제10장 가설검정:한 모집단

금융데이터분석

제10장 가설검정:한 모집단

- 가설검정의 기본개념

- 평균의 가설검정

- 모비율의 가설검정

- 모분산의 가설검정

I. 가설검정의 기본개념

1. 가설검정이란?

모집단에 대한 어떤 주장을 통계적 가설이라고 하며, 가설의 기각 여부에 대 한 통계적 의사결정 과정

2. 가설의 형태

1) 귀무가설(Null hypothesis)(=영가설) (=H0)

-모집단에 대한 지금까지의 주장 또는 믿음(기존가설) -검정하기 위하여 설정한 가설

-모수값에 대하여 특정한 값을 나타내는 등호, 또는 등호를 포함 하는 부등 호의 형태로 표현됨(H⁰: θ=,≥,≤ θ⁰ )

2) 대립가설(Alternative hypothesis) (=연구가설)(=H1)

- 기존상태로부터 새로운 변화 또는 효과가 존재하는 것 - 귀무가설을 부정하고 연구자가 주장하는 새로운 가설 - 귀무가설의 반대형태가 대립가설이 된다

- 귀무가설의 부정형으로 표현된다. (H⁰: θ ≠,<,> θ⁰ )

1. 다음 각 문제에 대해서 귀무가설과 대립가설을 설정하라.

1) 자동차 판매대리점 김사장은 판매량을 증가시키기 위해 새로운 보너스 정책을 고려하고 있다. 현재 월 평균 판매량은 20대이다. 김사장은 이 정 책이 판매량을 증가시킬지 조사하고자 한다.

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≤ 20 𝐻₁ ∶ 𝜇 > 20

2) 박카스를 생산하는 동아제약㈜는 함량이 100ml라고 주장한다. 이를 넘 치거나 부족하면 기계를 조정한다고 한다. 회사의 주장이 맞는지 조사하 려고 한다.

 𝐻₀ ∶ 𝜇 = 100 𝐻₁ ∶ 𝜇 ≠ 100

3) 평균 내구력이 적어도 200파운드는 되어야 하는 철사를 구입하는 대장 간㈜에서는 이 규격이 지켜지고 있는지 조사하기 위해 정기적으로 표본 추출을 한다.

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≥ 200 𝐻₁ ∶ 𝜇 < 200

I. 가설검정의 기본개념

3. 가설형태에 따른 검정의 유형

0 1

0 0

: :











 H

H

① 양측검정

0 1

0 0

: :











 H

H

② 좌측검정

0 1

0 0

: :











 H

H

③ 우측검정

임계치 임계치 기각영역α/2

채택영역

θ₀ 임계치

기각영역 α

채택영역

θ₀ ^임계치

기각영역α 채택영역

θ₀

I. 가설검정의 기본개념

1) 양측검정: 귀무가설이 “모수의 값이 어떤 특정 값이다.”라는 형식의 경우 검정통계량의 값이 모수값과 같지 않은 경우는 크거나 작은 경우에 해 당함으로 분포의 양극단의 2개의 임계치와 비교

2) 단측검정

- 좌측검정:“모수의 값이 어떤 특정 값 이상이다.”라고 표현한 경우로서 검 정통계량의 값이 모수의 값보다 작은 영역에 속하는지 여부를 좌측의 임계치와 비교

- 우측검정 :“모수의 값이 어떤 특정 값 이하이다.”라고 표현한 경우로서 검 정통계량의 값이 모수의 값보다 큰 영역에 속하는지 여부를 우측의 임 계치와 비교

0 1

0 0

: :













H

H

① 양측검정

0 1

0 0

: :











 H

H

② 좌측검정

0 1

0 0

: :













H

H

③ 우측검정

예1)

가설1) “한국인 성년 남자의 평균신장이 170cm이다”

가설2) “한국인 성년 남자의 평균신장이 170cm보다 크거나 같을 것이 다.”

가설3) “한국인 성년 남자의 평균신장이 170cm보다 작거나 같을 것이 다.”

 단순가설(양측검정)-가설1의 검정

- 표본평균의 값이 170보다 아주 크거나 아주 작은 경우 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택할 수 있다.

