Numerical Simulation of Shallow Water Flow Using Multi-dimensional Limiting Process (MLP)

수 공 학

대 한 토 목 학 회 논 문 집

제32권 제2B 호·2012년 3월 pp. 123 ~ 130

MLP기법을 적용한 천수흐름의 수치모의

Numerical Simulation of Shallow Water Flow Using Multi-dimensional Limiting Process (MLP)

안현욱*·유순영**

An, Hyunuk·Yu, Soonyoung

···

Abstract

MLP (Multi dimensional Limiting Process) is implemented to simulate shallow water flows, and its performance over con- ventional TVD limiters in multidimensional flows is verified through several numerical simulations. MLP was developed to control oscillations for multi-dimensional compressible flows and proved to improve accuracy, efficiency and robustness in compressible flows. In this study, we applies MLP to modeling shallow water equations(SWEs) given that the SWEs are ame- nable to be solved using the large range of numerical methods developed to deal with compressible flows and MLP has been yet used for SWEs. Simulation results through the benchmark tests show that MLP has favorable features such as numerical oscillation control and convergence behaviors comparable to the conventional limiters. Both numerical accuracy and stability are improved in multi-dimensional discontinuous flows.

Keywords : MLP, Shallow water equations, numerical oscillations, TVD limiters

···

요 지

천수방정식의 수치모형에 MLP(Multi dimensional Limiting Process) 기법을 적용한 후 수치모의를 통해 MLP 의 수치 진 동 제어 성능을 검증하였다 . MLP 기법은 2, 3 차원에서 기존의 TVD 제어자 (limiter) 들보다 안정적이며 정확한 수치모의를 가 능하게 한다 . 다차원에서 정확하고 안정적인 수치모의가 가능하도록 개발된 MLP 기법은 압축성 유체를 표현하는 2, 3 차원 오일러 방정식에 적용되어 기존의 제어자들에 비해 그 뛰어난 성능이 검증된 바 있다 . ^{하지만 천수방정식에 적용된 예는 없}

으며 , 이에 본 연구는 천수방정식에 MLP 를 적용하고 천수방정식 수치모형 검증에 주로 사용되는 수치모의를 통해 MLP 의 진동 제어 성능을 검증하였다 . 모의 결과 , MLP 는 2 차원 천수방정식에 있어서도 기존의 제어자들과 비교하여 수치진동을 보

다 잘 제어하는 것으로 판단된다 . MLP 사용으로 인해 불연속면 근처에서 정확도가 향상되었고 수치진동이 발생하지 않아

보다 안정적인 모의가 하게 되었다 .

핵심용어 : MLP, 천수방정식 , 수치진동 , TVD 제어자

···

1. 서 론

천수방정식의 수치모형은 하천의 유량예측 , 홍수범람해석 ,

해일 모의 등에 널리 사용되고 있고 , ^{그 결과는 수자원 관}

리 , 재난 대책 등 정책적인 의사결정에 있어 유용한 자료로 활용되고 있다 . 이처럼 천수방정식의 수치모형은 연구목적뿐 만 아니라 실생활에 있어서도 큰 영향을 미치고 있으며 , 이 에 보다 정확하고 효율적인 수치모형의 구축이 수리 / 수자원 /

방재분야에서 중요한 영역이 되고 있다 . 유한차분법 , 유한체 적법 , 유한요소법 등을 기초로 하는 많은 수치해법들이 천수 방정식을 안정적으로 정확하게 근사하기 위해 개발되었고 ,

1990 ^년대와 2000 ^{년대를 지나며 이러한 수치기법들은 어느 정}

도 성숙 단계에 접어든 것으로 보인다 . 그 중 , 가장 널리 사용

되고 있는 기법 중의 하나로 MUSCL(Monotone Upstream- centered Schemes for Conservation Laws) 타입의 유한체

적모형이 있다 . MUSCL 타입의 모형은 수치진동이 확산되지

않는 TVD(Total Variation Diminishing) ^{조건을 만족하는 대}

표적인 Gudunov 타입의 기법으로 불연속면이 없는 영역에

서는 2 차 이상의 공간정확도를 유지한다 . MUSCL 타입 이외 에도 TVD 조건을 만족하면서 고정확도를 유지하는 소위

“TVD 기법 ” 이라고 불리는 많은 수치기법들이 있으며 , 이러한 기법들은 수학적인 분석에 근거하여 1 차원에서 그 안정성이 증명되어 있다 (Harten, 1983; Sweby, 1984). TVD 기법들

은 2, 3 차원의 직교격자에 확장되어 적용이 가능하며 2 차원

천수방정식에도 TVD ^{기법들이 적용된 예는 어렵지 않게 찾}

아볼 수 있다 (Causon 등 , 2000; Toro, 2000; Liang 등 ,

*정회원·국가수리과학연구소계산수리과학연구부연구원·공학박사

(E-mail : [email protected])

**정회원·국가수리과학연구소계산수리과학연구부연구원·이학박사

(E-mail : [email protected])

2004). 하지만 이러한 기법들의 안정성은 앞서 서술하였듯 이 1 차원상에서의 분석에 근거하기 때문에 다차원 모의에서 도 적절하게 수치진동을 제어한다는 보장은 없다 . 실제로

