An Adaptive Joint Precoding for Multi-user MIMO Systems

(1)

논문 2014-51-12-1

다중 사용자 MIMO 시스템을 위한 적응적 결합 프리코딩

( An Adaptive Joint Precoding for Multi-user MIMO Systems )

박 주 용^*, 모하마드 아부 하니프^**, 송 상 섭^**, 이 문 호^**^* ( Ju Yong Park, Mohammad Abu Hanif, Sang Seob Song, and Moon Ho Lee^ⓒ)

요 약

다중 안테나는 송신부가 채널상태정보(CSI : channel state information)를 알고 있으면 높은 채널용량을 제공할 수 있다. 프 리코딩(precoding)이란 송신부 측에서 CSI를 이용하는 기술이다. 본 논문에서는 HMP (hybrid multiple-input multiple-output precoding)라 부르는 적응적인 프리코딩 방법을 제시한다. HMP 는 선형과 비선형 프리코딩을 조합한 기술이다. 기존 안테나 선정방법은 4개 이하의 안테나를 사용하나 HMP 방법은 5개 이상의 안테나를 사용한다. 채널 용량을 극대화시키기 위해 주어 진 채널 중에서 반드시 선택 되어야하는 채널을 좋은 채널 (good channel)이라 하며, 나쁜 채널 (bad channel) 은 나머지 채널 을 의미한다. HMP 방법에서는 좋은 채널에 비선형 프리코딩을 사용하고, 나쁜 채널에 선형 프리코딩을 사용한다. 비선형 프 리코딩으로서 고려되고 있는 것은 널리 알려진 THP(Tomlinson-Harashima precoding)이다. 기존 방법인 BD(block diagonalization), antenna selection 및 THP와 제안한 HMP 방법의 성능을 비교하기 위해 이 시스템이 달성할 수 있는 throughput MSE (minimum square error)를 제시하였다.

Abstract

Multiple antennas can provide huge capacity gains when the transmitter knows the channel state information (CSI).

Precoding is a technique that exploits CSI at the transmitter side. In this paper, an adaptive precoding scheme is proposed, called a hybrid multiple-input multiple-output (MIMO) precoding (HMP). HMP is a combination of linear and nonlinear precoding. The number of transmit antennas less than or equal to four is as same as the conventional antenna selection scheme. Therefore, the HMP scheme uses more than four transmit antennas. The good channel means that the channels must be selected to maximize the channel capacity among the given channels, and the rest channels are called bad channel. In HMP scheme, we use the nonlinear precoding in the good channels and the linear precoding in the bad channels. The well-known Tomlinson-Harashima precoding (THP) is considered as nonlinear precoding. The system throughput and MSE (minimum square error) are shown for the performance of HMP scheme compared to the conventional schemes which are BD (block diagonalization), antenna selection and THP.

Keywords : MIMO, THP, Dirty Paper Coding, Block Diagonal Cannel, Linear Precoding, HMP, CSI.

* 평생회원, 신경대학교 인터넷정보통신학과

(Department of Internet, Information & Comm- unication, Shyngyeong University)

** 평생회원, 전북대학교 전자공학부

(Division of Electronic Engineering, Chonbuk Na- tional University)

※ 본 연구는 한국연구재단 MEST 2012-002521와 BK21 플러스 사업의 지원으로 수행되었음.

접수일자: 2014년08월21일, 수정일자: 2014년11월05일 게재확정: 2014년12월01일

Ⅰ. 서 론

송신부에서 채널정보를 이용할 수 있는 경우는 채널 정보를 완벽하게 아는 경우와, 채널의 부분적인 정보 및 채널에 대한 통계적인 정보를 이용할 수 있을 때로 구분된다. 세 경우 모두 수신부에서만 채널 정보를 이 용하는 기법들에 비해 채널용량, 성능, 복잡도 측면에서 보다 높은 이득을 얻을 수 있다. 예를 들어 송신안테나 가 4개, 수신안테나가 2개인 시스템에서 –5dB SNR 환

(2)

경의 경우 두 배의 채널 용량과, +5dB SNR 환경의 경 우 1.5 bps/Hz 만큼의 추가 이득을 얻을 수 있다. 그러 나 송신부에서 채널정보를 얻기 위해서는 통신 자원의 낭비와 시간 지연 (delay) 등의 문제점들이 있다. 특히 채널이 시변 (time varying)일 경우, 일반적으로 송신부 에서는 완벽한 채널정보를 획득하기 어렵기 때문에, 실 용적인 측면에서 통계적인 채널정보 등과 같은 부분적 인 채널정보를 활용한다^[14～15].

