ISSUES TO ADDRESS...
제3장: 결정학의 기초
• What is the difference in atomic arrangement between crystalline and noncrystalline solids?
• How are crystallographic directions and planes named?
• Under what circumstances does a material
property vary with the measurement direction?
학습목표...
• 원자/분자 구조에서 결정질과 비결정질 재료의 차이점 분석
• 세 방향 지수가 주어질 때, 단위정 내에 이 지수와 일치하는 방향 제도
• 단위정 내에 그려진 면의 Miller 지수 표기
• 단결정과 다결정 재료의 구분
• 재료 성질에서 등방성과 이방성의 차이
• 치밀않음, 불규칙배열(random packing)
• 치밀, 규칙배열(ordered packing)
치밀하고 규칙적인 배열의 구조는 낮은 에너지상태를 갖는 경향이 있다.
Energy and Packing
Energy
r typical neighbor
bond length typical neighbor
bond energy
Energy
r typical neighbor
bond length
typical neighbor bond energy
• 장범위 규칙적 원자배열, 3차원적 패턴 결정질 재료(Crystalline materials...)
-모든 금속
-대부분의 세라믹 -일부의 폴리머
• 장범위 원자의 규칙성 없음
비결정질 재료(Noncrystalline materials...) -복잡한 구조
-급냉(rapid cooling)
crystalline SiO2
noncrystalline SiO2
“Amorphous" = Noncrystalline
Adapted from Fig. 3.23(b), Adapted from Fig. 3.23(a), Callister & Rethwisch 8e.
Materials and Packing
Si Oxygen
• 예:
• 예:
결정계(crystal systems)
7 결정계(crystal systems)
14 결정 격자(crystal lattices)
단위정(unit cell): 결정고체에서 원자의 규칙성은 작은 군의 원자들이 반복적 패턴을 가지고
배열되는 것.
a, b, and c are the lattice constants
(격자상수)
점 좌표(Point Coordinates)
단위정 중심에 대한 점 좌표 a/2, b/2, c/2 ½ ½ ½
단위정 모서리점에 대한 점 좌표 111
이동: 격자 상수의 정수 배 다른 단위정에서의 동일 위치 (identical position in another unit cell )
z
x
y
a b
c
000
111
y z
·
2c
·
·
·
b
결정 방향
1. x-y-z 좌표계를 설정
2. 두 점의 좌표를 잇는 방향벡터 설정 예) 벡터 시작점 pt.
1: x1, y1, & z1; 벡터 끝점, pt. 2: x2, y2, & z2. 2. 끝점 좌표에서 시작점 좌표를 뺀다.
3. 좌표 차이 값을 격자 상수 a, b, c로 각각 나눠서 표준화
4. 위의 3개 숫자를 공통지수로 나누거나 곱해 최소의 정수 조합을 만든다.
5. 3개의 지수는 콤마에 의해 분리하지 않고 모난 괄호 안에 표시
[uvw]
ex:
pt. 1 x1 = 0, y1 = 0, z1 = 0
=> 1, 0, 1/2
=> [ 201 ] z
x
Algorithm
y
=> 2, 0, 1
pt. 2
head pt. 1:
tail
pt. 2 x2 =
a
, y2 = 0, z2 = c/2결정 방향
-4, 1, 2
방향 족 <uvw>
z
x
지수 위의 바는 음의 지수를 표시 [ 412 ]
=>
y
Example 2:
pt. 1 x1 =
a
, y1 =b
/2, z1 = 0 pt. 2 x2 = -a
, y2 =b
, z2 =c
=> -2, 1/2, 1
pt. 2 head
pt. 1:
tail
분수를 없애기 위해 2로 곱한다.
VMSE Screenshot – [101] Direction
육방 결정의 방향 (HCP) (i)
1. 모난 괄호 제거
2. 모든 수가 ≤ 1이 될 수 있도록 가장 큰 정수로 나눈다.
3. 투영면을 생성하기 위해서 적절한 단위정 체적으로 곱한다. a (for a1, a2, and a3 axes) or c (for z-axis)
4. 원점 0를 시작으로 위의 투영을 따라 방향 벡터를 만든다.
Algorithm (Miller-Bravais coordinates)
육방 결정의 방향 (HCP) (ii)
• 육방정에서 방향을 그리시오.
[1213]
4. 벡터 설정
1. 모난 괄호 제거 -1 -2 1 3
Algorithm a1 a2 a3 z
2. 3으로 나눈다.
