21.그림과 같이 중심이 원점 O 이고 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 가 축의 양의 방향과 만나는 점을 A, 원 위 에 있고 제 사분면에 있는 점 P 에서 축에 내린 수선의 발을 H , ∠POA 라 하자. 삼각형 APH 에 내접하는 원의 반지름 의 길이를 라 할 때, lim
→
의 값은?
①
②
③
④
⑤
[2016년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 집합 에 대하여 에서 로의 함 수 는 다음 조건을 만족시킨다.
함수 의 개수를 구하시오.
[2016년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
30. 함수 에 대하여 부등식 ≥ 을 만족시키는 의 최댓값을 라 정의하자. 함수 가
에서 불연속일 때, 의 값을 구하시오.
(단, lim
→∞
) [4점]
21. 닫힌 구간 에서 정의된 함수 는
≤ ≤ ≤
이다. 좌표평면에서 인 실수 에 대하여 함수 의 그래 프와 타원
이 만나는 서로 다른 점의 개수를 라 하 자. 함수 가 불연속이 되는 모든 의 값들의 제곱의 합은?
① ②
③
④
⑤
[2016년 4월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있 다.
호 AB 위의 한 점 P에 대하여 ∠PAB 라 하자. 선분 PB의
중점 M에서 선분 PB에 접하고 호 PB에 접하는 원의 넓이를
, 선분 AP 위에 AQ BQ가 되도록 점 Q를 잡고 삼각형 ABQ에 내접하는 원의 넓이를 라 하자.
→
lim
×
의 값을 구하시오. (단,
)
A
P
B Q
M
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(가) 의 모든 원소 에 대하여 이다.
(나) 이면 이다.
[2016년 4월 고3 학력평가 수학 가형]
30. 좌표평면에서 , 에 대한 연립부등식
≥ ≥
가 나타내는 영역을 라 하자. 양의 실수 에 대하여 영역 의 서로 다른 네 점을 꼭짓점으로 하는 정사각형 가 다음 조건을 만족시킨다.
정사각형 의 두 대각선의 교점의 좌표의 최솟값을 라 할 때, ′ln ′ln 이다.
의 값을 구하시오.
(단, , 는 서로소인 자연수이다.)
O
[2016년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 그림과 같이 중심이 O이고 반지름의 길이가 인 원의 둘레를 ≥ 등분한 점을 A, A, ⋯, A이라 하자.
호 AA( ⋯ )을 이등분한 점을 M라 하고 사 각형 AMAN가 마름모가 되도록 하는 선분 OM 위의 점 을 N라 하자. 개의 사각형 AMAN, AMAN, AMAN, ⋯, AMAN의 넓이의 합을 이라 할 때,
lim
→∞
×
의 값은? (단, A A)
A M A
O
·
··
A A
A A
M M M
N N N N
A
A
M N · · ·
① ② ③ ④ ⑤
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(가) 정사각형 의 한 변의 길이는 이다.
(나) 정사각형 의 한 변은 축과 평행하다.
[2016년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 그림과 같이 반지름의 길이가 인 구 와 서로 다른 두 직선 ,
이 있다. 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 A, B, 구 와 직선 이 만나는 서로 다른 두 점을 각각 P, Q라 하자. 삼각형 APQ는 한 변의 길이가 인 정삼각형이고
AB , ∠ABQ
일 때 평면 APB와 평면 APQ가
이루는 각의 크기 에 대하여 cos의 값을 구하시오.
A
B
P Q
.
[2016년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
30. ≤ ≤
인 에 대하여 좌표평면 위의 두 직선 , 은 다음 조건을 만족시킨다.
두 직선 과 사이의 거리의 최댓값을 라 할 때,
이다. 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 유리수이다.) [4점]
[2016년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
21.실수 전체의 집합에서 미분가능한 함수 가 다음 조건을 만 족시킨다.
함수 sin
에 대하여 <보기>에서 옳은 것만을 있는 대 로 고른 것은?
