시험에 꼭 나오는 문제

(1)

∴ y=-;2!;xÛ`+;2#;x+2=-;2!;{x-;2#;}²+:ª8°:

따라서 꼭짓점의 좌표는 {;2#;, :ª8°:} ^답{;2#;, :ª8°:}

008

y=xÛ`+bx+c가 점 (-1, 0), (3, 0)을 지나므로 0=1-b+c, -b+c=-1 yy`㉠

0=9+3b+c, 3b+c=-9 yy`㉡

㉡-㉠을 하면 4b=-8 ∴ b=-2, c=-3 따라서 이차함수 y=xÛ`-2x-3은 점 (5, k)를 지나므로

k=25-10-3=12 ^답 ④

다른 풀이

이차항의 계수가 1인 이차함수 y=xÛ`+bx+c가 x축 위의 두 점 (-1, 0), (3, 0)을 지나므로

y=(x+1)(x-3)=xÛ`-2x-3

이 이차함수의 그래프가 점 (5, k)를 지나므로 k=5Û`-2_5-3=12

포인트 이차함수의 그래프가 x축과 만나는 두 점의 좌표 가 (m, 0), (n, 0)이면 이차함수의 식을

y=a(x-m)(x-n)으로 놓는다.

009

y=-xÛ`+4x+5=-(x-2)Û`+9 꼭짓점의 좌표는 A(2, 9)

y=0일 때, 0=-xÛ`+4x+5, xÛ`-4x-5=0 (x+1)(x-5)=0 ∴ x=-1 또는 x=5

따라서 두 점 B, C의 좌표는 B(-1, 0), C(5, 0)이므로

△ABC=;2!;_6_9=27 ^답 ④

010

오른쪽 그림과 같이 ∠B=90ù,

"

#

$ ACÓ=7, ABÓ=5인 삼각형 ABC를

생각할 수 있다.

BCÓ ="ÃACÓ Û`-ABÓ Û`

="Ã7Û`-5Û`=2'6 sin`A= BCÓ

ACÓ= 2'67 tan`A= BCÓ

ABÓ= 2'65

∴ sin`A_tan`A= 2'67 _2'6

5 =;3@5$; ^답 ④

011

두 정삼각형 ABC, BCD에서 ^"

#

$

% . )

Y AMÓ=DMÓ= '3`2 _4=2'3

꼭짓점 A에서 DMÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

MHÓ=;3!; DMÓ=;3!;_2'3= 2'3`3 직각삼각형 AMH에서

시험에 _꼭 나오는 문제

본문 102~110쪽

[부록 PART Ⅰ]

001

① 아래로 볼록한 포물선이다.

③ 꼭짓점의 좌표는 (-1, 1)이다.

④ 점 (1, 5)를 지난다.

⑤ 축은 x=-1이므로 점 (-1, 0)을 지나며 y축과 평행

하다. ^답 ②

002

이차항의 계수가 -2이고 꼭짓점의 좌표가 (-2, q)인 포 물선을 그래프로 하는 이차함수의 식은

y=-2(x+2)Û`+q=-2xÛ`-8x-8+q 이 식이 y=-2xÛ`+px-3과 같으므로 p=-8, -3=-8+q ∴ q=5

∴ p+q=(-8)+5=-3 ^답 ③

003

꼭짓점의 좌표가 (3, 1)이므로 p=3, q=1

y=a(x-3)Û`+1의 그래프가 점 (0, 4)를 지나므로 4=a(0-3)Û`+1 ∴ a=;3!;

∴ apq=;3!;_3_1=1 ^답 1

004

y=-3xÛ`+6x+4=-3(x-1)Û`+7

x y

O 7

4

1 의 그래프는 오른쪽 그림과 같다.

따라서 x>1인 범위에서 x의 값이 증 가할 때 y의 값이 감소한다.

^답 ⑤

005

y=xÛ`+6x+1+a=(x+3)Û`-8+a

x축과 만나려면 (꼭짓점의 y좌표)É0이어야 하므로 -8+aÉ0

∴ aÉ8 ^답aÉ8

006

이차항의 계수가 a이고 꼭짓점의 좌표가 (2, 1)인 이차함 수의 식은 y=a(x-2)Û`+1이고 점 (0, 3)을 지나므로 3=a(0-2)Û`+1 ∴ a=;2!;

∴ y=;2!;(x-2)Û`+1=;2!;xÛ`-2x+3

∴ abc=;2!;_(-2)_3=-3 ^답 ①

007

^y=-;2!;xÛ`-ax+b에서 두 점 (0, 2), (4, 0)을 지나므로 2=b, 0=-8-4a+b ∴ a=-;2#;

(2)

[부록] 시험에 꼭 나오는 문제

59

AHÓ=¾¨(2'3 )Û`-{ 2'3`3 }

2= 4'6`3

따라서 직각삼각형 AMH에서 sin`x= AHÓ

AMÓ = 4'6`3 Ö2'3= 2'2`3 답 2'2`

3

012

∠CPQ=∠APQ (접은 각) _A

B

B' C P D H

Q xx

x 6 4

6 4

=∠PQC (엇각)

이므로 QCÓ=PCÓ=APÓ=6 △CQB'에서 QB'Ó="Ã6Û`-4Û`=2'5 꼭짓점 Q에서 ADÓ에 내린 수선의

발을 H라 하면

AHÓ=BQÓ=B'QÓ=2'5이므로 HPÓ=6-2'5

따라서 △HQP에서 tan`x= QHÓ

PHÓ = 4

6-2'5` = 3+'5`2 답 3+'5`

2

013

∠EDC=∠ABC=∠x ^A

B C

D 5

E 4 x △DEC에서

DEÓ="Ã5Û`-4Û`=3이므로 sin`x=;5$;, cos`x=;5#;

∴ sin`x-cos`x=;5$;-;5#;=;5!; ^답 ①

014

^BCÓ="ÃABÓ Û`+ACÓ Û`="Ã3Û`+4Û`=5 ∠x+∠B=90ù, ∠y+∠C=90ù ∠B+∠C=90ù, ∠x+∠y=90ù ∴ ∠x=∠C, ∠y=∠B sin`x=sin`C= ABÓ

BCÓ=;5#;

cos`y=cos`B= ABÓ BCÓ=;5#;

∴ sin`x+cos`y=;5#;+;5#;=;5^; ^답 ;5^;

015

∠A=30ù이고 sin`A= BCÓ ACÓ이므로 sin`30ù=;4{;=;2!;

∴ x=2 cos`A= ABÓ

ACÓ이므로 cos`30ù= y4 ='3

2 ∴ y=2'3

∴ x+y=2+2'3 ^답 ②

016

5x-4y+8=0에서 4y=5x+8 ∴ y=;4%;x+2

따라서 tan`a=(직선의 기울기)=;4%;이므로

1

tan`a =;5$; ^답;5$;

017

sin`x= CDÓ

OCÓ= CDÓ1 =CDÓ ^답④

018

sin`0ù=0, sin`60ù= '3`2 , cos`60ù=;2!;, tan`45ù=1, tan`60ù='3

∴ tan`60ù>tan`45ù>sin`60ù>cos`60ù>sin`0ù 답tan`60ù, tan`45ù, sin`60ù, cos`60ù, sin`0ù

019

0ù<x<45ù일 때, cos`x>sin`x이므로 sin`x-cos`x<0 0<sin`x< '2`2 이므로 1-sin`x>0

∴ "Ã(sin`x-cos`x)Û` -"Ã(1-sin`x)Û`

=-(sin`x-cos`x)-(1-sin`x)

=cos`x-1 ^답 cos`x-1

포인트 삼각비의 값이 근호 안에 있는 경우, 제곱근의 성 질을 이용하여 근호 안의 식의 부호를 정한 후 주어진 식 을 정리한다.