MIMO (multiple-input multiple-output) 시스템은 송 신부와 수신부 모두에 다중안테나를 사용하고, STBC (space-time block coding) 기술을 이용하여 데이터 전 송률에 대한 신뢰도를 향상시킬 수 있으며^[1～2], 수신부 가 채널상태정보 (CSI : channel state information)를 알고 있는 경우에 MIMO의 장점이 실현될 수 있다.

MIMO 시스템에서 통신 신뢰성을 증가시키는 방법 에는 첫째 다이버시티기법, 둘째 통신용량을 증대시키 는 공간다중화 기법이 있다. 이 중에서 trade-off 하여 적당한 기술을 찾는 것이 문제점이다. 세 번째 방법으 로는 채널 정보를 활용한 송신기법으로 프리코딩 기법 이 있으며, 이 기법은 채널 용량을 증가 시킬 수 있다.

그러나 병렬데이터를 동시에 전송하는 경우에 발생하는 간섭 (interference)을, 수신부측에서만 알고 있는 CSI 로는 줄일 수가 없다. CSI가 송신부측에서 부분적으로 나 완전하게나 이용가능하기만 하면, 채널 용량과 오류 성능을 개선할 수 있을 뿐 아니라, 하드웨어 복잡도도 줄일 수 있다^[3]. CSIT(CSI at the transmitter)는 전송 률을 향상시키고 신뢰도를 높임으로써, 시스템 성능을 획기적으로 개선시킬 수 있음에도 불구하고, 송신부 측 에서 완벽한 CSI를 얻기는 쉽지가 않다. 따라서 송신부 측에서 완벽한 CSI를 이용하려는 많은 시도 중에, 지연 을 이용하여 CSIT를 얻으려는 시도가 등장하게 되었 다. 지연은 무선 채널의 시변성 때문에 발생한다. 즉 채 널은 늘 다이나믹(dynamic)하게 변하며, 가끔 정적인 (static) 채널을 가정하기도 한다. CSI를 얻을 때 발생하 는 지연 때문에 CSIT 품질에 지대한 영향을 끼치고, 결 국 부분적인 정보를 얻을 수밖에 없게 된다. 프리코딩 은 전송하기 전에 신호를 입력단(CSIT 또는 CSIR)에 feedback 시켜줌으로써 채널용량을 증대시켜 주는 기술 이다.

선형 프리코딩(linear precoding)을 MIMO 시스템에 이용하기 위해 많은 연구가 진행되어 왔다^[4～5]. MIMO

시스템에서 선형프리코딩을 이용하면 기존 SISO (single-input single-output) 시스템에 비해 훨씬 높은 스펙트럼 효율 (spectral efficiency)을 달성할 수 있다.

또한 선형프리코딩 대신에 THP (Tomlinson- Harashima precoding)를 이용한 비선형 프리코딩 (non-linear precoding) 기술이 추가로 소개되었다^[6～7].

THP 기술은 송신부 측에서 modulo 산술연산을 사용 하는데, 원래는 심볼간 간섭 (intersymbol interference) 에 대처하기 위해 제안 되었으며^[8～9], [10]에서 이 기술 을 MIMO에 응용 하였다. ZF (zero forcing)을 이용한 선형 프리코딩 방법은 채널 행렬의 QR 분해 (QR decomposition)를 이용한 기술로 [7]에서 제안 되었다.

주파수 평탄 페이딩 (frequency flat fading) MIMO 채 널의 THP 송신부 구조는 [11]에서 MMSE 기법을 이용 하여 완성 되었다. 본 논문에서는 선형 프리코딩과 비 선형 프리코딩을 혼합한 HMP (hybrid MIMO precoding) 기법을 제안한다.

