으로 자연스럽게 도입할 수 있다 (Benson et al., 2013). 이와 관련하여 Benson 외 (2013)는 곱셈, 넓이, 분배법칙, 알고리즘을 자연 스럽게 연결할 수 있는 학습 단계를 제시하는데 이를 간단히 정리하면 [그림 II-2]와 같다¹⁾.

이와 같은 학습 단계는 배열 모델로부터 곱셈 알고리즘을 연결함으로써 알고리즘을 의미 있게 사용할 수 있는 기반을 제공하며, 이 과정에서 분배법칙이 기반이 됨으로써 대수적 사고를 신 장시킬 수 있는 기회를 마련한다는 의의가 있다. 이에 본 연구에서는 곱셈의 세로 계산 원리의

바탕이 되는 분배법칙의 중요성을 토대로, 분배 법칙을 효과적으로 나타낼 수 있는 방법 가운데 하나인 배열 모델을 학생들과 집중적으로 다루 어보고자 한다. 단, 본 연구에서는 연구 대상인 3학년 학생들이 아직 넓이 개념을 학습하기 전 이므로, 곱셈식의 승수와 피승수를 모눈종이에 직사각형의 가로와 세로로 나타내고 직사각형 안에 포함된 모눈의 개수를 구하는 방식으로 배 열 모델을 도입하고자 한다.

다음 <표 II-3>은 앞서 논의한 곱셈식 18×3을 배열 모델과 수식으로 나타낸 것이다. 학생들과 이러한 과정을 통하여 곱셈식을 계산함으로써 곱셈식의 계산 원리를 다양하게 이해하고 이를 수식 및 세로셈 알고리즘과 자연스럽게 연결할 수 있을 것이라 기대한다.

1) 영문과 한글의 어순은 반대이므로 곱셈식의 표현도 맥락에 따라 거꾸로 나타내는 경우가 많다. [그림 II-2]에는 원문에 제시된 계산식을 그대로 수록하였지만, ⑤번 세로 전개식과 ⑥번 부분곱에 제시된 12(4×3), 80(4×20) 등의 식은 한글의 어순에 따라 12(3×4), 80(20×4) 등으로 표기할 수 있다.

①

단위 타일을 수반한 넓이 모델

➜

②

십진블록 넓이 모델

➜

③

넓이 상자 모델

➜

④

전개식으로 전환

➜

⑤

세로 전개식

➜

⑥

3)

부분 곱

➜

⑦

표준 알고리즘 [그림 II-2] 넓이 모델을 통한 곱셈 알고리즘 지도 (Benson et al., 2013, pp.500-503)

18×3 배열

모델

수식

18×3=(10+8)×3

=10×3+8×3=30+24 18×3=(8+10)×3

=8×3+10×3=24+30

18×3=(20-2)×3

=20×3-2×3=60-6=54

<표 II-3> 18×3 해결을 위한 넓이 모델과 수식

4. 퀴즈네어 막대

퀴즈네어 막대(Cuisenaire color rods)는 색과 크 기로 구분되는 직육면체 모양의 여러 개의 막대 로 구성되어 있다. 퀴즈네어 막대에는 눈금이 그 려져 있지 않기 때문에 한 막대에 어떤 값을 부 여하면 나머지 9개의 막대는 막대 사이의 관계 에 의하여 그 값들이 상대적으로 정해진다. 김지 선(2008)은 퀴즈네어 막대가 자연수뿐만 아니라 분수의 연산 지도에 효과적이라 언급하며 퀴즈 네어 막대를 활용한 분수 나눗셈 지도 방안을 소개한다. 또한 류성림(2002)은 퀴즈네어 막대를

‘구조 교구’라 언급하며(2002, p. 73) 수와 연산뿐 만 아니라 도형, 측정, 확률 등의 다양한 영역에 서 수학을 지도할 수 있는 구체적인 예를 제시 한다. 이와 같은 연구를 통하여 퀴즈네어 막대의 유용성과 활용 영역 및 방법을 고려해 볼 수 있다.

III. 연구 방법 및 절차

1. 연구 방법 개관

연구를 실행하기 위하여 질적 사례의 연구 방 법을 적용하였다. 그 이유로는 첫째, 본 연구에 서는 초등학교 3학년 학생들이 곱셈 계산을 할 수 있는지의 여부를 분석하는 것이 아니라 퀴즈

네어 막대 및 배열 모델을 계산 과정에서 어떻 게 활용하며 이 때 수와 연산의 성질 및 곱셈 계산의 원리를 어떻게 탐색하는지에 초점이 있 기 때문에 사례 연구가 적합하다. 둘째, 곱셈 계 산 원리와 방법을 형식적으로 학습하기 시작하 는 초등학교 3학년 시기에 다양한 모델을 통하 여 곱셈 계산 원리를 탐구한 연구가 별반 없기 때문에 이에 대한 기초 연구를 제공할 수 있다는 측면에서 사례 연구가 적합하다.

2. 연구 대상

대전광역시에 소재한 S초등학교 3학년 1개 학 급의 학생 20명(남학생 10명, 여학생 10명)을 연 구 대상으로 선정하였다. 초등학교 3학년을 연구 대상으로 선정한 이유는 교과서에서 상황에 맞 는 곱셈식을 세우고 계산하는 방법이 본격적으 로 제시되는 것이 3학년이기 때문이다. S초등학 교 학생들의 학력 수준은 대전광역시 내에서 중 하위에 속하며, 대상 학급에는 3명의 수학 부진 학생이 포함되어 있다.