- 이의 판단기준은 표본평균의 분포를 이용하여 설정하는데 이는 특 히 분포의 양쪽 꼬리부분에 사회적 관습이나 연구자의 주관에 의 해 기각영역을 설정하여 검정통계량이 기각역에 해당하는지의 여 부를 판단

- 기각역에 포함이 되면 귀무가설을 기각하고 대립가설을 채택하고

기각역에 포함되지 않으면 귀무가설을 기각할 만한 충분한 증거가

없음으로 판정한다.

 복합가설(좌측검정)-가설2의 검정

- 모수값이 특정값보다 크다는 식으로 나타난 경우에는 좌측검정을 하며 임계치보다 표본통계량의 값이 작으면 귀무가설을 기각하며 즉, 표본평균의 값이 170보다 아주 작으면 귀무가설을 기각한다.

- 이는 표본평균의 분포로부터 유의수준에 따라 기준이 되는 임계치 를 설정하며 이때의 임계치는 하나가 된다. 표본통계량의 값이 기 각역 밖에 있으면 귀무가설을 기각할 만한 충분한 근거가 없다고 판단함.)

 복합가설(우측검정)-가설3의 검정

- 모수값이 특정값보다 작다는 식으로 나타난 경우에는 우측검정을 하며 임계치보다 표본통계량의 값이 크면 귀무가설을 기각하며, 표본통계량의 값이 임계치보다 작으면 귀무가설을 기각할 만한 충 분한 근거가 없다고 판단함.)

- 표본평균의 값이 170보다 아주 크면 귀무가설을 기각한다. 이는

표본평균의 분포로부터 유의수준에 따라 기준이 되는 임계치를 설

정하며, 이때의 임계치는 하나가 된다.

4. 가설검정 용어

- 검정통계량: 가설검정에서 이용하는 통계량으로 검정하려는 모수에 대응하는 표본통계량이 따르는 분포를 표준화한 통계 량(예: t값, Z값, X

값, F값 등)

- 유의수준(significant level): α

귀무가설이 옳음에도 불구하고 귀무가설을 기각할 확률(1종

오류)로서 연구의 목적에 타당하도록 연구자의 자의에 의해

결정.(보통 사회과학에서는 1%, 5%, 10%수준 임) 유의수준

에 따라 기각역과 임계치가 결정된다.

-

기각역(critical region) :

통계적 가설검정에서 검정통계량의 관측값이 이 영역에 속하 면 귀무가설를 기각하고 그렇지 않으면 기각할 수 없다는 결 론을 내리게 되는 유의수준의 영역(=임계역)

-

임계치(critical value) :

임계역(=기각역)의 하한과 상한값 양측검정의 경우는 음수구

간의 한 값과 양수구간의 한 값으로 나타나며, 우측검정의 경

우는 양수구간의 하한값 하나가 되며, 좌측검정의 경우 음수

구간의 한 값이 된다. 이는 유의수준과 검정통계량에 의해 자

동적으로 결정된다.

II. 가설검정의 오류

1. 제 I 종 오류(Type I error)란 귀무가설 𝐻

가 실제로는 사실이어서 채택해야 함에도 불구하고 표본오차 때문에 이를 거부하는 오류를 말한다.(α 오류)

2. 제 II 종 오류(Type II error)란 귀무가설 𝐻

가 허위라서 거부해야 됨에도 불구하고 표본오차 때문에 이를 채택하는 오류를 말한다.

(β 오류)

실제상황

통계적결정 𝐻₀가 사실 𝐻₀가 허위 𝐻₀ 채택 옳은 결정

(1-α)

제II종 오류 (β)

𝐻₀ 기각 제Ⅰ종 오류 (α)

옳은 결정 (1-β)

1. 엑셀자동차의 연비는 갤런당 평균 35마일이다. 그런데 제품개발부서에서 최 근 새로운 연료주입시스템을 개발하여 갤런당 평균 마일리지를 향상시킨다 고 주장하여 이를 검정하고자 한다.

1) 연구를 위한 가설을 설정하라

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≤ 35 𝐻₁ ∶ 𝜇 > 35

2) 이러한 상황에서 제1종 오류는 무엇인가? 이러한 오류를 범한후의 결과 는 무엇인가?

 귀무가설 𝜇 ≤ 35가 사실임에도 불구하고 이를 기각하는 오류. 새로 운 시스템이 효율적이라는 대립가설이 사실이 아님에도 불구하고 채 택하게 됨

3) 이러한 상황에서 제2종 오류는 무엇인가? 이러한 오류를 범한후의 결과 는 무엇인가?