본 논문은 다음과 같이 구성되어 있다. Ⅱ장에서 기 존 프리코딩 방법에 대해 서술하고, Ⅲ장에서는 제안한 하이브리드 MIMO 프리코딩과 THP의 기본 모델을 소 개하고, Ⅳ장에서는 제안한 HMP throughput 계산에 대 해 서술한다. Ⅴ장에서는 HMP 방법의 MSE 계산에 대 해 설명하며, 기존 연구 방법과 비교한 모의실험 결과 를 Ⅵ장에 제시하고, 마지막으로 Ⅶ장에서 본 연구의 확장 가능성 제시 및 결론을 맺는다.

Ⅱ. 기존 프리코딩 방법

최근 점 대 점 (point-to-point) MIMO 뿐만 아니라 기지국에서 다중 단말기로 데이터를 전송하는 다중 사 용자를 동시에 고려한 다중 사용자 MIMO 기법들에 대 한 연구가 활발히 진행되고 있고,  × ,  × ,

 ×  안테나가 고려되고 있다. 점 대 점 MIMO 와 달리 다중 사용자 환경에서는 전송 효율을 높이기 위해 다중 사용자에게 동시에 정보를 전송해야 한다. 특히 송신 안테나 수가 수신 안테나 수보다 많은 경우 동시 에 다중 사용자에게 전송해야만 최대 다중화 효율을 얻 을 수 있다(표 1 참조)^[17].

이 때 발생할 수 있는 문제점 중의 하나는 특정 사용 자의 신호가 다른 사용자에게 간섭으로 작용할 수 있다 는 점이다. 이러한 간섭 신호를 제거하는 기술은 제거

(3)

Number of antennas

Error

Probability(_) Capacity(), bps/Hz 1

(SISO)

t r

N =N = 1

Pe∝SNR⁻ C=log(SNR)

1, 1

(SISO)

t r

N = N > N_r

Pe∝SNR⁻ C=log(SNR)

1, 1

( M IM O )

t r

N > N > ^{t r} N N

Pe∝SNR⁻ C=min( , )log(N N_t _r SNR) Diversity

Gain

t r

N N = min( , ) Spectral

Multiplexing Gain

t r

N N =

표 1. MIMO의 스펙트럼 Table 1. The spectrum of MIMO.

_: 송신 안테나 수, _: 수신 안테나 수

하는 위치에 따라, 송신단 간섭제거 기법과 수신단 간 섭 제거 기법으로 나누어진다. 이 때 사용하는 기술이 precoding 으로 그림 1과 같이 선형 프리코딩과 비선형 프리코딩으로 나눌 수 있다. DFT unitary 행렬을 곱한 비선형 DPC(dirty paper coding)와 THP가 3GPP LTE Release 10에서 다루어지고 있다.

1. 선형 프리코딩 :  DFT

DFT 에 의해 코드북을 설계하기 위해서는 부밴드를 위해 권고된 프리코더 C를 C=C2×C1처럼 설계한다.

여기서 C 은 DFT 행렬이고 1 C 는 대각행렬이다. 2

C1∈ 은 D DFTN N_× 단일 프리코딩 행렬로 정의되고, 행렬 ∈는 _{ × } 각도 천이 행렬로 정의된다. 선 형 프리코딩은 최근 3GPP LTE Advanced Release 10 과 프리코더 코드북을 사용한 폐회로에서 CRI (channel rank indicator), PMI(precoder matrix index) 및 CQI (channel quality indicator) 등의 값을 이용하 여, 채널 상태에 대한 정보를 피드백하고 있고, open loop에서는 송신단 마지막 단에 그림 1(a)처럼 프리코 딩을 삽입한다.

2. 비선형 프리코딩

그림 1(b)-(c)와 같은 비선형 프리코딩은 송신단 간 섭 제거 기법 중 DPC와 THP가 최대 정보 전송률을 지원한다. THP는 송신단에서 간섭 신호를 미리 안다면 채널 용량에 영향을 주지 않는다는 Costa의 “Writing on Dirty Paper”의 정보이론에 의한 것이다. 따라서 송 신단에서 적절한 부호화를 통하여, 간섭이 없는 채널

(a) 선형 precoding 블록도

(b) Costa의 DPC 블록도

(c) MIMO THP 그림 1. 선형, 비선형 Dirty Paper, THP

Fig. 1. The linear, nonlinear Dirty Paper and THP.

환경에서와 같은 채널 용량을 얻을 수 있다. 이를 간단 한 블록도로 나타내면 그림 1과 같다^[16].

