조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 문양 생성에 관한 연구

투고일_2018.12.10 심사기간_2019.01.01-16 게재확정일_2019.01.25

조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 문양 생성에 관한 연구

A Study on Creating Korean Frieze Patterns through George Polya’s Problem Solving Process

신실라, 한국교원대학교 대학원

Sheen, Shil La_Graduate School of Korea National University of Education

차례 ^{1. 서론}

1.1. 연구 배경 및 목적 1.2. 선행 연구

1.3. 연구 방법 및 범위

2. 본론

2.1. 조지 폴리아의 문제 해결 과정과 디자인 프로세스 2.2. 문제 해결 과정에 따른 문양 생성 및 활용

2.2.1. 문제에 대한 이해: 한국 문양의 이해와 띠 문양 생성과 응용 2.2.2. 계획의 작성: 디자인 취지와 모티브 설정

2.2.3. 계획의 실행: 문양의 생성 및 디자인 2.2.4. 반성: 생성된 문양 점검

3. 결론 및 제언

참고문헌

조지 폴리아의 문제 해결 과정에 의한 한국 띠 문양 생성에 관한 연구

A Study on Creating Korean Frieze Patterns through George Polya’s Problem Solving Process

신실라, 한국교원대학교 대학원

Sheen, Shil La_Graduate School of Korea National University of Education

요약 디자인과 수학의 만남은 오래전부터 시도되었다고 볼 수 있다. 자연 특히, 인체비례나 골격에 대한 예술가들의 수학적 관심은 수백 년간 지속되어 왔다. 이러한 역사적 사실은 우리에게 많은 영감을 준다. 특히 다학제적 연 구가 지향되는 요즘 디자인과 수학과의 만남은 많은 연구자들의 연구주제가 되어왔다. 하지만 학제적 연계성과 관련 된 충분한 담론이 부재하거나 이론에 대한 설명의 모호함으로 연구의 당위성 혹은 명료성 측면에서 인정 을 얻지 못한다는 아쉬움을 낳는다. 본고에서는 이러한 상황을 극복하고자 조지 폴리아의 수학적 문제 해결 과 정을 활용한 디자인 프로세스를 진행하였다. 조지 폴리아의 문제 해결 과정은 수학 문제 풀이에 있어 그 해결 과정을 제시한 것으로서 수학교육에서 다양한 연구의 대상이 되어 왔다. 이때 문제에 대한 이해-계획의 작성- 계획의 실행-반성을 거치는 수학 문제 해결 과정은 디자인 분야에서 흔히 경험하는 디자인 프로세스와 흡사하 다. 이를 바탕으로 본고는 수학과 디자인의 연결고리를 확인하고자 수학 문제 해결 과정을 통한 한국의 전통 띠 문양을 생성하고 이를 실제 디자인에 응용하는 디자인 프로세스를 진행한다. 대칭의 관점에서 꽃 문양, 구름 문 양, 태극문양을 모티브로 띠 문양을 생성하였고, 이를 활용하여 우산, 벽지, 전등 디자인에 응용하였다. 또한 띠 문양 생성에 관한 코딩 절차를 상세하게 제시하여 누구나 컴퓨터나 애플리케이션으로 문양을 생성할 수 있는 가능성을 제시하였다. 이와 같이 본 연구는 우선적으로 수학 문제 해결 과정과 디자인 과정의 연계성에 주목하 였고 실제로 수학 문제 해결 과정을 통해 디자인을 진행함으로서 수학적 사고와 디자인적 사고의 긴밀함을 확 인하고자 했다. 또한 디자인 과정에서 활용 된 수학(군론)적 과정을 통한 띠 문양 생성을 통해 디자인에서의 다 양한 활용성을 제시하였고 이를 알고리즘화 할 수 있음을 확인하였다.

Researching the connections between design and mathematics such as body proportions and scheleton as well as nature has been studied for hundreds of years. Nowadays, many researchers are inspired by these historical facts through mathematics. But we confront the lack of the theoretical basis of convergence of design and mathematics. To improve this situation, this research creates Korean frieze patterns using George Polya’s problem solving process. George Polya’s problem solving process has been recognized as a subject of mathematics education for many decades. Meanwhile, we noticed the similarity between design process and George Polya’s process. To identify this resemblance, through George Polya’s process we created Korean frieze patterns and use them for some designs. The motives of our patterns are Korean traditional pattern such as flower pattern, cloud pattern and Taegeuk pattern. Also we use them as ingredients of designs like umbrella, wall paper and lights. We also explain the coding process for creating frieze patterns in detail to ensure that pattern creating is possible by computers and applications. Through the process, we want to highlight the connectivity between the design process and mathematical problem solving process. Furthermore, we found out that anyone can make her(his) own patterns using computer or applications through algorithms for creating frieze pattern through mathematical(group theoretic) process.