곱셈 학습과 관련하여 대상 학생의 50% 정도 는 곱셈구구를 할 수 있으나 유창한 수준이라고 는 할 수 없다. 이 학생들은 예를 들어 7×5의 값을 구하기 위해서 7×1=7, 7×2=14, …와 같이 승수 1부터 시작하여 해당되는 승수까지 차례로 해봄으로써 값을 찾아가는 수준에 머물러 있다. 또한 지금까지 퀴즈네어 막대를 다루어 본 경험 이 없어 수업 초반에 퀴즈네어 막대로 수를 표 현하는 것이 매우 서툴렀다. 이러한 학생들의 학 습 수준은 본 연구에서 곱셈식을 해결하기 위하 여 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 사용하고 그 과정에서 분배법칙을 적용하는 활동이 3학년 수 준에 적합한지, 또는 곱셈 학습의 어려움을 보다 경감시켜 줄 수 있는지에 대한 시사점을 제공할 것으로 기대되었다.

3. 자료 수집 가. 단원의 재구성

앞서 살펴본 이론적 배경을 바탕으로 본 연구 에서 추구하고자 하는 목표 및 방법을 정리하면 [그림 III-1]과 같다. 본 연구의 목표는 퀴즈네어 막대와 배열 모델을 이용하여 곱셈식을 다양하 게 해결하고 분배법칙을 적용하는 과정을 통하 여 곱셈의 계산 원리 및 곱셈 알고리즘을 이해 하는 것이다. 이를 위한 방법으로 곱셈식의 승수 나 피승수를 다양하게 분해하고 모델 및 식으로 표현하며 표현 간의 연결을 강조하고자 하였다.

[그림 III-1] 본 연구의 곱셈 지도의 목표 및 방법

이를 위하여 [그림 III-2]의 왼쪽과 같이 3학년 1학기 4. 곱셈 단원의 지도서에 제시된 단원의 흐름을 기본으로 하되(교육부, 2014, p. 262), [그 림 III-2]의 오른쪽과 같이 다양한 곱셈 상황 제 시, 퀴즈네어 막대 조작, 배열 모델 사용, 분배법 칙을 활용한 곱셈식 해결의 측면을 강조하여 지 도하고자 하였다.

나. 차시별 전개 계획

<표 III-1>는 본 연구의 목표 및 방법, 강조점 을 바탕으로 3-1. 4. 곱셈 단원의 차시별 전개 계 획을 재구성한 것이다. 구체적으로, 본 연구에서 는 기존 곱셈 단원의 11차시를 바탕으로 하되, 연구 대상 학생들의 교구 활용과 관련한 사전 경험과 연구 목적상 본 단원의 구체적인 학습 내용을 도입하기 전에 준비 차시로 2차시를 추 가하였다. <표 III-1>의 음영 처리된 셀이나 밑줄 표시된 문장은 [그림 III-1]에 제시된 본 연구의

[그림 III-2] 교과서의 단원의 흐름과 본 연구의 강조점

차시

(기존차시) 주제 수업 내용 및 활동

상황2) 모델3)

묶 비 넓 데 묶 직 배 조

1 곱셈식의

이해 ․2×4, 2×8, 4×4의 곱셈식 비교

․퀴즈네어 막대 조작 ○ ○ ○

2 곱셈의 성질 이해

․분배법칙 및 결합법칙으로 (한 자리 수)×(한 자리

수) 계산 방법 이해 ○ ○

3(1) 단원 도입․스토리텔링, 문제 해결 방법 논의 ○ ○ ○

4(2) 20×3의 계산

․(몇십)×(몇)을 여러 가지 방법으로 계산

․다양한 문제 상황 해결하기

․퀴즈네어 막대로 계산 원리와 형식 이해하기 ○ ○ ○ ○ ○ ○ ○

5(3) 12×4의 계산

․올림이 없는 (두 자리 수)×(한 자리 수)를 여러 가 지 방법으로 계산

․퀴즈네어 막대 조작, 가로로 계산

․모눈종이를 활용하여 분배법칙으로 해결

○ ○ ○ ○ ○ ○

6(4) 21×4의 계산

․결과 어림, 계산한 값과 비교

․퀴즈네어 막대 조작, 세로로 계산

․세로셈 알고리즘에 맞는 모델 표현 ○ ○ ○ ○

7(5) 32×4의 계산

․십의 자리에서 올림이 있는 (두 자리 수)×(한자리 수)를 여러 가지 방법으로 계산

․퀴즈네어 막대 조작, 가로로 계산

․모눈종이를 활용하여 분배법칙으로 해결

○ ○ ○ ○ ○

8(6) 21×8의 계산

․결과 어림, 계산한 값과 비교

․퀴즈네어 막대 조작, 세로로 계산

․곱셈식-퀴즈네어 막대-모눈종이-세로셈 연결 ○ ○ ○

9(7) 15×3의 계산

․일의 자리에서 올림이 있는 (두 자리 수)×(한 자리 수)를 여러 가지 방법으로 계산

․퀴즈네어 막대 조작, 가로로 계산

․모눈종이를 활용하여 분배법칙으로 해결

○ ○ ○ ○ ○ ○

10(8) 18×3의 계산

․결과 어림, 계산한 값과 비교

․퀴즈네어 막대 조작, 세로로 계산

․곱셈식을 다양한 방법으로 해결하기 ○ ○ ○ ○

11(9) 평가 ․‘공부를 잘했는지 알아봅시다’ 문제 풀기 ○

(10, 11)12

문제 해결 체험 마당

․곱셈의 계산 원리를 통하여 문제 해결하기

․화단을 꾸미고 곱셈을 활용하여 울타리와 꽃모종

의 수 구하기 ○

13 분배법칙

활용 ․모눈종이를 활용하여 분배법칙으로 (두 자리 수)×

(두 자리 수) 계산하기 ○ ○

<표 III-1> 재구성한 차시별 단원의 전개 계획

2) ‘묶’은 똑같은 묶음, ‘비’는 곱셈적 비교, ‘넓’은 넓이(배열), ‘데’는 데카르트 곱의 상황을 의미한다.

3) ‘묶’은 묶음 모델, ‘직’은 직선 모델, ‘배’는 배열 모델, ‘조’는 ‘조합 모델’을 의미한다.