① ㄱ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
[2016년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
29.좌표공간에서 두 점 A , B 에 대하여 두 점 P , Q 가 다음 조건을 만족시킨다.
OP ∙ AQ 의 최댓값이 일 때, 두 유리수 , 에 대하여
의 값을 구하시오. (단, O 는 원점이다.)
[2016년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
30.. 부터 까지의 자연수가 하나씩 적혀 있는 개의 공이 주머니에 들어 있다. 이 주머니에서 공을 한 개씩 모두 꺼낼 때, 번째 ( ,
, ⋯, ) 꺼낸 공에 적혀 있는 수를 라 하자. 인 두 자연수 , 에 대하여 가 다음 조건을 만족시킨다.
, 인 모든 경우의 수를 구하시오. (단, 꺼낸 공은 다 시 넣지 않는다.)
(가) 두 직선 , 은 서로 평행하고 축의 양의 방향과 이 루는 각의 크기는 각각 이다.
(나) 두 직선 , 은 곡선
≤ ≤ 과 각각 만난다.< 보 기 >
ㄱ. 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
ㄴ. lim
→
ㄷ.
이면 방정식
의 서로 다른 실근의 개수는 이다.
(가) 모든 실수 에 대하여 이다.
(나) 모든 양의 실수 에 대하여 ′ 이다.
(다) lim
→
, lim
→ ∞
(가) ≤ 이면 이다.
(나) ≤ 이면 이다.
(다) ≤ 이면 이다.
(가) OA∙ OP , OP (나) AB∙ BQ , BQ
[2017년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 구간 에서 정의된 연속함수 에 대하여 함수
( ≤ ≤ ) 은 다음 조건을 만족시킨다.<보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
① ㄴ ② ㄷ ③ ㄱ, ㄴ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
[2017년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 그림과 같은 개의 사물함 중 개의 사물함을 남학생 명과 여학생 명에게 각각 개씩 배정하려고 한다. 같은 층에서는 남 학생의 사물함과 여학생의 사물함이 서로 이웃하지 않는다. 사물 함을 배정하는 모든 경우의 수를 구하시오.
3층 →
2층 →
1층 →
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[2017년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
30.그림과 같이 제 사분면에 있는 점 P 에서 곡선
에 그은 두 접선의 접점을 각각 A, B 라 할 때,
PA PB AB의 최솟값을 구하시오.
[2017년 4월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB를 지름으로 하는 반원이 있다. 호 AB 위의 점 P에 대하여 BP BC가 되도록 선분 AB 위의 점 C를 잡고, AC AD가 되도록 선분 AP 위의 점 D를 잡는다. ∠PAB 에 대하여 선분 CD를 반지름으로 하 고 중심각의 크기가 ∠PCD인 부채꼴의 넓이를 , 선분 CP를 반지름으로하고 중심각의 크기가 ∠PCD인 부채꼴의 넓 이를 라 할 때,
lim
→
의 값은?
(단,
이고 ∠PCD는 예각이다.)
A B
P D
C
①
②
③
④
⑤
(가)
(나)
< 보 기 >
ㄱ.
ㄴ.
ㄷ.
[2017년 4월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 좌표평면에서 이상의 자연수 에 대하여 두 곡선
, log 으로 둘러싸인 영역의 내부 또는 그 경계에 포함되고 좌표와 좌표가 모두 자연수인 점의 개수가 가 되도록 하는 자연수 의 개수를 구하시오.
30. 최고차항의 계수가 인 다항함수 와 함수
′
가 다음 조건을 만족시킨다.
(가) 방정식 의 실근은 과 뿐이고 허근은 존재하지 않는다.
(나)
lim
→
이 존재한다.
(다) 함수
는 에서 연속이고 미분가능하지 않다.
함수 의 극솟값을 라 할 때, 의 값을 구하시오.