중심어

수학적 문제 해결 과정 디자인 프로세스 띠 문양 군론

ABSTRACT Keyword

problem solving process design process

frieze pattern group theory

1. 서론

1.1. 연구 배경 및 목적

디자인과 수학의 만남은 수백 년 전부터 시도되었다고 할 수 있다. 마르쿠스 비트루비우스 폴리오(Marcus Vitruvius Pollio, ?-?), 레오나르도 다빈치(Leonardo da Vinci, 1452-1519), 알브레히트 뒤러(Albrecht Dürer, 1471-1528) 그리고 르 꼬르뷔지에(Le Corbusier, 1887-1965) 등에 이르기까지 이들의 비례에 관한 관심은 두 영역의 융합적 연계를 보여준다. 앞선 4명의 인물은 인체비례에 특히 관심이 많았는데 그 시작은 로마시대 건축가 마르쿠스 비트루비우스 폴리오로부터라고 볼 수 있다. 비트루비우스라고 알려진 그는 가장 아름다운 비례는 인체에서 발견될 수 있으므로 신전 등 제반 건축에서 인체비례를 사용하여야 한다고 생각했다. 그는 인간의 키와 양 쪽으로 펼친 팔의 길이는 같아야 하며 이 두 부분을 하나의 정사각형으로 두를 수 있다고 했다. 또한 동시에 손끝과 발끝은 배꼽을 중심으로 하는 원 위에 있고 이 원의 중심 은 앞서 언급 된 정사각형 중심과 일치한다고 주장했다. 이러한 그의 인체비례에 관한 의견은 레오나르도 다빈치에게 큰 영향을 끼친다. 레오나르도 다빈치의 ‘비트루비우스의 인체비례’는 이를 입증하는 작품으로 비트루비우스의 ‘건축 10서’의 책을 읽고 자신만의 스타일로 재창조 해낸 것으로 알려졌다. 레오나르도 다빈치와 같은 시기의 독일 화가 알브레히트 뒤러 또한 비트루비우스의 인체비례에서 영감을 받아 남성과 여성의 인체비례를 그림으로 남겼다. 알브 레히트 뒤러가 해석한 비트루비우스의 인체비례는 인체가 취한 포즈와 얼굴 비례에 관한 해석 만 다를 뿐 전반적으로 레오나르도 다빈치의 것과 거의 일치한다.¹⁾ 이후 약 450년이 지나 르 꼬르뷔지에에 의해 인체비례에 대한 새로운 해석이 이루어진다. 그는 인체의 비례를 황금비 로 설명하는 ‘조화척도(Modulor)’를 제시했다.²⁾

현대 사회가 지속적으로 요구하는 것 중 하나는 학제간의 다양한 연결이다. 이제 어느 분야든 학문 사이의 관계성에 집중하고 새로운 연결고리를 생성하고 있다. 디자인은 이러한 융합적 생성에 익숙한 분야다. 시대적 산물을 해석할 수 있는 인문학적 시각, 사용자에 대한 이해와 같은 공감 능력, 효율적 제품 제작을 위한 기술적 소양, 시각적 흥미를 만들어 내는 미적 감각 등과 같은 사항들이 디자인 과정에서 끊임없이 연계성을 갖고 상호작용한다. 이는 디자인이 바로 현시대가 요구하는 융합이라는 용어의 실천적 사례라고 볼 수 있다.

하지만 이러한 디자인의 이면에는 학제적 연계성과 관련 된 충분한 담론이 부재하는 상황에 놓여있다. 담론 이전에 가시적으로 결과를 확인할 수 있는 결과물에 연연한 연구가 대부분인 본말전도 된 상황은 그리 어렵지 않게 확인 할 수 있다. 특히 디자인과 자연과학의 만남에서 그러하다. 이미 제작 된 작품이나 연구 결과물들은 이 두 영역간의 연계성을 어렴풋이나마 확인할 수 있지만 이와 관련된 이론의 부재 혹은 모호함으로 연구의 당위성 혹은 명료성 측면 에서 인정을 얻지 못한다는 아쉬움에 봉착한다.