 귀무가설 𝜇 ≤ 35가 거짓임에도 불구하고 이를 기각하지 못하는 오류 . 새로운 시스템이 효율적이라는 대립가설이 사실임에도 불구하고 기 각하게 됨

III. 가설검정의 순서

검정통계량을

사용할 때 P값을

사용할 때 가설의 설정

유의수준 α 의 결정

임계치 및 기각영역의 결정

검정통계량의 선정

검정통계량의 계산 기각여부결정

검정통계량의 계산 p값 계산

기각여부결정

[ 가설검정의 순서 ]

 모표준편차를 아는 경우

양측검정

검정통계량이 아래의 조건을 만족하면 H

를 기각하고 H

을 채택한다.

IV. 모평균의 가설검정

0 1

0 0

: :











 H

H

2

0 



 Z n

X  

2

0 



 Z n

X   

또는

P값에 의한 결정규칙

만일

P값(p-value)이란 제 І 종 오류를 범할 실제로 정확한 확률. 즉 사실인 귀무 가설을 거부하게 하는 유의수준 α 의 최소치를 말한다.

P값 계산방법 이면( ) : ₀

1





H p 값  2 P ( Z  | Z

|)

이면( ) : ₀

1





H

Z

Z P

p

: ₀

1





H

Z

Z P

p

n Z

X





단 ,  

이면 값 ^ 

p H

^{를 기각}

이면 값 ^ 

p ^H

^{를 채택}

[ P값을 이용한 가설검정 ]

𝑍_𝑠 = 검정통계량

다음과 같이 가설이 설정된다고 하자.

검정통계량이 아래의 조건을 만족하면 H

를 기각하고 H

을 채택한다.

0 1

0 0

: :











 H

H



 Z

n

X 

 

[ 좌측검정 ]

다음과 같이 가설이 설정된다고 하자.

검정통계량이 아래의 조건을 만족하면 H

를 기각하고 H

을 채택 한다.

0 1

0 0

: :











 H

H



 Z n

X 



[ 우측검정 ]

1. 종로식품㈜는 시리얼을 생산하는데 박스에 12온스를 담는 기계의 성능을 테스트하고자 한 다. 품질관리기사는 과부족이 발생하면 기계를 조정해야 한다. 박스의 무게는 표준편차가 0.5온스의 정규분포를 따른다고 한다. 랜덤 표본으로 36개의 박스를 추출하여 무게를 측정 한 결과 평균( ത𝑋)이 11.9167이었다. 유의수준 5%로 기계를 조정해야 할지 검정하라.

1) 가설설정

 𝐻₀ ∶ 𝜇 = 12 𝐻₁ ∶ 𝜇 ≠ 12

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 NORM.S.INV)

 𝑍^𝛼

2

= 𝑍_0.025 = 1.96 -𝑍^𝛼

2

= −𝑍_0.025 = −1.96

 (귀무가설) 기각영역: Z<-1.96 또는 Z>1.96

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋  𝑍_𝑐)

 𝑋 = 11.9167ത ∴ 𝑍_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝜎/ 𝑛 = ^11.9167−12

0.5/ 36 = −1

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교 𝑍_𝑐 = −1 > −𝑍_0.025 = −1.96이므로 귀무가설 채택 따라서 기계를 조정할 필요가 없다.

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교 (Excel 함수 NORM.S.DIST) p=2P(Z>1)=2(0.1587)=0.3173> 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 채택

2. 평화땅콩㈜는 16온스가 든 땅콩 캔을 생산판매한다. 16온스보다 많으면 손실을 가겨오고 적으면 고객을 상실하기 때문에 검사자는 매일 36개의 캔을 랜덤으로 추출하여 무게를 측 정함으로써 필요하면 공정을 조정하려고 한다. 모표준편차는 0.8온스라고 알려져 있다. 어 느날 다음과 같이 36개의 캔의 무게를 측정한 결과 평균은 16.38온스였다. 회사의 주장대 로 16온스인지 유의수준 5%로 검정하라.