TVD 제어자들 중 불연속면에서 제어 정도가 가장 작은

superbee 를 적용해 2, 3 차원의 흐름을 모의할 경우 , 수치진 동이 발생하여 계산의 정확도가 떨어지거나 정상상태를 모 의할 때 계산이 수렴하지 않는 경우가 종종 발생한다 . 반

면 2, 3 차원에서도 수치진동을 발생시키지 않고 안정적인

성능을 보여주는 minmod 의 경우 , 불연속면이 지나치게 확

산되는 경향이 나타난다 . 제어자를 사용하지 않고 수치진 동을 제어하는 ENO(Essentially NonOscillatory), WENO (Weighted Essentially NonOscillatory) 와 같은 기법들도 있 으나 이들 기법 또한 1 차원상의 이론에 근거하여 1 차원에서 만 수치적인 안정성이 보장된다 .

최근 Kim 등 (2005) 은 다차원에서도 적절히 수치진동을 억

제하는 MLP(Multi dimensional Limiting Process) 기법을 제안하였다 . TVD 조건을 만족하기 위한 기본적인 조건 중 하나는 “Maximum Principle” 로 , 셀 경계면에서 보간되어 재구성된 값은 새로운 극 값이 되지 않아야 한다 . ^기존의 1

차원 TVD 제어자들은 Maximum Principle 조건을 만족시 키고 있으며 , 특히 비구조격자상에서는 1 차원에서 구성된 제

어자들의 적용이 어렵기 때문에 Maximum Principle 을 기초

로 한 여러 알고리즘이 제안되어 적용되고 있다 . 이들 제어 자들과 MLP 와의 차이점은 기존 제어자들이 흐름이 발생하 는 셀 경계면에서 재구성된 값이 Maximum Principle 을 만 족시키도록 제어자를 유도한데 반해 , MLP 는 셀 절점에서

Maximum Principle ^{을 만족시키도록 제어자를 유도하였다는}

점이다 . 즉 2 차원 직교격자의 경우 , 기존의 제어자들은 5 개

의 스텐실 (Stencil) 만을 이용해 제어 영역을 결정하는데 반해 ,

MLP 기법은 9 개의 스텐실을 이용하여 Maximum Principle 을 만족시키는 영역을 유도한다 (Fig. 1). Kim ^등 (2005) ^은 MLP

를 2 차원 압축성 유체를 표현하는 오일러 방정식에 적용하

였으며 , 기존의 TVD 제어자들과 MLP 기법을 비교하여

MLP 기법이 2 차원에서 보다 안정적으로 수치진동을 제어하 는 것을 확인하였다 . Yoon ^등 (2008) ^{은 셀 절점에서}

Maximum Principle 을 만족시키는 기존의 개념을 이용하여

Kim 등 (2005) 의 기법을 수정하고 , 새로운 형태의 MLP 기법 을 3 차원 오일러 방정식에 적용하였다 . MLP 기법은 2 차원의 비구조 삼각형격자에서도 기존의 제어자들보다 정확하고 안 정적인 수치 모의 결과를 보여주었다 (Park 등 , 2010).

본 논문는 MLP 기법을 직교격자에 구축된 천수방정식 모 형에 적용하여 MLP 의 수치 진동 제어 성능을 검증하고자 하였다 . 천수방정식과 2 차원 오일러 방정식은 모두 쌍곡선형 태의 편미분방정식으로 , 동일한 수치해법이 적용될 수 있으 나 , 아직 천수방정식에 MLP 를 적용한 바는 없다 . 직교격자 는 복잡한 지형구조의 표현이 어렵다는 단점에도 불구하고 ,

수치기법의 적용이 비교적 쉽고 격자 생성이 간단하다는 장 점으로 인해 아직까지 널리 사용되고 있다 . 또한 분할격자기 법이나 메쉬세분화기법 등과 함께 사용되면 복잡한 지형을 효율적으로 모의할 수 있다 (Liang 등 , 2004; Liang 등 , 2007;

Popinet, 2011; 안현욱 등 , 2011). 본 논문에서는 2 차원 천수방 정식을 해석하는 자유 소프트웨어인 Gerris(Popinet, 2003) 에

MLP 를 적용하여 기존의 TVD 제어자들과 수치 진동 제어

성능을 비교하였다 . Gerris 는 쿼드트리 (Quadtdree) 격자 생성 과 적응적메쉬세분화 기능을 제공하여 효율적이고 정확한 수 치계산을 가능하게 해 주는 소프트웨어로 국내에서는 안현

욱 등 (2011) 이 홍수실험 모의를 통해 그 성능을 검증한 바

있다 . 2. 수치모형

2.1 지배방정식

천수방정식은 Navier-Storks ^{방정식을 수심방향으로 적분하}

여 유도되며 , 그 과정에서 파의 길이가 수심에 비해 충분히 길다는 가정과 정수압 가정이 사용된다 . 천수방정식을 적용 함에 있어서 이러한 가정이 성립하지 않는 경우도 많으나 ,

천수방정식을 이용한 하도추적 , ^홍수범람 , ^{해일 등의 수치 모}

의는 실제 현상에 대한 재현성이 높아 많은 분야에서 널리 사용되고 있다 . 하상마찰을 무시한 기본적인 형태의 천수방 정식을 쌍곡선형방정식으로 정리하면 다음과 같다 .