본고에서는 이러한 아쉬운 상황의 해결을 위한 실마리를 찾고자 디자인과 수학간의 연계성을 조명하고 구체화하기 위한 예로 조지 폴리아의 수학 문제 해결 과정과 디자인 프로세스 간의 유사성을 살펴보도록 한다. 수학 문제 해결 과정을 통해 한국의 전통 띠(frieze) 문양을 생성하 고 이를 디자인에 응용하는 작업을 진행한다.

1.2. 선행 연구

무카이 슈타로(向井周太郞)는 자신의 책 『디자인학』에서 막스 빌(Max Bill)을 언급한다.

막스 빌은 1949년 ‘현대 예술에서의 수학적 사고 방법’이라는 글을 통해 수학적 표상으로서의 조형세계의 시각을 제안했다. 수학적 사고가 예술세계에 많은 영감을 주고 보통 사람들이 생각 하는 구성과 같은 개념을 뛰어넘어 비유클리드 기하학 혹은 유한, 무한과 같은 개념들이 예술 에 적지 않은 단서를 제공한다고 기술한다. 무카이 슈타로는 막스 빌의 글은 당시 혁신적인 내용으로 큰 반향을 불러일으켰다고 평가한다.

1) 신현용, 유익승, 문태선, 신기철, 신실라, 『수학 IN 디자인』, 교우사, 2015, pp.143-147.

2) 신현용, 『수학: 학제적 대화코드』, 매디자인, 2018, pp.193-195.

국내에서는 고재성과 박정기(2017)의 디자인과 수학의 연계성에 관한 이론적 연구에서 찾아 볼 수 있다. 해당 논문은 디자인 내에서의 통합적 사유를 주장하며 응용분야인 디자인은 인지 심리학과 같은 순수이론 분야와 수학과 철학 등 학문적 토대가 되는 분야가 디자인에 융합되어 야 한다고 기술한다. 이는 앞서 언급한 디자인의 융합적 성격의 기원을 반추해 볼 수 있게 한다. 해당 연구는 인지심리학적 측면에서 디자인의 초학제적 접근을 시도했기 때문에 순수한 수학적 시각으로서의 접근은 아니지만 수학과 디자인의 관계를 설명하려 했다는 점에서 어느 정도 담론을 시도한 것으로 볼 수 있다.

하봉수(2013)의 경우 디자이너의 객관적 조형사고의 육성을 위해 수학적 조형이 교육적 매개 체가 될 수 있다고 말한다. 컴퓨터를 통한 조형표현에 있어 객관적인 프로세스를 가능하게 해주며 이는 디자이너의 창조성이 기술에 의해 완성되어지는 시대에 중요한 역할을 할 것이라 본다. 이러한 모습은 디자인에게 기대하는 현시대의 요구를 충족시켜 줄 수 있도록 해주며 그 교차점에 수학이 위치하고 있음을 주장한다고 볼 수 있다.

1.3. 연구 방법 및 범위

우선적으로 문헌을 통해 조지 폴리아의 문제 해결 과정과 디자인 프로세스 간의 관계를 살펴 유사점을 도출한다. 이후 문제 해결 과정을 활용하여 문양을 생성하고 디자인하는 과정을 진행 한다. 이때 문양은 수학(군론)에 의한 대칭의 관점에서 생성하고, 생성된 띠의 모티브는 한국 전통 문양이며 한국의 단청이나 유물 또는 유적지에서 볼 수 있는 것으로서 본 연구에서는 단행본 『전통 문양의 응용과 전개』에서 택하였다.

2. 본론

2.1. 조지 폴리아의 문제 해결 과정과 디자인 프로세스

수학자 조지 폴리아(George Pólya, 1887-1985)는 『어떻게 문제를 풀 것인가?』에서 수학 문제 해결 과정을 4단계로 제시한다. 문제에 대한 이해-계획의 작성-계획의 실행-반성으로 4단계를 제시한 그의 수학적 문제 해결 과정은 단행본 초입부에 기술되어 있다. 다음 <표 1>은 문제 해결 과정을 단계 별로 제시한 것으로 그 설명과 관련 발문이다.