 "aÛ`=[ a (a¾0) -a (a<0)

020

cos`53ù= ABÓ 5 =0.6018

∴ ABÓ=5_0.6018=3.009 ^답①

021

직각삼각형 ABH에서 ^A

B C H

4 30ù 45ù BHÓ= 4

tan`30ù =4'3 또 직각삼각형 ACH에서 CHÓ= 4

tan`45ù =4

∴ BCÓ=BHÓ-CHÓ=4'3-4 따라서 삼각형 ABC의 넓이는

;2!;_(4'3-4)_4=8'3-8 ^답 8'3-8

022

꼭짓점 C에서 ABÓ에 내린 수선의

H A

B 18`m C

1513``m

30ù

발을 H라 하면

CHÓ=18 sin`30ù=9 (m) AHÓ=18 cos`30ù=9'3 (m) 이므로

BHÓ=15'3-9'3=6'3 (m)

∴ BCÓ="Ã(6'3 )Û`+9Û`='¶189=3'¶21 (m) ^답3'¶21`m

(3)

023

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에서

H

A B

C 30ù16`m 1213``cm

ACÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

△BHC에서

BHÓ=16 sin`30ù=8 (m) CHÓ=16 cos`30ù=8'3 (m)

AHÓ=ACÓ-CHÓ=12'3-8'3=4'3 (m) 따라서 △AHB에서

ABÓ="Ã(4'3 )Û`+8Û`='¶112=4'7 (m) ^답4'7`m

024

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 B에

75ù40`m45ù 60ù

A

B C

서 ACÓ에 내린 수선의 발을 H H 라 하면

△ABC에서

∠A=180ù-(75ù+45ù)=60ù △BCH에서

BHÓ=40 sin`45ù=20'2 (m) 따라서 △ABH에서 ABÓ= 20'2`sin`60ù =40'6`

3 (m) ^답 ①

025

AHÓ= CHÓ`tan`30ù , BHÓ= CHÓ`

tan`60ù ABÓ=AHÓ-BHÓ= CHÓ`tan`30ù - CHÓ`

tan`60ù CHÓ { 1`tan`30ù - 1`

tan`60ù }=400, 2

'3` CHÓ=400

∴ CHÓ=400_ '3`2 =200'3 (m) 답 200'3`m

026

△ABC의 세 내각의 합이 180ù이므로 ^A

B C

4 86ù60ù 34ù

312 86ù+34ù+∠C=180ù

∴ ∠C=60ù

∴ △ABC=;2!;_ACÓ_BCÓ_sin`C =;2!;_4_3'2_sin`60ù =;2!;_4_3'2_ '3`2

=3'6 ^답 ④

포인트 삼각형의 넓이

① 삼각형 ABC에서 ^A

B a C

0ù<∠B<90ù일 때, c △ABC=;2!;ac sin`B

② 삼각형 ABC에서 ^A

c

B a C

∠B>90ù일 때,

△ABC=;2!;ac sin (180ù-B)

027

△ABC=△ABD+△ADC ^A

B D C

15`cm 30ù 6`cm 이므로 30ù

△ABC

=;2!;_ABÓ_ACÓ_sin`(∠BAC) =;2!;_15_6_sin`60ù

=;2!;_15_6_ '3`2 = 45'3`2 yy`㉠

△ABD+△ADC

=;2!;_ABÓ_ADÓ_sin`(∠BAD)

+;2!;_ACÓ_ADÓ_sin`(∠CAD)

=;2!;_15_ADÓ_;2!;+;2!;_6_ADÓ_;2!;

=:ª4Á: ADÓ yy`㉡

㉠=㉡이므로 45'3`2 =:ª4Á: ADÓ

∴ ADÓ= 30'3`7 (cm) 답 ③

028

사각형 ABCD는 평행사변형이므 ^A

B C

D 6`cm 120ù

60ù 8`cm 로 평행사변형의 성질에 의해 이

웃하는 두 내각의 합이 180ù이다.

∴ ∠B=180ù-∠C=60ù ∴ ABCD=ABÓ_BCÓ_sin`B

=6_8_sin`60ù

=24'3 (cmÛ`) ^답24'3`cmÛ`

포인트 평행사변형의 넓이

① 평행사변형 ABCD에서 ^"

Y B

# C

%

$ 0ù<∠B<90ù일 때,

ABCD=ab sin`x

② 평행사변형 ABCD에서 ^"

B

# C

%

$ ∠B>90ù일 때, Y

ABCD=ab sin (180ù-x)

029

^^ABCD=;2!;_8_9_sin`45ù

=18'2 (cmÛ`) ^답 ④

030

점 D는 선분 AB를 이등분하므로

O r r-4

A B

C

8 D ADÓ=8 4

또 ABÓ⊥CDÓ이므로 CDÓ의 연장선 은 이 원의 중심 O를 지난다.

이때 이 원의 반지름의 길이를 r라 하면 AOÓ=r, ODÓ=r-4

(4)

[부록] 시험에 꼭 나오는 문제

61

따라서 직각삼각형 AOD에서 피타고라스 정리에 의하여 rÛ`=8Û`+(r-4)Û`

rÛ`=64+rÛ`-8r+16, 8r=80

∴ r=10 ^답 ②

031

△AMO는 직각삼각형이므로

AMÓ="ÃOAÓ Û`-OMÓ Û` ="Ã5Û`-('¶13)Û`='¶12=2'3 ∴ ABÓ=2AMÓ=4'3

원의 중심에서 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으므로

CDÓ=4'3 ^답4'3

032

원의 중심으로부터 같은 거리에 있는 두 현의 길이는 같으 므로 △ABC는 ABÓ=ACÓ인 이등변삼각형이다.

따라서 ∠ABC=∠ACB이므로

∠x=;2!;_(180ù-50ù)=65ù ^답 65ù

033

① PAÓ, PBÓ는 원의 접선이므로

∠PAO=∠PBO=90ù

② APBO에서 ∠PAO=∠PBO=90ù이고, 사각형의 내각의 크기의 합은 360ù이므로

∠APB+∠AOB =360ù-(∠PAO+∠PBO)

=360ù-180ù=180ù ④ PAÓ, PBÓ는 원의 접선이므로

PBÓ=PAÓ=8`cm

⑤ △PAO와 △PBO에서

AOÓ=BOÓ (반지름), POÓ는 공통

∠PAO=∠PBO=90ù이므로

△PAOª△PBO (RHS`합동)

따라서 옳지 않은 것은 ③이다. 답 ③

034

반지름 OBÓ=4`cm이므로

A

B O

P2`cm 4`cm 4`cm OAÓ=4`cm이고 PAÓ는 원 O의 접선

이므로 ∠OAP=90ù

따라서 △PAO는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여

PAÓ="Ã OPÓ Û`-OAÓ Û` ="Ã6Û`-4Û`=2'5 (cm)

^답 2'5`cm

035

∠OAP=90ù이므로 원 O의 반지름의 길이를 r`cm라 하 면 △APO에서

(r+4)Û`=rÛ`+(4'2 )Û`, rÛ`+8r+16=rÛ`+32 8r=16 ∴ r=2

∴ △APO=;2!;_PAÓ_OAÓ=;2!;_4'2_2

=4'2 (cmÛ`) ^답4'2`cmÛ`

036

ABÓ⊥ONÓ, AMÓ=BMÓ이고

A M B

N 9`cm 4`cm

5`cm OAÓ=ONÓ=4+5=9 (cm) O

직각삼각형 OAM에서 피타고라스 정 리에 의하여

AMÓ="Ã9Û`-4Û`='¶65 (cm)

∴ ABÓ=2AMÓ=2'¶65 (cm) ^답2'¶65`cm

037

BDÓ=BEÓ=4`cm이므로 ADÓ=9-4=5 (cm) AFÓ=ADÓ=5`cm이므로 CFÓ=8-5=3 (cm) ∴ BCÓ =BEÓ+CEÓ=BEÓ+CFÓ

=4+3=7 (cm) ^답②

038

원 O의 반지름의 길이를 ^A

B C

D

E O F

(12-r)`cm (12-r)`cm

(5-r)`cm

(5-r)`cm r`cm r`cm

r`cm라 하면 OECF는

정사각형이므로 CEÓ=CFÓ=r`cm 이때 BEÓ=(5-r) cm, AFÓ=(12-r) cm이고 ABÓ="Ã5Û`+12Û`=13 (cm) 이므로

ABÓ=ADÓ+BDÓ=AFÓ+BEÓ에서 13=(12-r)+(5-r) ∴ r=2

따라서 원 O의 반지름의 길이는 2`cm이다. ^답 2`cm

039

△DBC는 직각삼각형이고 BCÓ=12`cm, BDÓ=4'¶13`cm 이므로

CDÓ="ÃBDÓ Û`-BCÓ Û` ="Ã(4'¶13)Û`-12Û`=8 (cm) 한편, 원 O에 ABCD가 외접하므로 ABÓ+CDÓ=ADÓ+BCÓ

ABÓ+8=6+12

∴ ABÓ=10 (cm) ^답10`cm

포인트 원에 외접하는 사각형의 성질

원 O에 외접하는 사각형 ABCD에서 ^"

# 0

%

$

 ABÓ+DCÓ=ADÓ+BCÓ

040

원주각과 중심각의 크기의 성질에 의해 ∠AOB=2∠APB=2_32ù=64ù 이등변삼각형 OAB에서 ∠OAB=∠OBA △OAB의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠AOB+∠OBA+∠OAB=64ù+2∠OAB=180ù ∴ ∠OAB=;2!;_(180ù-64ù)=58ù ^답④

041

360ù-∠x=2_105ù

∴ ∠x=150ù ^답④

(5)

