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(1)

제 5장. 분포력: 도심과 무게중심 (Distributed Forces:

Centroids and Centers of Gravity)

(2)

5.0 서론

• 무게중심 (Center of Gravity: C.G.)

• 도심 (Centroid)

• 1차 모멘트 (First (1st) Moment)

(3)

5.1A 2차원 물체의 무게중심

1 2

n

∆𝑊1∆𝑊2

∆𝑊𝑛

෍ 𝐹𝑦 = ∆𝑊1 + ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 = 𝑊

෍ 𝑀𝑧 = 𝑥1∆𝑊1 + 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 = ҧ𝑥𝑊

𝑥1 𝑥2

𝑥𝑛

→ ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊 𝑊

𝑥 𝑦

𝑥 𝑦

𝑧

∆𝑊𝑛

∆𝑊1 ∆𝑊2

ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊

𝑊 𝑦 = ത σ 𝑦∆𝑊 𝑊

• 3 차원에서 각 요소의 무게에 대해,

• 2 차원에서 각 요소의 무게에 대해,

(4)

5.1A 2차원 물체의 무게중심

• 요소를 미소 크기로 줄이면 (∆𝑥 → 𝑑𝑥, ∆𝑦 → 𝑑𝑦, ∆𝑊 → 𝑑𝑊),

ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊

𝑊 → 1

𝑊 න 𝑥𝑑𝑊 ത

𝑦 = σ 𝑦∆𝑊

𝑊 → 1

𝑊 න 𝑦𝑑𝑊

무게중심 (Center of Gravity, C.G.) - 미소 힘 (중력)의 합력의 지점 - 중력에 의한 모멘트가 0인 지점

𝑊( ҧ𝑥, ത 𝑦) ҧ𝑥

𝑦

(5)

5.1B 면적과 선의 도심

𝑑𝐴 𝑡

𝑑𝑊 = 𝛾𝑡𝑑𝐴

𝛾: 비중량 (단위부피 당 무게) [N/m3] 𝑡: 두께 [m]

d𝐴: 미소면적 [m2]

ҧ𝑥𝑊 = න 𝑥𝑑𝑊

→ ҧ𝑥𝛾𝑡𝐴 = න 𝑥𝛾𝑡𝑑𝐴

𝑦 = 1

𝐴 න 𝑦𝑑𝐴 ҧ𝑥 = 1

𝑊 න 𝑥𝑑𝑊 𝑦 =ത 1

𝑊 න 𝑦𝑑𝑊

→ ҧ𝑥 = 1

𝐴 න 𝑥𝑑𝐴 면적의 도심

무게중심면적의

Δ𝐿 ҧ𝑥 = 1

𝐿 න 𝑥𝑑𝐿 ത

𝑦 = 1

𝐿 න 𝑦𝑑𝐿

선의 도심

도심 (圖心, Center of Figure, Centroid)

(6)

5.1C 면적과 선의 1차 모멘트

𝑦 = 1

𝐴 න 𝑦𝑑𝐴 ҧ𝑥 = 1

𝐴න 𝑥𝑑𝐴

𝑄𝑦 = න 𝑥𝑑𝐴 = ҧ𝑥𝐴 𝑄𝑥 = න 𝑦𝑑𝐴 = ത𝑦𝐴

면적의 도심

면적의 1차 모멘트 (First, 1st, Moment) 𝑄𝑦 = න 𝑥𝑑𝐿 = ҧ𝑥𝐿 𝑄𝑥 = න 𝑦𝑑𝐿 = ത𝑦𝐿 선의 1차 모멘트

2차 모멘트 (2nd Moment)

𝐼𝑦𝑦 = න 𝑥2𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑥 = න 𝑦2𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑦 = න 𝑥𝑦𝑑𝐴

(7)

5.1C 면적과 선의 1차 모멘트

• 대칭축 (Axis of Symmetry)

- 1차 모멘트가 0인 축 → 도심은 대칭축 위에 존재 −𝑥 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴

𝐶

• 두 개의 대칭축을 가질 경우, 도심 C는 반드시 두 대칭축의 교차점에 존재

𝐶

2 1

• 그림 5.8A

(8)

5.1D 합성판과 선재

𝐶

1

𝐶

2

𝑊

1

𝑊

2

𝑋 =ത ҧ𝑥1𝑊1 + ҧ𝑥2𝑊2

𝑊1 + 𝑊2 𝑌 =ത 𝑦ത1𝑊1 + ത𝑦2𝑊2 𝑊1 + 𝑊2

𝐶 𝑊 𝑋 ത

𝑌 ത

합성판의 무게중심

𝑄𝑦 = ത𝑋 ෍ 𝐴 → ത𝑋 = σ ҧ𝑥𝐴 σ 𝐴

합성판의 도심

• 모멘트 → 부호가 있음

𝑥

−𝑥

𝐴 𝐴

𝐶

+𝑥 𝐴 + −𝑥 𝐴

𝑥 𝑥

𝑥 +𝐴 + 𝑥 −𝐴 𝑄𝑥 = ത𝑌 ෍ 𝐴 → ത𝑌 = σ ത𝑦𝐴

σ 𝐴

(9)

5.2A 적분에 의한 도심의 결정

𝑄

𝑦

= ҧ𝑥𝐴 = න ҧ𝑥

𝑐

𝑑𝐴

ҧ𝑥𝑐 = 𝑥 ത

𝑦𝑐 = 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑥 𝑦

ҧ𝑥𝑐 𝑦ത𝑐 𝑏

𝑎

𝑥 − 𝑎 2

𝑎2 + 𝑦2

𝑏2 = 1

𝑄

𝑥

= ത 𝑦𝐴 = න ത 𝑦

𝑐

𝑑𝐴

ҧ𝑥𝑐 = 𝑎 + 𝑥 2 ത

𝑦𝑐 = 𝑦

𝑑𝐴 = (𝑎 − 𝑥)𝑑𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦)

𝑥 ҧ𝑥𝑐 𝑦 ത

𝑦𝑐 𝑏

𝑎

참조

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