∂q (1)

--- ∂f ∂t

∂x --- ∂g --- ∂y + + = s

Fig. 1 Comparison of stencils: (a) conventional TVD limiters; (b) MLP limiter. Gray-colored cells are used for computation of ( i , j ) cell.

(2)

여기서 h는 수심 , u , v는 x, y방향의 수심 평균된 유속 , t는 시간 , g는 중력가속도 , , 는 x, y방 향의 하상경사이다 . 위 식에 유한체적법을 적용하기 위해 식

(1) ^{을 공간적분하여} Green ^{의 정리를 적용하면 다음과 같은}

식을 얻을 수 있다 .

(3)

여기서 , Ω는 계산영역 , ^{는 계산경계면이고 는}

흐름률 벡터이다 . 2.2 수치해법

식 (3) ^{을 유한체적법에 의해 이산화하면 각 셀} (control

volume) 에서 다음과 같은 식이 성립한다 .

(4)

여기서 , A

i,j

는 ( ⁱ , ^j ) ^{셀의 면적} , ∆t는 이산화된 시간간격이며 ,

직교격자에서 이산화된 흐름률항 는 다음과 같다 . (5)

여기서 , ^l

x

, ^l

y

는 x, y방향의 셀 길이이고 , ^{셀 경계에서의 흐}

름률은 다음과 같이 계산된다 .

(6)

여기서 , F는 수치적 흐름률로 , 본 연구에서는 HLLC 근사 리만해법 (Harten 등 , 1983) 을 사용하여 계산한다 .

셀 경계에서의 상태량 , , ,

등은 불규칙한 하상경사에서 야기되는 흐름률항과

생성항 간의 수치적 불균형 문제를 해소하기 위해 Audusse

등 (2004) 의 “hydrostatic reconstruction” 기법을 사용하여 평 가하였다 . Audusse ^등 (2004) ^의 “hydrostatic reconstruction”

기법은 불규칙한 하상경사와 마름 / 젖음 상태에서도 흐름률항 과 생성항 간의 수치적 불균형 문제를 안정적으로 해결하는 것 으로 확인되었다 . Popinet(2011) 은 “hydrostatic reconstruction”

기법을 quadtree ^{격자에 성공적으로 적용하였고} , An ^등 (2012) ^은

이를 확장시켜 quadtree cut cell 격자에 적용하였다 . 흐름률과 생성항의 불균형 문제를 수치적으로 처리하기 위한 기법은 수 치모형의 적용에 있어서 아주 중요하나 본 연구의 목적인 수 치진동제어자로서 MLP ^{제어자의 검증과는 다소 관련이 적으}

므로 상세한 서술은 생략하였다 . 본 수치해법에 대해서 보다 상세한 내용을 위해서는 An 등 (2012) 을 참고하기 바란다 .

2.3 MLP (Multi dimensional Limiting Process) ^기법

“Hydrostatic reconstruction” 기법을 이용하여 등 과 같은 상태량을 재구성하기 위해서는 먼저 셀 ( i, j ) 의 경

계면 p에서 상태량 q

i,j,p

를 평가하여야 한다 . 여기서 아래첨

자 는 오른쪽 , 왼쪽 , 위쪽 , 아래쪽 셀 경계면을 의미한다 . MUSCL 기법은 제어자함수 (limiter function) 를 사

용하여 다음과 같이 q

i,j,p

를 계산한다 .

(7)

여기서 ,

(8)

이고 는 제어자함수로 이다 . ^{일반적으로}

널리 사용되는 TVD 제어자는 다음과 같다 .

Minmod limiter:

(9) Superbee limiter:

(10) Sweby limiter:

(11) Van leer limiter:

(12) 1 차원상에서 TVD 제어자는 다음의 TVD 영역을 가진다

(Sweby, 1984).

(13)

MUSCL 타입의 수치해법에서 1 차원 제어자함수를 이용한

수치 진동 제어 과정은 셀 경계면에서 보간된 상태량이 셀 중앙에서 정의된 상태량과 비교해 과도하게 크거나 작을 때 ,

일종의 “ 깍는 (clipping)” 과정을 통해서 경계면에서 재구성된 값이 새로운 극값이 되지 않도록 하게 한다 . 하지만 위에 언급한 TVD 제어자를 차원 분리 (dimensional splitting) 과 정을 통해 다차원에 적용하면 사용하는 제어자에 따라 깍는 과정이 과도하게 적용되어 정확도가 낮아지거나 불충분하게 적용되어 수치진동이 발생하는 현상이 관찰된다 . 이러한 문 제를 극복하기 위해 Kim 등 (2005) 은 셀 절점에서 Maximum

Principle ^{을 만족시키는 다음과 같은 조건을 유도하였다} .