포인트 오른쪽 그림과 같이 두 반지름

A B

O

P b 과 두 현으로 이루어진 사각형 APBO

에서

 ∠APB=;2!;_(360ù-∠b) =180ù-;2!;∠b

042

µADB의 중심각의 크기는 _A B C

P D

136ù

272ù 88ùO 2∠ACB=2_136ù=272ù

µACB의 중심각의 크기를 구하면 ∠AOB=360ù-272ù=88ù PA³, PB³는 원 O의 접선이므로 ∠OAP=∠OBP=90ù

APBO의 내각의 크기의 합은 360ù이므로

∠APB=360ù-(180ù+88ù)=92ù ^답92ù

043

∠x=∠DAC=21ù

△PBC에서 ∠PBC+∠PCB=∠APB이므로 21ù+∠y=68ù ∴ ∠y=47ù

∴ ∠y-∠x=47ù-21ù=26ù ^답 ③

044

오른쪽 그림과 같이 BPÓ를 그으면

A B

C

P Q R

x x

34ù 34ù ∠APB=∠AQB=∠x

∠BPC=∠BRC=34ù ∠x+34ù=62ù

∴ ∠x=62ù-34ù=28ù

답28ù

045

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù ∠DAC=∠x이므로 △APD에서

∠x=180ù-(90ù+58ù)=32ù ^답32ù

046

ADÓ를 그으면 ABÓ가 반원 O의 지름이므로 ∠ADB=90ù

△PAD에서 ∠PAD+70ù=90ù ∴ ∠PAD=20ù ∴ ∠x=2∠PAD=2_20ù=40ù ^답 ⑤

047

BOÓ를 연장한 선과 원의 교점을 P라 하자. ^A _P

B C

6 6

317 O

µ BC에 대한 원주각의 크기가 모두 같으므 로 ∠BAC=∠BPC

BPÓ가 원 O의 지름이므로 ∠BCP=90ù, BPÓ=12

△BCP에서 피타고라스 정리에 의하여 PCÓ="ÕÃ BPÓ Û`-BCÓ Û` ="Ã12Û`-(3'7 )Û`=9 ∴ cos`A=cos`P= PCÓ

BPÓ =;1»2;=;4#; ^답 ;4#;

048

ACÓ를 그으면 µ BD=µ CD이므로

A B

C D

26ù x 26ù

O ∠CAD=∠BAD=26ù

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠ACB=90ù

따라서 △ABC에서

∠x=180ù-(90ù+26ù+26ù)=38ù ^답 38ù

049

∠AOC=2∠ABC=2_25ù=50ù µAC`:`µAD=5`:`15=1`:`3이므로 ∠ABC`:`∠ABD=1`:`3에서

25ù`:`∠ABD=1`:`3 ∴ ∠ABD=75ù

∴ ∠AOC+∠ABD=50ù+75ù=125ù ^답125ù

050

µAB`:`µ BC`:`µ CA=5`:`3`:`4이므로 ∠C`:`∠A`:`∠B=5`:`3`:`4

∴ ∠A= 3

4+3+5 _180ù=;4!;_180ù=45ù ^답 ④

(6)

[부록] 고난도 문제

63 001

^이차함수y=a(x-2)Û`-3의 그래프를 x축의 방향으로

-4만큼, y축의 방향으로 2만큼 평행이동한 그래프의 식은 y=a(x-2+4)Û`-3+2

∴ y=a(x+2)Û`-1 ……`㉠

㉠이 y=-2xÛ`+px+q와 일치하므로

a=-2 ……`㉡

㉡을 ㉠에 대입하여 다시 풀면 y =-2(x+2)Û`-1

=-2(xÛ`+4x+4)-1

=-2xÛ`-8x-9 ∴ p=-8, q=-9

∴ p-q=(-8)-(-9)=1 ^답 ③

002

이차함수의 그래프가 두 점 (-1, 0), (0, 3)을 지나므로 x=-1, y=0을 대입하면 0=-(-1-p)Û`+q

0=-1-2p-pÛ`+q yy`㉠

x=0, y=3을 대입하면 3=-pÛ`+q yy`㉡

㉠에 ㉡을 대입하면 0=-1-2p+3 ∴ p=1, q=4 ∴ y=-(x-1)Û`+4

꼭짓점의 좌표는 A(1, 4)이고, y=0일 때

0=-(x-1)Û`+4, xÛ`-2x-3=0 (x+1)(x-3)=0

∴ x=-1 또는 x=3

즉, 그래프와 x축의 양의 부분이 만나는 점의 좌표는 B(3, 0)이다.

따라서 구하는 삼각형의 넓이는

;2!;_3_4=6 ^답 ③

003

주어진 이차함수의 그래프가 점 (2, 0)을 지나므로 4k-2k-2a-bk+b=0, (2-b)k-2a+b=0 k의 값에 관계없이 성립하므로

2-b=0, -2a+b=0 ∴ a=1, b=2

∴ y=kxÛ`-(k+1)x-2(k-1) yy`㉠

㉠이 점 (m, n)을 지나므로 n=kmÛ`-(k+1)m-2(k-1) kmÛ`-km-m-2k+2-n=0 (mÛ`-m-2)k-m-n+2=0 k의 값에 관계없이 성립하므로

Ú mÛ`-m-2=0, (m+1)(m-2)=0

∴ m=-1 또는 m=2

고 난도 문제

본문 112~120쪽

[부록 PART Ⅱ]

Û -m-n+2=0, n=-m+2

∴ n=3 또는 n=0

그런데 (2, 0)과 (m, n)은 서로 다른 점이므로 m=-1, n=3

∴ m-n=-4 ^답-4

004

y =axÛ`+2ax+a-4

Y

Z

0

"

=a(x+1)Û`-4 # 에서 꼭짓점의 좌표는 (-1, -4)이다.

이 그래프가 ABÓ와 만나려면 a>0이어야 한다. yy`㉠

또 그래프가 점 A(3, 4)를 지날 때 a의 값은 4=16a-4 ∴ a=;2!; yy`㉡

그래프가 점 B(5, 2)를 지날 때 a의 값은 2=36a-4 ∴ a=;6!; yy`㉢

㉠, ㉡, ㉢에서 구하는 a의 값의 범위는

;6!;ÉaÉ;2!; ^답 ;6!;ÉaÉ;2!;

005

^y=;2!;xÛ`-2x=;2!;(x-2)Û`-2이므로 꼭짓점 P의 좌표는 (2, -2)

y=0일 때, 0=;2!;xÛ`-2x, xÛ`-4x=0 x(x-4)=0 ∴ x=0 또는 x=4

따라서 점 A(4, 0)이므로 △OPA=;2!;_4_2=4 △OPA`:`△OAB=1`:`3이므로 △OAB=3_△OPA △OAB=;2!;_4_(점 B의 y좌표)=12

∴ (점 B의 y좌표)=6

따라서 점 B의 y좌표가 6이므로 ;2!;xÛ`-2x=6, xÛ`-4x-12=0

(x+2)(x-6)=0 ∴ x=-2 또는 x=6 점 B는 제1사분면 위의 점이므로 좌표는 (6, 6)이다.

^답⑤

포인트 이차함수 y=axÛ`+bx+c는 다음과 같이 이차함수 의 식을 y=a(x-p)Û`+q 꼴로 고친다.

y=axÛ`+bx+c  y=a{x+ b`2a }

2- bÛ`-4ac`4a

006

PQÓ=8이고 축이 x=3이므로 P(-1, 0), Q(7, 0)이다.

두 점 (-1, 0), (7, 0)을 지나므로

-1-a+b=0, -49+7a+b=0 ∴ a=6, b=7 ∴ y=-xÛ`+6x+7

C(3+p, 0)이라 하면

B(3-p, 0), A(3-p, -pÛ`+16), D(3+p, -pÛ`+16)

(7)

(^ABCD의 둘레의 길이)=2(2p+16-pÛ`)=34 -pÛ`+2p+16=17, pÛ`-2p+1=0

(p-1)Û`=0 ∴ p=1 따라서 네 꼭짓점의 좌표는

A(2, 15), B(2, 0), C(4, 0), D(4, 15) 이므로 직사각형 ABCD의 넓이는

2_15=30 ^답 30

007

tan`30ù= ACÓ BCÓ = ACÓ

10'3` = 1 '3` 이므로 ACÓ=10 (cm)

cos`30ù= BCÓ ABÓ = 10'3`

ABÓ = '3`2 이므로 ABÓ=20 (cm)

△ABC=△IBC+△ICA+△IAB이므로 내접원 I의 반 지름의 길이를 r`cm라 하면

;2!;_10'3_10=;2!;_10'3r+;2!;_10r+;2!;_20r 50'3=5'3r+5r+10r, (3+'3 )r=10'3 ∴ r=5'3-5

따라서 내접원 I의 반지름의 길이는 (5'3-5) cm이다.

답 (5'3-5) cm

008

^xÛ`-('3+1)x+'3=0, (x-1)(x-'3 )=0 ∴ x=1 또는 x='3

tan`a<tan`b이므로 tan`a=1, tan`b='3 ∴ a=45ù, b=60ù

∴ sin`a_cos`b=sin`45ù_cos`60ù = '2`2 _;2!;='2`

4 답 ①

009

CDÓ=3`cm, ^A

B C

D H

6`cm

4`cm h BDÓ="Ã3Û`+4Û`=5 (cm),

ABÓ="Ã6Û`+4Û`=2'¶13 (cm)

이고 점 D에서 선분 AB에 내린 수선의 발을 H라 하면

△ABC»△ADH (AA`닮음)이므로 ABÓ`:`BCÓ=ADÓ`:`DHÓ, 2'¶13`:`4=3`:`DHÓ ∴ DHÓ= 6'¶13`13 (cm)

∴ sin`h= DHÓ

BDÓ = 6'¶13`65 답 6'¶13`

65

포인트 삼각형의 닮음을 이용하여 삼각형의 각 또는 변의 길이는 다음과 같이 구한다.