[2017년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 그림과 같이 AB 이고 ∠ABC ∠BAC를 만족하는 삼각형 ABC가 있다. 선분 AC를 지름으로 하는 원과 직선 AB가 만나는 점 중 A가 아닌 점을 P, 점 P를 지나고 선분 BC에 평행한 직선이 선분 AC와 만나는 점을 Q라 하자.
∠BAC 라 할 때, 삼각형 APQ의 넓이를 라 하자.
→
lim
의 값은? (단,
)
C
A P B
Q
①
②
③
④
⑤
[2017년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 평면 위에 반지름의 길이가 인 원 가 있다. 원 위의 두 점 A, B에 대하여 AB 이고, 이 평면 위의 점 P가 다음 조건을 만족시킨다.
원 위의 점 Q에 대하여 AP ∙ AQ의 최댓값을 구하시오.
30. 상수항을 포함한 모든 항의 계수가 유리수인 이차함수 가 있다. 함수 가
′
일 때, 함수 는 다음 조건을 만족시킨다.
의 값을 구하시오.
[2017년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 를 지름으로 하는 반원 모양 의 색종이가 있다. 호 AB 위의 점 P 에 대하여 두 점 A, P 를 연 결하는 선을 접는 선으로 하여 색종이를 접는다. ∠PAB 일 때, 포개어지는 부분의 넓이를 라 하자. 에서 가 최댓값을 갖는다고 할 때, cos 의 값은? (단,
)
➡
①
②
③
④
⑤
(가)
AP
(나) AB 와 AP 가 이루는 각의 크기를 라 할 때,
cos 는 자연수이다.
(가) 함수 는 에서 극솟값을 갖는다.
(나) 함수 의 최댓값은 이다.
(다) 방정식 의 근은 모두 유리수이다.
[2017년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 좌표공간에 평면 위의 원 을 밑면으로 하 고 꼭짓점이 원점인 원뿔이 있다. 원 와 한 점 P 에서 만 만나는 평면 가 이 원뿔과 만나서 생길 수 있는 도형 중 한 타원을 라 하자. 타원 의 평면 위로의 정사영은 장축의 길 이가
인 타원이다. 평면 와 축이 만나서 생기는 좌표가
일 때, 의 값을 구하시오.
30. 그림과 같이 길이가 인 선분 AB 위의 점 P 를 지나고 선분 AB 에 수직인 직선이 선분 AB 를 지름으로 하는 반원과 만나는 점을 Q 라 하자. AP 라 할 때, 를 다음과 같이 정의한다.
일 때 는 두 선분 AP , PQ 와 호 AQ 로 둘러싸인 도형의 넓이이고, 일 때 는 선분 AB 를 지름으로 하는 반원의 넓이이다.
sin cos
일 때,
의 값을 구하시오. (단, 와 는 유리수이다.)
[2018년 3월 고3 학력평가 수학 가형]
21.함수 과 함수 가 다음 조건을 만족 시킨다.
함수 에 대하여 ′ 의 값은? (단, , 는 상수이다.)
① ② ③ ④ ⑤
29.사과, 배, 귤 세 종류의 과일이 각각 개씩 있다. 이 개의 과 일 중 개를 선택하여 명의 학생에게 남김없이 나누어 주는 경 우의 수를 구하시오. (단, 같은 종류의 과일은 서로 구별하지 않 고, 과일을 한 개도 받지 못하는 학생은 없다.)
30.함수
≤
≤ ≤
에 대하여 열린 구간 에서 정의된 함수
의 극댓값과 극솟값의 차는 이다. 의 값을 구하시 오. (단, , 는 유리수이다.)
(가) , ′
(나) 모든 실수 에 대하여 ′이다.
[2018년 4월 고3 학력평가 수학 가형]
21.
에서 정의된 미분가능한 함수 가 이고
′
을 만족시킨다. 함수 의 역함수 가 존재하고 미분가능 할 때, <보기>에서 옳은 것만을 있는 대로 고른 것은?
보 기 ㄱ. ′
ㄴ.
ㄷ.