이 기법은 다중 간섭 채널에 적용할 수 있다. 다중 간섭 채널에서의 부호화는 순차적으로 진행된다. 첫 번 째 신호는 나머지 채널로부터 모든 간섭 신호를 받게 된다. 이 시점에서는 간섭 신호에 대하여 알 수 없기 때 문이다. 두 번째 신호는 첫 번째 신호의 채널 정보를 이 용하여, 첫 번째 신호에 의한 간섭 성분을 제거할 수 있 기 때문에, Costa 프리코딩이 가능하다. 결론적으로, k 번째 신호를 고려할 때  ∼   까지의 인접채널 간 섭은 제거할 수 있다. 만약 MIMO 시스템에서 송신단 이 Costa 프리코딩을 사용한다면, 하위 채널에서 상위 채널로의 간섭은 발생하지 않는다. 즉 H를 하 삼각 행 렬과 직교 행렬로 분해하고 Costa 프리코딩을 적용하 면, 하위 채널에서 상위 채널로의 간섭을 제거할 수 있 기 때문에 대각행렬만 남게 된다. Costa 프리코딩은 개 념적으로 수신단의 DFE (Decision Feedback Equalization)와 매우 유사하다. 여기에 비선형 연산인 modulo 연산을 추가적으로 수행하는 것이 THP 이다.

본 연구에서는 선형과 비선형 프리코딩이 결합된 하이

(4)

브리드 프리코딩기법을 제안한다. 이 방법은 인접한 채 널 사이에서의 간섭 신호를 순차적으로 제거하는 것으 로, 채널 회전과, 채널 Cholesky 분해로 성능을 향상시 킬 수 있다. 즉 좋은 채널 (good channel)에는 대표적인 비선형 프리코딩 기법인 TH 프리코딩 기법을, 나쁜 채 널 (bad chnnel)에는 선형 프리코딩 기법을 사용한다.

Ⅲ. 제안한 하이브리드 MIMO 프리코딩 모델

제안한 모델은 송신 안테나가 NT이고 수신 안테나 가 ^N^R인 무선 시스템이다. 제안한 HMP 시스템의 블 록 다이어그램이 그림 2에 제시되어 있다. 간단히 설명 하면 채널 용량을 최대화하기 위해 N_{개의 채널 집합} 을 선택한다고 가정한다. 또한 N개의 좋은 채널과

1, , _T

M =N+ L N 개의 나쁜 채널이 있다고 가정했다.

좋은 채널과 나쁜 채널의 구별은 SINR과 통신 reliability t 를 비교하여 SINR 이 크면 좋은 채널이고 적으면 나쁜 채널이다. 예를 들어 BS 근처에 있는 MS 는 좋은 채널 상태에 있는 경우이고, 셀 에지 부근의 MS 는 나쁜 채널 상태에 있는 경우이다^[19]. 즉 Coverage 확률은 _    _{ } 이고,

_{ }≤  이다. 이 때  는 SINR 의 threshold 이고, Pc{λi⁽i tier density^th ^{), (}β Target SINR P T Power^{), (}i X ⁾^}

의 함수 관계를 갖는다. 채널 용량은 log_  로 구할 수 있다.

다시 말하면 나쁜 채널은 타 user 의 간섭 영향을 심 하게 받는 경우이다. MIMO 채널은 일반적으로 MIMO Singular value를 분해하면 대각성분에

_ _ _  가 존재하는 채널로, inverse를 구해보면 _ element-wise inverse 이다. 디코딩은 채널 inverse인 zero forcing을 써서 각 user를 검출한다. 이때 채널 용 량은 Shannon 이 구한 점 대 점 채널 용량이 최대인 채널이 좋은 채널이기도하다. 즉 채널 용량을 극대화시 키기 위해 주어진 채널 (_) 중에서, 반드시 선택 되어 야하는 N 개의 채널이 좋은 채널이며, 나쁜 채널은 나 머지 채널로 M =N+ L^{1, ,}NT와 같이 정의된다. 그리 고 좋은 채널은 THP를 사용하고 나쁜 채널은

max log det(2 ^H)

H

t

C I SNRHH

= + N

과 같은 선형 프리코딩 방법

을 사용한다.