단계 단계의 설명 단계 별 관련 발문

문제에 대한 이해 문제를 ‘이해’하여야 한다.

‧ 미지의 것은 무언인가? 자료는 무엇인가? 조건은 무엇인가?

‧ 조건은 만족될 수 있는가? 조건은 미지인 것을 결정하기에 충분한가, 또는 불충분한가, 또는 과다한다, 또는 모순되는가?

‧ 그림을 그려보아라. 적절한 기호를 붙여라.

‧ 조건을 여러 부분으로 분해하라. 그것을 나타낼 수 있는가?

계획의 작성

자료와 미지인 것 사이의 관계를 찾아보아라. 즉각적으로 그러한 관계를 발견 할 수 없다면, 보조 문제를 고려하지 않으면 안 될 것이다. 궁극적으로 풀이에 대한

‘계획’을 작성해야 한다.

‧ 전에 그 문제를 본 일이 있는가? 그렇지 않으면 약간 다른 형태로 된 같은 문제를 본 일이 있는가?

‧ 문제를 달리 진술할 수 있을까?

‧ 자료는 모두 사용했는가? 조건을 모두 사용했는가? 문제에 포함된 핵심적인 개념은 모두 고려했는가?

계획의 실행 계획을 실행하라.

‧ 풀이 계획을 실행하고, 매 단계를 점검하라. 각 단계가 올바른지 명확히 알 수 있는가? 그것이 옳다는 것을 증명할 수 있는가?

반성 얻어진 풀이를 점검하여라.

․ 결과를 점검할 수 있는가?

‧ 논증과정과 결론은 타당한가?

‧ 결과를 다른 방법으로 이끌어 낼 수 있는가?

‧ 결과나 방법을 어떤 다른 문제에 활용 할 수 있는가?

<표 1> 조지 폴리아의 수학 문제 해결 과정

이와 같은 내용은 디자인 프로세스와 상당히 유사한 면모를 보인다. 디자인 프로세스는 합의되 어 정의 된 개념이 아닌 유동성을 띄는 하나의 과정으로 어떤 학자 혹은 기업에서 생각하는 단계가 다양하기 때문에 그 모습이 각양각색이다. 민경우(1995)³⁾의 경우 디자인 문제에 대한 이해-해결안의 종합-해결안의 평가 단계로 나눈다. 찰스 왈쉬레거(Charles Wallschlaeger) 와 신디아 부식-스나이더(Cynthia Busic-Snyder)⁴⁾는 디자인 프로세스를 ‘문제-해결 과정 (problem-solving process)’이라는 용어로 제시하며 문제점-분석-아이디어전개-선택-수 행-전개의 모델을 제시한다. 이처럼 디자인 프로세스는 각 디자인 환경 혹은 상황에 따라

다양한 절차를 보이지만 그 과정의 큰 골자는 비슷한 양상을 취한다. <그림 1>은 본 논문 에서 제시하는 디자인 프로세스 모델로 원형 의 순환적 구조를 지니고 있다. 어떠한 문제를 인식하거나 호기심으로 인해 시작되어 디자인 에 본격적으로 들어가기 전 다양한 조사를 통 해 자료를 얻고 분석한다. 이를 바탕으로 다양 한 기법을 통해 다양한 아이디어를 발상한다.

이후 다양한 의견을 거쳐 선정 된 결과물은 기 술의 힘을 빌려 실제화 과정을 밟고 양산되어 상품화한다. 이후 수요자의 다양한 의견이 공 유되고 결과물의 앞날을 결정하게 된다. 이러 한 절차는 계속 순환하면서 결과물이 새로운 외관으로 재생산되기도 하고 새로운 생산물을 낳기도 한다. 이상의 디자인 프로세스는 조지 폴리아의 문제 해결 과정과 비교해 보았을 때

<표 2>와 같이 절차상의 유사성을 볼 수 있다. 첫 번째로 문제에 대한 이해가 선행되듯이 디자인 프로세스에서도 대상의 문제를 인식함으로써 단계가 시작된다. 두 번째로 풀이에 대한 계획을 작성한다는 것은 디자인 프로세스에서는 다양한 시장조사와 분석, 어떻게 하면 더 나은 결과물을 생산해 낼까하는 발상의 과정과 최상의 결과물을 위한 청사진을 마련하는 단계라는 점에서 닮아있다. 세 번째로 계획의 실행은 앞선 계획에 의해 시각화하고 입체화하는 디자인 프로세스의 실제화 또는 상품화하는 과정과 유사하다. 마지막으로 반성과 같이 풀이를 점검하 는 행위는 완성 된 결과물에 대한 반성적 단계와 닮아있다. 또한 시장의 반응을 살피고 수요자 의 의견을 적극 반영하여 또 다시 새로운 문제를 인식 하는 모습으로도 볼 수 있다. 이와 같이 살펴본 두 프로세스 간의 유사성은 문제 해결 과정을 활용하여 디자인을 진행할 수 있도록 하는 단초를 제공한다.