강조점을 감안하여 추가로 구성한 차시 및 활동 에 해당한다. 1차시는 곱셈식의 의미를 이해할 수 있도록 퀴즈네어 막대로 2학년에서 학습한 (한 자리 수)×(한 자리 수)의 곱셈식, 즉 곱셈 구 구를 나타내고 그 크기를 서로 비교해보도록 구 성하였으며, 2차시는 배열 모델을 활용하여 이와 같은 곱셈식을 분배법칙 및 결합법칙으로 표현 해보는 활동을 제시하였다. 3~12차시는 기존 지 도서에 제시된 단원의 전개 계획을 따르되(교육 부, 2014, p. 263), 본 연구의 강조점을 감안하여 활동을 추가하였다. 마지막 13차시에는 피승수와 승수를 모두 분해하는 두 자리 수끼리의 곱셈을 제시함으로써 제시된 수의 크기에 크게 상관없 이 분배법칙과 같은 지금까지 배운 곱셈의 원리 를 활용하여 곱셈식을 계산할 수 있는지에 대한 학생들의 가능성과 한계점을 살펴보고자 하였다.

한편 본 연구에서 정영옥(2013)의 연구를 바탕 으로 곱셈의 상황 및 모델을 보다 다양하게 제 시하였다. 곱셈 상황과 관련하여 3학년 1학기 곱 셈 단원에 제시된 곱셈 상황의 분석 결과, 똑같 은 묶음과 배열이 대부분이기 때문에(교육부, 2016b), <표 III-2>의 예와 같은 곱셈적 비교와 데카르트 곱 상황을 추가적으로 제시하여 수업 을 재구성하였다.

상황 문제 상황의 예

곱셈적 비교

찬웅이는 줄넘기를 31개 넘었습니다. 짝꿍 여진이는 찬웅이의 3배 만큼 줄넘기를 넘 었습니다. 여진이가 줄넘기를 몇 번 넘었 는지 알아봅시다.

데카르 트의 곱

유진이는 10가지 종류의 티셔츠와 3가지 종류의 바지를 가지고 있습니다. 유진이는 모두 몇 가지 방법으로 옷을 입을 수 있 을까요?

<표 III-2> 추가로 제시한 곱셈 상황 및 그 예

또한 곱셈 모델과 관련하여 현행 초등학교 교 과서를 살펴보면, 2학년 시기에 곱셈의 개념과 곱셈 구구를 학습하고, 3학년 시기에 본격적으로 곱셈 연산의 계산 원리를 탐구하기 시작한다(교 육부, 2016a, 2016b). 이 시기에 제시되는 모델에 는 3학년 1학기 4. 곱셈 단원에서 [그림 III-3]과 같은 수모형이, 3학년 2학기 1. 곱셈 단원에 [그 림 III-4]와 같은 배열 모델이 제시된다.

[그림 III-3] 20×3의 계산 원리 탐구를 위해 수모형 사용 (교육부, 2016b, p. 125)

[그림 III-4] 52×13의 계산 원리 탐구를 위해 배열 모델 사용 (교육부, 2016c, p. 25)

본 연구에서는 퀴즈네어 막대를 이용하여 곱 셈식 계산의 다양한 방법을 탐색하고, 배열 모델 을 통하여 분배법칙과 같은 수와 연산의 성질을 자연스럽게 발견할 수 있는 기회를 제공하고자 하였다.

우선 수모형 대신 퀴즈네어 막대를 선택한 이 유를 구체적으로 살펴보면, 3학년부터 도입되는 곱셈 단원에서는 2학년까지 다룬 한 자리 수끼 리의 곱셈에서 더 나아가 곱셈 계산의 원리를 본격적으로 탐구하기 시작한다. 십 모형과 낱개 모형의 2가지로 구분되는 수모형과 다르게 퀴즈 네어 막대는 [그림 III-5]와 같이 1부터 10까지의

10개의 막대로 구분되기 때문에 수를 다양하게 분해할 수 있다는 장점이 있다. 따라서 퀴즈네어 막대를 사용하는 것이 곱셈식의 피승수와 승수 를 여러 가지 방법으로 분해함으로써 곱셈을 다 양하게 계산할 수 있는 기회를 제공할 수 있을 것이라 기대하였다. 12×3의 계산을 예로 들면, 수모형은 십 모형 1개와 낱개 모형 2개의 한 묶 음을 3번 반복하여 나타내는 반면, 퀴즈네어 막 대는 수모형의 방법뿐만 아니라 초록색 막대 (6cm) 2개를 3번 반복하거나, 보라색 막대(4cm) 3개를 3번 반복하거나, 연두색 막대(3cm) 4개를 3번 반복할 수 있어 보다 다양하게 계산할 수 있다. 또한 이러한 과정에서 결합법칙이나 분배 법칙과 같은 수와 연산의 성질이나 곱셈 알고리 즘을 자연스럽게 발견할 수 있게 된다.

[그림 III-5] 퀴즈네어 막대 (김지선, 2008, P.34)

[그림 III-6] 배열 모델

또한 3학년 2학기에 도입되는 배열 모델을 1 학기에 미리 도입한 이유는 1학기 곱셈 단원에 서 다루는 곱셈의 계산 원리가 차후 학습하게 되는 더 큰 수의 곱셈 계산에도 적용되기 때문

에, 곱셈 계산 원리를 처음으로 탐색하는 1학기 부터 도입하는 것이 바람직하다고 판단되었다. 단, [그림 III-4]와 같이 모눈이 이미 분할되어 제 시되는 2학기 배열 모델과 다르게, 본 연구에서 는 모눈이나 모눈 위에 직사각형만을 제시하여 보다 다양한 방법과 학생 주도로 모눈의 개수를 찾을 수 있도록 활동을 구성하였다([그림 III-6]

참조).

이와 같은 흐름으로 재구성된 수업은 전 차시 를 비디오로 촬영하여 수업의 전체적인 흐름, 학 생 활동, 학생과 교사의 의사소통, 학생 사이의 의사소통 등을 살펴보았다. 또한 필요한 경우에 는 비구조화된 면담을 실시하여 학생의 사고를 이해하고자 하였다.