송신부에서는 ^xⁱ^,ⁱ⁼^{1, 2, , ,}^L ^{N N}⁺^1,^L^,^N^T를 사용 하 여 ^N^T^×¹의 심볼 벡터를 나타내고, W=[ , , ,w w¹ ²Lw_N_t]는 선형 프리코딩 행렬이며 Un은 THP를 사용하는 피드 백필터 (feedback filter) 이다. 프리코딩 행렬  는 선 형 프리코딩을 위해 나쁜 채널에서만 사용된다. 그림 2 에서 x_n=[x_n(1), (2), , ( ) ,x_n L x_n k ]^T n=1, 2, ,L N은 후 방 향 피드백 필터 (Un)와 비선형 연산자로 구성된 비선 형 프리코딩 장치에 가해진다. 심볼들은 M-QAM 성상 도 (constellation) 로부터 얻어진다. 이것은 ^xⁿ^{( )}^k 의 실 수와 허수 부분이 집합 ^A^{= ± ±}{ ^{1, 3, ,}^L ^± ^M ⁻¹}_으로

표시됨을 의미한다.

모든 간섭은 송신부측에서 고려되기 때문에, 이동 사 용자측인 수신부에서는 비선형 THP에 대해 역 modulo 연산을 포함한, 간단한 연산만 하면 가능한 반면, 선형 검파에 대해서는 결합 신호 검파(joint signal detection) 가 필요하다. 네 개 이하의 송신 안테나를 선택하는 것 은 기존 프리코딩 방식의 안테나 선택과 같아서^[12][13]

새로운 방식이 아니다. 채널은 quasi-static Rayleigh 평 탄 페이딩으로 간주된다. 수신부에 수신된 신호는 다음 식과 같이 주어진다.

, ,

1 1 1 1

h ( ) h w x z

r r

N N N N

x

i i n n n i j j j i

i n i j N

r

y E B s k

N = = = = +

⎛ ⎞

= ⎜ + ⎟+

⎝∑∑ ∑ ∑ ⎠ ⁽¹⁾

여기서 yi∈C^N^t^×¹_은 _수신 _신호 _{벡터이고,}

t r

N N

Hi∈C ^× 은 채널 계수 행렬이며, x 는 송신 신호 ^j 벡터, 그리고 z 는 분산 행렬이 i ^{N I}⁰ ^N^R인 AWGN (additive white Gaussian noise) 벡터이다. 식 (1)에서

⊕

Fj

− + x1

NT

x

1

NT

NR

B1 1( )k s

F1 N+1

n+1

x^xⁿ ⁺₋⊕ ^sⁿ^{( )}^k ^Bⁿ ^N

Un

} }

N

M

그림 2 제안한 HMP 시스템 모델 Fig. 2. The proposed HMP system model.

(5)

n( )k

s 는 식 (2)와 같이 계산되는 비선형 프리코더 출력 이다.

1 , 1

( ) ( ) ^k [ ] ( )

n n n k l n

l

k k ⁻ s l

=

= −∑

s x U (2)

[14]에서 논의된 바와 같이 Un은 반복적인 형태의 데이터 프리코딩이 가능하도록 반드시 하부 삼각행렬 (lower triangular matrix)이 되어야 한다. 프리코딩이 실행된 시퀀스 (sequence) s_n=[s_n(1), (2), , ( )s_n Ks K_n ]^T은 출력이 an =Bn ns 인 ^N^×¹차원의 송신행렬 B 에 가해n

진다. 식 (2)는 다시 다음과 같이 쓸 수 있다.

1 n = n− n

s C x , (3)

여기서 ⁿ⁼^{1, 2, ,}^L ^N이고, ^Cⁿ ⁼^Bⁿ⁺^Iⁿ은 하부 삼각 행렬과 단위 대각행렬의 합을 의미한다. 즉 ^k^<^l인 경 우 [ ]^C_{n k l}_, ⁼⁰_{인 반면,} [ ]^C_{n k k}_, ⁼¹이다. modulo 연산자 는 다음과 같은 규칙에 따라 들어오는 입력의 실수 부 분과 허수 부분에 각각 독립적으로 작용한다.