- 1
3 - 2
3 1
3 1 3. 투영
proceed –a/3 units along a1 axis to point p –2a/3 units parallel to a2 axis to point q a/3 units parallel to a3 axis to point r c units parallel to z axis to point s
[1 2 13]
p r q
s
start at point o
[1213] 방향은 point o 를 시작으로 point s 까지의 벡터를 표시
1. 벡터 시작 좌표, pt. 1:
x1, y1, & z1; 벡터 끝 좌표, pt. 2: x2, y2, & z2를 (a1, a2, and z)
로 설정
2. pt. 2 좌표를 pt. 1 좌표로 빼고 단위정의 a 와 c로 일반화 한다.
3. 가장 작은 정수로 만든다.
4. 콤마가 없는 모난 괄호를 이용하여 3축 좌표계로 만든다.
5. 다음 식을 사용하여 4축 Miller-Bravais 격자 좌표로 전환한다:
6. 가장 작은 정수로 재조정하고, 모난 괄호를 사용한다. [uvtw]
Algorithm
u = 1
3 (2 u ¢ - ¢ v )
v = 1
3 (2 v ¢ - ¢ u )
t = -(u +v) w = ¢ w
육방 결정의 방향 (HCP) (ii)
4. 모난 괄호 [110]
1. 시작 점 0 0 0
끝 점 a a 0c
1 1 0 3. 축약 1 1 0
Example a1 a2 z
5. 4-축 지수로 변환
u = 1
3 [(2)(1)- (1)] = 1 3
t = -(1 3 + 1
3) = - 2
3
w = 0
v = 1
3 [(2)(1)- (1)] = 1 3
1/3, 1/3, -2/3, 0 => 1, 1, -2, 0 => [ 1120 ]
6. 축약 & 모난 괄호
육방 결정의 방향 (HCP) (ii)
녹색 벡터의 지수
2. 일반화
HCP Crystallographic Directions
• Hexagonal Crystals
– 4개의 축 Miller-Bravais 좌표계에서 방향은 다음과 같은 관계를 갖는다(i.e., u'v'w').
=
=
=
' w w
t v u
) v u
( + -
) ' u ' v 2 3 (
1 -
) ' v ' u 2 3 (
1 -
=
] uvtw [
] ' w ' v ' u
[
a3
-
a1 a2
z
결정면(Crystallographic Planes)
Adapted from Fig. 3.10, Callister & Rethwisch 8e.
결정면(Crystallographic Planes)
• 밀리지수(Miller Indices): 면과 만나는 3좌표 축의 역수, 최소의 정수값. 모든 평행한 면은 동일한
밀러지수(reciprocals of the (three) axial intercepts for a plane, cleared of fractions & common multiples. All parallel planes have same Miller indices.)
• Algorithm
1. 축의 면과 만나는 지점의 중심과의 거리를 격자 상수 a, b, c 단위로 표시(Read off intercepts of plane with axes in terms of a, b, c)
2. 구해진 수의 역수(Take reciprocals of intercepts) 3. 정수로 표준화(Reduce to smallest integer values)
4. 둥근 괄호 안에 콤마 없이 표시(Enclose in parentheses, no commas i.e., (hkl))
결정면(Crystallographic Planes)
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (110)
example a b c
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (100)
1. Intercepts 1 1 2. Reciprocals 1/1 1/1 1/
1 1 0 3. Reduction 1 1 0
1. Intercepts 1/2 2. Reciprocals 1/½ 1/ 1/
2 0 0 3. Reduction 2 0 0
example a b c
결정면(Crystallographic Planes)
z
x
y
a b
c
4. Miller Indices (634) example
1. Intercepts 1/2 1 3/4 a b c 2. Reciprocals 1/½ 1/1 1/¾
2 1 4/3 3. Reduction 6 3 4
(001) (010),
Family of Planes {hkl}
(100), (010), (001),
Ex: {100} = (100),
VMSE Screenshot – Crystallographic Planes
Additional practice on indexing crystallographic planes
결정면[Crystallographic Planes (HCP)]
• In hexagonal unit cells the same idea is used
example a1 a2 a3 c
4. Miller-Bravais Indices (1011)
1. Intercepts 1 -1 1 2. Reciprocals 1 1/
1 0
-1 -1
1 1 3. Reduction 1 0 -1 1
a2
a3
a1 z
Adapted from Fig. 3.8(b), Callister & Rethwisch 8e.
결정면(Crystallographic Planes)
• 결정면의 원자충진
• 철 포일도 촉매제로 사용이 가능. 노출면의 원자충진이 중요.
a) Fe의 (100)과 (111) 결정 면을 그리시오.
b) 각각의 결정 면에 대한 면밀도를 계산하시오.
Virtual Materials Science & Engineering (VMSE)
• VMSE is a tool to visualize materials science topics such as crystallography and polymer structures in three dimensions
VMSE: Metallic Crystal Structures &
Crystallography Module
• VMSE allows you to view crystal structures, directions, planes, etc. and manipulate them in three dimensions