(14)

여기서 α는 제어 영역을 결정하는 계수로 다음과 같이 정 의된다 :

, ] ,

, (15)

q h hu

⎝ ⎠ hv

⎜ ⎟ ⎜ ⎟

⎛ ⎞ , f

hu hu

²

+ gh

²

⁄ 2

⎝ huv ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

g ,

hv huv hv

²

+ gh

²

^⁄ 2

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

s ,

0

hgz

_x

–

hgz

_y

–

⎝ ⎠

⎜ ⎟

⎜ ⎟

⎛ ⎞

= = = =

z

_x

( = ∂z ∂x ⁄ ) z

_y

( = ∂z ∂y ⁄ )

∂t ∂

---- q Ω d

∫

Ω

⁺ ∫°

_∂Ω

^{F ˜ ⋅ nd∂Ω =} ∫

Ω

^{s Ω d}

∂Ω F ˜ = _{[ ] f g ,}

A

_{i j,}

--- ∆t ( q

_{i j}^{n 1}_,⁺

– q

_{i j}ⁿ_,

) F + ˜

_{i j,}

= S

_{i j,}

F ˜

_{i j,}

F ˜

_{i j,}

= _l

_y

_F

_{i 1 2 j,+ ⁄}

– _l

_y

_F

_{i 1 2 j– ⁄ ,}

+ l

_x

F

_{i j 1 2,+ ⁄}

– l

_x

F

_{i j 1 2,– ⁄}

F_{i 1 2,j+ ⁄} =

F

(q_{i 1 2 , j+ ⁄ –} ,q_{i 1 2 ,j+ ⁄ +} ) F, _{i 1 2 j– ⁄ ,} =

F

(q_{i 1 2 ,j– ⁄ –} ,q_{i 1 2+,j– ⁄} ), F_{i j 1 2,+ ⁄} =

F

(q_{i j 1 2–,+ ⁄} ,q_{i j 1 2+,+ ⁄} ), F_{i j 1 2,– ⁄} =

F

(q_{i j 1 2 ,– ⁄ –},q_{i j 1 2+,– ⁄} )

q

_{i 1 2 ,j+ ⁄ –}

q

_{i 1 2 ,j+ ⁄ +}

q

_{i j 1 2 ,+ ⁄ –}

q

_{i j 1 2+,+ ⁄}

q

_{i 1 2 ,j+ ⁄ –}

p = { r l t b , , , }

q

_{i j r, ,}

q

_{i j,}

1

2--- ^{ϕ r (}

^{i j r, ,}

^{) q}

^{i 1 2 j,– ⁄}

^q

^{i j l, ,}

^q

^{i j,}

1

2--- ^{ϕ r (}

^{i j l, ,}

^{) q} ∆

^{i 1 2 j+ ⁄ ,}

, –

=

,

+ ∆

=

q

_{i j t, ,}

q

_{i j,}

1

2--- ^{ϕ r (}

^{i j t, ,}

^{) q}

^{i j 1 2,– ⁄}

, q

_{i j b, ,}

q

_{i j,}

1

2--- ^{ϕ r (}

^{i j b, ,}

^{) q ∆}

^{i j 1 2,+ ⁄}

–

= + ∆

=

q

_{i 1 2 j– ⁄ ,}

∆ = q

_{i j,}

– q

_{i 1 j– ,}

, ∆ q

_{i j 1 2,– ⁄}

= q

_{i j,}

– q

_{i j 1,–}

r

_{i j r, ,}

1

r

_{i j l, ,}

--- ^{∆ q} _q

^{i 1 2 j,+ ⁄}

i 1 2 j– ⁄ ,

∆ --- , r

_{i j t, ,}

1

r

_{i j b, ,}

--- ^{∆ q} _q

^{i j 1 2,+ ⁄}

i j 1 2,– ⁄

--- ∆

= = = =

ϕ r ( ) ϕ r ( ) rϕ = ⁽ 1 ^{⁄ r )}

ϕ r ( ) = max 0 min ^{( , ( r ,} 1 ^{) )}

ϕ r ( ) = max 0 min 2 ( , ( r , 1 ) ,min ( r , 2 ) )

ϕ r ( ) = max 0 min 1.5 ( , ( r , 1 ) , min ( r , 1.5 ) )

ϕ r ( ) r r + 1 + ^r ---

=

0 ^{≤ ϕ r ( ) ≤} min 2 ^{( r ,} 2 ⁾

0 ≤ ϕ r ( ) ≤ min ( αr α , )

α

_{i j r, ,}

g 2max 1 ( , r

_{i j r, ,}

) ( 1 max 0 + ( , tan θ

_{i 1 j l+ , ,}

⁄ r

_{i 1 j l+ , ,}

)

1 tan + θ

_{i j r, ,}

---

=

α

_{i j l, ,}

g 2max 1 ^{( , r}

_{i j l, ,}

^{) (} 1 max 0 + ^{( ,} tan ^θ

_{i 1– j r, ,}

^{⁄ r}

_{i 1– j r, ,}

⁾ 1 tan + ^θ

_{i j l, ,}

---

=

α

_{i j t, ,}

g 2max 1 ( , r

_{i j t, ,}

) ( 1 max 0 + ( , tan θ

_{i j 1 b, + ,}

⁄ r

_{i j 1 b,+ ,}

)

1 tan + θ

_{i j t, ,}

---

=

α

_{i j b, ,}

g 2max 1 ( , r

_{i j b, ,}

) ( 1 max 0 + ( , tan θ

_{i j 1 t,– ,}

⁄ r

_{i j 1 t,,–}

)

1 tan + θ

_{i j b, ,}

---

=

식 (15) 에 의하면 는 1 과 2 사이의 값을 가지므로 식 (14) 는 식 (13) 을 만족한다 . 식 (13) 과 식 (14) 의 영역을 도시한 Fig. 2 과 식 (15) 를 종합하여 보면 , 식 (14) 가 불규 칙면의 각도에 따라 의 값을 적절하게 조절하여 TVD

조건을 만족시키는 것을 알 수 있다 . 또한 충격파가 격자와 평행하게 발생하는 경우 tan θ

i,j,p

는 0 이 되고 , 이로인해 α

i,j,p

가 2 가 되어 기존의 TVD 조건과 동일한 조건이 된다 . MLP

는 식 (14) 의 다차원 제어 함수 (Multi-dimensional limiting

function) 와 고차의 보간법을 결합한 방법으로 다음과 같이

표현될 수 있다 .