4. 자료 분석

수집한 자료는 크게 두 가지 측면에서 분석하 였다. 우선 퀴즈네어 막대를 조작하여 곱셈식을 어떻게 표현하는지 살펴보았으며, 다음으로 배열 모델로 곱셈식을 어떻게 나타내는지 분석하였다. 구체적인 내용은 <표 III-3>과 같다.

IV. 연구 결과

분석의 측면 분석의 초점

퀴즈네어 막대를 통한 곱셈식 표현

․퀴즈네어 막대로 곱셈식을 어떻게 나타내는가?

․퀴즈네어 막대의 조작 결과, 수와 연산의 성질이 어떻게 표현되는가?

․퀴즈네어 막대와 곱셈 알고리즘을 어떻게 연결하는가?

배열 모델을 통한 곱셈식 표현

․배열 모델로 곱셈식을 어떻게 나타내는가?

․배열 모델의 활동 결과, 수와 연산의 성질, 특히 분배법칙이 어떻게 표현되는가?

․배열 모델과 곱셈 알고리즘을 어떻게 연결하는가?

<표 III-3> 분석의 측면 및 초점

1. 퀴즈네어 막대를 통한 곱셈식 표현

학생들은 본 단원에서 퀴즈네어 막대를 처음 접하기 때문에 앞서 제시한 <표 III-1>처럼 퀴즈 네어 막대로 곱셈식을 표현하고 해결하는 활동 을 여러 차시에서 반복적으로 구성하였다. 학생 들은 퀴즈네어 막대를 직접 조작한 경험은 없지 만 1, 2학년 교과서에서 퀴즈네어 막대와 유사한 수모형을 접해왔기 때문에 퀴즈네어 막대를 이 해하고 조작하는 것 자체를 크게 어려워하지 않 았다. 퀴즈네어 막대를 조작하는 과정에서 드러난 학생들의 이해의 특징을 살펴보면 다음과 같다.

첫째, 퀴즈네어 막대로 곱셈식의 피승수를 다 양하게 분해하여 곱셈식을 나타내고 이를 식과 연결시킬 수 있었다. 교과서에 제시된 수모형은 피승수를 십의 자리와 일의 자리로 분해하고 이 를 승수만큼 반복하여 나타냄으로써 곱셈식을 표현하고, 세로 계산과 연결한다. 하지만 본 연

구에서 학생들은 교과서에 제시된 형태뿐만 아 니라 보다 다양한 방법으로 피승수를 분해하여 곱셈식으로 제시하였다.

예를 들어 일의 자리에서 올림이 있는 (두 자 리 수)×(한 자리 수)의 계산 원리를 알아보는 수 업에서 학생들은 [그림 IV-1]과 같이 퀴즈네어 막대로 15×3을 다양하게 표현하고 수식과 연결 하였다4). 이 때 칠판에 제시된 수식은 교사 주 도로 적은 것이 아니라 해당 모둠 학생들이 자 신들이 구성한 퀴즈네어 막대를 보면서 수식을 말한 것을 교사가 받아 적은 것이다.

학생들의 표현을 자세히 살펴보면, 5개의 모둠 이 서로 다른 방법으로 나타냈는데 4모둠의 (10×3)+(5×3)=30+15=45가 교과서에 제시된 방법 과 일치하고 나머지는 피승수인 15를 다양하게 분해하였다. 또한 퀴즈네어 막대를 살펴보면 10 막대5)를 제외하고 1막대부터 5막대까지의 퀴즈 네어 막대가 주로 사용된 것으로 보아, 학생들은

4) <그림>의 퀴즈네어 막대에 제시된 ‘1’, ‘2’와 같은 숫자는 인쇄 상 퀴즈네어 막대의 색깔을 나타낼 수 없 기 때문에 해당 막대가 몇 막대인지 구별하기 쉽도록 연구자가 추가한 것이다. 예를 들어 5는 5막대를 의미한다.

5) 퀴즈네어 막대는 보통 색깔로 구분지어 부르나, 본 연구의 목적상 곱셈식과 연결되기 쉽도록 수업에서 주황색 막대, 노란색 막대 대신 10막대, 5막대와 같이 사용하였다.

15×3의 수모형 (교육부, 2016, p.131)

10

5 5

10 10

1 1 1 1 1

1모둠

5 5

5

5 5

5

5 5 5

2모둠

10 10 10

2 2

3 3

2 3

3모둠

10 10 10 5 5 5

4모둠 칠판에 수식 표현

1 2 4

4

4 4

4

4 4

4

4 1

2

1 2

5모둠 [그림 IV-1] 15×3의 퀴즈네어 막대와 수식 표현

보다 계산하기에 용이한 낮은 단의 구구를 활용 하여 곱셈식의 값을 구하고자 했던 것으로 분석 된다. 이 때 학생들은 4모둠과 같이 퀴즈네어 막 대를 적게 사용하여 간단하게 표현한 방법을

‘시시하다’고 말하면서, 피승수를 보다 복잡하게 분해하는 방법을 선호하였다. 이러한 활동을 하 면서 대부분의 학생들이 퀴즈네어 막대를 수식 으로 나타내는데 큰 어려움을 보이지 않았는데, 이와 같은 활동은 학생들로 하여금 곱셈식을 해 결하는 것이 반드시 세로셈 알고리즘에 의해서 가 아니라 수를 분해하여 다양한 형태로 이루어 질 수 있다는 것을 인식할 수 있는 계기가 될 수 있었을 것이라 사료된다.