① 닮음인 삼각형을 찾는다.

② 크기가 같은 대응각 또는 대응이 되는 변을 찾는다.

③ 닮음비를 이용하여 삼각형의 각의 크기 또는 변의 길이 를 구한다.

010

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BDÓ의 _45ù 45ù

45ù 45ù

A

B C

D E

x a

a a

연장선 위에 내린 수선의 발을 E라 하

고, ADÓ=CDÓ=BCÓ=a라 하면 △BCD에서 BDÓ='2a △ADE에서 AEÓ=DEÓ이므로 AEÓ Û`+AEÓ Û`=aÛ`, AEÓ Û`=;2!;aÛ`

∴ AEÓ=DEÓ= '2`2 a

따라서 △ABE에서 BEÓ='2a+ '2`2 a=3'2`

2 a이고, ABÓ=¾¨{ 3'2`2 a}

2+{ '2`2 a}

2="5aÛ`='5a이므로

cos`x= BEÓ

ABÓ = 3'2`2 aÖ'5a= 3'¶10`10 답 3'¶10`

10

011

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에 ^"

# ) $ )

% 서 변 BC에 내린 수선의 발을 H, ±

꼭짓점 D에서 변 BC의 연장선에 내린 수선의 발을 H'이라 하면 △ABH에서 cos`60ù= BHÓ

ABÓ = BHÓ 4 =;2!;이므로 BHÓ=CH'Ó=2

sin`60ù= AHÓ

ABÓ = AHÓ 4 = '3`2 이므로 AHÓ=DH'Ó=2'3

△DBH'에서

BDÓ="Ã BH'Ó Û`+DH'Ó Û` ="Ã8Û`+(2'3 )Û`=2'¶19 △AHC에서 HCÓ=BCÓ-BHÓ=6-2=4 ACÓ="Ã AHÓ Û`+HCÓ Û` ="Ã(2'3 )Û`+4Û`=2'7

∴ BDÓ Û`-ACÓ Û`=76-28=48 ^답 ③

012

△DAB에서 cos`(∠DBA)= 39.9350 =0.7986 ∴ ∠DBA=37ù

△DBC에서 sin`(∠DBC)= 29.39 50 =0.5878 ∴ ∠DBC=36ù

∴ ∠ABC =∠DBA+∠DBC

=37ù+36ù=73ù ^답 73ù

013

sin`1ù+sin`2ù+y+sin`45ù-cos`46ù-cos`47ù

-…-cos`90ù

=(sin`1ù-cos`89ù)+(sin`2ù-cos`88ù)+y

+(sin`44ù-cos`46ù)+sin`45ù-cos`90ù =(sin`1ù-sin`1ù)+(sin`2ù-sin`2ù)+y

+(sin`44ù-sin`44ù)+ '2`2 -0

= '2`2 답 ③

(8)

65

포인트 0ù<x<90ù인 범위에서 x의 값이 증가하면

① sin`x의 값은 0에서 1까지 증가  0Ésin`xÉ1

② cos`x의 값은 1에서 0까지 감소  0Écos`xÉ1

③ tan`x의 값은 0에서 무한히 증가  tan`x¾0

014

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 D에서

I A

B C

D

E

F G

x H 4

45ù

60ù BGÓ에 내린 수선의 발을 I라 하자.

△DGH에서

DHÓ=4 tan`60ù=4'3, DGÓ= 4

cos`60ù =8 △BFG에서

FGÓ=BFÓ=DHÓ=4'3이므로 BGÓ="Ã(4'3 )Û`+(4'3 )Û`=4'6 또, BDÓ="Ã(4'3 )Û`+4Û`=8이므로

△DBG는 DBÓ=DGÓ인 이등변삼각형이다.

∴ IGÓ=;2!; BGÓ=;2!;_4'6=2'6 따라서 △DIG에서

DIÓ="Ã8Û`-(2'6 )Û`=2'¶10 ∴ sin`x= DIÓ

DGÓ = 2'¶10`8 ='¶10`

4 답 '¶10`

4

015

^△ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin`B

=;2!;_ABÓ_20_sin`60ù =;2!;_ABÓ_20_ '3`2 =5'3`ABÓ

그런데 △ABC의 넓이가 60'3`cmÛ`이므로 5'3`ABÓ=60'3

∴ ABÓ=12 (cm)

△ABC의 꼭짓점 A에서 BCÓ에 ^A ₆_13``cm

B H C

20`cm 14`cm

6`cm 12`cm

60ù 내린 수선의 발을 H라 하면

BHÓ=ABÓ_cos`B=12 cos`60ù =12_;2!;=6 (cm)

∴ CHÓ=BCÓ-BHÓ=20-6=14 (cm) AHÓ=ABÓ_sin`B=12 sin`60ù =12_ '3`2 =6'3 (cm)

직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ Û`=AHÓ Û`+CHÓ Û`

=(6'3 )Û`+14Û`=304 ∴ ACÓ=4'¶19 (cm)

따라서 삼각형의 둘레의 길이는 12+20+4'¶19=32+4'¶19 (cm)

답 (32+4'¶19 ) cm

016

△ABC의 넓이를 S라 하면

S=;2!;ab sin`C=;2!;bc sin`A=;2!;ca sin`B

이므로

sin`A`:`sin`B`:`sin`C= 2Sbc`:` 2Sca`:` 2Sab sin`A`:`sin`B`:`sin`C= 1

bc`:` 1ca `:` 1ab sin`A`:`sin`B`:`sin`C= aabc`:` babc `:` cabc sin`A`:`sin`B`:`sin`C=a`:`b`:`c yy ㉠ 주어진 식을 정리하면

-2a+b+c=0 yy ㉡

2a+3b-3c=0 yy ㉢

㉡+㉢을 하면 4b-2c=0 ∴ c=2b 이것을 ㉡에 대입하면

-2a+b+2b=0 ∴ a=;2#; b ∴ a`:`b`:`c=;2#; b`:`b`:`2b=3`:`2`:`4

∴ sin`A`:`sin`B`:`sin`C=3`:`2`:`4 ^답③

017

오른쪽 그림에서

A C B

D H

30ù 120ù 30ù 30ù

30ù

213 413

∠CAB=∠DAB이고, ∠ABC=∠DAB이므로 ∠CAB=∠DAB=∠ABC 점 A에서 BCÓ의 연장선에 내

린 수선의 발을 H라 하면

△ABH에서

sin (∠ABC)= AHÓ ABÓ = 2'3`

4'3` =;2!;

그런데 sin`30ù=;2!;이므로 ∠ABC=30ù ∴ ∠ABC=∠BAD=∠CAB=30ù ∴ ∠CAH=30ù

직각삼각형 ACH에서 ACÓ= 2'3`cos`30ù =4

∴ △ABC=;2!;_4'3_4_sin`30ù =;2!;_4'3_4_;2!;

=4'3 ^답4'3

018

⑴ 반지름의 길이가 6`cm인 사분원을

30ùH 30ù

A

B

C D

6`cm O 6`cm

오른쪽 그림과 같이 BCÓ를 접는 선

으로 하여 접었으므로 BDÓ=BOÓ=6`cm이고 DOÓ는 원의 반지름이므로 BDÓ=BOÓ=DOÓ=6`cm 따라서 △BOD는 정삼각형이다.

(9)

부채꼴 AOD의 반지름의 길이는 6`cm이고, 중심각의 크기는

∠AOD=∠AOB-∠BOD=90ù-60ù=30ù ∴ (부채꼴 AOD의 넓이)

=p_AOÓ Û`_ ∠AOD`360ù =p_6Û`_ 30ù`360ù =p_36_;1Á2;

=3p (cmÛ`)

⑵ ∠DBC=∠OBC=;2!;_∠DBO =;2!;_60ù=30ù

그리고 ∠CDB=90ù이므로 △BCD에서 ∠DCB =180ù-(∠CBD+∠CDB)

=180ù-(30ù+90ù)=60ù ∴ ∠DCO=2_∠DCB=2_60ù=120ù 직각삼각형 BCD에서

CDÓ=COÓ=DBÓ tan (∠CBD)=6_tan`30ù =6_ '3`3 =2'3 (cm)

∴ △CDO=;2!;_CDÓ_COÓ_sin (180ù-∠DCO) =;2!;_2'3_2'3_sin (180ù-120ù) =;2!;_2'3_2'3_sin`60ù

=;2!;_2'3_2'3_ '3`2 =3'3 (cmÛ`)

∴ (색칠한 부분의 넓이)

=(부채꼴 AOD의 넓이)-△CDO =3p-3'3 (cmÛ`)

답⑴ 3p`cmÛ` ⑵ (3p-3'3 ) cmÛ`

019

직각삼각형 AED에서

E G H 60ù

413``cm A

B C

O D F 4`cm 8`cm

4`cm 2`cm AEÓ=8 cos`60ù=4 (cm)

DEÓ =BCÓ=8 sin`60ù

=4'3 (cm) 또, 직각삼각형 AGO에서 AGÓ=AOÓ_cos`60ù =4_;2!;=2 (cm)

그런데 AOÓ=OHÓ=4`cm이므로

ABÓ=AGÓ+GBÓ=AGÓ+OHÓ=2+4=6 (cm) CDÓ=ABÓ-AEÓ=6-4=2 (cm)

∴ (사다리꼴 ABCD의 넓이)=;2!;_(CDÓ+ABÓ)_BCÓ

=;2!;_(2+6)_4'3

=16'3`(cmÛ`)

^답16'3`cmÛ`

020

오른쪽 그림과 같이 AGÓ를 그으면 겹

H A

B B' C

C' D E D' E'

F' F

G

2`cm 30ù 30ù 치는 부분은 합동인 두 사각형으로 나 15ù

눌 수 있다. 사각형 AB'C'G의 점 B' 에서 변 AC' 위에 내린 수선의 발을 H라 하자.

