제 5장. 분포력: 도심과 무게중심 (Distributed Forces:
Centroids and Centers of Gravity)
5.0 서론
• 무게중심 (Center of Gravity: C.G.)
• 도심 (Centroid)
• 1차 모멘트 (First (1st) Moment)
5.1A 2차원 물체의 무게중심
1 2
n
∆𝑊1∆𝑊2
∆𝑊𝑛
𝐹𝑦 = ∆𝑊1 + ∆𝑊2 + ⋯ + ∆𝑊𝑛 = 𝑊
𝑀𝑧 = 𝑥1∆𝑊1 + 𝑥2∆𝑊2 + ⋯ + 𝑥𝑛∆𝑊𝑛 = ҧ𝑥𝑊
𝑥1 𝑥2
𝑥𝑛
→ ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊 𝑊
𝑥 𝑦
𝑥 𝑦
𝑧
∆𝑊𝑛
∆𝑊1 ∆𝑊2
ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊
𝑊 𝑦 = ത σ 𝑦∆𝑊 𝑊
• 3 차원에서 각 요소의 무게에 대해,
• 2 차원에서 각 요소의 무게에 대해,
5.1A 2차원 물체의 무게중심
• 요소를 미소 크기로 줄이면 (∆𝑥 → 𝑑𝑥, ∆𝑦 → 𝑑𝑦, ∆𝑊 → 𝑑𝑊),
ҧ𝑥 = σ 𝑥∆𝑊
𝑊 → 1
𝑊 න 𝑥𝑑𝑊 ത
𝑦 = σ 𝑦∆𝑊
𝑊 → 1
𝑊 න 𝑦𝑑𝑊
무게중심 (Center of Gravity, C.G.) - 미소 힘 (중력)의 합력의 지점 - 중력에 의한 모멘트가 0인 지점
𝑊( ҧ𝑥, ത 𝑦) ҧ𝑥
ത
𝑦
5.1B 면적과 선의 도심
𝑑𝐴 𝑡
𝑑𝑊 = 𝛾𝑡𝑑𝐴
𝛾: 비중량 (단위부피 당 무게) [N/m3] 𝑡: 두께 [m]
d𝐴: 미소면적 [m2]
ҧ𝑥𝑊 = න 𝑥𝑑𝑊
→ ҧ𝑥𝛾𝑡𝐴 = න 𝑥𝛾𝑡𝑑𝐴
ത
𝑦 = 1
𝐴 න 𝑦𝑑𝐴 ҧ𝑥 = 1
𝑊 න 𝑥𝑑𝑊 𝑦 =ത 1
𝑊 න 𝑦𝑑𝑊
→ ҧ𝑥 = 1
𝐴 න 𝑥𝑑𝐴 면적의 도심
무게중심면적의
Δ𝐿 ҧ𝑥 = 1
𝐿 න 𝑥𝑑𝐿 ത
𝑦 = 1
𝐿 න 𝑦𝑑𝐿
선의 도심
도심 (圖心, Center of Figure, Centroid)
5.1C 면적과 선의 1차 모멘트
ത
𝑦 = 1
𝐴 න 𝑦𝑑𝐴 ҧ𝑥 = 1
𝐴න 𝑥𝑑𝐴
𝑄𝑦 = න 𝑥𝑑𝐴 = ҧ𝑥𝐴 𝑄𝑥 = න 𝑦𝑑𝐴 = ത𝑦𝐴
면적의 도심
면적의 1차 모멘트 (First, 1st, Moment) 𝑄𝑦 = න 𝑥𝑑𝐿 = ҧ𝑥𝐿 𝑄𝑥 = න 𝑦𝑑𝐿 = ത𝑦𝐿 선의 1차 모멘트
2차 모멘트 (2nd Moment)
𝐼𝑦𝑦 = න 𝑥2𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑥 = න 𝑦2𝑑𝐴 𝐼𝑥𝑦 = න 𝑥𝑦𝑑𝐴
5.1C 면적과 선의 1차 모멘트
• 대칭축 (Axis of Symmetry)
- 1차 모멘트가 0인 축 → 도심은 대칭축 위에 존재 −𝑥 𝑥 𝑑𝐴 𝑑𝐴
𝐶
• 두 개의 대칭축을 가질 경우, 도심 C는 반드시 두 대칭축의 교차점에 존재
𝐶
2 1
• 그림 5.8A
5.1D 합성판과 선재
𝐶
1𝐶
2𝑊
1𝑊
2𝑋 =ത ҧ𝑥1𝑊1 + ҧ𝑥2𝑊2
𝑊1 + 𝑊2 𝑌 =ത 𝑦ത1𝑊1 + ത𝑦2𝑊2 𝑊1 + 𝑊2
𝐶 𝑊 𝑋 ത
𝑌 ത
합성판의 무게중심
𝑄𝑦 = ത𝑋 𝐴 → ത𝑋 = σ ҧ𝑥𝐴 σ 𝐴
합성판의 도심
• 모멘트 → 부호가 있음
𝑥
−𝑥
𝐴 𝐴
𝐶
+𝑥 𝐴 + −𝑥 𝐴
𝑥 𝑥
𝑥 +𝐴 + 𝑥 −𝐴 𝑄𝑥 = ത𝑌 𝐴 → ത𝑌 = σ ത𝑦𝐴
σ 𝐴
5.2A 적분에 의한 도심의 결정
𝑄
𝑦= ҧ𝑥𝐴 = න ҧ𝑥
𝑐𝑑𝐴
ҧ𝑥𝑐 = 𝑥 ത
𝑦𝑐 = 𝑦 2 𝑑𝐴 = 𝑦𝑑𝑥 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑥 𝑦
ҧ𝑥𝑐 𝑦ത𝑐 𝑏
𝑎
𝑥 − 𝑎 2
𝑎2 + 𝑦2
𝑏2 = 1
𝑄
𝑥= ത 𝑦𝐴 = න ത 𝑦
𝑐𝑑𝐴
ҧ𝑥𝑐 = 𝑎 + 𝑥 2 ത
𝑦𝑐 = 𝑦
𝑑𝐴 = (𝑎 − 𝑥)𝑑𝑦 𝑃(𝑥, 𝑦)
𝑥 ҧ𝑥𝑐 𝑦 ത
𝑦𝑐 𝑏
𝑎