(16)

여기서 는 상태량 분포의 굴곡 (curvature) 을 표현할 수

있는 3 차 정확도 이상의 보간법으로 , 본 논문에서는 공간에 대해 3 차 정확도를 유지하기 위해

(17)

과 같이 정의하였다 . MLP 기법에 대한 보다 자세한 유도와 분석을 위해서는 Kim 등 (2005) 을 참조할 수 있다 . 기존의 제

어자들과 MLP 기법이 사용하는 스텐실을 비교해 보면 , Fig.

2 에 도시한 것과 같이 2 차원상에서 기존의 제어자들이 5 개 의 스텐실을 사용하여 ( ⁱ , ^j ) ^{셀의 값을 계산하는데 비해} MLP ^{기법에서는} 9 ^{개의 스텐실을 사용하여 수치진동을 제어하}

는 것을 알 수 있다 . 3. 수치모의

MLP 기법의 수치 진동 제어 성능은 2, 3 차원 오일러 방정

식에 적용되어 검증된 바 있다 . 하지만 천수방정식에 적용된 예는 없으며 , 이에 천수방정식 모형 검증에 일반적으로 사용 되는 수치모의를 통하여 그 성능을 검증할 필요가 있다 . ^본

논문에서는 4 종류의 수치모의를 수행하였고 , minmod,

superbee, sweby, van leer 등의 제어자와 비교하여 MLP 기 법의 성능을 검증하였다 . 또한 본 논문은 직교격자상에 구축 된 천수방정식의 수치모형에 MLP 를 적용하여 , 다차원 현상 모의시 수치 진동 제어자로서의 MPL 성능을 검증하는 것으 로 , 2 차원상에서 불연속단면을 발생시키고 유지하기 위해 분 할격자기법을 함께 사용하였다 . 분할격자기법은 셀을 유체부 분과 고체부분으로 분리시켜 고려함으로써 직교격자상에서 복잡한 경계면을 표현할 수 있게 해 주는 기법이다 . 셀은 유체셀 , 고체셀 , 분할셀로 구분되는데 , 유체셀은 직교격자에 서와 같은 기법으로 계산되며 고체셀은 유체가 없으므로 계 산이 수행되지 않는다 . 분할셀에서 셀간의 흐름률은 유체부 분들간에 발생하는 것으로 하고 유한체적법에 의해서

Causon 등 (2000; 2001) 과 같이 계산을 수행하였다 . 분할셀 은 비구조격자이므로 식 (16) 을 그대로 적용시키기 어렵다 .

따라서 분할셀 경계면의 상태량은 minmod 제어자를 사용하

여 평가하였다 . 앞서 서술하였듯이 mimmod 는 가장 안정적 인 제어자로서 식 (13) 의 TVD 조건뿐 아니라 식 (14) 의

MLP 조건도 만족시키므로 분할격자에 의해서 새로운 수치진 동이 발생하지는 않을 것으로 판단된다 .

3.1 Steady flow over a Gaussian bump

첫 번째 모의는 불연속면이 없는 영역에 MLP 를 적용하였 을 때 3 차의 공간정확도가 유지되는지를 검증하기 위한 것 으로 , 가우시안 범프 (Gaussian bump) 위의 정상류가 모의되 었다 . Caleffi 등 (2006) 을 참조하여 30 m 의 1 차원 계산영역

에 다음과 같은 Gaussian 분포를 따르는 지형을 고려하였다 .

(18)

여기서 , c

0

=1 m

²

, σ = 2 m 이고 x

m

=15 m 이다 . 초기조건은 h

0

=2 m 로 하고 , 상류의 경계조건은 , 하류의 경계조건은 h =2 m 로 설정하였다 . MLP 기법과 minmod 제어 자를 적용하여 격자를 사용하여 모의를 수행하 였다 . 여기서 , n은 격자 레벨로서 본 모의에서는 5~9 가 사 용되었다 . 정상상태에 도달했을 때의 해석해는 베르누이의 정 리에 의해 계산될 수 있다 .

Fig. 3 에 일 때의 수위분포를 도시하였다 .