직각삼각형 AB'H에서

AHÓ=AB'Ó cos`30ù=2_ '3`2 ='3 (cm) ∴ AC'Ó=2AHÓ=2'3 (cm)

그리고 B'HÓ=AB'Ó sin`30ù=2_;2!;=1 (cm) 또, 직각삼각형 AC'G에서

C'GÓ=AC'Ó tan`15ù=2'3 (2-'3 )=4'3-6 (cm) △AC'G와 △AB'C'의 넓이를 구하면

△AC'G=;2!;_AC'Ó_C'GÓ=;2!;_2'3_(4'3-6) =12-6'3 (cmÛ`)

△AB'C'=;2!;_AC'Ó_B'HÓ=;2!;_2'3_1 ='3 (cmÛ`)

사각형 AB'C'G의 넓이는 두 삼각형의 넓이의 합이므로 (12-5'3 ) cmÛ`

따라서 두 정육각형의 겹치는 부분의 넓이는 2_(12-5'3 )=24-10'3 (cmÛ`)

답 (24-10'3 )`cmÛ`

021

오른쪽 그림과 같이 큰 원의 반지름의 _M x y

A B C D

E 3 O

길이를 x, 작은 원의 반지름의 길이를

y라 하고, 중심 O에서 ADÓ에 내린 수 선의 발을 M이라 하면

AMÓ=DMÓ이므로

AMÓ=;2!;ADÓ=;2!;_(4+4+4)=6 직각삼각형 AOM에서

xÛ`=6Û`+OMÓ Û` ∴ OMÓ Û`=xÛ`-36 yy ㉠ BMÓ=CMÓ이므로 BMÓ=;2!; BCÓ=;2!;_4=2

직각삼각형 BOM에서

yÛ`=2Û`+OMÓ Û` ∴ OMÓ Û`=yÛ`-4 yy ㉡㉠, ㉡에 의하여 xÛ`-36=yÛ`-4

xÛ`-yÛ`=32 ∴ (x+y)(x-y)=32 yy ㉢ DEÓ=x-y=3이므로 ㉢에 대입하면

(x+y)_3=32 ∴ x+y=:£3ª:

따라서 두 원의 반지름의 길이의 합은 :£3ª:이다.

답:£3ª:

022

^PBOA에서 ∠APB+∠AOB=180ù이므로 ∠AOB=120ù

POÓ가 ∠APB를 이등분하면 ∠APO=30ù

(10)

67

∴ OAÓ =PAÓ_tan`30ù=4'3 (cm)

∴ △OAB=;2!;_OAÓ_OBÓ_sin`(180ù-∠AOB) =;2!;_4'3_4'3_ '3`2

=12'3 (cmÛ`) ^답12'3`cmÛ`

다른 풀이

두 접선 PA, PB에 대하여 ^A

B P O

12`cm PAÓ=PBÓ, AOÓ=OBÓ (반지름), 30ù

OPÓ는 공통이므로

△PAOª△PBO (SSS 합동) ∴ ∠APO=30ù

직각삼각형 POA에서

∴ AOÓ=APÓ tan`30ù=12_ '3`3 =4'3 (cm)

△OAB의 넓이는 PBOA의 넓이에서 △PBA의 넓이 를 뺀 것과 같다.

또한, ∠APB=60ù이고 PAÓ=PBÓ이므로 △PBA는 정삼 각형이다.

∴ △OAB =PBOA-△PBA

=2△APO-△PBA

=2_{;2!;_12_4'3 }- '3`4 _12Û`

=12'3 (cmÛ`)

포인트 한 변의 길이가 a인 정삼각형의 넓이 S는

 S= '3`4 aÛ`

023

ABÓ가 반원의 지름이므로 ∠ACB=90ù이고 직각삼각형 ABC와 원 O의 접점을 D, E, F라 하자.

ABÓ=6`cm이므로

A B

C

D E F

O 1`cm

6`cm ADÓ=AFÓ=x`cm라 하면

BEÓ=BDÓ=(6-x) cm CEÓ=CFÓ=OEÓ=OFÓ=ODÓ

=1`cm

이므로

BCÓ =BEÓ+CEÓ=(6-x)+1

=7-x (cm)

ACÓ =AFÓ+CFÓ=x+1 (cm) ∴ △ABC=;2!;(ABÓ+BCÓ+CAÓ) =;2!;{6+(7-x)+(x+1)}

=7 (cmÛ`) ^답7`cmÛ`

024

ABÓ, BCÓ, CAÓ와 원 O의 접점을 ^A

B SD C

Q

E P R

9`cm O 7`cm 11`cm

P, Q, R라 하면

BPÓ=BQÓ, CQÓ=CRÓ, APÓ=ARÓ 또, EDÓ와 원 O의 접점을 S라 하면 EPÓ=ESÓ, DQÓ=DSÓ

∴ (△BDE의 둘레의 길이) =BEÓ+BDÓ+DEÓ =BEÓ+BDÓ+(ESÓ+DSÓ) =BEÓ+BDÓ+(EPÓ+DQÓ) =BEÓ+EPÓ+BDÓ+DQÓ =BPÓ+BQÓ

=(ABÓ-APÓ)+(BCÓ-CQÓ) =(9-APÓ)+(11-CQÓ) =20-(APÓ+CQÓ) =20-(ARÓ+CRÓ) =20-ACÓ

=20-7=13 (cm) ^답13`cm

다른 풀이

APÓ=ARÓ=x`cm라 하면

BPÓ=(9-x) cm, CRÓ=(7-x) cm 이때 세 점 P, Q, R가 원 O의 접점이므로 BQÓ=BPÓ=(9-x) cm, CQÓ=CRÓ=(7-x) cm 한편, BCÓ=BQÓ+QCÓ이므로

11=(9-x)+(7-x) ∴ x=2.5 즉, APÓ=2.5`cm이므로

BPÓ=BAÓ-PAÓ=9-2.5=6.5 (cm) ∴ BQÓ=BPÓ=6.5`cm

따라서 △BDE의 둘레의 길이는

BEÓ+ESÓ+SDÓ+DBÓ =BEÓ+EPÓ+QDÓ+DBÓ

=BPÓ+BQÓ

=6.5+6.5=13 (cm)

025

오른쪽 그림과 같이 접점을

M K I A

B

C D

E J N L

P

GF H xx

4-x

6-x2+x 6-x

4+x 4+x

8-x

각각 G, H, I, J, K, L, M, N, P라 하고, GFÓ=x라 하면 FHÓ=GFÓ=x

EHÓ=EIÓ=EJÓ

=FEÓ-FHÓ=4-x

DJÓ=DKÓ=DLÓ=DEÓ-EJÓ=6-(4-x)=2+x CLÓ=CMÓ=CNÓ=CDÓ-DLÓ=8-(2+x)=6-x BNÓ=BPÓ=BCÓ-CNÓ=10-(6-x)=4+x이므로 APÓ=ABÓ-BPÓ=12-(4+x)=8-x이고, APÓ=AMÓ=AKÓ=AIÓ=AGÓ=8-x ∴ ADÓ=AKÓ+KDÓ=(8-x)+(2+x)=10 ∴ AFÓ=AGÓ+GFÓ=(8-x)+x=8

∴ ADÓ+AFÓ=10+8=18 답18

026

BEÓ=BIÓ=6`cm, AEÓ=AGÓ, ^A B

C E

O I

H CFÓ=CIÓ, DGÓ=DFÓ=3`cm

BHÓ는 원의 중심 O를 지나므로 EIÓ를 수직이등분한다.

(11)

∠AHB=∠CHB=90ù이므로 EIÓACÓ

∴ △EBI»△ABC (AA`닮음) ∴ ABÓ=CBÓ

즉, △ABHª△CBH (RHS`합동)이므로 AHÓ=CHÓ

마찬가지 방법으로 구하면 △ADHª△CDH에서 ADÓ=CDÓ

AEÓ=AGÓ, CFÓ=CIÓ이므로 AEÓ=AGÓ=CFÓ=CIÓ 따라서 ABCD의 둘레의 길이는

ABÓ+BCÓ+ADÓ+CDÓ=2(ABÓ+ADÓ)

=2{(AEÓ+6)+(AGÓ+3)}

=2(2AEÓ+9)=26

∴ AEÓ=2 (cm)

∴ CFÓ=AEÓ=2`cm ^답2`cm

포인트 원의 중심에서 현에 내린 수선은 그 현을 수직이등 분한다.