2.2. 문제 해결 과정에 따른 문양 생성 및 활용

한국 문양 생성을 위해 문제 해결 과정에 따라 그 과정을 <그림 2>와 같이 진행하고자 한다.

<그림 2> 문제 해결 과정에 따른 문양 생성 과정

3) 민경우, 『디자인의 이해』, 미진사, 1995, p.84.

4) Charles Wallschlaeger,Cynthia Busic-Snyder, 원유홍, 『디자인의 개념과 원리』, 안그라픽스, 2011, p.8.

문제 해결 과정

디자인 프로세스 문제에

대한 이해 문제 인식

계획의 작성

조사 및 분석, 아이디어

발상 계획의

실행

실제화, 상품화

반성 문제 인식

<표 2> 조지 폴리아의 문제 해 결 과정과 디자인 프로세스

<그림 1> 디자인 프로세스

2.2.1. 문제에 대한 이해: 한국 문양의 이해와 띠 문양 생성과 응용

군론의 분류체계에 의해 한국 띠 문양을 생성하고 응용하는 것이 문제(디자인 프로세스)의 시작이다. 본 논문에서는 한국 문양을 그 대상으로 설정했기 때문에 한국 문양에 대한 이해가 필요하다. 『전통 문양의 응용과 전개』에서는 한국문양을 한국인의 생활 정서나 의식의 표현 이라 평한다. 또한 한국 문양은 민간신앙과 유교, 불교 등의 종교적 의의를 떠나 설명될 수 없다. 즉 한국문양은 주술적인 기능을 가져 평안, 장수, 풍요 등을 기원하는 하나의 도구라 볼 수 있다. 정복상, 정의상(1996)⁵⁾은 한국문양을 기하 문양, 꽃문양, 용 문양, 태극 문양, 구름 문양, 도깨비 문양 총 6가지로 나누었 다. 이러한 한국 문양의 분류는 문양을 생성 하는 데 필요한 기본조각(fundamental domain) 을 제공한다. 출판사 안그라픽스는 1986년 부터 2000년까지 14년에 걸쳐 무늬 별로

『한국전통문양집』을 출판하였다. 기하무 늬, 꽃무늬, 도깨비, 구름무늬, 태극, 연꽃무 늬, 용무늬, 당초무늬, 얼굴, 나무, 새 무늬, 호랑이 무늬 총 12권으로 각 무늬별로 그 기 원과 내용이 각 책에 소개되어 있다.

신현용과 신실라(2014)⁶⁾는 수학적 접근, 즉 군론(group theory)에 의한 대칭의 관점에 서 띠는 일곱 개 타입(type) 밖에 존재하지 않음을 설명하고 각 타입에 해당하는 한국 문양을 모두 찾아 제시하였다. 이때 <표 3>과 같이 띠 문양에서는 5가지의 대칭성만 살피면 된다는 것을 주목하였다. 평행이동은 문양의 가장 작은 단위인 기본조각을 정해진 방향을 따라 일정한 길이만큼 이동하는 변환이다. 회전은 정해 진 축으로 일정한 각도만큼 회전시키는 변환으로서 띠의 경우에는  와  회전만 가능하 다. 반사는 정해진 축에 관하여 반사시키는 변환으로 띠의 경우에는  축 반사와  축 반사가 있다. 마지막으로 미끄럼반사는 -축을 따라 기본조각의 1/2에 해당하는 거리만큼 미끄러진 (glide) 후 그 축에 관하여 반사시키는 변환이다.