또한 학생들은 퀴즈네어 막대로 곱셈식을 나타 내고 이를 식과 연결시키는 과정에서 곱셈의 성 질을 탐구할 수 있는 기회를 가질 수 있었다. 예 를 들어, 2모둠은 5막대 3개로 15를 표현한 뒤 같 은 모양을 3번 반복하고 식으로 (5×3)×3=5×9=45 라고 표현하였다. 즉, 학생들은 (5×3)×3이 5×6이 아니라 5×9가 된다는 것을 파악할 수 있었는데, 이는 퀴즈네어 막대를 통하여 학생들이 곱셈의 의미를 상기하고 암묵적으로 (5×3)×3=5×9의 과정 에서 (5×3)×3=5×(3×3)=5×9의 결합법칙을 이해할 수 있는 기회가 될 수 있었다. 또한 3, 4, 5모둠이 제시한 식을 살펴보면 피승수 15를 10과 3과 2(3 모둠), 10과 5(4모둠), 4×3과 2와 1(5모둠)로 분해 한 뒤 이를 승수와 곱하였는데 이는 분배법칙과 관련되며, 특히 10과 5로 분해한 것은 세로셈 알 고리즘의 원리가 내재되어 있다.

한편, 1모둠은 피승수 15를 분해할 때 2개의 15 는 10과 5로 분해한 반면, 1개의 15는 10과 5개의 1로 분해하였는데, 이에 대해 학생들은 이것이 15 곱하기 3의 표현으로 적절한지에 대해 의문을 제 기했다. <에피소드 1>에서 알 수 있듯이 학생B는 곱셈의 의미를 동수누가 또는 똑같은 묶음 상황 으로 인지하고 있으며, 따라서 피승수인 15가 퀴

즈네어 막대로 서로 똑같이 표현되어야 한다고 생각하고 있었다. 학생B가 이러한 의문을 제기했 을 때, 퀴즈네어 막대 표현이 15 곱하기 3에 적절 하지 않다는데 동의하는 학생이 몇 명 있었고, 쉽 게 반박하는 학생이 없었다. 따라서 이와 같은 논 의를 통하여 학생들은 곱셈의 의미를 반성할 수 있는 기회가 되었다는 것을 알 수 있다.

<에피소드 1> 1모둠의 15×3 퀴즈네어 막대 표현 에 대한 논의

학생A : 저희 모둠은 15 곱하기 3을 이렇게 표 현했습니다. 10과 5를 더하면 15이고, 10과 1 다섯 개를 더하면 15이기 때문 입니다.

학생B : 왜 가운데 것만 왜 하얀색 1막대로 했 습니까?

학생A : 뭔가 색다르게 하고 싶었기 때문입니다.

학생B : (고개를 갸우뚱하며) 그런데 15 곱하기 3은 똑같은 15가 3개 있다는 말인데…이 건 똑같지 않은데 15 곱하기 3인가요?

학생A : 그래도 어쨌든 다 15니까 15 곱하기 3 이라 할 수 있습니다.

둘째, 퀴즈네어 막대 조작을 세로셈 알고리즘 과 쉽게 연결시킬 수 있었다. 학생들이 퀴즈네어 막대로 곱셈식을 표현하는 다양한 방식 가운데 십의 자리와 일의 자리로 나누어 표현하는 방법 이 항상 포함되어 있었으며 세로셈 알고리즘과 연결 지음으로써 학생들의 이해를 도울 수 있었 다. 예를 들어, 학생들은 [그림 IV-2], [그림 IV-3]

과 같이 일의 자리에서 올림이 있는 18×3을 퀴 즈네어 막대로 단계별로 나타내고 이를 3가지 방식의 세로셈과 연결할 수 있었다.

[그림 IV-2] 퀴즈네어 막대로 18×3의 계산 과정 표현

[그림 IV-3] 18×3의 세로 계산

셋째, 퀴즈네어 막대를 보다 세련된 방식으로 정렬하여 곱셈식을 표현하게 되었다. 학생들은 퀴즈네어 막대를 반복적으로 다루면서 묶음의 정 렬 방식이나 피승수를 표현하는 방식 등을 곱셈 식에 맞게 표현하고자 노력했다. 예를 들어, <에 피소드 2>와 같이 32×4에서 묶음을 모두 붙여서 나타내는 [그림 IV-4]의 첫 번째 방식은 32×4의 의미와 맞지 않으며 두 번째 방식이 보다 적절하 다고 주장하였다. 또한 한 모둠은 세 번째 사진 과 같이 10막대 사이에 1막대를 끼워 32를 나타 냈는데, 이에 대한 이유를 묻자 10막대를 길게 이은 다음 거기에 2막대를 끼우면 십 모형이 몇 개 있는지 잘 모르는데 이렇게 나타내면 10막대 가 몇 개 있는지 쉽게 알 수 있다고 대답하였다. 이러한 활동 모습과 논의는 학생들이 곱셈식의 의미와 연결하여 퀴즈네어 막대를 다루고 있다는 것을 의미하므로 매우 고무적이라 여겨진다.

<에피소드 2> 2모둠의 32×4 퀴즈네어 막대 표현 에 대한 논의

학생C : 32×4는 이렇게 표현할 수 있습니다. 그 래서 128이 됩니다.

학생D : 질문 있습니다. 32×4에서 32가 어디 있 나요? 이건...그냥 128인 것 같은데...

교 사 : 무슨 말인지 좀 더 자세히 설명해줄 수 있나요?

학생D : 32×4면 32가 4묶음 있어야하는데 이건 10막대가 12개고 2막대가 4개니까.

교 사 : 그럼 32×4를 어떻게 퀴즈네어 막대로 나타낼 수 있을까?

학생D : 이렇게 32씩 떨어트려 놔야 해요. 그럼 32×4가 되요.