027

사분원의 접선 BFÓ에서

(13-x)`cmx`cm x`cm

5`cm 12`cm

A

B C

D

E F

12`cm 13`cm BFÓ⊥CEÓ이므로 △BCE는 직각

삼각형이다.

이때 CEÓ는 반지름이므로 CEÓ=12`cm

직각삼각형 BCE에서 피타고라 스 정리에 의하여

BEÓ="Ã BCÓ Û`-CEÓ Û` ="Ã13Û`-5Û`=5 (cm) FEÓ, FDÓ는 점 F에서 사분원에 그은 접선이므로 FEÓ=FDÓ=x`cm라 하면

AFÓ=(13-x) cm, BFÓ=(x+5) cm

직각삼각형 ABF에서 피타고라스 정리에 의하여 AFÓ Û`+ABÓ Û`=BFÓ Û`

(13-x)Û`+12Û`=(x+5)Û`

169-26x+xÛ`+144=xÛ`+10x+25 36x=288 ∴ x=8

AFÓ=13-x=13-8=5 (cm), BFÓ=x+5=8+5=13 (cm)이므로

AFÓ+BFÓ=5+13=18 (cm) 답18`cm

028

오른쪽 그림과 같이 O'PÓ를 그으면

A B

P Q 6`cm 3`cm

3`cm

12`cm O O' ∠APO'=∠AQB=90ù이므로

△APO'»△AQB (AA`닮음) △APO'에서

AO'Ó=9`cm, O'PÓ=3`cm 이므로 피타고라스 정리에 의하여 APÓ="Ã9Û`-3Û`=6'2 (cm)

닮은 두 도형의 대응변의 길이의 비가 일정하므로 AO'Ó`:`ABÓ=APÓ`:`AQÓ=O'PÓ`:`BQÓ

9`:`12=6'2`:`AQÓ, 3`:`4=6'2`:`AQÓ ∴ AQÓ=8'2 (cm)

9`:`12=3`:`BQÓ, 3`:`4=3`:`BQÓ ∴ BQÓ=4 (cm)

따라서 삼각형 ABQ의 넓이는

;2!;_8'2_4=16'2 (cmÛ`) ^답16'2`cmÛ`

029

오른쪽 그림에서 ABÓ는 반원 O의

A B

P Q R

4 O

지름이므로

∠APB=∠AQB=∠ARB=90ù 또 APÓ=BRÓ이므로

APÓ Û`+ARÓ Û`=BRÓ Û`+ARÓ Û`=ABÓ Û`

또 AQÓ=BQÓ이므로 AQÓ Û`+BQÓ Û`=2AQÓ Û`=ABÓ Û`

∴ AQÓ Û`=;2!; ABÓ Û`

∴ APÓ Û`+AQÓ Û`+ARÓ Û`=;2#; ABÓ Û`

∴ APÓ Û`+AQÓ Û`+ARÓ Û`=;2#;_4Û`=24 ^답24

포인트 중심각의 크기와 현의 길이 사이의 관계 한 원에서

A C

B

O

① 중심각의 크기가 같은 두 현의 길이 는 같다.

② 현의 길이는 중심각의 크기에 정비례 하지 않는다.

030

오른쪽 그림과 같이 점 A에서 BCÓ에

D A

B

B' O C 60ù

60ù 45ù 212 내린 수선의 발을 D라 하고 AOÓ의 연

장선이 원과 만나는 점을 B'이라 하면 µAC에 대한 원주각의 크기가 같으므로 ∠AB'C=∠ABC=60ù

ACÓ=4'2 sin`60ù =4'2_ '3`2 =2'6 ADÓ=CDÓ=2'6 cos`45ù =2'6_ '2`2 =2'3 BDÓ= 2'3`tan`60ù =2'3_ 1

'3` =2

∴ BCÓ=BDÓ+CDÓ=2+2'3 ^답2+2'3

031

µAC의 원주각이 ∠ADC, µ BD의 원주

A B

C

D P45ù 각이 ∠BAD이므로 두 점 A, D를 연 O

결하는 보조선을 긋는다.

삼각형에서 한 외각의 크기는 이웃하

지 않는 두 내각의 크기의 합과 같으므로 △ADP에서 ∠ADP+∠PAD=45ù

즉, µAC+µ BD의 원주각의 크기가 45ù이다.

(12)

[부록] 실전 모의고사 1회

69

01 ③ 02 ② 03 ④ 04 ② 05 ④ 06 ⑤ 07 ⑤ 08 ④ 09 ③ 10 ④ 11 ⑤ 12 ④ 13 ① 14 ② 15 ① 16 ③ 17 ③ 18 ① 19 -3

20 ⑴ 3'5 ⑵ 2+'5`

3 21 ;2@0&;

22 3('3+1)`cm 23 6`cm 24 4

실전 모의고사 1회

01

아래로 볼록한 것은 ①, ③, ⑤ 이 중에서 폭이 가장 넓은 것은 ③

02

y=ax+b의 그래프에서 a>0, b<0이므로 y=axÛ`+b의 그래프는 아래로 볼록하고 꼭짓점의 좌표는 원점 아래에 있어야 한다.

따라서 알맞은 그래프는 ②이다.

03

^y=-;2!;xÛ`-x+;2#;

=-;2!;(x+1)Û`+2

① 꼭짓점의 좌표는 (-1, 2)이다.

② 축의 방정식은 x=-1이다.

③ y축과 만나는 점은 {0, ;2#;}이다.

④ 그래프가 위로 볼록하고 꼭짓점이 제2사분면 위에 있으 므로 x축과 두 점에서 만난다.

⑤ y=-;2!;xÛ`의 그래프와 폭이 같다.

04

^ACÓ="Ã3Û`+2Û`='¶13 ① sin`A= 3

'¶13` = 3'¶13`13 ③ tan`A=;2#;

④ sin`C= 2

'¶13` = 2'¶13`13 ⑤ cos`C= 3

'¶13` = 3'¶13`13

05

20ù<∠x<50ù이므로 0ù<3∠x-60ù<90ù이고 tan`30ù= '3`3 이므로 3∠x-60ù=30ù

∴ ∠x=30ù

∴ sin`2x=sin`60ù= '3`2

06

tan`x= CDÓ

ODÓ = CDÓ1 =CDÓ 원 O의 반지름의 길이를 r라 하면

µAC+µ BD=2pr_ 45ù180ù =;2!;pr=10p

∴ r=20 ^답 ④

032

µ BD=3µAC이므로

∠ABC`:`∠BCD=1`:`3 ∴ ∠ABC=;3!;∠BCD △BPC에서 ∠BCD=∠CPB+∠CBP이므로 ∠BCD=40ù+;3!;∠BCD

∴ ∠BCD=60ù, ∠ABC=;3!;_60ù=20ù

따라서 ∠BAD=∠BCD=60ù이므로 △BAQ에서 ∠BQD =∠QAB+∠QBA

=60ù+20=80ù ^답 80ù

033

오른쪽 그림과 같이 두 점 A, E를

B B

± ±

±

" #

$

% &

'

±

0

연결하는 보조선을 긋는다.

ABÓ는 원 O의 중심을 지나므로 ∠AEB=90ù

직각삼각형 AEC에서 ∠CAE+∠ACE=90ù ∠CAE=90ù-50ù=40ù

µ DE의 원주각의 크기가 모두 같으므로 ∠DFE=∠DAE=40ù

두 점 D, B를 연결하는 보조선을 그으면 ∠DBE=∠DFE=40ù (µ DE의 원주각)

이때 µAD=µ BE이므로 ∠DBA=∠BAE=∠a라 하자.

△ABE의 세 내각의 크기의 합이 180ù이므로 ∠BAE+∠ABE+∠AEB=180ù

∠a+(∠a+40ù)=90ù ∴ ∠a=25ù ∴ ∠DFB =∠DFE+∠EFB

=∠DFE+∠BAE

=40ù+25ù=65ù ^답 ②

(13)

07

^△ABD에서

sin`B=sin`45ù= ADÓ

ABÓ = ADÓ4 에서 ADÓ=4 sin`45ù

=4_ '2`2 =2'2 △ADC에서

tan (∠CAD)=tan`60ù

= DCÓ

ADÓ = DCÓ 2'2`

∴ DCÓ =2'2 tan`60ù

=2'2_'3

=2'6

08

BHÓ=200 cos`30ù

=200_ '3`2 =100'3 (m) AHÓ =100'3 tan`45ù

=100'3_1=100'3 (m)

09

^△ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin (180ù-135ù) =;2!;_4_BCÓ_sin`45ù

='2 BCÓ

=10'2 ∴ BCÓ=10 (cm)

10

^△ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ_sin (∠ABC) =;2!;_6_6_sin`60ù

=;2!;_6_6_ '3`2

=9'3

△ABC에서 ABÓ=BCÓ=6인 이등변 ^A

B C

D

6 6

4 60ù 30ù 삼각형이므로

∠BAC=∠BCA

=;2!;_(180ù-60ù)

=60ù

즉, △ABC는 정삼각형이므로 ACÓ=6

∴ △ACD=;2!;_ACÓ_CDÓ_sin (∠ACD) =;2!;_6_4_sin`30ù

=;2!;_6_4_;2!;

=6

∴ ABCD =△ABC+△ACD

=6+9'3

11

OHÓ는 ABÓ의 수선이므로

" ) #

ADN ADN

ADNADN AHÓ=HBÓ 0

AHÓ=;2!; ABÓ

=;2!;_8=4 (cm) 직각삼각형 △OAH에서 OAÓ ="Ã3Û`+4Û`

='¶25=5 (cm)

따라서 원 O의 반지름의 길이는 5`cm이다.