띠 문양의 5가지 대칭성은 대칭 특징과 성질을 설 명하는 수학인 군론에 의해 <표 4>와 같이 띠 문 양을 7가지 타입으로 분류할 수 있다. 각 띠 문양 의 기호는 그 문양이 가지고 있는 대칭성을 나타낸 다. 평행이동 대칭은 모든 문양이 가지고 있는 대 칭성이므로 기호에 표시되지 아니한다. 또한 

타입의 띠 문양은 평행이동,   축 반사,   축 반사의 대칭성을 가진다. 이 경우  회전 대칭 을 가질 수밖에 없음을 군론에 의해 설명된다.

참고로 앞서 언급 된 조지 폴리아는 군론에 의한 문양 분류와도 깊은 관계를 갖고 있다. 그는 자신 의 논문을 통해 벽지 문양은 대칭의 관점에서 17 개 밖에 없음을 증명했다. 벽지(wallpaper) 문양 은 이차원적 문양으로서 일차원적 문양의 일반화 로 볼 수 있으므로 그 분류 과정은 띠의 분류보다 더 섬세한 군론을 요구한다. <그림 3>은 그에 의 해 소개 된 17개 타입의 벽지 문양이다. 이를 본

5) 정복상, 정이상, 『전통 문양의 응용과 전개』, 창지사, 1996.

6) 신현용, 신실라, 「문양에 관한 수학적 접근」, 한국디자인학회, 2014.

대칭성 이미지

평행이동

회전

반 사

 축 반사

 축 반사

미끄럼반사

<표 3> 띠 문양의 대칭성

<그림 3> 조지 폴리아의 17개 벽지 문양

기호 대칭성

 ^평행이동

 ^{평행이동,}

 축 반사

 ^{평행이동,}

 축 반사

 ^{평행이동,}

회전



평행이동,

 축 반사,

 축 반사

 ^{평행이동,}

미끄럼반사



평행이동, 미끄럼반사,

 축 반사

<표 4> 군론의 의한 띠 문양의 분류

네덜란드 판화가 모리츠 코르넬리스 에셔(Maurits Cornelis Escher, 1898-1972)는 조지 폴리아 의 기본 조각을 그대로 따라 그리다가 어느 순간부터 기본조각을 다양한 동물 모양으로 변형시 켜 자신만의 독특한 작품세계를 펼치게 된다.⁷⁾ <그림 4>는 실제로 에셔가 그린 그림으로 기본조각 위에 그려진 새 형상을 볼 수 있다. 에셔는 수학과의 긴밀한 만남을 통해 더욱 다양한 작품 활동을 이어가게 된다. 에셔가 수학적 절차에 따라 생성한 문양을 다양하게 응용한 것처 럼 본 연구에서는 생성한 띠 문양을 디자인에 응용한다.

2.2.2. 계획의 작성: 디자인 취지와 모티브 설정

본 계획의 디자인 취지는 문양을 생성하여 우산, 벽지, 실내 전등 등에서 한국적 전통을 느낄 수 있는 디자인을 시도하는 것이다. 문양을 생성하기 위해서는 띠의 가장 작은 단위인 기본조각 을 설정해야 한다. 본 연구에서는 디자인 취지에 따라 『전통 문양의 응용과 전개』의 분류를 기준으로 문양 제작을 위한 기본조각을 설정하고자 한다. 『전통 문양의 응용과 전개』의 분류 에 따르면 기하 문양, 꽃문양, 용 문양, 태극 문양, 구름 문양, 도깨비 문양 총 6가지로 안그라픽 스의 『한국전통문양집』 시리즈의 6권과 중복되는 문양이기도 하다. 다음은 『전통 문양의 응용과 전개』에 제시된 문양들 중 본 연구에 적합한 띠 문양 생성을 위한 모티브(motif)이다.

꽃 문양 구름 문양 태극 문양

<표 5> 띠 문양 생성을 위한 모티브

2.2.3. 계획의 실행: 문양의 생성 및 디자인

계획의 실행 단계에서는 앞서 선정한 3가지 모티브인 꽃 문양, 구름 문양, 태극 문양을 활용하 여 군론에 의한 분류를 기준으로 각각 7가지의 띠 문양을 다음과 같이 생성할 수 있다.

기호 기본조각 띠















<표 6> 꽃 문양

7) Doris Schattschneider, 『The Pólya–Escher Connection』, Mathematics Magazine, 1987, p.295, 재인용.