[그림 IV-4] 퀴즈네어 막대로 32×4 표현

학생들이 퀴즈네어 막대를 다룰 때 곱셈 단원 의 초반에는 다양한 색깔의 퀴즈네어 막대를 사 용하여 좀 더 복잡하게 나타내려고 한 반면, 중, 후반으로 넘어갈수록 곱셈식의 의미와 관련지어 그 의미를 명확하게 나타낼 수 있는 방법을 모 색하는 모습을 발견할 수 있었다. 예를 들어, 5 차시의 올림이 없는 (두 자리 수)×(한 자리 수) 의 수업에서 몇 몇 모둠은 [그림 IV-5]의 왼쪽과 같이 여러 가지 퀴즈네어 막대를 이용하여 23×3 을 나타냈다. 해당 모둠을 제외한 나머지 학생들 이 퀴즈네어 막대를 보고 놀라는 표정을 짓자 우쭐한 표정을 지으면서 최대한 다양한 퀴즈네 어 막대를 사용하여 표현하고 싶었다고 말했다. 하지만 이내 이를 곱셈식으로 표현하고 계산하 려 하자 학생들은 굳이 이렇게 표현하지 않아도 되며 오히려 불편하고 번거롭다는 것을 알게 되 었다. 즉, [그림 IV-5]의 왼쪽을 수식으로 나타내 면 23×3=(7+9+1×7)+(1×11+6+2×3)+(10+3×3+4)가 되는데, 이 식은 작은 수로 나타내어 친숙하지만 계산 과정이 오히려 복잡해진다는 것을 논의한 것이다.

[그림 IV-5] 퀴즈네어 막대로 23×3 표현 한편, 다양한 퀴즈네르 막대를 사용하는데 집 중했던 것과 달리 논의의 마지막 부분에서는

[그림 IV-5]의 오른쪽과 같이 10막대와 1막대를 이용한 표현을 세로 계산과 연결할 수 있었다. 또한 일의 자리에서 올림이 있는 17×3의 계산 원리를 알아보는 수업에서는 한 모둠이 10막대 위에 7막대를 이어 나타내자, 십의 자리와 일의 자리를 구분하기 위해서는 10막대와 7막대를 떨 어뜨려 놓는 것이 더 좋을 것 같다는 보충 의견 을 제시하였다. 퀴즈네어 막대 조작 자체에만 흥 미를 보이던 처음 모습과 달리 학생들은 점차 퀴즈네어 막대 조작과 곱셈식의 의미를 연결 짓 고자 함을 알 수 있다.

2. 배열 모델을 통한 곱셈식 표현

3학년 학생들은 아직 넓이 개념을 학습하기 전이므로, 직사각형의 넓이를 구하는 상황 대신 직사각형 안에 들어있는 모눈의 개수가 몇 개인 지 구하는 상황을 도입하였다. 배열 모델을 활용 하는 과정에서 드러난 학생들의 이해의 특징을 살펴보면 다음과 같다.

첫째, 학생들은 곱셈식을 배열 모델로 표현하 고 세로셈 알고리즘과 연결할 수 있었다. 이론적 배경을 통해 알 수 있듯이 세로셈 알고리즘에는 피승수를 십의 자리의 수와 일의 자리의 수로 분해하여 각각을 승수와 곱하는 분배법칙이 내 재되어 있다. 퀴즈네어 막대를 통해서도 이러한 곱셈의 원리를 파악할 수 있지만, 퀴즈네어 막대 는 가장 값이 큰 막대가 10막대인 반면 배열 모 델은 십의 자리 수와 일의 자리 수로 분해할 수 있기 때문에 세로셈 알고리즘과 보다 직결된다 고 할 수 있다. 다시 말하면, 예를 들어 32×4를 세로셈 알고리즘과 연결지어 피승수를 분해하면 퀴즈네어 막대로는 10막대 3개와 2막대 1개 즉, 10×3+2가 되는데 배열 모델은 30과 2이기 때문 에, 세로셈 알고리즘에서 피승수가 십의 자리와 일의 자리로 나뉘는 상황과 가까운 것은 배열

모델이라고 할 수 있다.

[그림 IV-6]은 배열 모델과 곱셈식의 연결에 관한 학생 표현의 예이다. 학생들은 곱셈식 13×3 을 [그림 IV-6]의 위쪽과 같이 모눈종이에 표현 하였는데, 피승수 13을 가로로, 승수 3을 세로로 하는 직사각형을 그린 다음 가로의 길이를 10과 3으로 분할하거나, 처음부터 가로의 길이가 각각 10과 3인 직사각형을 2개 그려 곱셈식 13×3을 배열 모델로 나타냈다. [그림 IV-6]의 아래쪽은 이를 세로셈 알고리즘으로 나타낸 것으로 배열 모델과 세로셈 알고리즘을 서로 연결지어 이해 하고 있다는 것을 알 수 있다.

↓

[그림 IV-6] 13×3의 배열 모델 표현과 세로셈의 연결

한편, 일부 학생들은 곱셈식을 배열 모델로 나 타내는데 어려움을 드러내거나 오류를 보이기도 하였다. [그림 IV-7]은 이러한 학생들의 예로, 13×3에 해당하는 직사각형을 나타내지 못하고 10×3+3으로 나타내거나, 19×5를 하나의 직사각 형으로 나타내지 못하고 피승수와 승수에 해당 하는 넓이를 가진 각각의 도형으로 나타냈다. 그 러나 이와 같은 학생들의 반응은 전체 논의를 통하여 곱셈식의 의미를 재확인하고, 곱셈식과 배열 모델을 연결할 수 있는 기회를 가짐으로써 교정할 수 있었다. 또한 단원 후반부로 갈수록 이러한 학생들의 오류 및 어려움은 감소하였다.

[그림 IV-7] 곱셈식을 잘못 표현한 예

둘째, 다양한 방법으로 승수 또는 피승수를 분 해하여 곱셈식을 해결할 수 있었다. 즉, 십의 자 리의 수와 일의 자리의 수로 피승수를 분해하는 것 이외에 학생들은 각자의 방식으로 수를 분해 하여 직사각형 안에 들어있는 모눈의 개수를 구 하였다. 예를 들어, [그림 IV-8]의 위쪽 모눈종이 와 같이 곱셈식 24×5의 값을 구하기 위하여 가 로 24, 세로 5인 직사각형을 그린 다음, 가로 24 를 (20+4), (8×3), (14+10), (15+9)로 나누어 각 분 할된 직사각형의 넓이를 구한 뒤 더하였다. 또한 이러한 활동에서 더욱 고무적인 것은 학생들 대 다수가 배열 모델 자체로만 곱셈식 계산을 끝낸 것이 아니라, [그림 IV-7]의 아래쪽과 같이 배열 모델을 곱셈식과 연결하였다는 점이다. 이는 3학 년 학생들이 배열 모델을 활용하여 분배법칙을 이해하고 이를 곱섹식과 연결하여 표현할 수 있 는 가능성이 있다는 것을 시사한다.