MLP 기법과 minmod 제어자를 적용한 두 경우 모두 해석해

tan ^θ

_{i j r, ,}

tan ^θ

_{i j l, ,}

^q

^{i j 1,+}

– ^q

^{i j 1, –}

q

_{i 1 j,+}

– q

_{i 1 j– ,}

---

= =

tan θ

_{i j t, ,}

tan θ

_{i j b, ,}

q

_{i 1 j,+}

– q

_{i 1 j– ,}

q

_{i j 1,+}

– q

_{i j 1,–}

---

= =

g x ( ) = max 1 min 2 ^{( , ( , x ) )}

α

_{i j p, ,}

α

_{i j p, ,}

ϕ r (

_{i j p, ,}

) = max 0 min ^{( , ( α}

_{i j p, ,}

^r

_{i j p, ,}

^{, α}

_{i j p, ,}

^{, β}

_{i j p, ,}

^{) )}

β

_{i j p, ,}

β

_{i j p, ,}

1 2 + r

_{i j p, ,}

--- 3

=

z x ( ) c

₀

σ 2 ^π --- e

12 ---x x– _m

---σ

⎝ ⎠

⎛ ⎞

=

–

q = 4.42 m

²

^{⁄ s}

x

∆ = 30 2 ⁄

ⁿ

x

∆ = 30 2 ⁄

⁵

Fig. 3 Steady water profile in the test of “steady flow over a Gaussian bump” at 3.1. The solid bump on the bottom represents a Gaussian bump with c

0

= 1 m

²

,

σ = 2 m and xm =15 m.

Fig. 2 MLP region; α is the multi-dimensional restriction

coefficient which determines the limiting region (after

Park et al ., 2010).

에 근접한 계산결과가 나온 것으로 보인다 . 격자의 크기에 따른 수심의 L

1

오차는 Fig. 4 와 같다 . Mimmod 제어자의 경우는 2 ^차 , MLP ^{기법의 경우는} 3 ^{차에 가까운 정확도로 오}

차가 수렴해 가는 것을 확인할 수 있다 . 본 논문에 제시하 지는 않았으나 상류의 경계조건인 q의 값을 바꾸어도 Fig.

4 의 결과와 유사하게 MLP 는 공간에 대해 3 차정확도를 유지 하는 것이 확인되었다 .

3.2 Stead flow with hydraulic jump

두 번째 모의는 도수현상이 발생하는 정상류로 , Goutal 등

(1997) 에 의해 제안된 이 모의는 천수방정식 수치모형 검증

에 널리 사용된 바 있다 (Audusse 등 , 2006; Caleffi 등 ,

2006). 20 m 의 1 차원 계산영역에 다음과 같은 지형을 고려

하였다 .

(19)

초기조건은 h

0

=0.33 m 로 하고 , 상류의 경계조건은 q =0.18 m

²

/s, ^{하류의 경계조건은 h} =0.33 m 로 설정하였다 . 3.1 절의 모의와 계산조건은 비슷하나 본 모의의 경우 상류와 사류가 혼재하는 천이류와 도수 현상을 포함한다 . 본 모의는 1 차원

모의로 , 다차원 모의 시 MLP 성능을 확인하기 위해서는 불연

속면을 격자와 비스듬히 발생시킬 필요가 있다 . ^{이에 충격파를}

격자에 울어진 방향으로 발생시키기 위해 Fig. 5 와 같은 격자를 사용하였다 . 여기서 흐름은 x' 방향으로 발생한다 . MLP 기법과

superbee, sweby, van Leer 제어자를 적용하고 격자를 사용하여 모의를 수행하였다 .

모의된 수위분포는 Fig. 6 과 같다 . Superbee, sweby 제어 자를 사용한 경우 수치진동이 발생하였으나 , van leer 제어 자와 MLP 기법이 적용된 경우는 수치진동이 발생하지 않고 해석해에 근접하게 수면이 모의되고 있는 것으로 보인다 . 정 상류에 수렴해 가는 과정에서 반복계산 횟수에 따른 수심값 z x ( ) ' 0.2 0.05 – x '

²

m if 2 – ≤ ≤ x ' 2 m

0 otherwise

⎩ ⎨

= ⎧

x

∆ = = ∆ y 30 2 ⁄

⁸

Fig. 4 L1 norm convergence in the test of “steady flow over a Gaussian bump” at 3.1.

Fig. 5 Meshes used in the test of “steady flow with hydraulic jump” at 3.2. Note that the one dimensional flow occurs in the x' -direction.

Fig. 6 (a) Water profile computed by different limiters in the test of “ steady flow with hydraulic jump ” at 3.2; (b) local magnification of (a). The bump in (a) represents the topography of Eq. (19).

Fig. 7 Convergence of maximum residual norm by different limiters in the test of “steady flow with hydraulic jump”

at 3.2.

의 잔차 (Residual error) 를 Fig. 7 에 도시하였다 . superbee 와

sweby 의 경우 잔차가 10

⁻⁴

부근에서 더 이상 수렴하지 않고

있고 , van leer 제어자와 MLP 기법의 경우는 잔차가 지속적

으로 작아져 정상해에 수렴해 가고 있는 것을 알 수 있다 .

제어자에 따른 계산결과의 차이를 좀 더 자세히 살펴보기 위해 김병현 등 (2009) 을 참고하여 L

1

, L

2

및 L

∞

오차를

Table 1 과 같이 계산하였다 . 전반적으로 superbee 와 sweby

제어자를 사용했을 경우보다 MLP 기법을 사용했을 경우

1000 배 가량 오차가 줄어든 것을 확인할 수 있었다 . 이 모

의만 보면 van leer 제어자도 MLP 기법과 마찬가지로 불연

속면 격자와 비스듬히 발생한 경우에도 안정적으로 수치진

동을 제어하는 것으로 보인다 . 하지만 van leer 제어자는 상

황에 따라 수치진동을 발생시키기도 하며 , 이 경우는 다음 수치모의에서 확인되었다 .