<그림 4> 에셔의 벽지문양

기호 기본조각 띠















<표 7> 구름 문양

기호 기본조각 띠















<표 8> 태극 문양

이와 같이 생성된 문양은 한지 공예품이나 각종 전통 제품과 관련하여 적용 될 수 있다. 다음

<그림 5>, <그림 6>, <그림 7>은 앞서 생성 된 문양을 우산, 벽지, 실내 전등의 디자인에 적용한 사례이다.

<그림 7> 실내 전등

2.2.4. 반성: 생성된 문양 점검

앞 단계에서 생성한 일곱 개의 문양은 군론 관점에서 타당하다는 것을 알 수 있다. 다음 <표 9>는 계획의 실행 단계 초반에 기하문양 을 모티브로 7개 타입의 띠를 생성하려고 시도한 것이다.

기호 기본조각 띠















<표 9> 기하 문양

이때 과 가 같은 띠 문양임을 알 수 있음으로 7개 타입 모두를 생성하는 데에 실패했다.

사실 의 띠 문양은 생성하지 못한 것이다. 이러한 결과가 발생한 이유는 모티브로 택한 자체가 180 회전 대칭을 가지고 있기 때문이다. 그 결과  띠 문양은  띠 문양이고

로 제시한 띠의 기본조각은 가 아니라 인 것이다. 모티브에는 어떠한 대칭성이 없 어야 한다는 것을 알 수 있다.

타당하게 선택된 모티브로부터 일러스트레이터(Adobe Illustrator)나 포토샵(Adobe Photoshop) 등을 이용하여 7개 타입의 띠 문양 모두를 생성할 수 있다. 그러나 문양에 관한 분석이 군론적 (group theoretic)으로 정립된 상황에서는 일곱 개 문양 모두의 생성을 위한 컴퓨터 프로그램

<그림 5> 우산 <그림 6> 벽지

또는 스마트 폰 애플리케이션 개발이 가능하다.⁸⁾ 컴퓨터를 활용하여 일곱 개 띠를 생성하고자 할 때, 다음 절차를 코딩하면 된다.

∙ 모티브를 택한다. 모티브는 문양과 여백을 포함하는 직사각형 꼴로 하고, 모티브에는 회전이 나 반사 등 대칭성이 없도록 한다.

∙ 모티브 자체를 기본조각으로 택하고, 그 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행 이동 시켜  타입의 띠 문양을 얻는다.

∙ 모티브의 아래 모서리를 축으로 상하반사 시켜 모티브 크기의 두 배 크기를 가지는 기본조각 을 얻고, 그 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행이동 시켜  타입의 띠 문양 을 얻는다.

∙ 모티브의 오른쪽 모서리를 축으로 좌우반사 시켜 모티브 크기의 두 배 크기를 가지는 기본조 각을 얻고, 그 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행이동 시켜  타입의 띠 문양을 얻는다.

∙ 모티브를 모티브 오른쪽 모서리의 중심을 축으로  회전 시켜 모티브 크기의 두 배 크기 를 가지는 기본조각을 얻고, 그 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행이동 시켜

 타입의 띠 문양을 얻는다.

∙ 모티브의 아래 모서리를 축으로 상하반사 시켜 모티브의 크기를 두 배로 늘리고, 이 전체의 오른쪽 모서리를 축으로 좌우반사 시켜 원래 모티브보다 네 배 큰 기본조각을 얻는다. 이렇 게 얻은 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행이동 시켜  타입의 띠 문양을 얻는다.

∙ 모티브를 모티브의 폭만큼 오른쪽으로 밀고 원래 모티브와 상하로 병치시켜서 원래 모티브 의 네 배 크기의 기본조각을 얻는다. 이때, 기본 조각의 오른쪽 위 부분과 왼쪽 아래 부분은 원래 모티브 크기의 빈 직사각형이다. 이렇게 얻은 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적 으로 평행이동 시켜  타입의 띠 문양을 얻는다.

∙ 주어진 모티브로부터  타입의 띠 문양을 위한 기본조각을 얻는다. 이 기본조각을 새로운 모티브로 하여  타입의 띠 문양을 위한 기본조각을 얻는다. 이렇게 얻은 기본조각은 처음 에 주어진 모티브 크기의 여덟 배가 된다. 이제 기본조각을 기본조각의 폭만큼씩 반복적으로 평행이동 시켜  타입의 띠 문양을 얻는다.