[그림 IV-8] 24×5를 다양하게 해결

여러 가지 방법 가운데, 피승수를 올림하여 일 의 자리가 0이 되게 만들어 승수와 곱한 다음,

원래의 피승수에서 늘어난 값을 승수와 곱한 뒤 처음 값에서 빼서 결과값을 구하는 방법 또한 발견할 수 있었다. 예를 들어, 곱셈식 29×4는 29 를 30으로 올림하여 30×4=120을 구한 뒤 원래의 수 29에서 올림한 30과의 차이 1을 4와 곱한 값 4를 120에서 빼서 120-4=116으로 값을 구하였다 ([그림 IV-9] 참조). 이와 같은 계산 방법은 수식 으로만 이해하기에는 3학년 학생들에게 다소 어 려울 수 있으나 배열 모델을 통하여 학생들은 다양한 식을 올림의 방법으로 계산하여 구한 뒤 쉽고 간편한 방법이라고 이야기할 수 있었다.

[그림 IV-9] 곱셈식의 피승수를 올림하여 해결

물론 배열 모델에서 피승수를 십의 자리의 수 와 일의 자리의 수로 나누는 방법이 세로셈 알 고리즘과 연결되기 때문에 효율적일 수 있다. 하 지만, 이와 같이 다양한 방법으로 수를 분해하는 것은 곱셈식과 곱셈식의 성질에 대한 이해를 증 진시킬 수 있으며 이러한 과정에서 학생들에게 곱셈식에 대한 흥미를 불러일으키는 등의 정의 적 측면에서도 긍정적인 효과가 있을 것이라 기 대된다. 단, 수업에서 다양한 방법으로 해결하는 것에만 초점이 맞추어지지 않기 위하여 정당화 과정을 강조하거나 다양한 방법들에 내재된 곱 셈의 원리를 이해할 수 있도록 교사의 주의가 필요할 것이라 사료된다.

셋째, 수업 후반으로 갈수록 배열 모델은 곱셈 식을 해결하는데 쓰일 뿐만 아니라, 분배법칙을 이용한 곱셈 과정에 대한 정당화를 하는 과정에 서도 사용되었다. 예를 들어 학생들에게 62×4를

해결해보게 했을 때, 다수의 학생들이 [그림 IV-10]의 방법①, 방법②처럼 가로셈으로 해결하 거나 세로셈 알고리즘을 이용하여 곱셈식의 값 을 먼저 구하였고, 다음으로 방법 ③과 같이 직 사각형을 그려 그 값을 다시 한 번 확인하는 모 습을 발견할 수 있었다.

[그림 IV-10] 정당화 과정에서 사용되는 배열 모델의 예

V. 결론 및 논의

본 연구에서는 수와 연산의 성질의 중요성을 고려하여 곱셈의 계산 원리를 본격적으로 학습 하기 시작하는 3학년 1학기 곱셈 단원을 퀴즈네 어 막대와 배열 모델을 강조하여 재구성 및 지 도한 뒤 학습 과정을 분석하였다. 연구 결과를 통한 결론 및 논의를 제시하면 다음과 같다.

첫째, 본 연구를 통해 드러난 결과를 살펴보면 학생들은 곱셈식 해결 과정에서 수를 다양하게 분해하여 곱셈식을 계산할 수 있었으며 이 과정 에는 결합법칙이나 분배법칙 등과 같은 아이디 어가 내재되어 있어, 3학년 학생이라도 수와 연 산의 성질을 이해할 수 있는 능력을 가지고 있 다는 것을 시사한다. 특히, 분배법칙과 관련하여 학생들은 분배법칙을 곱셈식의 계산 과정뿐만 아니라 계산 결과를 정당화하는 과정에서도 이 용할 수 있었는데, 이러한 결과는 현재 교육과정 에서 분배법칙의 도입 시기 및 지도 방법에 대 해 고찰할 필요성을 암시한다.

이에 현재 초등학교 3학년 학생들이 사용하는

2009 개정 수학과 교육과정에 따른 수학 교과서 를 살펴보면, 분배법칙은 3학년 2학기 1. 곱셈 단원에서 배열 모델과 함께 처음 도입되고 있다 (2016c, 교육부). 하지만 큰 직사각형이 이미 분 할되어 제시되기 때문에 곱셈식 계산을 승수나 피승수를 분해하여 계산할 수 있다는 아이디어 를 학생이 발견할 수 있는 기회가 제한된다는 아쉬움이 있다. 뿐만 아니라 분할 방식도 세로 계산과 같은 십의 자리의 수와 일의 자리의 수 로 분할하는 한 가지 방식만이 계속적으로 제시 되기 때문에 다양한 가능성을 모색하기에는 한 계가 있다.

한편, 일부 외국 교과서에서는 곱셈 구구를 다 루는 과정에서부터 분배법칙을 활용하고 있다. 예를 들어, 일본의 東京書籍(동경서적) 교과서인 新しい算數(새로운 산수)의 3-上에서는 8×6을 배 열 모델로 나타내고 5×6과 3×6으로 나누어 계산 하는 방법을 소개한다(東京書籍株式會社, 2011).