3.3 Unsteady discontinuous flow

세 번째 모의는 불연속단면이 전진하는 비정상모의를 수행 하였다 . Liang 등 (2007) 을 참고로 하여 Fig. 8 과 같은 문제 를 모의하였다 . 여기서 c와 u

1

을 아래와 같이 정의하면 ,

(20)

불연속면은 Fig. 8 과 같이 일정하게 c의 속도로 전파된다

(Chow, 1959). 3.2 절의 모의에서와 같은 이유로 불연속면을

격자와 기울어지게 발생시키기 위해 Fig. 9 과 같은 격자를 사 용하였다 . MLP 기법과 superbee, minmod, van Leer 제어자를 적용하고 를 사용하여 모의를 수행하였다 .

t =200 s에서의 수위분포를 Fig. 10 에 도시한 결과 , MLP 기 법이 수치진동은 덜 발생시키고 수면은 더 정확하게 모의하

는 것을 확인할 수 있다 . Minmod 의 경우도 수치진동은 발

생시키지 않았으나 다른 세 제어자와 비교할 때 불연속면

부근에서 해가 지나치게 확산되는 경향이 보인다 . superbee

와 van leer 제어자가 적용된 경우는 크기가 크지는 않지만

불연속면 부근에서 수치진동이 관찰되고 있다 . 그림만으로는 모의결과의 차이를 구분하기 어려운 점이 있어 박승우 등

(2003) 을 참고하여 계산영역의 최대유속 , 최대유속의 Froude

수 , 충격파 도달거리를 계산하여 Table 2 에 나타내었다 .

Superbee 와 van leer 제어자의 경우 수치진동이 발생하여

최대유속과 그에 따른 Froude 수가 해석해보다 다소 큰 것을 알 수 있고 , 그에 반해 minmod 제어자와 MLP 기법의 경 우에 해석해와 가까운 최대유속과 Froude 수가 계산된 것을 알 수 있었다 . 충격파의 도달거리를 보면 minmod 제어자

h

₁

u

₁

c h (

₁

– h

₂

) c , gh

₁

( h

₁

– h

₂

) 2h

₂

---

= =

x

∆ = ∆ y = 30 2 ⁄

⁸

Table 1. L

1

, L

2

and L

∞

errors of water levels computed by different limiters in the test of “steady flow with hydraulic jump” at 3.2

Superbee Sweby Van leer MLP L

1

4.02×10

⁻⁵

1.60×10

⁻⁵

5.34×10

⁻⁸

2.81×10

⁻⁸

L

2

5.76×10

⁻⁵

2.47×10

⁻⁵

7.33×10

⁻⁸

4.07×10

⁻⁸

L

∞

2.34×10

⁻⁴

1.02×10

⁻⁴

2.59×10

⁻⁷

1.61×10

⁻⁷

Fig. 8 Description of discontinuous flow in the test of “ unsteady discontinuous flow ” at 3.3.

Fig. 9 Meshes used in the test of “ unsteady discontinuous flow ” at 3.3. Note that the one dimensional flow occurs in the x' -direction.

Fig. 10 (a) Water profiles computed by different limiters in the

test of “ unsteady discontinuous flow ” at 3.3; (b) local

magnification of (a).

보다 해석해에 가깝고 , superbee 나 van leer 제어자의 결과 에 가깝게 도달거리가 계산되었다 .

비록 본 모의가 불연속면이 일정한 속도로 전진하는 단순 한 문제이기는 하나 격자와 기울어져 있는 방향으로 불연속 충격파가 전진하고 있는 경우로 , 다차원상에서 불연속 단면 의 형태를 정확히 유지하면서 수치진동을 제어하는 것은 수 치기법상 어려운 문제이다 . Fig. 10 과 Table 2 의 수치모의의 결과는 기존의 제어자들이 크지는 않으나 수치진동을 발생시 키고 있고 인해 정확도가 떨어질 수 있음을 보여준다 . 또한 수치진동을 거의 발생시키지 않는 minmod 의 경우는 근본적 으로 다른 수치기법들에 비해 정확도가 떨어지는 것을 알 수 있다 . 하지만 MLP 기법의 경우 제어 과정을 적절히 컨트 롤하여 불연속단면의 형태를 정확히 유지하면서 수치진동을 성공적으로 억제하는 것을 확인할 수 있다 .

3.4 Bore reflection at an inclined boundary

네 번째 모의에서는 불연속면을 가지는 단파가 기울어진 벽과 부딪혀 발생하는 “Mach reflection” 현상을 모의하였다 . 9 m 의 계산영역에서 불연속단면은 오른편에서 왼편으로 일 정한 속도 u

R

로 전진하고 , 벽은 x축으로부터 시계 방향으로

27

^o

기울어져 있다 . 불연속면을 경계로 좌우의 경계조건 및 초기조건은 다음과 같다 .

(21)

여기서 , F

s

=4.0, h

L

=1 m, ^u

^L

=0 으로 설정하였다 (Causon 등 , 2000). MLP 기법과 superbee, sweby, van leer 제어자를 적 용하고 를 사용하여 모의를 수행하였다 .