2 ( ) 2

2 M x x A x A

A

⎢ + ⎥

= − ⎢⎣ ⎥⎦

MOD , (4)

여기서 A= M 이고, ^{⎢ ⎥}^{⎣ ⎦}^z 는 z보다 크진 않은 최 대정수이다. 실제로 ^MOD^{2 ( )}^{M x} 는 복소수 평면을 변 의 길이가 2A인 평면 영역 R=^{xr+jx x xi r^, i∈ −⁽ M^,+ M^)}

으로 투사 시키는 역할을 한다. 이러한 방법으로 프리 코딩된 심볼의 동적 영역 (dynamic range) 은 선형 프 리 필터링의 경우보다 적으며, 따라서 송신 전력이 감 소된다.

식 (1)의 두 번째 부분은 [4]에서 제안한 선형 프리코 딩 방법을 사용하여 설계되었다. 4 개 이하의 송신안테 나 수는 기존 방법 중에서 안테나 선택법과 같다. 따라 서 HMP 방법은 송신시에 최소한 4개의 안테나를 사용 한다. 왜냐하면 채널용량을 극대화하기 위해서는 좋은 채널과 나쁜 채널을 구분할 필요가 있기 때문이다. 예 를 들어 6 개의 송신 안테나가 있다고 가정하자. 이중 첫 두 채널이 좋은 채널이어서 이 채널을 THP 채널로 사용하고 나머지 4 개의 채널은 선형 프리코딩을 사용

한다. 즉 ^N^T ⁼⁶ 과 ^N^R ⁼²을 선택함으로써 수학적 계산을 단순화 할 수 있다. 수신 터미널에서 다음과 같 은 수신 신호를 얻을 수 있다.

1 1,1 1 1 , 1,3 3 3 1,4 4 4 , 1,6 6 6 1

y h B s= + +L h B s h F x+ + +L h F x z+ (5)

2 2,1 1 1 , 2,3 3 3 2,4 4 4 , 2,6 6 6 2

y h B s= + +L h B s h F x+ + +L h F x z+ (6) 따라서 식 (5) 와 (6)을 다음과 같은 벡터형식으로 나 타낼 수 있다.

1,1 2,1 1 1

1,2 2,2 2 2

1,3 2,3 3 3

1 1

1,4 2,4 4 1

2 2

1,5 2,5 5 2

1,6 2,6 6 3

0 0 0 0 0

h h B s

y z

h h B x

y z

h h B x

⎡ ⎤ ⎡ ⎤ ⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎡ ⎤=⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥+⎡ ⎤

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎣ ⎦ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦

⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎢ ⎥

⎢ ⎥ ⎣ ⎦ ⎣ ⎦

⎣ ⎦

(7)

여기서 인덱스 항을 (s4 =s s1, 5 =s s2, 6 =s3) _과

4 1 5 2 6 3

(F F F F F F= , = , = )처럼 바꾼다. 표 2에 하이브리드 MIMO 프리코딩 방법의 알고리즘을 제시했다.

정리 : 만약 N 개의 송신 안테나가 있으면 최대 개t

수의 좋은 채널이 있어서 용량이 최대화 될 수 있다고 가정한다.

1. 1 and 1

2. ( ) ( )

3. ( ) is good channel

4. evaluate using nonlinear TH Precoding 5.

6. ( ) good channel

7. evaluate using Linear Precoding

8. end if

9. calculate 10. end FOR 11. (0, ) 12. / / if there

r

t t

N

for i to N j i to N

if h i h j h i

H else

h j H

y

z N I

= = +

>

)

are K users then 13. for 1:

14. calculate rate 15. end for

16. calculate a ve rage BER

K

k k

R

=

표 2. 하이브리드 MIMO 프리코딩 방법의 알고리즘 Table 2. The Algorithm of Hybrid MIMO Precoding

Scheme.

(6)

Ⅳ. HMP 방법의 Throughput

불완전한 피드백으로는 THP 설계가 모든 간섭을 완 벽하게 제거할 수가 없고, 따라서 결국은 시스템의 성 능을 악화시키게 된다. 결정채널에 대한 HMP 방법의 throughput은 다음과 같이 정의된다.

max ( ; )( ) _i _i

R= f x I x y Bit/channel use (8)

여기서 ^{f x}^{( )}는 전송 신호 벡터 xi의 확률밀도함수 (PDF: probability density function)이고, ^{I x y}^{( ; )}ⁱ ⁱ 는 두 연속 랜덤변수(continuous random variable) xi_와 y_i 의 상호 정보량으로 다음과 같이 주어진다.