12

사각형의 네 내각의 합은 360ù이다.

AMON에서

∠A=360ù-(90ù+90ù+140ù)=40ù

원의 중심 O에서 두 현에 이르는 거리가 같으면 두 현의 길이도 같다.

즉, OMÓ=ONÓ이므로 ABÓ=ACÓ 따라서 △ABC가 이등변삼각형이므로 ∠C=;2!;_(180ù-40ù)=70ù

13

작은 원과 ABÓ의 접점을 H라 하면 OHÓ는 ABÓ를 수직이등 분하므로 AHÓ=6

큰 원의 반지름의 길이를 R, 작은 원의 반지름의 길이를 r 라 하면

(큰 원의 넓이)=RÛ`p, (작은 원의 넓이)=rÛ`p 이고 그림의 색칠한 부분의 넓이는

RÛ`p-rÛ`p=p(RÛ`-rÛ`)

△OAH는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 OAÓ Û`=OHÓ Û`+AHÓ Û`

RÛ`=rÛ`+6Û`

∴ RÛ`-rÛ`=36

∴ (색칠한 부분의 넓이)=(RÛ`-rÛ`)p=36p

14

^AFOE는 정사각형이고 원 O의 r`cm A r`cm

B C

D F E

O 6`cm 6`cm

4`cm 4`cm

반지름의 길이를 r`cm라 하면

AFOE의 한 변의 길이는 r`cm 이다.

DCÓ=ECÓ=4`cm, BDÓ=BFÓ=6`cm, AFÓ=AEÓ=r`cm

이므로 직각삼각형 ABC에서 피타고라스 정리에 의하여 BCÓ Û`=ABÓ Û`+ACÓ Û`=(AFÓ+BFÓ)Û`+(AEÓ+CEÓ)Û`

10Û`=(6+r)Û`+(4+r)Û`

rÛ`+10r-24=0 (r+12)(r-2)=0 r>0이므로 r=2 따라서 원 O의 넓이는 prÛ`=4p (cmÛ`)

(14)

71 15

∠y =2∠BCD

=2_95ù=190ù ∠x=;2!;_(360ù-190ù) =;2!;_170ù=85ù

∴ ∠x+∠y=85ù+190ù=275ù

16

^∠x=;2!;∠BOD=;2!;(∠BOC+∠COD) =;2!;(∠BOC+64ù)

=;2!;∠BOC+;2!;_64ù =;2!;_2∠BAC+32ù =25ù+32ù=57ù

17

^∠DAE=;2!;∠DOE

A B

C D xE

40ù 20ù

O =;2!;_40ù=20ù

ABÓ가 원 O의 지름이므로 ∠AEB=90ù

따라서 △CAE에서 90ù=20ù+∠x ∴ ∠x=70ù

18

ABÓ가 원 O의 중심을 지나므로

A B

C

D E

O ∠ACB=90ù

한 원에서 같은 길이의 호에 대한 원 주각의 크기는 같다.

즉, µAD=µ DE=µ EB이므로 ∠ACD=∠DCE=∠ECB

∴ ∠DCE=;3!;∠ACB=;3!;_90ù=30ù

19

x절편이 각각 -2, 3이므로 y=a(x+2)(x-3)

또한, 점 (1, -3)을 지나므로 대입하여 a를 구하면 -6a=-3

∴ a=;2!; yy ^가

즉, y=;2!;(x+2)(x-3)이므로 y=;2!;xÛ`-;2!;x-3

따라서 y절편은 -3이다. yy ^나

단계 채점 요소 배점

가 이차항의 계수 구하기 2점

나 y절편 구하기 2점

20

⑴ △ADE에서 피타고라스 정리 ^A

B C

D E

6 9 에 의하여

AEÓ="Ã9Û`-6Û`=3'5 yy ^가 ⑵ △ABC»△AED (AA`닮음)

이므로

∠ABC=∠AED sin`B=sin (∠AED)

= ADÓ

DEÓ =;9^;=;3@;

sin`C=sin (∠ADE)

= AEÓ

DEÓ = 3'5`9 ='5`

3 yy ^나

∴ sin`B+sin`C=;3@;+ '5`3

= 2+'5`3 yy ^다

가 AEÓ의 길이 구하기 2점

나 sin`B, sin`C의 값 구하기 각 1점

다 sin`B+sin`C의 값 구하기 1점

21

^cos`A=;5$; 를 만족시키는 직각삼각형 A

5

4 B

C 을 그리면 오른쪽 그림과 같다.

BCÓ="Ã5Û`-4Û`=3이므로 yy ^가 sinÀ=;5#;, tanÀ=;4#; yy ^나 ∴ sinÀ+tanÀ=;5#;+;4#;

=;2@0&; yy ^다

가 BCÓ의 길이 구하기 1점

나 sin`A, tan`A의 값 구하기 각 1점

다 sin`A+tan`A의 값 구하기 1점

22

오른쪽 그림과 같이 꼭짓점 A에서

H A

B C

6`cm 60ù 45ù

BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

△ABH에서

BHÓ=6 cos`60ù

=3 (cm) yy ^가

CHÓ =AHÓ=6 sin`60ù

=3'3 (cm) yy ^나

∴ BCÓ =BHÓ+CHÓ

=3+3'3

=3('3+1) (cm) yy ^다

가 BHÓ의 길이 구하기 2점

나 CHÓ의 길이 구하기 2점

다 BCÓ의 길이 구하기 1점

(15)

23

원 O의 반지름의 길이를

H r`cm

r`cm r`cm

2r`cm (25-2r)`cm A

B C

D O 10`cm

15`cm

5`cm r`cm라 하면 ABÓ는 원 O

의 지름이므로

ABÓ=2r`cm yy ^가 원에 외접하는 사각형의

대변의 길이의 합은 서로 같으므로 ABÓ+CDÓ =ADÓ+BCÓ

2r+CDÓ=10+15=25

∴ CDÓ=25-2r (cm) yy ^나

점 D에서 선분 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면 직각삼 각형 DHC에서 피타고라스 정리에 의하여

(2r)Û`+5Û`=(25-2r)Û`

4rÛ`+25=625-100r+4rÛ`

100r=600 ∴ r=6

따라서 원 O의 반지름의 길이는 6`cm이다. yy ^다

가 ABÓ=2_(원의 반지름)임을 알기 1점

나 CDÓ=(25-2r) cm임을 알기 2점

다 원의 반지름의 길이 구하기 2점

24

오른쪽 그림과 같이 원 O의 지름인 _30ù

A A'

B C

60ù 60ù 413 A'CÓ를 그으면 O

∠A'BC=90ù이고,

∠A=∠A'이므로 yy ^가

△A'BC에서 sin`60ù= BCÓ

A'CÓ , '3`

2 =4'3`

A'CÓ

∴ A'CÓ=8 yy ^나

∴ (반지름의 길이)=;2!; A'CÓ=4 yy ^다

가 ∠A=∠A'=60ù임을 알기 2점

나 A'CÓ의 길이 구하기 3점

다 원의 반지름의 길이 구하기 2점

01 ③ 02 ① 03 ④ 04 ① 05 ② 06 ⑤ 07 ② 08 ③ 09 ⑤ 10 ① 11 ③ 12 ④ 13 ⑤ 14 ④ 15 ③ 16 ① 17 ⑤ 18 ② 19 (-2, 2) 20 8 21 55.6`m 22 27'3`cmÛ`

23 2 24 ⑴ 100ù ⑵ 110ù

실전 모의고사 2회

01

꼭짓점의 좌표가 (0, -8)이므로 구하는 이차함수의 식은 y=axÛ`-8

이 식에 점 (-2, 0)을 대입하면 0=a(-2)Û`-8 0=4a-8

∴ a=2 ∴ y=2xÛ`-8

02

y=-2(x+2)Û`+2의 그래프는 ^y O x

-6 -2 꼭짓점의 좌표가 (-2, 2), 2

y축과 만나는 점의 좌표가 (0, -6) 이므로 오른쪽 그림과 같다.

따라서 제1사분면은 지나지 않는다.

03

^y=2xÛ`+;2!;의 그래프는 오른쪽 그림

x y

O 12 과 같다.

① 제1, 2사분면을 지난다.

② 꼭짓점의 좌표는 {0, ;2!;}이다.

③ y=2xÛ`의 그래프를 y축의 방향으 로 ;2!;만큼 평행이동한 것이다.