모의결과 얻어진 t =5s ^{에서의 수심분포를} Fig. 11 과 같이 도시하였다 . 불연속면을 가지는 단파가 기울어진 벽을 만나

“Transitional Mach Reflection” 이 발생하는 현상이 Causon

등 (2000) 의 수치모의결과와 유사하게 모의되었다 . 하지만

MLP 이외의 제어자를 사용했을 때 , (5 m, 2 m) 지점 부근

에서 등수선이 매끄럽지 못하게 형성된 것이 확인된다 . 특히

superbee 의 경우에는 반사파가 형성된 벽 부근 전반에 걸쳐

수치진동이 발생된 것으로 보이나 , MLP 기법이 적용된 경우 는 이와 다르게 매끄럽게 등수선이 형성되어 수치진동이 제 거된 것으로 판단된다 . 또한 (2.5 m, 2 m) 부근의 수심분포 는 제어자에 따라 크게 다르게 모의되었다 . 격자를 더 세분

화 하여 모의한 결과 superbee ^와 sweby ^{의 경우는 모의가}

안정적으로 수렴하지 않았고 , van leer 와 MLP 의 경우는

Fig. 11 과 유사하게 모의되었다 . 이 점을 고려하면 , superbee

와 sweby 가 적용되었을 때 수치진동으로 인해 (2.5 m, 2 m)

부근의 수심이 부정확하게 모의된 것으로 보인다 . 4. 결 론

본 논문은 MLP ^{기법을 천수방정식의 수치모형에 적용하여}

다차원상에서 수치 진동 제어자로서의 MLP 성능을 검증하

였다 . MLP 기법은 1 차원에서 유도된 기존의 TVD 제어자들

과는 달리 대각선 방향의 스텐실도 수치진동 억제에 활용한 다 . ^{격자와 평행하지 않은 불연속흐름을 발생시켰으며} , 2 ^차

원 모의의 경우 일반적으로 해석해를 얻기 힘듦을 고려하여 ,

분할격자기법을 활용하여 해석해가 널리 알려진 1 차원 문제 를 2 차원공간에서 모의하였다 .

4 ^{종류의 정상·비정상 모의를 수행한 결과} , MLP ^{기법은 기}

존의 제어자들과 비교하여 2 차원에서 안정적으로 수치진동 을 억제하였고 , 안정적이나 해의 정확도가 떨어지는 minmod

제어자와 비교하여 정확하게 불연속면을 모의하는 것을 확 인할 수 있었다 . 또한 불연속단면이 없는 매끄러운 영역에서 는 공간에 대해 3 차 정확도를 유지하였다 . MLP 기법은 기존 의 제어자들과 비교하여 조금 더 복잡한 계산이 요구되나 전체 계산에서 수치 진동 제어 부분이 차지하는 비중이 크 지 않고 (Kim ^등 , 2005), ^기존의 MUSCL ^{타입의 코드에 약}

간의 수정을 가하면 용이하게 MLP 기법을 적용할 수 있다는 점을 고려하면 프로그램 개발자에게 있어 매력적인 수치기 법임과 동시에 효과적인 기법으로 판단된다 .

Kim 등 (2005) 의 MLP 기법은 계산과정에서 불연속면의 각도 를 주위의 스텐실을 사용하여 평가하기 때문에 직교격자 이 외의 쿼드트리 적응격자나 삼각형 격자와 같은 비구조격자 에는 그대로 적용하기 어렵다 . 최근 Yoon 등 (2008) 과 Park

등 (2010) 은 불연속면의 각도를 정의하지 않고 주위의 스텐실

을 이용하여 Maximum Principle 을 만족시키는 MLP 기법을 h

_L

= rh

_R

, S = F

_s

h

_L

, F

_L

= u

_L

⁄ h

_L

,

u

_R

= S u + (

_L

– S ) r ⁄ ,

r 1

2--- 1 8 [ + ( ^F

^L

– ^F

^S

)

²

– 1 ]

=

x

∆ = = ∆ y 30 2 ^⁄

⁹

Table 2. Comparison of the results computed by different

limiters in the test of “unsteady discontinuous flow”

at 3.3

Exact Super- bee Min-

mod Van leer MLP

u

max

(m/sec) 6.065 6.093 6.068 6.081 6.068 Froude No. at u

max

0.612 0.615 0.613 0.614 0.613 Shock arrival point (m) 2426 2520 2560 2520 2530

Fig. 11 Contour lines of water depth in the test of “bore

reflection at an inclined boundary” at 3.4. Figures

describe transitional Mach reflection.

적용한 바 있다. 천수방정식의 수치모형에 있어서 MLP기법 의 유용성이 본 논문을 통해서 확인되었고, 이에 MLP기법 을 Gerris의 쿼드트리 적응격자에 적용시키는 연구를 현재 진행하고 있다. 쿼드트리 적응격자에 MLP를 적용할 경우, 보다 정확하고 안정적인 수치기법의 개발로 더욱 신뢰성 있 는 천수흐름 수치모의 결과를 제공할 수 있을 것이라 생각 된다.

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( ^접수일 : 2011.9.26/ ^심사일 : 2011.10.31/ ^{심사완료일} : 2012.3.5)