( ; )_i _i ( )_i ( | )_i _i ( )_i ( )_i

I x y =hy −hy x =hy −hz (9)

여기서 xi_와 z_i는 통계적으로 독립이며 h z( )_i _{는 상} 수이다. 식 (10)과 같이 주어지는 yi_{의 자기상관}

(auto-correlation) 행렬을 구할 필요성이 있다.

( )

†

1 1

†

1 1

† † † †

{ }

{ ( ) x z

( ) w x z }

w

i

t

y i i

N N x

i n n j j i

i j N

t

N N x

i n n j j i

i j N

t

x

n s n j x j

t

Q y y

H E B s k F

N

H E B s k N

E HB Q B H HF Q H N

= = +

=

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

= ⎜⎜⎝ ⎜⎝ + ⎟⎠+ ⎟⎟⎠

⎛ ⎛ ⎞ ⎞

+ +

⎜ ⎜ ⎟ ⎟

⎜ ⎝ ⎠ ⎟

⎝ ⎠

= +

∑ ∑

E E

(10)

여기서 ( )^⋅ ^†는 ( )^⋅ 의 공액 전치 (conjugate transpose)를 의미하고, tr(E⎡⎣x x )_{i i}^†⎤ ≤⎦ P_i_{이고, 공분산} 행렬 (covariance matrix)은 E⎡⎣s s_{n n}^†⎤ =⎦ Q_s과

x x_j †_j Q_x

⎡ ⎤ =

⎣ ⎦

E 이다. 식 (7)과 (8)을 이용하여 식 (6)의 상호정보량은 다음과 같이 표현할 수 있다.

( )

{ } { ( )}

( )

2 2 0

† † † †

2

0

(x ;y ) log log

log

i r

r

i i y N

x

N s x

t

I det eQ det e

det E HBQ B H HWBQ W H N

π π

= −

⎧ ⎛ ⎞⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎜ + + ⎟⎬

⎪ ⎝ ⎠⎪

⎩ ⎭

N I

I N

(11)

실제 throughput은 식 (12)와 같이 근사화될 수 있다.

( ^† ^† ^† ^†)

2

0

log det I

r x

N s x

t

R E HBQ B H HWQ W H

N

⎧ ⎛ ⎞⎫

⎪ ⎪

= ⎨ ⎜ + + ⎟⎬

⎪ ⎝ ⎠⎪

⎩ N ⎭ (12)

Ⅴ. HMP 방법의 MSE 계산

제안한 하이브리드 MIMO 프리코딩 방법을 간략화 하면 MSE (mean square error)는 (13)에서처럼 계산할 수 있다.

{ }

}}

2

† † † † † †

, , , ,

1 1 1

† † † † † † † 2

, , , ,

MSE y x

tr ( s s ) ( x x )

ss x x ss x x I

t r

r

i i j

N

N N

i n n n n n i n i j j j j j i j

i n j N

i n n i j j j n i n n i j j j j s x N

H B B H H W W H

H B H W H B H W Q Q σ

= = = +

= −

⎧ ⎧⎪

= ⎨ ⎨ +

⎪ ⎩

⎩

− − − − + + +

∑ ∑ ∑

E

}}

{

}}

{

† † † † † † † 2

, , , ,

† †

, , , ,

1, 1,

† † † † 2

, ,

† ,

1, 1,

ss x x ss x x I

tr R R

I

tr R R

r t

i n n i j j j n i n n i j j j j s x N

N N

n n n i j j i j i n s n i j x n

n n i j N j i

i n s n i j x j s x N

N N

n n n i j j i

n n i j N j i

H B H W H B H W Q Q

H H H H H Q B H Q W H Q B H Q W Q Q

H H H H

σ

= ≠ = + ≠

− − − − + + +

= ⎧⎨ + − −

⎩

− − + + +

= ⎧⎨ +

⎩

∑ ∑

}}

† † †

, , ,

† † 2

, ,

(I )

(I ) I

r

j s i n n i n n

x i j n i j j N

Q H B H B Q H W H W σ

− − −

+ − − +

(13)