1) 가설설정

 𝐻₀ ∶ 𝜇 = 16 𝐻₁ ∶ 𝜇 ≠ 16

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 NORM.S.INV)

 𝑍^𝛼

2

= 𝑍_0.025 = 1.96 -𝑍^𝛼

2

= −𝑍_0.025 = −1.96

 (귀무가설) 기각영역: Z<-1.96 또는 Z>1.96

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋  𝑍_𝑐)

 𝑋 = 16.38ത ∴ 𝑍_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝜎/ 𝑛 = ^16.38−16

0.8/ 36 = 2.85

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교

𝑍_𝑐 = 2.85 > 𝑍_0.025 = 1.96이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택 따라서 공정을 작게 조정해야함

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교비교 (Excel 함수 NORM.S.DIST)

p=2P(Z>2.85)=2(0.0022)=0.0044< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택

3. 희망자동㈜에서는 새로운 모델을 시판하면서 고속도로에서 주행거리는 적어도 32.5마일/

갤런이라고 주장한다. 이러한 회사의 주장이 맞는지 알아보기 위해서 그 모델 36대의 주행 거리를 시험한 결과 평균이 30.4마일이었다. 그런데 과거의 경험에 의해서 모표준편차는 5.3마일/갤런이라는 사실을 알고 있다. 유의수준 5%로 호사의 주장이 맞는지 검정하라.

1) 가설설정(좌측)

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≥ 32.5 𝐻₁ ∶ 𝜇 < 32.5

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 NORM.S.INV)

 −𝑍_𝛼 = −𝑍_0.05= −1.645

 (귀무가설) 기각영역: Z<-1.645

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋  𝑍_𝑐)

 𝑋 = 30.4ത ∴ 𝑍_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝜎/ 𝑛 = ^30.4−32.5

5.3/ 36 = −2.43

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교

𝑍_𝑐 = −2.43 < −𝑍_0.05 = −1.645이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택 따라서 회사의 주장을 받아들일 수 없다.

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교비교 (Excel 함수 NORM.S.DIST) p=P(Z<-2.43)=0.0075< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택

4. 한국의 초등학교 1학년 학생들의 키는 평균이 100cm보다 크고 표준편차는 5cm인 정규분 포를 따른다는 조사보고가 있었다. 16명을 랜덤으로 추출하여 키를 측정한 결과 평균이 102.375cm로 조사되었다. 유의수준 5%로 모평균 키가 100cm보다 크다고 하는 주장을 검 정하라.

1) 가설설정(우측)

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≤ 100 𝐻₁ ∶ 𝜇 > 100

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 NORM.S.INV)

 𝑍_𝛼 = 𝑍_0.05 = 1.645

 (귀무가설) 기각영역: Z>1.645

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋  𝑍_𝑐)

 𝑋 = 102.375ത ∴ 𝑍_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝜎/ 𝑛 = 102.375−100

5/ 16 = 1.9

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교

𝑍_𝑐 = 1.9 > 𝑍_0.05 = 1.645이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택

따라서 100cm보다 작다는 주장은 받아들일 수 없고 100cm이상이라고 할 수 있다.

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교 (Excel 함수 NORM.S.DIST) p=P(Z>1.9)=0.0287< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택

소표본의 경우

표본크기가 30 미만이면 t분포를 이용한다.

n S

x s

t x

x



  

 

 모표준편차를 모르는 경우

양측검정

0 1

0 0

: :











 H

H 만일 또는 이면

를기각

,2 1 0

,2 1

0

t H

n s t x

n s x

n

n  









  

 

좌측검정

우측검정

0 1

0 0

: :











 H

H 만일 이면

를기각

, 2 1

0

t H

n s x

n 





 

0 1

0 0

: :











 H

H 만일 이면

를기각

, 2 1

0

t H

n s x

n 







모평균의 가설검정 : 모표준편차를 모르는 경우(소표본)

5. 어떤 연구소의 보고에 의하면 성동구에 사는 남자 실버들이 하루에 TV를 시청하는 시간은 평균 6시간 이상이라고 한다. 이것이 사실인지 확인하기 위해 15명을 랜덤으로 추출하여 조사한 결과 평균이 6.6시간, 표준편차(s)가 0.6719시간으로 조사되었다. 연구보고서가 옳 은지 5% 유의수준에서 검정하라.