⑤ 아래로 볼록한 그래프이다.

04

∠BDA=∠BAH=∠x이고

△ABD에서 BDÓ="Ã9Û`+12Û`=15이므로 sin`x=;1»5;=;5#;, cos`x=;1!5@;=;5$;

∴ cos`x+sin`x=;5&;

05

꼭짓점 A, D에서 BCÓ에 내린 수 ^A

B H H' C

D 4`cm

2`cm 4`cm 2`cm 60ù213``cm 선의 발을 각각 H, H'이라 하면

△ABH에서 sin`60ù= AHÓ4 ='3`

2 ∴ AHÓ=2'3 (cm)

(16)

73

cos`60ù= BHÓ4 =;2!;

∴ BHÓ=2 (cm)

따라서 ADÓ=HH'Ó=8-2-2=4 (cm)이므로 ABCD=;2!;_(4+8)_2'3=12'3 (cmÛ`)

06

⑤ tan`y= 1 DEÓ

따라서 옳지 않은 것은 ⑤이다.

07

∠C=90ù인 직각삼각형 ABC에서 ^A

B C

9 7 sin (90ù-A)=;9&;이므로 이를 만족시키

는 직각삼각형을 그리면 오른쪽 그림과 같다.

따라서 BCÓ="Ã9Û`-7Û`='¶32=4'2이므로 tan`B= 7

4'2` = 7'2`8

08

점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 ^A

B H C

120`m 80`m 80`m 45ù 40`m 8012``m

H라 하자.

△ABH에서 AHÓ=ABÓ sin`45ù =80'2_ '2`2

=80 (m)

BHÓ=ABÓ cos`45ù =80'2_ '2`2

=80 (m)

∴ CHÓ =BCÓ-BHÓ

=120-80=40 (m)

직각삼각형 AHC에서 피타고라스 정리에 의하여 ACÓ Û` =AHÓ Û`+CHÓ Û`

=80Û`+40Û`=8000 ∴ ACÓ=40'5 (m)

09

△ABC에서 ∠BAC=30ù이므로 ACÓ=BCÓ=8`cm

△ACH에서

∠CAH=180ù-(90ù+60ù)=30ù이므로 AHÓ=8 cos`30ù

=8_ '3`2 =4'3 (cm)

10

BDÓ=x라 하면 ACÓ=8이므로

ABCD=;2!;_ACÓ_BDÓ_sin (180ù-135ù) =;2!;_ACÓ_BDÓ_sin`45ù

=;2!;_8_x_ '2`2

=2'2x

그런데 사각형 ABCD의 넓이가 12'2이므로 2'2x=12'2 ∴ x=6

∴ BDÓ=6

11

OMÓ=ONÓ=5이므로 CDÓ=ABÓ=8

DNÓ=;2!; CDÓ=4이므로 ODÓ="Ã5Û`+4Û`='¶41

12

PAÓ, PBÓ는 원 O의 접선이므로 ∠APB+∠AOB=180ù

∠AOB=180ù-∠APB=180ù-45ù=135ù ∴ µAB=2p_6_ 135ù360ù=;2(;p (cm)

13

CDÓ와 반원의 접점을 E라 하고

A B

C D

H

E

O 5`cm 8`cm

3`cm 3`cm

3`cm 점 C에서 ADÓ에 내린 수선의 발

을 H라 하면 DHÓ=8-3=5 (cm) CDÓ =CEÓ+DEÓ

=CBÓ+DAÓ

=3+8=11 (cm) 이므로 직각삼각형 DHC에서 CHÓ ="Ã11Û`-5Û`

='¶96=4'6 (cm) ∴ ABÓ=CHÓ=4'6`cm 반원 O의 반지름의 길이는 ;2!; ABÓ=2'6 (cm) 따라서 반원의 넓이는 ;2!;_p_(2'6 )Û`=12p (cmÛ`)

14

BEÓ=BDÓ=3`cm이므로 CFÓ=CEÓ=7-3=4 (cm) ∴ ADÓ=AFÓ=9-4=5 (cm)

15

∠AOB=2∠ACB=2_60ù=120ù ∴ (부채꼴 AOB의 넓이)=p_6Û`_ 120ù360ù

=p_36_;3!;

=12p (cmÛ`)

(17)

16

µADB가 반원의 호이므로

A B

C

D x 36ù 54ù

O 원주각인 ∠ACB=90ù

∴ ∠ABC=90ù-36ù=54ù

한 원에서 한 호에 대한 원주각의 크기 가 모두 같다.

즉, µAC에 대하여 ∠ADC=∠ABC이므로 ∠x=54ù

17

µ BC=µ CD이므로 ∠CBD=∠BAC=25ù △BCA에서

∠BCA =180ù-(25ù+45ù+25ù)

=85ù

18

∠ABC=180ù_;1Á0;=18ù △ABP에서 40ù=∠PAB+18ù ∴ ∠PAB=22ù

∠DOB =2∠DAB

=2_22ù=44ù 이므로 △QOB에서 ∠DQB=44ù+18ù=62ù

19

두 점 (-3, 0), (-1, 0)을 지나는 이차함수의 그래프의 식을 y=a(x+1)(x+3)이라 하면 이 그래프가 점 (0, -6) 을 지나므로

-6=a(0+1)(0+3) ∴ a=-2 yy ^가 즉, 주어진 이차함수의 식은

y =-2(x+1)(x+3)

=-2xÛ`-8x-6

=-2(x+2)Û`+2

따라서 꼭짓점의 좌표는 (-2, 2)이다. yy ^나

가 a=-2 구하기 2점

나 답 구하기 2점

20

cos`A= ABÓ

4'2` = '2`2 이므로 ABÓ=4

∴ BCÓ="Ã(4'2 )Û`-4Û`=4 yy ^가 ∴ △ABC=;2!;_ABÓ_BCÓ

=;2!;_4_4=8 yy ^나

가 ABÓ, BCÓ의 길이 구하기 2점

나 △ABC의 넓이 구하기 2점

21

점 A에서 BCÓ에 내린 수선의 발을 H라 하면

AHÓ=100 sin`30ù=50 (m) yy ^가 ACÓ= AHÓ sin`C

= 50sin`65ù =50 0.9

=55.555y yy ^나

따라서 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내면 55.6`m

이다. yy ^다

가 AHÓ의 길이 구하기 2점

나 ACÓ의 길이 구하기 2점

다 반올림하여 소수 첫째 자리까지 나타내기 1점

22

∠DAB=∠ABC=60ù (엇각) ^D ^E H A B

C 9`cm 60ù

이므로

∠EAC=∠BAC

=;2!;_(180ù-60ù)

=60ù

∠ACB=∠EAC=60ù (엇각)

따라서 △ABC는 정삼각형이고, yy ^가

△ABH에서 ABÓ=BCÓ= 9

sin`60ù =6'3 (cm)이므로

yy ^나

△ABC=;2!;_6'3_6'3_sin`60ù=27'3 (cmÛ`)

yy ^다

가 △ABC가 정삼각형임을 알기 2점

나 ABÓ, BCÓ의 길이 구하기 2점

다 △ABC의 넓이 구하기 1점

다른 풀이

△ABC가 정삼각형이고, △ABH에서

ABÓ= 9

sin`60ù =6'3 (cm)이므로 △ABC= '3`4 _(6'3 )Û`

= '3`4 _108=27'3 (cmÛ`)

23

ABÓ=8이므로 원 O의 반지름의 길

x x A

B C

D

E F O

G 8

8

8-x 8 4

4

이는 4이다. yy ^가

EFÓ=x라 하면 BEÓ=4+x이므로

CEÓ =BCÓ-BEÓ

=12-(4+x)

=8-x

AGÓ=4이므로 DFÓ=GDÓ=8 yy ^나

(18)

75

△DEC는 직각삼각형이므로 피타고라스 정리에 의하여 DEÓ Û`=CEÓ Û`+CDÓ Û`

(8+x)Û`=(8-x)Û`+8Û`

64+16x+xÛ`=64-16x+xÛ`+64 32x=64

∴ EFÓ=x=2 yy ^다

가 원의 반지름의 길이 알기 1점

나 EFÓ, DFÓ, CEÓ 사이의 관계 알기 2점

다 EFÓ의 길이 구하기 1점

24

⑴ µ BC`:`µ CD=2`:`3이므로 ∠BEC`:`∠CAD=2`:`3에서

∴ ∠CAD=30ù yy ^가

오른쪽 그림과 같이 OCÓ를 그으면 _"

# '

$

%

&

±

∠BOC =2∠BEC 0

=2_20ù=40ù ∠COD =2∠CAD

=2_30ù=60ù

∠BOD =∠BOC+∠COD

=40ù+60ù

=100ù yy ^나

⑵ ∠AOB=180ù-100ù=80ù yy ^다 ∴ ∠AFB=30ù+80ù=110ù yy ^라

가 ∠CAD의 크기 구하기 2점

나 ∠BOD의 크기 구하기 2점

다 ∠AOB의 크기 구하기 2점

라 ∠AFB의 크기 구하기 1점