① ㄱ ② ㄱ, ㄴ ③ ㄱ, ㄷ
④ ㄴ, ㄷ ⑤ ㄱ, ㄴ, ㄷ
29. 집합 에서 집합 로의 함수 중에서
(은 정수) 를 만족시키는 함수 의 개수를 구하시오.
30. 함수
과 양의 실수 에 대하여 닫힌 구간 에서 함수 의 최댓값을 , 최솟값을 라 할 때, 두 함수 , 는 다음 조건을 만족시킨다.
일 때, 의 값을 구하시오.
(단, 와 는 이 아닌 상수, 와 는 서로소인 자연수이고,
lim
→∞
이다.)
[2018년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 그림과 같이 좌표평면 위에 중심이 O 이고 점 A 을 지나는 원 위의 제사분면 위의 점을 P라 하 자. 점 P를 원점에 대하여 대칭이동시킨 점을 Q, 축에 대하 여 대칭이동시킨 점을 R라 하자. 선분 QR를 지름으로 하는 원
와 두 선분 PQ, AQ와의 교점을 각각 M, N이라 하자.
∠POA 라 할 때, 두 삼각형 MQN, PNR의 이를 각각
, 라 하자.
lim
→
×
의 값은?
① ② ③ ④ ⑤
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(가) 모든 양의 실수 에 대하여 이다.
(나) 양수 에 대하여 닫힌 구간 에 있는 임의의 실수 에 대해서만 가 성립한다.
(다)
×
O A
R P
Q
M
N
[2018년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
29. 그림과 같이 평면 위에 OA 을 만족하는 두 점 O, A 와 점 O를 중심으로 하고 반지름의 길이가 각각 , 인 두 원 , 가 있다. 원 위의 서로 다른 두 점 P, Q와 원 위의 점 R가 다음 조건을 만족시킨다.
원 위의 점 S에 대하여 AR ∙ AS의 최댓값을 , 최솟값 을 이라 할 때, 의 값을 구하시오.
(단,
∠ORA )
O
R
A
P
Q
[2018년 7월 고3 학력평가 수학 가형]
30. 인 상수 , 에 대하여 함수 는
이고 함수 는
이다.
실수 에 대하여 부등식
≥
를 만족시키는 양의 실수 가 존재할 때, 이 의 값 중 최솟값을
라 하자. 함수 와 는 다음 조건을 만족시킨다.
의 값을 구하시오. (단,lim
→∞
)
[2018년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
21. 함수
에 대하여 곡선 와 곡선
가 만나는 점의 좌표 중 가장 작은 값을 , 가장 큰 값을 라 하자. 함수 의 역함수 에 대 하여 ′ ′ 일 때, 상수 의 값은?
①
②
③
④
⑤
29.그림과 같이 평면 위에 중심이 점 A 이고 반지름의 길이가
인 원 가 있다. 점 A 를 지나고 평면 에 수직인 직선 위 의 점 B 에 대하여 AB 이다. 원 위의 점 P 에 대하여 원
가 다음 조건을 만족시킨다.
평면 위에 AX 인 점 X 가 있다. 점 P 가 원 위를 움직 일 때, 원 위의 점 Q 에 대하여 선분 XQ 의 길이의 최댓값은
이다. 의 값을 구하시오. (단, , 은 자연수이다.) (가) 양수 에 대하여 PQ QR
(나) PQ∙ AR 이고 PQ AR
(가) 함수 는 극댓값 를 갖고 이다.
(나) 의 값이 존재하는 의 최댓값은 이다.
(가) 선분 BP는 원 의 지름이다.
(나) 점 A에서 원 를 포함하는 평면에 내린 수선의 발 H는 선분 BP 위에 있다.
[2018년 10월 고3 학력평가 수학 가형]
30. 함수
sin ≤ ≤
가 있다. 실수 에 대하여 부등식 ≤ 를 만족시키는 실 수 의 최솟값을 라 하자. 예를 들어, 이다.
함수 가 에서 불연속일 때,
이다. × 의 값을 구하시오. (단, , 는 유리수이다.)
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