3. 결론 및 제언

지금까지 디자인 과정과 수학 문제 해결과정의 연계성을 조명하고 이를 구체화하기 위해 조지 폴리아의 문제 해결 과정을 통한 띠 문양 생성에 관한 연구를 진행했다. 본 연구는 디자인과 수학간의 연계성을 주목하고자 진행되었다. 띠 문양을 생성하고자 할 때 색(色, color) 이외의 모든 과정이 수학으로 이해가 되면 이론적으로 가능한 일곱 개 타입 모든 띠의 생성 과정을

‘알고리즘화’ 할 수 있음을 앞에서 언급하였다. 이와 관련하여, 최근에 ‘나만의 띠 문양’을 생성 할 수 있는 스마트 폰 또는 태블릿 컴퓨터용 애플리케이션이 개발되어⁹⁾ 누구라도 자신만의 특색 있는 띠를 생성하여 자신의 공간을 장식할 수 있게 된 것은 주목할 만하다.

또한 본 연구의 핵심은 띠 문양 생성 과정이 기존 디자인 프로세스가 아닌 수학적 문제 해결과 정을 활용했다는 점이다. 즉, 조지 폴리아가 제시한 수학적 문제 해결 과정은 디자인 프로세스 와 비슷한 맥락을 갖고 있음을 확인해 볼 수 있었다. 이는 수학과 디자인 과정의 유사성에 관한 연구의 여지를 암시하고 있음을 뜻하기도 한다. 근래 4차 산업혁명이 대두되면서 누구나 무언가를 창조해 낼 수 있다는 메이커 운동(Maker Movement)에 대한 연구가 활발하다. 그러 면서 자연스레 디자인적 사고와 디자인 프로세스에 대한 관심이 한껏 높아져 있는 상황이다.

8) 나준영 「스마트교육 기반의 수학과 미술 STEAM 수업설계 모형 및 교수・학습 자료 개발 연구」, 한국교원대학교 대학원 박사학위 논문, 2018.

9) 나준영, 「스마트교육 기반의 수학과 미술 STEAM 수업설계 모형 및 교수・학습 자료 개발 연구」, 한국교원대학교 대학원 박사학위 논문, 2018.

하지만 디자인적 사고 혹은 디자인 프로세스에 대한 깊은 고찰을 간과한 채 그저 개념만 가져 다 쓰는 연구는 지양해야 할 것이다. 이에 대한 깊은 연구를 위해 이론적 배경과 다양한 사례를 확인하고 직접 사고 과정을 겪어 정확한 이해가 선행되어야할 것이다. 이 중심에는 디자인 과정과 수학적 문제 해결과정의 유사성을 확인하는 것에 있다고 생각 된다. 수학은 2,500년의 긴 역사를 지닌 학문이고 수학적 사고 능력 계발은 모든 학제의 지향점이라고 할 수 있다.

디자인과 수학 사이의 관련성에 관한 활발한 연구를 통해 디자인적 사고의 일상화 혹은 대중화 의 초석을 단단하게 다져야 함이 본 연구에서 제안하는 바이다.

참고문헌

민경우, 『디자인의 이해』, 미진사, 1995.

신현용, 『수학: 학제적 대화코드』, 매디자인, 2018.

신현용, 『무한: 수학적 상상』, 매디자인, to be published.

신현용, 유익승, 문태성, 신기철, 신실라, 『수학 IN 디자인』, 교우사, 2015.

정복상, 정이상, 『전통 문양의 응용과 전개』, 창지사, 1996.

Charles Wallschlaeger & Cynthia Busic-Snyder, 원유홍, 『디자인의 개념과 원리』, 안그라픽스, 2011.

George Pólya, 우정호, 『어떻게 문제를 풀 것인가?』, 교우사, 1995.

向井周太郞, 신희경, 『디자인학』, 두성북스, 2016.

고재성, 박정기, 「초학제적 디자인융합교육에 관한 연구」, 한국디자인문화학회, 2017.

나준영, 「스마트교육 기반의 수학과 미술 STEAM 수업설계 모형 및 교수・학습 자료 개발 연구」, 한국교원대학교 대학원 박사학위논문, 2018.

신현용, 신실라, 「문양에 관한 수학적 접근」, 한국디자인학회, 2014.

하봉수, 「기초디자인 교육에 있어 수학적 조형의 가치 제고」, 한국기초조형학회, 2013.

Doris Schattschneider, 「The Pólya–Escher Connection」, Mathematics Magazine Vol.60 No.5, 1987.