여기서 MSE 는 제안한 하이브리드 MIMO 프리코딩 i

방법의 평균자승오차이다. 단순하게 나타낸 사용자 심 볼 값들은 서로 독립이고, 전송된 신호 벡터의 공분산 은 ^Rn = E^{[ s s}Bn n n^†B^†j^] 와 ^Rj= E^{[ x x}Wj j ^†jWj^†^] 으로 나타낼 수 있으며, 여기서 E^{[s s ]}n n^† =Qs이고 E^{[x x ]}j ^†j =Qx이 다. i 번째 수신기의 송신 전력 제한은 tr^{[R ]}n =

[R ]_j [R ]_i _i

tr =tr ≤ P 이다. 이제 각 송신 안테나에서 각 수신 안테나로 전송할 미리 정해진 수만큼의 심볼 전송 전력 제약조건에 따라 MSE 를 최소화 한다. 앞에서 설 명한바와 같이 각 안테나의 송신전력 제약 조건은

[ _i _i† _i

tr G G ≤ P와 같이 표현된다. 따라서 최적화 문제는 다음과 같이 쓸 수 있다^[18].

R ;R 1

min

. . [R ] [R ] [R ] , 1, ,

r

n x

N k k

n j i i

MSE

s t tr tr tr for all k K

=

= = ≤ ∈

∑

P L

(14)

(7)

여기서 k 번째 수신기에 대해 MSE 를 최적화 한다.

이 시스템에 부과된 유일한 제약조건은 각 수신기에 대 해 송신전력 제약 뿐 임을 고려하면, 좋은 채널을 위한 MSE를 다음과 같이 쓸 수 있다.

{ ^† ^, ^†^, ^† ² }

1,

MSE_k tr ^K _nR_n _n _s(I _{i n n} _{i n n}) I_N_r

n n k

H H Q H B H B σ

= ≠

= ∑ + − − + ⁽¹⁵⁾

이제 좋은 채널에 대한 총 MSE 최소화 문제는 다음 과 같이 나타낼 수 있다^[18].

{ }

1,

min

R ; R 0 1,

N n

n n k

n i n

MSE

tr i N

= ≠

≤ ≥ =

∑

P L,

(16)

따라서 MSE 함수는 Rn에서 대체적으로 convex 함 을 알 수 있다.

Ⅵ. 모의실험 분석

모의실험을 위해서 ^N^T ⁼⁶-와 ^N^R ⁼²인 대칭 다중 사용자 MIMO 하향링크 시스템에 대해 생각해보자. 채 널은 quasi-static Rayleigh 플랫 페이딩으로 분포되었 다고 가정한다. 이진변조가 수행되었고 P_i < 인 각 안1 테나에 대해 전력 제한이 가해졌다. 첫 두 채널은 좋은 채널로 THP를 사용하고, 나머지 네 채널은 나쁜 채널

그림 3. 기존 ZF 및 BD, THP 프리코딩과 제안한 HMP 의 총 평균 Throughput 비교

Fig. 3. The total average throughput comparison of proposed HMP and conventional ZF, BD and THP precodings.

로 선형 프리코딩을 사용하고, QPSK 를 변조 방법으로 사용한다. 각 안테나는 이진 변조를 수행하였고

† 1

i i i

tr G G ≤P = 와 같이 전력을 제한하였다. 모의실험 에 사용된 AWGN 잡음의 분산은 복잡도 차원 (complex dimension) 당 0.99 이다.

제안한 하이브리드 MIMO 프리코딩 방법의 효율성 을 설명하기 위해 제안한 방법의 총 평균 throughput 이 그림 3에 널리 알려진 몇 가지 다른 방법과 비교하 여 제시되어 있다. 기존 BD (Block-Diagonalization)^[14]

와 안테나 선택방법, THP 와 같은 다른 시스템과 비교 하여 비트오류 성능을 그림 4와 그림 5에 보였다. 제안 한 알고리즘이 기존 방법에 비해 high SNR 14-16에

그림 4. 6 2× HPM 방법과 2 2× 기존 방법의 MSE 비교 Fig. 4. The comparison of 6 2× HMP and 2 2×

conventional precoding scheme.

그림 5. 제안한 HMP와 기타방법의 MSE 성능 비교 Fig. 5. The MSE performance comparison of proposed

HMP scheme and others.