1) 가설설정(우측)

 𝐻₀ ∶ 𝜇 < 6 𝐻₁ ∶ 𝜇 ≥ 6

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 T.INV)

 𝑡_{𝑛−1,𝛼} = 𝑡_14,0.05 = 1.761

 (귀무가설) 기각영역: 𝑡_𝑐 >1.761

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋 𝑡_𝑐)

 𝑋 = 6.6ത ∴ 𝑡_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝑠/ 𝑛 = ^6.6−6

0.6719/ 15 = 3.4586

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교

𝑡_𝑐 = 3.4586 > 𝑡_14,0.05 = 1.761이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택 따라서 6시간이상 시청한다고 할 수 있다.

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교(Excel 함수 T.DST)

p=P(t>3.4586)=0.0019< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택

표본크기가 30 이상이면 모집단의 분포가 어떤 분포이건 중심극한정리에 의하 여 표본분포는 정규분포를 따르기 때문에 t값을 이용하든 Z값을 이용하든 별 로 차이가 없게 된다.

간단하게 표준정규분포의 Z값을 이용할 수 있다.

n s

x s

Z x

x



  

 

대표본의 경우

5. 평화전지㈜는 현재 평균수명 100시간인 벽시계용 배터리를 생산하고 있는데 연구진이 새 로 개발한 배터리의 수명이 100시간보다 길다는 확실한 증거가 있으면 이를 대량생산할 계 획을 가지고 있다. 30개의 배터리를 랜덤으로 추출하여 수명을 측정한 결과 평균 108.97시 간, 표준편차(S)는 22.88시간으로 측정되었다. 5% 유의수준에서 새로운 배터리를 생산할 필요가 있는지 Z검정과 t검정으로 검정하라.

1) 가설설정(우측)

 𝐻₀ ∶ 𝜇 ≤ 100 𝐻₁ ∶ 𝜇 > 100

2) 유의수준 𝛼=0.05에 해당하는 임계치 및 기각영역 결정(Excel 함수 T.INV)

 𝑍_𝛼 = 𝑍_0.05 = 1.645 𝑡_{𝑛−1,𝛼} = 𝑡_29,0.05 = 1.699

 (귀무가설) 기각영역: Z>1.645 𝑡_𝑐 >1.699

3) 검정통계량의 계산( ത𝑋 𝑡_𝑐)

 𝑋 = 108.97 ∴ 𝑍ത _𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝑠/ 𝑛 = ^108.97−100

22.88/ 30 = 2.15 ∴ 𝑡_𝑐 = ^{𝑋−𝜇ത}

𝑠/ 𝑛 = ^108.97−100

22.88/ 30 = 2.15

4) 의사결정

 방법1: 검정통계량과 (귀무가설)기각영역 비교

𝑍_𝑐 = 2.15> 𝑍_0.05 = 1.645 이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택 𝑡_𝑐 = 2.15 > 𝑡_29,0.05 = 1.699이므로 귀무가설 𝐻₀ 기각하고 대립가설 𝐻₁ 채택

따라서 6시간이상 시청한다고 할 수 있다.

 방법2: 유의확률(p값)과 유의수준(𝛼)를 비교(Excel 함수 T.DST)

p=P(Z>2.15)=0.0158< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택 p=P(t>2.15)=0.0158< 𝛼=0.05 이므로 귀무가설 기각하고 대립가설 채택

V. 모비율의 가설검정

양측검정

0 1

0 0

: :

p p

H

p p

H





이면 를 기각

) 1

또는 ( )

1

만일 (

2 2

H n Z

p p

p Z p

n p

p

p p









 

 





좌측검정

0 1

0 0

: :

p p

H

p p

H





우측검정

0 1

0 0

: :

p p

H

p p

H





기각 를

이면 )

1 (

만일 Z H

n p

p

p p



 





를기각 ) 이면

1

만일 ( Z H

n p

p

p p









모비율의 가설검정 : 대표본

VI. 모분산의 가설검정

양측검정

2 0 2

1

2 0 2

0

: :













H

H

) 또는 1

만일( ² ₀

1 2 , 2 1

0

2 2

,2 2 1

0

2

S H n

S n

n

n 



 



 



좌측검정

2 0 2

1

2 0 2

0

: :













H

H

우측검정

2 0 2

1

2 0 2

0

: :













H

H

를기각 ) 이면

1

만일( ² _{1,1 0}

2 0

2

S H n

n 







를기각 ) 이면

1

만일( ² _{1, 0}

2 0

2

S H n

n 







모분산의 가설검정