미국 교과서 Everyday Mathematics 3학년에서도 또한 8×9와 같은 곱셈 구구를 8×5와 8×4로 나누 어 계산할 수 있다는 것을 배열 모델을 활용하 여 다루고 있다(Bell et al., 2007). 또한 Kinzer와 Stanford(2014)는 곱셈의 핵심을 분배법칙으로 간 주하고 수업에서 중요하게 다루어야 한다고 주 장한다. 이와 같이 분배법칙의 유용성 및 본 연 구에서 드러난 학생들의 가능성을 염두에 두었 을 때, 수학과 교육과정에서 분배법칙의 지도 시 기와 방법에 대한 논의가 이루어질 필요가 있다 고 사료된다.

둘째, 연구 결과 퀴즈네어 막대와 배열 모델은 곱셈 계산 원리를 탐색하는데 도움이 되는 유용 한 모델이라는 것을 알 수 있다. 즉, 본 연구에 서 학생들은 곱셈식을 해결하기 위하여 퀴즈네 어 막대와 배열 모델을 사용하였는데, 이 과정에 서 퀴즈네어 막대와 배열 모델, 그리고 곱셈식을 연결할 수 있었다. 뿐만 아니라 수업 후반부에는

모델의 도움 없이 수식 자체에서 수를 다양하게 분해하여 곱셈식을 해결한 다음, 퀴즈네어 막대 나 배열 모델을 활용하여 계산 과정의 수식이나 결과값을 정당화하는 모습도 발견할 수 있었다. 따라서 이와 같은 결과는 본 연구에서 사용한 모델이 곱셈 계산 원리를 탐색하기 시작하는 3 학년 학생들에게 유용하다는 것을 시사한다.

한편, 본 연구 결과 드러난 학생들의 분배법칙 에 대한 수행 능력은 최지영과 방정숙(2011)에서 연산의 성질 가운데 분배법칙에서 가장 낮은 성 취를 보인 것과는 대조적이다. 이는 본 연구에서 는 퀴즈네어 막대를 조작하고 모눈종이에 직접 직사각형을 그리고 분할하여 곱셈식을 계산한 것과 다르게, 최지영과 방정숙(2011)의 연구에서 는 수식만 제시되고 빈 칸에 들어갈 알맞은 수 를 선택하는 문항들로 구성되었기 때문에 저ㆍ 중학년 학생은 물론 고학년인 6학년 학생들조차 분배법칙을 어렵게 생각했을 수 있다. 따라서 곱 셈 학습 시 모델 사용의 중요성을 재고할 수 있 는데, 퀴즈네어 막대는 연산의 과정 및 결과를 이해하는데 빈번하게 사용되고 있으며(김지선, 2008; 류성림, 2002) 여러 연구에서 배열 모델을 사용하여 수와 연산의 성질을 탐색하는 활동을 제안하는 바(Benson et al., 2013; Kinzer &

Stanford, 2014; Neagoy, 2015), 이와 같은 곱셈 모델을 교과서에서 체계적으로 다룰 수 있는 방 안을 모색할 필요가 있다.

마지막으로, 곱셈식의 승수나 피승수를 다양하 게 분해하여 계산할 때, 인수의 효율적인 분해에 대한 지도가 반드시 수반되어야 할 것이다. 연구 결과 곱셈식의 인수를 분해할 때 학생들은 계산 하기 편한 방법보다는 다른 친구가 하지 않은 독창적인 방법이나 복잡한 방법으로 하는데 열중 하는 모습을 발견할 수 있었다. 예를 들어 한 모둠 은 23×3을 (7+9+1×7)+(1×11+6+2×3)+(10+3×3+4) 로 분해하여 계산하였는데, 이는 곱셈을 쉽게 하

기 위한 분배법칙의 목적에서 벗어난다. 한편, Kinzer와 Stanford(2014)가 제안한 분배법칙을 통 해 곱셈을 이해할 수 있는 5단계의 학습 활동에 서 1단계는 작은 수를 분해하는 것이다. 관련하 여 Neagoy(2015)도 분배법칙의 첫 단계로 인수를 분해하는 것이라 제안한다. 이에 분배법칙을 곱 셈에 적용할 때 학생들의 다양한 방법을 인정하 되 제시된 인수를 어떻게 분해하는 것이 곱셈식 의 계산을 쉽게 할 수 있을지 염두에 두어야 한 다는 것을 강조하여 지도할 필요가 있다.

본 연구에서는 곱셈의 계산 절차를 학습하기 시작하는 초등학교 3학년 학생들을 대상으로 퀴 즈네어 막대와 배열 모델을 강조하여 교과서를 재구성한 뒤 곱셈 계산 원리를 탐색하는 학습 과정을 분석하였다. 본 연구를 통하여 드러난 학 생들의 가능성과 한계를 통하여 산술에서의 수 와 연산의 성질, 특히 분배법칙의 이해와 더 나 아가 대수로의 적용 방향을 모색하는데 도움이 되기를 기대한다.

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Exploring the Principle of Computation between Two-Digit Number and One-Digit Number: A Case Study of Using

Cuisenaire Rods and Array Models

Kim, JeongWon (Sintanjin Elementary School) Pang, JeongSuk (Korea National University of Education)

The unit of multiplication in the mathematics textbook for third graders deals with two-digit number multiplied by one-digit number. Students tend to perform multiplication without necessarily understanding the principle behind the calculation.

Against this background, we designed the unit in a way for students to explore the principle of multiplication with cuisenaire rods and array models. The results of this study showed that most students were able to represent the process of multiplication with both cuisenaire rods and array models and to connect such a process with

multiplicative expressions. More importantly, the associative property of multiplication and the distributive property of multiplication over addition were meaningfully used in the process of writing expressions. To be sure, some students at first had difficulties in representing the process of multiplication but overcame such difficulties through the whole-class discussion. This study is expected to suggest implications for how to teach multiplication on the basis of the properties of the operation with appropriate instructional tools.

* Key Words : multiplication(곱셈), the property of multiplication(곱셈의 성질), cuisenaire rods(퀴즈네 어 막대), array model(배열 모델)

논문접수 : 2017. 4. 8 논문수정 : 2017. 5. 2 심사완료 : 2017. 5. 8